Luận văn thạc sĩ về những bài toán tổ hợp và xác suất

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

LU¾N VĂN THAC SĨ

“VE NHUNG BÀI TỐN TO HeP
VÀ XÁC SUAT”

HOC VIÊN: NGUYEN THANH TÂN
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP
MÃ SO: 60460113
CÁN B® HƯéNG DAN: PGS. TS. NGUYEN MINH TUAN

HÀ N®I - 2015


Lài cam ơn
Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn chi bao và hưóng dan cna PGS. TS.
Nguyen Minh Tuan. Thay đã dành nhieu thịi gian hưóng dan và giai đáp các
thac mac cna tơi trong suot q trình làm lu¾n văn. Tù t¾n đáy lịng em xin
bày to sn biet ơn sâu sac đen thay.
M¾c dù đã rat nghiêm túc trong q trình tìm tịi, nghiên cúu nhưng chac
chan n®i dung đưoc trình bày trong lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu
sót. Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp cna q thay cơ và các ban đe
lu¾n văn cna em oc hon thiắn hn.
H Nđi, thỏng 3 nm
2015 Tỏc gia

Nguyen Thanh Tân

Mnc lnc
Ma đau...........................................................................................................3
Chương 1: NhEng bài toán đem

4

1.1 Cơ
so
1.1.1

lý thuyet tő hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Quy tac c®ng và quy tac nhân . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2
1.1.3

Giai thùa và hoán v% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chinh hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5

1.1.4
1.1.5

Tő hop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chinh hop có l¾p, hốn v% có l¾p và tő hop có 6
l¾p . . . . .
1.2 Các dang toán đem..........................................................................7
1.2.1 Các phương pháp đem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các bài toán đem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 2: NhEng bài toán ve xác suat

7
9
23

2.1 Cơ so lý thuyet xác suat.................................................................23
2.1.1
2.1.2
2.1.3

M®t so đ%nh nghĩa cơ ban cna xác suat

. . . . . . . . . . 23
.
Quan h¾ giua các bien co. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Các cơng thúc tính xác suat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 M®t so
bài toán xác suat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1
Tính xác suat bang đ%nh nghĩa cő đien
. . . . . . . . . . 31
.

2.2.2 Tính xác suat bang cơng thúc c®ng và nhân xác suat . . . 37
2.2.3

Tính xác suat bang cơng thúc xác suat có đieu ki¾n . . . 44
.
2.2.4 Tính xác suat bang cơng thúc xác suat đay đn và Bayes . 48
2.2.5
Tính xác suat bang công thúc Becnoulli . . . . . . . . . . . 57
2.2.6 Tính xác suat bang đ%nh nghĩa hình HQc . . . . . . . . . . 62
.
2.2.7
Các bài toán ve bien ngau nhiên ròi rac . . . . . . . . . . . 67
Ket lu¾n .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


Tài li¾u tham khao.....................................................................................73

3


Ma đau
Tő hop và xác suat là m®t trong nhung lĩnh vnc tốn HQc đưoc nghiên cúu
tù khá sóm, nó đã đưoc khai thác và úng dung rat nhieu vào trong địi song san
xuat. Hi¾n nay trong giáo duc phő thơng, tő hop và xác suat là m®t trong nhung
n®i dung quan TRQNG, nó thưịng xun xuat hi¾n trong các đe thi đai HQc, cao
đang, th¾m chí là các kỳ thi HQc sinh gioi quoc gia và quoc te. M¾c dự nđi dung
khụng khú nhng hQc sinh thũng xuyờn gắp khó khăn khi giai quyet các bài
tốn này, nhat là các bài tốn liên quan đen xác suat.
Lu¾n văn này chn yeu t¾p trung vào các dang tốn xác suat, tù đó giúp HQc

sinh có cách nhìn nh¾n sâu sac hơn ve các bài toán liên quan đen xác suat. Lu¾n
văn đưoc chia thành hai chương
Chương 1. Nhung bài tốn ve tő hop.
Chương 2. Nhung bài toán ve xác
suat.
Tat ca các bài tốn tő hop trong chương 1 chính là nen móng đe xây dnng và
giai quyet m®t so bài toán xác suat trong chương 2. Hy vQNG đây se l mđt ti
liắu huu ớch trong giang day cng nh HQc t¾p cna thay, cơ và các em HQc sinh.


