Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
-----------------------

PHAM LAN PHƯƠNG

Hfi PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TUYEN TÍNH CAP HAI

Chun ngành: GIAI TÍCH
Mã so:

60.46.01.02

LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:
PGS.TS. HÀ TIEN NGOAN

Hà N®i – Năm 2015


Mnc lnc
Ma đau
1

3

M®t so kien thÉc chuan b%
5
1.1 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.5
.5
1.1.1 Không gian Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . .
l,p
.6
1.1.2 Không gian W (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . .
l,p
.7
1.1.3 Không gian W0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) . . . . . . . . . .
1.2 Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.8
1.2.1 Đ%nh nghĩa không gian C(Ω), Cl(Ω) . . . . . . . . . . . . .8
.
1.2.2 Đ%nh nghĩa không gian C0,α(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . .8
.9
1.2.3 Đ%nh nghĩa không gian Cl,α(Ω) . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Các đ%nh lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.9
1.3.1
Đ%nh nghĩa phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.3.2
Đ%nh lý nhúng vào Lp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.3.3
Đ%nh lý nhúng cna không gian Wl,p(Ω) . . . . . . . . . . . .10
1.4 M®t so
bat đang thúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4.1
Bat đang thúc Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11
1.4.2
Bat đang thúc Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.4.3
Bat đang thúc Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.5 Đ%nh lý Fredholm đoi vói phương trình tuyen tính . . . . . . . . .12
1.5.1 Đ%nh nghĩa ánh xa compact . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.5.2 Đ%nh nghĩa ánh xa liên hop . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.5.3 Đ%nh lý Fredholm trong không gian Banach . . . . . . . . .12
1.5.4 Đ%nh lý Fredholm trong không gian Hilbert . . . . . . . . .13
2.2 Bat đang thúc cơ ban thú nhat. Sn ton tai và duy nhat cna
2 Bi nghiắm
toỏn Dirichlet
cho hắ phng trỡnh elliptic
14
suy rđng.........................................................................15
2.1 2.2.1
Nghiắm
suy
rđng
cnac
bi
toỏn
.............
.14
Bat
ang
thỳc
ban
thỳDirichlet.
nhat..........................................15
2.1.1 Sn
Hắton

phng
elliptic
vnghiắm
bi toỏnsuy
Dirichlet
. . . . . . . .14
2.2.2
tai v trỡnh
duy nhat
cna
rđng...................25
2.1.2tớnh
Nghiắm
suy tớnh
rđngcna
. . nghiắm
. . . . . .suy
. . r®ng...........................28
. . . . . . . . . . . . . .15
2.3 Các
chat đ%nh

2


MUC LUC

2.3.1 Đánh giá max |u|.................................................................28
Ω

2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω...............................................................35
2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω và ||u||W 2,2 (Ω) ..................................................................... 40
Ω) . . . . . .45
2.4 Đánh giá tiên nghi¾m trong khơng gian Holder
J

Cl,α(

2.5 Tính giai đưoc cna bài tốn Dirichlet trong khơng
gian

Cl,α( Ω)

.47

Ket lu¾n

48

Tài li¾u tham khao

49


Me ĐAU
Đoi vói m®t phương trình elliptic tuyen tính cap hai, ngưịi ta đã nghiên
cúu tính giai đưoc cna bài tốn Dirichlet. Đoi vói phương trình elliptic dang
bao tồn, ngưịi ta ó a oc nghiắm suy rđng trong khụng gian
Sobolev W 1,2(Ω) và chúng minh đưoc sn ton tai nghi¾m cna bài tốn. Đoi
vói các phương trình elliptic dang khơng bao tồn, ngưịi ta đã đưa vào các

lóp nghi¾m cő đien trong không gian Holder C2,β(Ω) và cũng chúng minh
đưoc sn ton tai và tính trơn cna nghi¾m.
Muc tiêu cna Luắn vn l trỡnh by sn mo rđng cỏc ket qua ve tính giai
đưoc cna bài tốn Dirichlet cho m®t phương trình elliptic tuyen tính cap hai
sang trưịng hop h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai. Dưói sn hưóng
dan cna PGS. TS Hà Tien Ngoan, tác gia đã hoàn thành lu¾n văn vói đe tài
"H¾ phương trình elliptic tuyen tớnh cap hai".
Luắn vn oc chia lm hai chng:
ã Chng 1: Mđt so kien thỳc chuan b%.
ã Chng 2: Bi tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic.

