Hình học phẳng với số phức

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

NGUY€N VĂN CÚ

HÌNH HOC PHANG VéI SO PHÚC
LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC

Hà N®i - 2017


NGUY€N VĂN CÚ

HÌNH HOC PHANG VéI SO PHÚC

Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cap
Mã so: 60.46.01.13

LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC

Ngưài hưáng dan khoa HQC
PGS. TS.NGUY€N HUU ĐI€N

Hà N®i - 2017


ii

Mnc lnc
Danh mnc kí hi¾u

3

Má đau

5

1 Tong quan ve so phúc
7
1.1 Lý do xuat hi¾n so phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.7
1.1.1 L%ch su hình thành và phát trien so phúc . . . . . .
.7
1.1.2 Cách tiep c¾n so phúc . . . . . . . . . . . . . . . . .
.11
1.2 Bieu thúc đai so cua so phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.12
1.2.1 Các khái ni¾m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.12
1.2.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.12
1.2.3 phúc liên hap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.13
1.3 Dang lưang giác cua so phúc . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.3.1 Khái ni¾m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.14
1.3.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.14
1.3.3 Công thúc Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.14
1.3.4 Căn b¾c n cua so phúc . . . . . . . . . . . . . . . . .

.15
2

Cơng thúc so phúc cho hình HQC phang
16
2.1 Đ® đo góc cua hai tia.................................................................16
2.2 Phương trình đưàng thang................................................. 19
2.2.1 Phương trình tőng quát................................................19
2.2.2 Phương trình tham so..................................................20
2.3 Phương trình đưàng trịn.........................................................26
2.3.1 phương trình tőng qt...........................................26
2.3.2 Đưàng trịn đơn v%............................................................27
2.3.3 Giao điem cua hai cát tuyen........................................28
2.3.4 Giao điem cua hai tiep tuyen.......................................28
2.3.5 Chân đưàng vng góc ã dây cung.........................29


iii

2.4

2.5
3

Đưàng thang và đưàng tròn Euler...................................... 30
2.4.1 Nhãn cua nhung điem đ¾c bi¾t trong tam giác...........30
2.4.2 Các đ%nh nghĩa.................................................................. 32
Đưàng thang Simson...............................................................34

Úng dnng phương pháp so phúc giái các bài tốn hình HQC phang

theo chú đe
37
3.1 Bài tốn điem quan h¾ vái đưàng thang, đoan thang.............37
3.2 Bài tốn ve tính chat cua tam giác...........................................44
3.3 Bài toán các đưàng thang đong qui.........................................52
3.4 M®t so bài tốn ve đưàng trịn................................................58
3.5 M®t so bài tốn trong các kì thi..............................................62

Ket lu¾n

67

Tài li¾u tham kháo

68


3

Danh mnc kớ hiắu
arg z

|AB|
i
|z|

Argumen cua so phỳc z
đ di đoan thang AB
Đơn v% ão cua so phúc
Mô đun cua so phúc z

z
So phúc có dang z = a + bi
a, b, c . . . chu cái nhõSo
phúc
là hap
nhãncua
cuaz điem A, B, C . . .
z
So phúc
liên
V(zz0,, zz1,, zz2), z ) Ti soTi kép
so đơn
z0,, z
1 , z2
W
cua cua
z0 , z
( 0
1
2
3
1 z 2 , z3
A B
Véc tơ A B
IMO
Viet tat cua International Mathematical Olympic

ÝÑ

ÝÑ


Li cỏm n
Luắn vn l ket quó cua có mđt quỏ trỡnh HQC tắp v nghiờn cỳu mđt cỏch
nghiờm tỳc. Trong qua trình HQC t¾p và thnc hiên lu¾n văn em ó nhắn ac sn
quan tõm, giỳp ó, đng viờn, cua các thay cơ, các ban đong nghi¾p. Qua đây
em xin gui lài cãm ơn tái nhung ngưài đã giúp đã em. Lài đau tiên cho phép
em xin gui lài cãm ơn sâu sac tái thay giáo hưáng dan PGS.TS.Nguyen Huu
Đien. Thay đã giao đe tài và t¾n tình hưáng dan em trong q trình hồn
thành lu¾n văn này. Nhân d%p này em xin gui lài cám ơn cua mình tái các thay
cơ giáo trong khoa Tốn-Cơ-Tin HQC đã t¾n tình giãng day và giúp đã chúng
em trong suot quá trình HQC t¾p tai khoa và em xin cãm ơn nhung ý kien
đóng góp cua các thay cơ trong h®i seminar đã cho em nhung ý kien hay đe
em hoàn thành lu¾n văn này.
Đong thài, em xin gui lài cãm ơn tái ban giám hi¾u và tő tốn trưàng
THPT My ỳc B ó đng viờn, tao ieu kiắn cho em rat nhieu trong q trình
em tham gia khóa HQC Và hồn thành lu¾n văn này. Em cũng xin cãm ơn các
ban trong láp cao HQC khóa 2015