Chương 1
NhEng bài toán đem
Chương này ta se nhac lai mđt so lý thuyet ve tắp hop cng nh lý
thuyet cơ ban cna tő hop như hoán v%, chinh hop, t hop, mđt so nguyờn lý
em v cỏc bi tắp có liên quan trong chương trình phő thơng.

1.1
1.1.1

Cơ sa lý thuyet to hap
Quy tac c®ng và quy tac nhân

1. Quy tac cđng
Gia su mđt cụng viắc cú the thnc hiắn theo phương án A ho¾c phương án
B , trong đó có n cách thnc hi¾n phương án A, m cách thnc hi¾n phương

án B. Khi đó cơng vi¾c có the đưoc thnc hi¾n boi n + m cách.
Tőng quát, gia su mụt cụng viắc cú the thnc hiắn theo mđt trong k
phương án A1, A2, . . . , Ak, trong đó có n1 cách thnc hi¾n phương án A1, n2
cách thnc hi¾n phương án A2 , . . ., nk cách thnc hi¾n phương án Ak . Khi

đó cơng vi¾c có the đưoc thnc hi¾n boi n1 + n2 + · · · + nk cách.
Bieu dien dưói dang t¾p hop. So phan tu cna t¾p huu han A đưoc kí hi¾u là |
A|.

Neu A1, A2, . . . , An l n tắp huu han, tựng ụi mđt khơng giao nhau thì
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| = |A1| + |A2| + · · · + |An|
n

hay

n

.
[
k=1

Σk |Ak|.
=1

.

Ak .
=
4


2. Quy tac nhân
Gia su cơng vi¾c nào đó bao gom hai cơng đoan A và B , trong đó cơng đoan A
có the làm theo n cách, cơng đoan B có the làm theo m cách. Khi đó cơng
vi¾c có the thnc hi¾n theo nm cách.

Tőng qt, gia su mđt cụng viắc no ú bao gom k cụng oan A1, A2, . . . ,
Ak, ơng đoan A1 có the thnc hi¾n theo n1 cách, cơng đoan A2 có the thnc
hi¾n theo n2 cách, cơng đoan A3 có the thnc hi¾n theo n3 cách, . . ., cơng
đoan Ak có the thnc hi¾n theo nk cách. Khi đó cơng vi¾c có the thnc hi¾n
theo n1n2 . . . nk cách.
Bieu dien dưói dang t¾p hop.
Neu A1, A2, . . . , An là n t¾p huu han vói |Ak| = mk (k = 1, 2, . . . , n). Khi đó
n
Y

|A1 × A2 × · · · × An| = m1 × m2 × · · · × mn =

mk.

k=1

1.1.2

Giai thÈa và hoán v%

1. Giai thÈa
Đ%nh nghĩa 1. n giai thùa, kí hi¾u là n! là tích cna n so tn nhiên liên tiep
tù 1 đen n.
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · (n), n ∈ N∗.

Quy ưóc 0! = 1, 1! = 1.
2. Hốn v%
Đ%nh nghĩa 2. Cho t¾p hop A gom n phan tu (n ≥ 1). M®t cách sap thú tn
n

phan tu cna t¾p hop A đưoc gQI l mđt hoỏn v% cna n phan tu ú.
Kớ hiắu Pn là so các hoán v% cna n phan tu
Pn = n! = 1 · 2 · · · (n − 1)n.