Chương 1 trình bày m®t so kien thúc chuan b% như các khơng gian
Sobolev, Holder, các đ%nh lý Fredholm ve tính giai đưoc cna phương trình
tuyen tính trong khơng gian Banach, Hilbert. Chương 2 - nđi dung chớnh
cna Luắn vn, trỡnh by bi toỏn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic tuyen
tính cap hai. Vói h¾ phương trình dang bao tồn, lu¾n văn trình bày khỏi
niắm lúp nghiắm suy rđng trong khụng gian Sobolev W 1,2(Ω), phát bieu và
chúng minh tính giai đưoc Fredholm cna bài tốn Dirichlet trong khơng gian
này. Đoi vói lóp h¾ phương trình dang khơng bao tồn, Lu¾n văn trình bày
chúng minh đánh giá tiên nghi¾m đoi vói nghi¾m cna bài tốn, phát bieu
tính giai đưoc Fredholm cna bài tốn Dirichlet trong khơng gian Holder
C2,β(Ω).

M¾c dù có nhieu co gang, song do thịi gian và trình đ® cịn han che nên lu¾n


Me ĐAU

văn khó tránh khoi nhung thieu sót. Vì v¾y tác gia rat mong nh¾n đưoc sn
góp ý cna các thay cơ và các ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n hơn.

Qua lu¾n văn này, tác gia xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen PGS.TS Hà
Tien Ngoan, ngưòi Thay đã truyen cho tác gia có niem say mê nghiên cúu tốn
HQc. Thay đã t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tác gia trong suot q trình HQ c t¾p
và hồn thi¾n lu¾n văn này.
Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao Sau đai HQc,
Khoa Tốn-Cơ-Tin, các thay cơ đã tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hồn thành
ban lu¾n văn này.
Em xin chân thành cam ơn!
Hà N®i, ngày 25 tháng 07 năm 2015
Tác gia

Pham Lan Phương


Chương 1

M®t so kien thÉc chuan b%
1.1
1.1.1

Khơng gian Sobolev
Khơng gian Lp(Ω), 1 ≤ p < +∞

Đ%nh nghĩa 1.1. Lp(Ω) là không gian Banach gom các hàm đo đưoc u xác đ
%nh trên Ω và p - kha tích sao cho
∫
|u(x)| pdx < +∞.

Ω

Chuan cna Lp(Ω) đưoc đ%nh nghĩa
boi

1

p

||u||Lp (Ω) =

|u(x)|p dx ,

∫

Ω

trong đó |u(x)| là tr% tuy¾t đoi ho¾c mơ đun cna u(x).
Khi p = +∞, L∞(Ω) là không gian Banach các hàm b% ch¾n trên Ω vói chuan
||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hau khap nơi trong Ω}
Ω

Ω

Khi p = 2, L2(Ω) là khơng gian Hilbert vói tích vơ hưóng
∫
(u, v)L2(Ω) = u(x).v(x)dx,
Ω

∫

(u, u) = ||u||2 = |u(x)|2 dx.

Ω

Nh¾n xét 1.1. Neu f ∈ L2(Ω); g ∈ L2(Ω)
thì

2


2

.

∫

∫
.


∫

1 

∫

1

.
fgdx ≤

..

Ω

Ω

|fg|dx ≤

Ω


|f |2 dx



|g|2 dx


Chương 1. M®t so kien thúc chuan b

(f, g là các hàm bình phương kha
tích). Neu a ∈ L∞(Ω) và f, g ∈ L2(Ω)
thì
|fg| dx.

.∫ afgdx. ≤ ||a||
∞

∫

.Ω

1.1.2

.