2017 đã tao ra mđt mụi trng HQC tắp

on ket v giỳp ó h tra nhau trong HQC tắp.
H nđi, ngy

thỏng 12 nm 2017
HQC VIÊN

NGUY€N VĂN CÚ

Má đau
M®t trong nhung thành tnu to lán mang tính bưác ngo¾t cua tốn HQC đó
là phát hi¾n và phát trien so phúc. Đieu đó the hi¾n ã chő l%ch su phát trien so
phúc trãi qua m®t thài gian dài vái rat nhieu nhung quan điem khác nhau cũng
như nhung tranh lu¾n cua các nhà tốn HQC. Tuy nhiên khi so phúc đưac cơng
nh¾n và phát trien nó đã đóng góp rat nhieu nhung thành tnu cho tốn HQC
như: nhà có so phúc đã chúng minh đưac "đ%nh lí cơ bãn" cua đai so, các úng
dnng cua so phúc trong hình HQC, trong v¾t lý . . . .
The nhưng so phỳc lai l mđt khỏi niắm toỏn HQC CềN khá mái me đoi vái
HQC

sinh trung HQC phő thơng hi¾n nay. Bãi hi¾n nay chương trình tốn HQC phő

thơng mái chi a vo v giỏi thiắu ve so phỳc mđt cách rat cơ bãn, túc là chi
mang tính chat giái thiắu mđt so cỏc khỏi niắm c bón cua so phúc và dang đai
so cua so phúc. Tuy nhiên so phúc có the đưac bieu dien dưái nhieu dang như:
dang đai so, dang lưang giác, dang mũ, dang cnc, dang hỡnh HQC

Do ú so

phỳc l mđt cụng cn huu hiắu đe giãi quyet các van đe toán HQC, đong thài nó
cũng có nhung úng dnng trong các lĩnh vnc khoa HQC tn nhiên khác. V¾y mà ã
nưác ta hi¾n nay chưa có nhieu tài li¾u nghiên cúu ve so phúc và các úng dnng
cua nó trong lĩnh vnc tốn sơ cap. Vì v¾y trong lu¾n văn cua mình em xin trình
bày đe tài "HÌNH HOC PHANG VéI SO PHÚC" túc là nghiên cúu úng dnng
so phúc đe giãi các bài tốn hình HQC phang. Thơng qua đe tài này em mong
muon đưac tìm hieu sâu hơn ve úng dnng cua so phúc trong lĩnh vnc hình HQC
phang, qua đây em cũng mong muon các úng dnng cua so phúc se ac tiep
cắn nhieu hn rđng rói hn trong cỏc van đe tốn HQC.

Lu¾n văn đưac chia làm ba chương.
Chương 1 Tong quan ve so phúc. Trong chương này em trình bày l%ch
su phát trien cua so phúc, các kien thúc tőng quan ve so phúc như: các dang so
phúc, các phép tốn so phúc, các tính chat cua so phúc.


Chương 2 Các cơng thúc so phúc cho hình HQC phang. Trong chương này
em trình bày các cơng thúc so phúc cho đưàng thang gom phương trình tőng
quát và phương trình tham so cua đưàng thang, cơng thúc các điem đ¾c bi¾t
cua tam giác (TRQNG tâm, trnc tâm, . . . ), cơng thúc phương trình đưàng
trịn (giao điem cua hai cát tuyen, giao điem cua hai tiep tuyen, . . . ),đưàng
thang Euler, đưàng tròn Euler, đưàng thang Simson . . . .
Chương 3 Úng dnng phương pháp so phúc giái các bài tốn hình HQC
phang theo chú đe. Trong chương này em trình bày van đe úng dnng các cơng
thúc so phúc đe giãi các bài tốn hình HQC phang theo các chu đe: Xét tính chat
cua điem quan h¾ vái đưàng thang, đoan thang; xét tính chat cua các tam giác;
xét tính đong qui cua các đưàng thang; m®t so bài tốn ve đưàng trịn; m®t so
bài tốn trong các kì thi.
Do thài gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc bãn thân cịn han
che và đe tài lu¾n văn mái nên khi làm lu¾n văn khơng tránh khõi nhung han
che và sai sót. Em rat mong nh¾n đưac sn góp ý và nhung ý kien phãn bi¾n cua
q thay cơ và ban ĐQC.
Em xin chân thành cãm ơn!


Chương 1
Tong quan ve so phúc
1.1

Lý do xuat hi¾n so phỳc

Nh ta ó biet quỏ trỡnh mó rđng cỏc tắp hap so. Tù t¾p hap so tn nhiên,

đen t¾p hap so nguyên, đen t¾p hap so huu ti, đen t¾p hap so thnc và t¾p hap
so thnc là t¾p trù m¾t trên trnc so.
2
đ%nh.
Chang
trìnhtaxthay
+1
=ton
0 khơng
cóso
nghi¾m
trên R.che
Tuynhat
nhiên
khi xét
trênhan,
t¾p phương
hap so thnc
van
tai mđt
nhung
han Cõu hừi ắt ra l liắu cú ton tai t¾p hap so nào đe phương trình trên có
nghi¾m.