Ω

Khơng gian Wl,p(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)

Đ%nh nghĩa 1.2. Vói ∀l ∈ N; 1 ≤ p < +∞, ta có
Wl,p(Ω) = {u(x) ∈ Lp(Ω); Dαu(x) ∈ Lp(Ω), ∀α : |α| ≤ l},

trong đó
α = (α1, α2, . . . , αn); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn;
Dαu = Dα1 Dα2 . . . Dαn ; Dj = ∂ .
1

∂xj

2
n

Khi đó, chuan cna u(x) ∈ Wl,p(Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
1

p
∫ |Σα|
||u||W l,p(Ω) = ≤l |Dα u|p dx .
Ω

M®t chuan tương đương là

||u||pWl,p(Ω)

Σ

=

p
.
Lp(Ω)

α

|α|≤l

|D u|

Nh¾n xét 1.2. Gia su Ω ⊂ Rn; l ∈ N ; 1 ≤ p < +∞ thì Wl,p(Ω) là m®t khơng gian
Banach.
Khi l = 1, p = 2 thì
.
1,2
1
W

(Ω) = u ∈ L2(Ω); D u ∈ L2(Ω) .

Không gian W 1,2(Ω) đưoc trangΣb% tích vơ hưóng
.
Σ
(u, v) =

∂u
(u, v)

L2(Ω)

+

và chuan tương
úng
||u||W 1,2(Ω) =∫ .
2
Ω

1≤l≤
n

∂x ∂x
l

;

∂v

Σ

L2(Ω)

l

2

Σ

|∇u(x)| + u(x)2 dx.
8

,


Chương 1. M®t so kien thúc chuan b

Khi đó W 1,2(Ω) là khơng gian Hilbert.
Nh¾n xét 1.3. Neu l < m thì
Wm,p(Ω) ⊂ Wl,p(Ω).

9


1.1.3

Không gian Wl,p
(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N)
0

a) Không gian C0∞ (Ω)
C0∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω}.

b) Không gian0 Wl,p(Ω)
Đ%nh nghĩa 1.3. Khơng gian Wl,p(Ω) vói 1 ≤ p < +∞ là bao đóng cna C∞(Ω)
0

0

trong chuan cna khơng gian Wl,p(Ω).
Kí hi¾u
l,p

W (Ω) = C∞(Ω).
0

0

Khi đó,
Wl,p(Ω) = {u(x); u(x) ∈ Wl,p(Ω), Dαu|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1}.
0

1,p
i)Đoi vói các hàm u(x) ∈ W
(Ω), v(x) ∈ W 1,pj (Ω) ta có
0
∫
∫

Nh¾n xét 1.4.

uxivdx = − uvxidx,

trong đó 1 + 1
p

=
1.

Ω
Ω

pJ

ii) Hai chuan tương đương trong W
||u||W
p 1,p(Ω)

(Ω)

1,p

Σ

α

=

|α|≤l

||u||W 1,p(Ω) =

p
Lp(Ω) ,

Σ

||D u||

||Dαu||p L (Ω).

|α|≤l

Hai chuan là tương đương, neu ton tai c1 , c2 ∈ R∗+ sao cho
c1||u|| ≤ |||u||| ≤ c2||u||.
iii)Hai chuan sau là tương đương trên W0l,p(Ω)
n
Σ

||u|| = ||u||Lp(Ω) +

||Dju||Lp(Ω),

j=1
n
Σ

|||u||| =

j=1

trong đó Dju = Dxj u.

||Dju||Lp(Ω),


iv) Khi l = 1, p = 2

Chuan cna W0 1,2(Ω) xác đ%nh boi
||u|| 1,2 = ||u||
2

+

2

Chuan mói tương đương là
2

2

Σ
n

||ux ||

.

2

∫ Σ
n

0

i,j=
1

|||u|||W 1,2(Ω) = ||u||W 1,2(Ω)

aij (x)uxi uxj dx,

=
Ω

Σ
trong đó aij = aji, c1|
2

ξ|

≤

n

aij(x)ξiξj ≤ c2|ξ| , ∀ξ ∈ Rn.

i,j= 2
1

1.2

Khụng gian Holder

Cho l mđt tắp mo trong Rn. Ta đ%nh nghĩa m®t so khơng gian
1.2.1

Đ%nh nghĩa khơng gian C(Ω), Cl(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.4.
C(Ω) = {u(x); u(x) liên tuc trong Ω},
C (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dαu ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l},
l

vói l ∈ N.
Trong khơng gian Cl(Ω) xác đ%nh chuan
Σ
|u|l,Ω = sup

Dαu.

|α|≤l

1.2.2

Đ%nh nghĩa không gian C0,α(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.5. C0,α(Ω) là không gian Banach các hàm u(x) liên tuc trong Ω
vói |u|(α),Ω xác đ%nh
C0,α(Ω) = {u(x) ∈ C0(Ω); |
u|

vói 0 < α ≤ 1.

(α),Ω

= sup
x,y∈Ω xƒ=y

|u(x) − u(y)|

α

|x − y|

< +,

∞
}

Chuan cna C0,α(Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi
|u|α,Ω = max |u| + |u|(α),Ω.
Ω

Chú ý 1.1. Hàm u(x) ∈ C 0,α (Ω) neu u(x) ∈ C 0,α (ΩJ ) vói ∀ΩJ ⊂ Ω.


1.2.3

Đ%nh nghĩa không gian Cl,α(Ω)

Đ%nh nghĩa 1.6.
Cl,α(Ω) = {u(x) ∈ Cl,α(Ω); Dαu ∈ C0,α; ∀|α| = l}.

Chuan trong Cl,α(Ω)
Σ

|D(l)u|(α),Ω.

|u|l,α,Ω = |u|l,Ω +

(l)

1.3
1.3.1

Các đ%nh lý nhúng
Đ%nh nghĩa phép nhúng

Đ%nh nghĩa 1.7. (Phép nhúng)
Cho B1, B2 là hai khơng gian Banach.
Ta nói rang B1 nhúng vào B2 và kí hi¾u B1 → B2, neu vói u ∈ B1 thì u ∈ B2.
Đ%nh nghĩa 1.8. (Phép nhúng liên tnc)
M®t khơng gian Banach B1 đưoc GQI là nhúng liên tuc trong không
gian Banach B2 , ký hi¾u B1 → B2 , neu B1 nhúng vào B2 và ||u||B2 ≤ c||u||B1 ,
vói c là hang so khơng phu thu®c vào u ∈ B1 .
Đ%nh nghĩa 1.9. (Phép nhúng hồn tồn liên tnc)
M®t khơng gian Banach B1 đưoc GQI là nhúng hoàn toàn liên tuc trong khụng
gian Banach B2 , neu mđt tắp b% chắn trong B1 l mđt tắp tien compact trong
B2 .
1.3.2

%nh lý nhỳng vào Lp(Ω)

Đ%nh lý 1.1. Gia su Ω là mien b% ch¾n và 1 ≤ p < q < +∞.
Khi đó, Lq(Ω) ⊂ Lp(Ω) và ánh xa nhúng
j : Lq(Ω) ›→ Lp(Ω)

là liên tnc.
ChÚng minh. Gia su u ∈ Lq(Ω).
∫ p
Ta can chúng minh u Lp(Ω)
∈ hay | |u dx
∞ < +.
Ta có

Ω

∫
||u||pLp(Ω) =

∫
p

|u| dx =
Ω

Ω

p

1.|u| dx.


Áp dung bat đang thúc Holder ta có
p

Σ∫
q
Σ∫ 1

Σ
d
x

p

q−p

p

q

q−p

||u||

(|
u|

≤

Lp(Ω)

Σq

q

p

q−
p
q

)

Σ

d
x

Σpq
= (mes
Ω)

||u||Lq
(Ω)

< +∞ (1.1)

Ω

Vì Ω b% ch¾n và u ∈ Lq(Ω)
nên

(mes
Ω)

q−p
q

< +∞.