Q trình nghiên cúu phát trien van đe đó dan đen ket q là xuat hi¾n t¾p
hap so phúc.

1.1.1

L%ch sú hình thành và phát trien so phúc

?

?

?châu Âu sau đêm trưàng trung cő. Các đai lưang ão như 1, b 1, a
+ b 1 L%ch su so phúc bat đau tù the ki XV I. Đó là thài kì phnc hưng cua
tốn HQC Italia "Ngh¾ thu¾t vĩ đai hay là ve các qui tac đai so" (1545)
cua G.Cardano xuat hi¾n đau tiên tù the ki XV I trong các cơng trình
cua các nhà toán HQC
(1501 1576) và "Đai so" (1572) cua R.Bombelli (1526 1572). Nhà toán HQC
Đúc Felix Klein (1849 1925) đã đánh giá cơng trình cua G.Cardano như sau:
"Tác pham q giá đen t®t đinh này đã chúa đnng mam mong cua đai so hi¾n
đai và nó vưat xa tam cua tốn HQC CŐ đai".

?

hi¾u
1 là lài giãi hình thúc cua phương trình x2 + 1 = 0. Xét bieu
?
thúc b 1 Khi giãi phương trình b¾c hai G.Cardano
và Bombelli đã đưa vào
xét kí là nghi¾m hình thúc cua phương trình x2 + b2 = 0. Khi đó bieu thúc
tőng quát
hơn có dang a + b

?

1, b 0 có the xem là nghi¾m hình thúc cua phương trình


(x a)2 + b2 = 0.

?

Ve sau bieu thúc dang a + b
1, b
0 xuat hi¾n trong q trình giãi
phương trình b¾c hai, b¾c ba (cơng thúc Cardano) đưac GQI là đai lưang "ão"
và sau đó đưac ?Gauss GQI là so phúc và thưàng đưac kí hi¾u là a + bi, trong
đó kí hi¾u i :=
1 đưac Euler đưa vào (năm 1777) GQI là đơn v% "ão".

?

dien ra rat ch¾m chap. Ngay tên GQI và kí hi¾u i :=
1 là đơn v% ão
cũng đã Q trình thùa nh¾n so phúc như m®t cơng cn q giá cua tốn HQC
đã gây nên nhieu női băn khoăn, thac mac. Tù đó dan en khung hoóng niem
tin vỡ
ngi
ta van
nú lvỏi
mđt
hiắuthong
trựu tang
món
ngha

i2 =
1.
nú khụng
cú xem
gỡ chung
so kớ
truyen
- mđtthừa
cụng
cn %nh
cua phộp
em.
Mắc
dự
Sn khung hoóng niem tin cng tró nờn sõu sac hn bói viắc chuyen mđt
cỏch thieu cõn nhac v thieu thắn TRQNG mđt so qui tac cua đai so thông thưàng
cho các so phúc đã sãn sinh ra nhung ngh%ch lí khó ch%u. Chang han như ngh
%ch lí sau: ?
Vì i =
1 nên i2 = 1. Nhưng đong thài bang cách su dnng các qui tac
thơng thưàng cua phép tốn khai căn b¾c hai ta lai thu đưac ket quã sau
i =
2

aa b
1

1=

( 1)( 1) =

b

( 1 )2 =

?

1 = 1.

Như v¾y 1 = 1.
Ta nhan manh lai rang h¾ thúc i2 = 1 là đ%nh nghĩa so mái i cho phép ta
đưa vào xét so phúc. Đieu đó có nghĩa rang h¾ thúc đó khơng the chúng minh,
mà nó chi là qui ưác.
Tuy v¾y cũng có ngưài muon chúng minh h¾ thúc đó. Trong cuon
sỏch "Phng phỏp tQA đ" cua mỡnh, viắn s L.S.Pointriagin đã mơ tã lai chúng
minh đó như sau.
Đau tiên ngưài ta lay nua đưàng trịn đưàng kính AB. Tù điem R tùy ý
cua nua đưàng trịn ha đưàng vng góc RS là trung bình nhân giua các đ®
dài cua các đoanAS và SB. Vì nói đen đ® dài nên se khơng sai sót lán khi nói
rang bình phương đoan RS bang tích các đoan thangAS và BS. Bây già, trã ve
vái m¾t
phang phúc, kí hi¾u điem 1 là A, điem +1 là B và điem i là R. Khi đó S se là
điem 0. Tác giã cua phép chúng minh đã l¾p lu¾n như sau:

Đoan thang RS là i, đoan thang AS là 1 và SB là +1. Như v¾y theo đ%nh


lí vùa nhac lai ã trên ta có
i2 = ( 1)(+1) = 1.
L%ch su toán HQC CŨNG ghi lai rang Cardano cũng đã nhac đen nghi¾m

"

phúc, nhưng lai GQI chúng là nghi¾m "ngny bi¾n". Chang han khi giãi h¾
phương trình.