V¾y u ∈ Lp(Ω).
Tù công thúc (1.1) ta suy ra


∫

p

1

p

|u| dx


Ω


q−p



≤ (mes Ω)

q



1

pq

∫

q

|u| dx
Ω


1
∫
q
q−p
q
= (mes Ω) q |u| dx .
Ω

Túc là
||u||Lp(Ω) ≤ (mes
Ω)

q−p
q

.||u|| q

.

(1.2)L

(Ω)

Tù (1.2) chúng to ánh xa j : Lq(Ω) ›→ Lp(Ω) là liên tuc và
q−p
||j|| ≤ (mes Ω)
11
= (mes Ω)
.
q
p −q

Q
1.3.3

Đ%nh lý nhúng cua không gian Wl,p(Ω)

Đ%nh lý 1.2. Cho Ω ⊂ Rn là t¾p b% ch¾n.
Khi đó, ta có các khang đ%nh sau
a) Neu lp < n và
np
l,p
n−pl
Vái q
Vái

q ≤< np , thì W (Ω) nhúng liên tnc vào Lq(Ω),
n−pl
, thì Wl,p(Ω) nhúng hồn tồn liên tnc vào Lq(Ω).


b) Neu lp > n và
l,p
β
Vái β ≤ pl−n
p , thì W (Ω) nhúng liên tnc vào C (Ω),
Vái β < pl−n
, thì Wl,p(Ω) nhúng hồn tồn liên tnc vào Cβ(Ω).
p


1.4
1.4.1

M®t so bat đang thÉc
Bat đang thÉc Young
q

| p
|
+
|ab| ≤
p b|
a|
q ,

Ta có bat đang thúc Young

(1.3)

trong đó p, q ∈ R; p > 0; q > 0 thoa mãn 1 + 1 = 1.
p

q

Nh¾n xét 1.5. i)Khi p = q = 2, bat đang thúc (1.3) chính là bat đang
thúc Cauchy.
1

1

ii)Thay a boi εp a, b boi ε− p b, vói ε > 0. Khi đó (1.3) tro thành
ε|a|
|ab|
≤

p

p

ε− pq |

q

q
p + b|

q
≤ ε|
a|

1.4.2

q

−

+
ε

p

.

|b|

Bat đang thÉc Holder

Vói u ∈ Lp(Ω); v ∈ Lq(Ω) và 1 + 1 = 1, ta có bat đang thúc Holder
p

.



∫

.
.

Ω

.

∫

1

p

∫

Ω

|u| dx

= ||u||p ||u||q .

p = q = 2 bat đang thúc Holder tro thành bat đang



∫
.

1


q

∫

Ω

uvdx. ≤  |u| dx 

Nh¾n xét 1.6. i)Khi
thúc Schwarz
.

q

1

2

∫

∫


2
1

.
Ω

.Ω

uvdx ≤

.

|uv|dx ≤ Ω |u| dx

Ω



|u| dx



= ||u||L2(Ω)||u||L2(Ω).

ii)Trong trưịng hop tőng qt vói m là hàm u1, u2, . . . , um nam trong không
gian Lp1 (Ω), Lp2 (Ω), . . . , Lpm (Ω), bat đang thúc Holder có dang
.∫

p

u1u2 . . . um.dx ≤ ||u||p1 ||u||p2 . . . ||u||pm,

.

Ω

+

p2

p
m

vói 1 1

1

1

+···+

= 1.


1.4.3

Bat đang thÉc Poincare

Gia su Ω là mien b% ch¾n và p ≥ 1. Khi đó, ton tai so c = c(Ω) > 0 sao cho
∫

|u(x)|

Ω

∫

n
Ω

2dx;

dx ≤ c Σj |uxj (x)|

2

=1

vói MQI hàm u(x) ∈ W 1,2 (Ω).
0

1.5
1.5.1

Đ%nh lý Fredholm đoi vái phương trình tuyen tính
Đ%nh nghĩa ánh xa compact

Đ%nh nghĩa 1.10. Cho V1, V2 là hai không gian tuyen tính đ%nh chuan.
Ánh xa T : V1 → V2 đưoc GQI là compact neu T bien các t¾p b% ch¾n trong V1
thành các t¾p tien compact trong V2.
1.5.2

Đ%nh nghĩa ánh xa liên hap

Đ%nh nghĩa 1.11. Cho T là toán tu tuyen tính b% ch¾n trong khơng gian
Hilbert H . Khi đó, ánh xa liên hop T ∗ cũng là tuyen tính b% ch¾n trong H ,

đưoc xác đ%nh boi
(T ∗ y, x) = (y, T x)

vói MQI x, y ∈
H.

Rõ ràng, ||T ∗|| = ||T ||, o đây ||T || = sup
x=0

||T (x)||

.

||x||

Nh¾n xét 1.7. Neu T compact thì T∗ cũng compact.
1.5.3

Đ%nh lý Fredholm trong không gian Banach

Đ%nh lý 1.3. Cho V là khơng gian tuyen tính đ%nh chuan.
T : V → V là ánh xa tuyen tính compact.
Khi đó, neu phương trình
x − Tx = 0

duy nhat nghi¾m, thì vái MQI y ∈ V , phương trình
x − Tx = y

có nghi¾m duy nhat và tốn tu (I − T )−1 là tốn tu b% ch¾n.

Đ%nh lý 1.4. Cho V là khơng gian tuyen tính đ%nh chuan.
T : V → V là ánh xa tuyen tính compact.
Khi đó, t¾p hap các giá tr% riêng cua nó là đem đưac và se khơng có điem tn nào
ngồi λ = 0. Mői giá tr% riêng khác khơng đeu có b®i huu han.
1.5.4

Đ%nh lý Fredholm trong khơng gian Hilbert

Đ%nh lý 1.5. Cho H là không gian Hilbert và T : H → H là ánh xa compact.
Khi đó, ton tai mđt tắp em ac R chỳa vô han các phan tu trù λ = 0,
sao cho neu λ ƒ= 0, λ ∈/ Λ thì các phương trình
λx − T x = y, λx − T ∗ x = y

(1.4)

có nghi¾m duy nhat xác đ%nh x ∈ H vái MQI y ∈ H , và các ánh xa ngưac
(λI − T )−1, (λI − T∗)−1 đeu b% ch¾n.
Neu λ ∈ Λ, khơng gian rőng cua ánh xa λI − T, λI − T ∗ có chieu dương xác đ
%nh và phương trình (1.4) là giai đưac khi và chs khi y trnc giao vái không gian
rőng cua λI − T ∗ trong trưàng hap thú nhat và λI − T trong các trưàng hap
khác.


Chng 2

Bi toỏn Dirichlet cho hắ phng
trỡnh elliptic
2.1
2.1.1

Nghiắm suy rđng cua bài tốn Dirichlet
H¾ phương trình elliptic và bài tốn Dirichlet

a) H¾ phương trình elliptic

Vói x ∈ Ω ⊂ Rn, xét h¾ phương trình dang bao tồn
(x)
u

Lu ≡ ∂
[a

+ A (x)u] + B
(x)u

+ B(x)u =

∂fi

+ f,

(2.1)

∂
xi

ij

xj

i

i

∂x i

xi

o đây, u, fi và f là các hàm vecto N phan tu
 u   f   f 
u12
fii12
f12



u =
;


;
.

uN


fi = 
;f = 
.

.
f
f

i

aij (x) là hàm vơ hưóng : aij (x).uxj = a (x).E.uxj ;
Nij

N

Ai(x), Bi(x), B(x) là các ma tr¾n vng cap N.