x + y = 10
xy

?= 50

Cardano đã tìm đưac nghi¾m 5
5 và ơng đã GQI nghi¾m này là "âm
thuan túy" và th¾m chí cịn GQI là "nghi¾m âm ngny bi¾n".
Có le tên "ão" là di sãn vĩnh cuu cua "m®t thài ngây thơ đáng trân TRQNG
cua so HQC".
Th¾m chí đoi vái nhieu nhà bác HQC lán the ki XV I I I bãn chat đai so và
bãn chat hình HQC CUA các đai lưang ão khơng đưac hình dung m®t cách rõ
ràng mà cịn đay bí an. Chang han, l%ch su cũng ghi lai rang I.Newton đã
khơng thùa nh¾n cái đai lưang ão và khơng xem các đai lưang ão thu®c vào
các khái ni¾m so, cịn G.Leibniz thì thot lên rang "Các đai lưang ão - đó là nơi
an náu đep đe huyen di¾u đoi vái tinh than cua đang toi cao, đó dưàng như là
m®t giong lưãng cư song ã mđt chon no ú giua cỏi cú thắt v cỏi khơng có
th¾t".
chính
là nhà
trong
(1572
) ơng
đã đ%nh

Ngưài
đautốn
tiên HQC
nhìnItalia
thayR.Bombelli,
lai ích do đưa
socuon
phúc"Đai
vào so"
tốn
HQC mang
lai nghĩa các phép tính so HQC trên các đai lưang ão và do đó ơng đã sáng tao
nên
lý thuyet các so "ão".
Thu¾t ngu so phúc đưac dùng đau tiên bãi K.Gauss (năm 1831). Vào
the ki XV I I

XV I I I nhieu nhà toán HQC khác cũng đã nghiên cúu các tính

chat cua đai lưang ão (so phúc) và khão sát các úng dnng cua chúng. Chang
han,
Euler
1783()1667
đã mã 1754
r®ng )khái
logarit
so phúc
batgiãi
kì
(1738()1707

, cịn A.Moivre
nhà ni¾m
tốn HQC
Anhcho
nghiên
cúu và
các bài tốn căn b¾c tn nhiên đoi vái so phúc (1736).
C.Wessel (1745 1818)đưa ra sn minh HQA hình HQC Ve so phúc và các
phép toán Sn nghi ngà vái so ão (so phúc) chi tiêu tan khi nhà toán HQC ngưài
Nauy là trên chúng trong cơng trình cơng bo năm 1799. Đơi khi phép bieu
dien minh HQA
Thny
Sy so
R.Argand
(1768
- ngưài
thuđeđưac
ket quã
cua
C.Wessel
phúc cũng
đưac GQI1822
là sơ) o
"Argand"
ghi nhắn
cụngnh
lao cua
nh toỏn HQC mđt cỏch đc lắp.

thnc có thú tn ( a; b), a P R, b P R đưac xây dnng bãi nhà toán HQC
Ailen là Lý thuyet thuan túy so HQC đoi vái các so phúc vái tư cách là các c¾p
so W.Hamilton (1936 2000). e đây đơn v% ão i chi đơn giãn là c¾p so thnc
có thú
tn - c¾p (0; 1), túc n v% óo ac lớ giói mđt cỏch hiắn thnc.
Cho đen the ki XIX Gauss mái thành cơng trong vi¾c luắn chỳng mđt cỏch
vung chac khỏi niắm so phỳc. Tờn tuői cua Gauss cũng gan lien vái phép
chúng minh chính xác đau tiên đoi vái "đ%nh lí cơ bãn" cua đai so - khang đ
%nh rang trong trưàng so phúc C MQI phương trình đa thúc đeu có nghi¾m.
Bãn chat đai so cua so phúc the hi¾n ã chő so phúc là phan tu cua trưàng
mã r®ng (đai so) C cua trưàng so thnc R thu đưac bang phép ghép đai so cho
R nghi¾m i cua phương trình
x2 + 1 = 0.
Vái "đ%nh lí cơ bãn" cua đai so, Gauss đã chúng minh đưac trưàng C là
trưàng đóng đai so. Đieu đó có nghĩa là khi xét các nghi¾m cua phương trình
đai so trong trưàng này ta khơng thu đưac thêm so mái. Đương nhiên trưàng so
thnc R (và do đó cã trưàng so huu ti Q) khơng có tính chat đóng đai so. Chang
han phương trình h¾ so thnc có the khơng có nghi¾m thnc.
Nhìn lai hơn 2500 năm tù thài Pythagor tái già, con đưàng phát trien
khái ni¾m ve so có the tóm tat bãi thú tn các t¾p hap so như sau
N

ÝĐ Z ÝĐ Q ÝĐ R ÝĐ C.

Vái các quan h¾ bao hàm thúc là
N

€ Z € Q € R € C.

Bang các ket quã sâu sac trong các cơng trình nghiên cúu cua các nhà tốn

HQC

như: K.Weierstrass, G.Frobenius, B.Peiree ngưài ta mái nh¾n ra rang MQI

co gang mó rđng tắp hap so phỳc theo con đưàng trên đeu khơng có ket q
khã quan. K.Weierstrass đã chúng minh t¾p hap so phúc C khơng the mã rđng
thnh tắp hap rđng hn bang cỏch ghộp thờm so mỏi, e trong tắp hap so
rđng hn van bóo ton MQI phép tính và MQI qui lu¾t cua các phép tốn đã
đúng trong t¾p hap so phúc.
Nhìn lai l%ch su lâu dài cua sn phát trien khái ni¾m so ta thay rang cú mői
khi đưa vào nhung so mái các nhà toán HQC CŨNG đong thài đưa vào các qui tac


thnc hi¾n các phép tốn trên chúng. Đong thài vái đieu đó các nhà tốn HQC
ln ln co gang bão tồn các qui lu¾t so HQC CƠ bãn như: lu¾t giao hoỏn cua
phộp cđng v phộp nhõn, luắt ket hap và lu¾t phân bo, lu¾t sap xep tuyen tính
cua các t¾p hap so. Tuy nhiên sn bão tồn đó khơng phãi khi nào cũng thnc
hi¾n đưac, ví dn như khi xây dnng trưàng so phúc ngưài ta khơng bão tồn
đưac lu¾t sap xep tuyen tính von có trong trưàng so thnc.
ỳc
(1823
) ótrỡnh
viet phỏt
"Thang
óniắm
tao raso,sonh
tn
nhiờn,
cũn L.Kronecker
tat Tng ket l%ch

su ton1891
bđ quỏ
trien đe
khái
tốn HQC cã các t¾p hap so cịn lai đeu là cơng trình sáng tao cua con ngưài"
trong đó có
so phúc.

1.1.2

Cách tiep c¾n so phúc
Có nhieu cách tiep c¾n so phúc, tuy nhiên ã đây ta CHQN cách đ%nh nghĩa

so phúc theo tiên đe và minh HQA trên cơ sã hình ãnh hình HQC.
Như ta đã biet bieu dien hình HQC CUA so thnc là đưàng thang có hưáng và
GQI

là trnc so. Ta xét trong m¾t phang có gan h¾ trnc tQA đ Decard vuụng gúc.

Khi ú ta kớ hiắu c¾p so thnc có thú tn (a; b) tương úng vỏi mđt iem Z trờn mắt
phang.
trờn Vắy
mắt nờn
phang
vmắt
tắp phang
hap cỏccúcắp
quan
hắ mđt
mđt.Tỳc

l
mi iem
trờn
gansohắ( a;
tQAb)đlcho
trỏc.
Thỡ -tắp
hap cỏc
iem dang tng quỏt a + bi, trong đó a, b P R. Như v¾y mői so phúc đưac
xác đ%nh trên m¾t phang tương úng vái mđt cắp so thnc. M mi so phỳc ac
viet dỏi
bói mđt cắp so thnc (a; b). Tự ú suy ra t¾p hap các so phúc và t¾p hap các điem
trên mắt phang l quan hắ mđt - mđt. Trờn c só ú ta xõy dnng mđt tắp hap
nhung so phỳc z = a + bi quan hắ mđt - mđt vái điem Z(a; b) trên m¾t phang.
Vái mnc đích là đưa vào đ%nh nghĩa các phép tốn trên các c¾p so thnc sao
cho các đ%nh lu¾t cua đai so van cịn đúng như trong t¾p hap so thnc. Chúng ta
ba tiên đe sau
1.
c¾pcho
so z
1 = ( a 1 ; b1 ) và z2 = ( a 2 ; b2 ) bang nhau neu a1 = a2 và b1 =
b .Hai
2.Neu
hai
c¾p so z = (a ; b ) và z = (a ; b ) thì tőng cua chúng

CHQN
2

1

1

1

2

2

2

z = z1 + z2 là c¾p so z = (a; b) trong đó a = a1 + a2, b = b1 + b2.


3.Neu cho hai c¾p so z1 = (a1; b1) và z2 = (a2; b2) thì tích cua chúng z = z1z2
là c¾p so z = (a; b) trong đó a = a1a2 b1b2, b = a1b2 + a2b1.
T¾p hap tat cã các c¾p so thnc thõa mãn các tiên đe ã trên đưac GQI là t¾p
hap so phúc.
Các trưàng hap đ¾c bi¾t.
1.Nhung điem nam trên trnc hồnh cua h¾ trnc tQA đ® có dang ( a; 0), a
R. Khi đó ta có

P

Tőng (a1; 0) + (a2; 0) = (a1 + a2; 0).
Tích (a1; 0)(a2; 0) = (a1a2; 0).
V¾y ta có the đong nhat các điem trên trnc hoành vái so thnc. Túc là đáng
le phãi viet (a; 0) ta chi viet là a.
2.Xét
(0; bình

1) taphương
có z2 =bang
(0; 1m®t
)(0;so1)thnc.
= ( So1;đó
0)đưac
= 1.
Tỳc l ton tai
mđt zso=
phỳc
GQI l n v% óo,
kớ hiắu
l i và i = (0; 1).

1.2

1.2.1

Bieu thúc đai so cúa so phỳc
Cỏc khỏi niắm

MđtKhi
so phỳc
so phỳc.
ú z viet dỏi dang z = a + bi đưac GQI là dang đai so cua
So
thnc
đưac
GQI là phan thnc, kí hi¾u là a =
Rez.