Gia su rang các h¾ so aij cna h¾ (2.1) thoa mãn bat đang thúc
λ

n
Σ

n
2
iξ ≤ aij(x)ξiξj ≤ µ

Σ

ξ2 ; λ,µ = nconst > 0,
vói ∀x ∈ Ω; ∀ξi ∈ R .

i,j=1

(2.2)
20


i

i=1

Khi đó h¾ (2.1) là h¾ phương trình elliptic.
b) Bài tốn Dirichlet

Bài tốn Dirichlet đoi vói h¾ phương trình (2.1) là bài tốn tìm hàm vecto

21


Chương 2. Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic

u(x) trong Ω cna h¾ phương trình (2.1) và thoa mãn đieu ki¾n biên

(2.3)

u|S = ϕ|S,

vói ϕ(x) ∈ W 1,2(Ω).
Ta gia su thêm đieu ki¾n
im

im

im

||ai , bi ||Lq (Ω), ||b
q > n.
(2.4)

||L q (Ω) < µ;

Vói MQI hàm fi (x), f (x) và ϕ(x) thoa mãn
||fi ||L2 (Ω) ||f ||L

o đây

2nˆ

(Ω) ,

(2.5)

||ϕ||W 1,2 (Ω) < ∞,

.

n
vói n > 2;
nˆ =
2 + ε vói n = 2; ε > 0.

Các gia thiet fi, f, ϕ là can thiet đoi vói sn ton tai cna nghiắm suy rđng thuđc
W 1,2() cna hắ (2.1).

2.1.2

Nghiắm suy rđng

1.Nghiắm suy rđng cna hắ phng trỡnh elliptic
Hm vecto u(x) ∈ W 1,2 (Ω) đưoc GQI là nghi¾m suy rđng cna hắ (2.1) neu
vúi MQI hm vecto (x) 1,
W (Ω), thoa mãn đang thúc tích phân

∫Σ

02

Σ

(aij uxj + Ai u − fi )ηxi − (Bi uxi + Bu f ) dx = 0. (2.6)



2.Nghiắm suy rđng cna bài toán Dirichlet
Hàm u(x) ∈ W 1,2 (Ω) đưoc GQI l nghiắm suy rđng cna bi toỏn Dirichlet neu
u(x) l nghiắm suy rđng cna hắ phng trỡnh (2.1) v u(x) −ϕ(x)0 ∈ W 1,2(Ω).

2.2
2.2.1

Bat đang thÉc cơ ban thÉ nhat. SE ton tai v duy nhat
cua nghiắm suy rđng
Bat ang thÉc cơ ban thÉ nhat

Xét bài toán (2.1), (2.3) thoa mãn các đieu ki¾n (2.2), (2.4), (2.5). Do hàm
vecto u(x) W 1,2() l nghiắm suy rđng cna hắ (2.1), nên
∫
L(u, η) ≡ Σ.
Σ
Σ
Ω

aij uxj + Ai u ηxi − (Bi uxi + Bu) η
dx = ∫
22

(fi ηxi − f η) dx,


hay,

(2.7)

L(u, η) = (fi, ηxi ) − (f, η),

vói η(x) ∈ W 1,2(Ω) và thoa mãn u(x) − ϕ(x) ∈ W 1,2(Ω).
0

0

Đ¾t

v(x) = u(x) − ϕ(x).

Vói hàm này, tù đang thúc (2.7) ta thu đưoc
(2.8)

L(v, η) = −L(ϕ, η) + (fi, ηxi ) − (f, η),

và tù (2.3) ta có

(2.9)

v|S = 0,

vói v ∈ W 1,2(Ω). Đen đây, thay vì xét hàm u, ta tìm hàm v ∈ W 1,2(Ω) thoa mãn
đang thúc0 (2.8). Tù đó, ta cũng suy ra oc hm u = v + l0 nghiắm suy
rđng cna bài toán (2.1), (2.3).
Xét
l(η) = −L(ϕ, η) + (fi, ηxi ) − (f, η)
(2.10)
là phiem hàm tuyen tính trên W
Bưác 1 Đánh giá |l(η)|.
Ta có

(Ω).

1,2

|l(η)| ≤ |L(ϕ, η)| + .

.
Σ

≤∫

.i

|(f, η)|
|aij ϕxj ηxi | +

Σ

|Ai ϕηxj | +

(fi, ηxi ). +

Σ

.