So athnc
b đưac
GQI là phan ão, kí hi¾u là b =
Imz.
Ví dn 1.1. Trong so phnc z = 2 3i có phan thnc Rez = 2, phan ão Imz = 3
M¾t phang chỳa ton bđ so phỳc ac GQI l mắt phang phỳc. Trnc honh
cua hắ trnc tQA đ trong mắt phang phúc GQI là trnc thnc (chúa tồn b® so
thnc). Trnc tung GQI là trnc ão (chúa tồn b® so thuan ão).

1.2.2

Các phép tốn
Phép c®ng

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.


Phép trù

(a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i.

Phép
nhân

(a + bi)(c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

Phép chia

a + bi = (a + bi)(c di) = ac + bd + bc ad i.
c + di (c + di)(c di) c2 + d2 c2 + d2

Ví dn 1.2. cho hai so phnc z1 = 1 + 2i, z2 = 2 3i. Khi đó
phép
1 + z2 = (1 + 2i) + (2 3i) = (1 + 2) + (2 3)i =
3 i.c®ng
phép ztrn=z z=
z z = (1 + 2i) (2 3i) = (1 2) + (2 + 3)i =
1 + 5i. phép nhân 1 2
z = z1z2 = (1 + 2i)(2 3i) = (1.2 2( 3)) + (2.2 + 1( 3))i = 7 + i.
z1
z2

phép chia z

1.2.3

=

=

1 + 2i
2

(1 + 2i)(2 + 3i) 1
?=
=
3i
(2 3i)(2 + 3i)

8
13

+

?

13

.

phúc liên hap

Đ%nh
nghĩa 1.1.
Cho z.
soKí
phúc
z z==a a+ bi.
liên hap
phúc
hi¾u
bi.So phúc a
Cáccua
tínhsochat
đoi vái
so
phúc
liên hap.
1. z + z =
2Rez. 2. zz =
z| .

bi đưac GQI là so phúc

|

2

3. z1z2 = z1.z2.
4. z1 + z2 = z1 + z2.
z1
z1
5. (
)= .
z2
z2
Tóm
lai
f (zso
1, z 2, ..., z n ) là hàm huu ti vái h¾ so thnc. Vái z 1, z2, ..., zn là
nhung bien
phúc bat kì sao cho f (z1, z2, ..., zn) có nghĩa.
Khi đó ta có f (z1, z2, ..., zn) = f (z1, z2, ..., zn).

Nhắn xột 1.1.

1.Mđt so phúc z là so thnc khi và chi khi z = z.

2. Neu z = z thì Rez = 0 khi đó z là so thuan ão.

1.3

Dang lưang giác cúa so phúc

1.3.1

Khái ni¾m
Trên m¾t phang cho hắ tQA đ vuụng gúc v iem Z bieu dien so phúc

z = a + bi

ÝÝÑZ (vái điem O là goc tQA đ®) có.
ÝÝĐX; ÝĐZ).
ϕ = (O

0. Khi đó véc tơ O

ÝÝĐZ

r = |z| = O

Khi đó z = r (cos ϕ + i sin ϕ) đưac GQI là dang lưang giác cua so
phúc z. Trong đó r = |z| GQI là mô đun cua z,
ϕ GQI là argumen
cua z
Neu z1 và z2 bang nhau thì modun cua chúng bang nhau và argumen cua
chúng khác nhau m®t so nguyên lan 2π.

1.3.2

Các phép toán

1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1) và z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), ta có các
phép Cho
tốn zsau

1. Tích cua hai so phúc z = z1z2 = r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)).

¸

¸

n

n

Bang quy nap ta có z = z1z2...zn = r1r2...rn(cos ϕi + i sin
k=

k=

1

1

ϕ i) .

Trong đó zk = rk(cos ϕk + i sin ϕk).
2. Thương

cua hai so phúc z =

z1
Ví dn 1.3. Cho hai so phnc z1 =

=

r1

(cos(ϕ1 ϕ2) + i sin(ϕ1 ϕ2)).

r2
π
π
3(cos + i sin ), z2 =
3
3

?z

2

?

2(cos
4

π

Khi đó tích là

z = z 1 z2 =

? ?

?
3
π
2 = ? (cos(
π

z1
z

1.3.3

π

).

?
π
π
π
π
7π
7π
3 2(cos( + ) + i sin( + )) = 6(cos
+ i sin
).
3 4

3 4
12
12

b

Và thương là
z

+ i sin
4

2

3 4

π
) + i sin(

π
3 4
=

))

3
2

π

(cos

12

).

12

π
+ i sin

Công thúc Moivre
Cho so phúc z có dang lưang giác z = r(cos ϕ + i sin ϕ).

Áp dnng tích cua các so phúc ta đưac zn = rn(cos nϕ + i sin nϕ).


Ví dn 1.4. Cho so phnc z =

?

z4 = ( 2)4(cos 4

z

10

?

?