Σ

|Bi ϕxi η| + |

dx+

(2.11)

Σ

Bϕη|
Ω

Σ

i,
j

i

+

i

|(fi, ηxi )| + |(f, η)|.
i

1,2
Vói u ∈ W 1,2 (Ω), η ∈ W
(Ω) bat kì, cˆ(q, Ω) và c(q, Ω) là các hang so thì
0

||u||L
≥ nˆ

2q

(Ω)

≤ c(q, Ω)||u||W 1,2 (Ω) , q

||η||L 2q (Ω) ≤ c(q, Ω) mes
(Ω)

n

−q



≡ cˆ(q, Ω)||∇η||L2 (Ω) , q
≥ nˆ.

2



(2.12)

Ω||∇η||L

q−
2

M¾t khác, theo bat đang thúc Holder ta có






nˆ+

nˆ

|(fi, ηxi )| −2
≤ ||f||L2(Ω)||∇η||
L2(Ω).

|(f, η)| ≤ ||f ||L

2nˆ

(Ω) ||η||L

2nˆ

(Ω)

(2.13)

nˆ+

≤ cˆ(nˆ, Ω)||f ||L

2nˆ

(Ω) ||∇η||L2 (Ω) ,

Σ


|L(ϕ, η)| ≤

aij ϕxj ηxi dx. + .∫ Ai ϕηxi dx.

.∫

Bi ϕxi ηdx. + .∫ Bϕηdx.

+ .∫

≤µ

.Ω

∫

. .Ω

∫

. .Ω ∫

∫

∇ϕ∇ηdx + µ ϕ∇ηdx + µ ∇ϕηdx + µ ϕηdx

Ω

Ω

Ω



|∇ϕ|

2

∫
1 

+µ
Ω

∫

1
2

|∇η|

dx
Ω

Ω

 q−2 

2
2

≤ µ ∫

.

Ω

1 

1 

. .Ω

dx


+∫ µ


2q

q−2
|ϕ|
2q
dx 


Ω

∫
Ω

q−
2 ∫


2

∫

2

2

|∇η|

2

 q∫



|η| q−2 dx



2



|ϕ| q−2

dx

+

dx +
q −2

2

−2

2

|∇ϕ|
dx

2

|η| q−2 dx

Ω

Ω

≤ µ||∇ϕ||L2(Ω)||∇η||L2(Ω) + µ||ϕ||L 2q (Ω)||∇η||L2(Ω) + µ||η||L 2q (Ω)||∇ϕ||L2(Ω)+
q−2

+µ||ϕ||L

2q

q−
2

q−2

(Ω)||η||L

2q (Ω)
q−2

(2.14)

.

Áp dung (2.12) vào (2.14) ta
đưoc
|L(ϕ, η)| ≤ µ||∇ϕ||LΣ(Ω)||∇η||L (Ω) + µ c(q,
W 1,2(Ω)
Σ2 Ω)||ϕ||
2
2 ||∇η||L (Ω)+
Σ µ c(q, Ω)||ϕ||WΣ 1,2
Σ
+ µΣ cˆ(q, Ω)||∇η||W 1,2Σ(Ω) ||∇ϕ||L2 (Ω) +
(Ω)
1,2 (Ω)

cˆ(q, Ω)||∇η||W

Σ

≤ µ [1 + c(q, Ω) + cˆ(q, Ω) + c(q, Ω)cˆ(q, Ω)] ||ϕ||W 1,2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω)
≤ µ [(1 + c(q, Ω)) (1 + cˆ(q, Ω))] ||ϕ||W 1,2 (Ω) ||∇η||L2 (Ω) . (2.15)

Thay (2.13), (2.15) vào (2.11) ta đưoc
|l(η)| ≤ {µ[(1+c(q, Ω))(1+cˆ(q, Ω))]||ϕ||W 1,2 (Ω) +||f ||L2 (Ω) +cˆ(nˆ, Ω)||f ||L
nˆ+

L2 (Ω)

≡ c(q, Ω, ϕ, f, f )||∇η||L2(Ω).

2nˆ (Ω)

(2.16)

}||∇η||