π

2(cos π + i sin π ). Khi đó
4

π

4

+ i sin 4 ) = 4(cos π + i sin π) = 4.
4
4

= ( 2)10(cos 10
4

π

+ i sin 10
4

π

) = 32(cos
2

5π

+ i sin

5π

) = 32i.

2

Căn b¾c n cúa so phúc

1.3.4

Cho so phúc z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi đó z có n căn b¾c n là các so phúc

zk =

?

n

r (cos

ϕ + k2 π

+ i sin

ϕ + k 2π

), vái k = 0, 1, 2, . . . , n

1.

n
n
π
Ví dn 1.5. Cho so phnc z = 8(cos + i sin π ). Khi đó z có ba giá tr% căn b¾c ba là

?

6

3

z
8

π

cos

6
π

+ 2kπ

+ 2kπ

i
Cn the

z1 =

(

3

8

3

=

=

(

sin

3

6

3

) vái k = 0, 1, 2.

+

π

π

2(cos + i sin ).
18
π
+ 2π
18 2 cos
313π
i sin π

(cos + i sin 6 )
6

=
3π +
2π
cos
6 3

3

4π
cos

=

6

π

?

(
z
8

3

?
?

z
8
2

k

+
π
+

6 3

+

6

25π
i sin π

)=

(3
+ 4π

6

3

(

)=

18

i sin

+

2 cos

18
i sin

18

+

13π

)

25π

18

.

)

.


Chương 2
Cơng thúc so phúc cho hình HQC phang
2.1

Đ® đo góc cúa hai tia

So phúc
ÝÝĐZz == (aa;+bbi). GQI là nhãn cua điem Z(a; b) trên m¾t phang phúc.
Túc là O

{

Theo hình ve (2.1) tính góc α = Z OZ ta có
z2
21
α = argz2 argz1 = arg 1 .
Đ¾c bi¾t neu Z1, Z2 xuat zphát tù Z0 ta có
z
z0

α = arg(2z1
z0 )
arg
z0 ) = arg
1 ( z1
z1 z0
1

1

1

1

Ý ÝÝ Ñ

2

.

ÝÝ Ý Đ

Tőng qt, đe đo đ® đo góc theo hưáng dương
cua hai véc tơ Z 1 Z 2 và U
1 U 2
vái nhãn tai các
điem tương úng là z1, z2, u1, u2 ta can phãi
quay véc tơ Z 1 Z 2 đi m®t góc φ theo
chieu dương. Túc
là

Ý ÝÝ Đ

z2 z1

|z

2

z1|

(cos φ + i sin φ) =
u1

|u

2

u2
u1 |

Hình 2.1:


$

&

p

cos φ =

cos + i sin =

p+

ðñ

u1

φ
φ

u2

z2

|u2 u1|
: |z2 z1| =: p
z1


'%
$'&
ðñ
'%
ð
ñ

sin φ =

2
p+

p
2i
(z2 z1)(u2 u1) + (u2 u1)(z2 z1)
cos =
2 z z u u
φ
(z2 z1)(u2 u| 12) + (1u| 2| u21)(z2 z1)
sin =
.
2 |z2 z1| |u2 u1|
φ

(2.1)


Ý Ý ÝZÑ

Tù (2.1) suy ra véc tơ Z
chi khi cos φ = 0. Túc là

2,

1

U

ÝÝÝ Đ
1

vng góc vái nhau khi và

2

Ý Ý(z ÝzZÑ)(u, UuÝÝÝ
) + (uÝÑu )(z z ) = 0.
U
cùng phương hay hai đưàng thang Z Z ,

Và1 Uvéc
tơ Z
U
2 song

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

2

song vái nhau khi và chi khi sin φ = 0. Túc
là

(z2 z1)(u2 u1) = (u2 u1)(z2 z1).
Tù đó ta thu đưac các m¾nh đe sau.
M¾nh đe 2.1. Đieu ki¾n can và đu đe hai đưàng thang Z1Z2 và U1U2 vng góc vái
nhau là nhãn tương nng cua chúng thõa mãn công thnc

(z2 z1)(u2 u1) + (u2 u1)(z2 z1) = 0
(2.2)
M¾nh đe 2.2. Hai đưàng thang phân bi¾t Z1Z2 và U1U2 song song vái nhau khi và
chi khi nhãn tương nng cua chúng thõa mãn cơng thnc
(z 2
Nh¾n xét 2.1. Kí hi¾u

z1)(u2

=

u 1 ) = (u2

u1)(z2

z1)

(2.3)

z2 z0
GQI là tí so đơn cua các so phúc z2 , z1 , z0
z1 z0

V(z2,z1,z0)
Suy ra argumen cua V(z2 ,z1 ,z0 ) chính là góc đ%nh hưáng giua

ÝZÝ ÝZĐ

ÝZÝ ÝZĐ
0

0
2.
Do đó ta có ket q cua m¾nh đe sau
M¾nh đe 2.3. Đieu ki¾n can và đu đe các điem Z2, Z1, Z0 thang hàng là

arg(V(z2 ,z1 ,z0 ) ) P t0, π u. Tnc là V(z2 ,z1 ,z0 ) P R.

Ví dn 2.1. Trên các canh AB, BC, CD, DA cua tn giác ABCD ta dnng các hình vng
tâm O1,2 , O3, O4 tương nng nam phía ngồi cua tn giác đó. Chnng minh rang.
a) O1O3

KO O .
2

4

b) O1O3 = O2O4.
Lài giãi.
Xét bi toỏn trong hắ tQA đ vuụng gúc.
Ta kớ hiắu chu cái thưàng là nhãn cua các điem
tương úng vái chu cái in hoa.
0
quay tâm
và góc
. Khi
nhãnBcua
điemquay
M làθm== 90
b +
(a bđó
)i.
Xét a) Xét điem M là ãnh cua điem A
qua phép
tương tn như trên ta thu đưac nhãn cua

1

và


các điem tương úng là

Hình 2.2:


n = c + (b c)i, p = d + (c d)i, q = a + (d a)i.
Tù đó ta có nhãn các điem O1, O2, O3, O4 tương úng là
1
a+m
a + b + ( a b)i 2 b + n
b + c + (b c )i
=
=
=
o = 2
,o
.
2
2
2
3
c+p
c + d2 + (c d)i
4
d+q+
2 (d q )i .
=

o = 2
,o =
o3
c + d a b + (c d a
b)i a + d b c + (d a b
Tù đó ta có
=+
+ c)i
o1
= i. Suy ra
o4

o2
o3
arg o4

V¾y nên O1O3KO2O4.
o34 o
o
o21

o1
π
o2 = arg( i) = 2.

b) M¾t khác
= | i| = 1.
V¾y suy ra O1O3 = O2O4.
Ví dn 2.2. Cho hình vng ABCD. GQI I là trung điem cua CD, điem H nam trên
đưàng chéo AC sao cho |HC| = 3 |AH|. Chnng minh rang OBHI vng cân tai H.

Lài giãi.
CHQN h¾ tQA đ® vng góc sao cho A là điem
goc và véc tơ A B là véc tơ đơn v% cua trnc
hồnh.
Khi đó nhãn cua các điem A, B, C, D lan lưat là

ÝÑ

a = 0, b = 1, c = 1 + i, d = i.
Do I là trung điem cua CD nên nó có nhãn là
1
1
j
= (c + d) = (1 + 2i).
2
2
Tù giã thiet ta suy ra A
H = 1 A C. Nên điem H

Ý ÝĐ

ÝĐ

4

có nhãn là h =
c

4
1

=

1
4

Hình 2.3:

(1 i ) .

1

1

+

(1 + 3i)(3 + i)
= i. Suy ra
(1 + 2i) (1 + i)
=
2
4
j h
1
Xét V(j,b,h) = b h =
1
(1 + i )
(3 i)(3 + i)
π
4 0

argV( j,b,h) = argi = 2 . Do đó B
H I = 90 (*).
jh
b h
M¾t khác
= |i| =
Suy
ra cân
H 1. Nên ta đưac | BH | = | HI | .
BIH
tai
O
Tù (*) và (**) suy ra O(**).
BHI vuông, cân tai H.

z


2.2
2.2.1

Phương trình đưàng thang
Phương trình tong qt

Theo m¾nh đe (2.3) đieu ki¾n can và đu đe ba điem Z0, Z1, Z2 thang hàng
là ti so đơn V(z0,z1,z2) P R.
Theo tính chat cua so phúc ta có
V(z0,z1,z

P R ðđ

=

2)

V(z0,z1,z2)

V(z0,z1,z2)

ð
đ

z0
z2
z1
z2

z0 z2
= z1 z2 .

Tù đó ta suy ra, m®t đưàng thang đi qua hai điem Z1 và Z2 là t¾p hap các điem
Z có nhãn thõa mãn
z z2
z z2
z1 z2
= z1 z2.
Hay (z1 z2)z (z1 z2)z + (z1z2 z1z2) = 0 (1).
Vì nhãn cua tat cã các điem trên đưàng thang Z1Z2 đeu thõa mãn đang
thúc (1) nên ta GQI đó là phương trình đưàng thang.
Ngưac lai, MQI phương trình có dang trờn eu bieu dien mđt ng thang

trờn mắt phang.
Mắnh e 2.4. ieu kiắn can v u e iem Z thuđc đưàng thang Z1Z2 là nhãn cua
chúng thõa mãn phương trình
Bz

Bz + C = 0

(B

0)

(2.4)

Trong đó B = z1 z2 và C = z1z2 z1z2. Vì C = C nên C là so thuan ão.
Phương trình (2.4) đưac GQI là phương trình tong quát cua đưàng thang
đi qua hai điem Z1 và Z2.

Ví dn 2.3. Cho hai điem A, B có nhãn lan lưat là a = 2 + 3i, b = 1 + 2i.
a) Viet phương trình tőng quát cua đưàng thang AB.
b) Kiem
tra thang
các điem
có nhãn tương nng là m = 4 + 5i, n = 3 2i có thu®c
đưàng
ABM,
hayNkhơng.