1.1.3

Chinh hap

Đ%nh nghĩa 3. Cho t¾p hop A gom n phan tu (n ≥ 1). Ket qua cna vi¾c lay
k phan tu khác nhau tù n phan tu cna tắp hop A v sap xep chỳng theo mđt
thỳ tn no ú oc GQI l mđt chinh hop chắp k cna n phan tu đã cho.


Cơng
thúc

Ak =

n!

n

= n(n − 1)(n − k + 1) (vói 1 ≤ k ≤ n).

(n − k)!

Chú ý. M®t chinh hop chắp n cna n phan tu l mđt hoỏn v% cna n phan tu
Ann = Pn = n!.

1.1.4

To hap

Đ%nh nghĩa 4. Gia su t¾p A gom n phan tu n ≥ 1. Moi t¾p con gom k
phan tu cna A oc GQi l mđt t hop chắp k cna n phan tu đã cho (1 ≤ k ≤
n).

Kí hi¾u Cnk (1 ≤ k ≤ n) là so các tő hop ch¾p k cna n phan
tu. Cơng thúc
Ck =
n

n!

.
k!(n − k)!

Chú ý. Cn0 = 1
Ckn = Cn−k
n ( 0 ≤ k ≤ n)
C k + Ck+1 = Ck+1 (1 ≤ k ≤ n).
n

1.1.5

n

n+
1

Chinh hap có l¾p, hốn v% có l¾p và to hap có l¾p

1. Chinh hap có l¾p
Đ%nh nghĩa 5. Gia su t¾p A gom n phan tu (n ≥ 1). Moi dãy có đ® dài k
các phan tu cna A, mà moi phan tu có the l¾p lai nhieu lan và đưoc sap xep
theo m®t thú tn nhat %nh oc GQI l mđt chinh hop lắp chắp k cna n phan
tu.
Chú ý. So các chinh hop l¾p ch¾p k cna n phan tu là nk.
2. Hốn v% l¾p
Đ%nh nghĩa 6. Hốn v% trong đó moi phan tu xuat hiắn ớt nhat mđt lan oc
GQI

l hoỏn v% lắp.

Chỳ ý. So hoỏn v% lắp cna n phan tu thđc k loai, mà các phan tu tù
loai i (1 ≤ i ≤ k) xuat hi¾n n lan đưoc kí hi¾u là P (n1, n2, . . . , nk) và
đưoc tính bang công thúc


n!
P (n1, n2, . . . ,
.
n!
!...
nk) =
n
nk!
1 2

3. To hap l¾p
Đ%nh nghĩa 7. Gia su t¾p A gom n phan tu (n ≥ 1). M®t tő hop ch¾p m
(m khơng nhat thiet phai nho hơn n) cna n phan tu thu®c A là m®t b® gom
m phan tu, mà moi phan tu này là m®t trong các phan tu cna A.

Chú ý. So tő hop có l¾p ch¾p m cna n phan tu là
Cm = Cm
n

n+m−1

1.2

Các dang toán đem

1.2.1

Các phương pháp đem

n−1
= Cn+m−1
.

1. Phương pháp đem trEc tiep
Tùy theo bài tốn ta có the chia trưịng hop hay khơng chia trưịng hop đe
đem các trưịng hop thoa mãn u cau bài tốn.
2. Phương pháp đem v% trí
+ B1. CHQN v% trí cho so thú nhat theo yêu cau bài tốn, suy ra so v% trí cho
các so tiep theo.
+ B2. Sap xep các so còn lai.

3. Phương pháp đem loai trÈ
+ B1. Đem so phương án xay ra bat kỳ ta có ket qua n1.
+ B2. Đem so phương án khơng thoa mãn u cau bài tốn ta có ket qua
n2 .
+ B3. So phương án đúng là n = n1 − n2.
Ta su dung phương pháp đem loai trù khi phương pháp đem trnc tiep có
quá nhieu trưòng hop.
4. Phương pháp lay trưác roi xep sau
+ B1. CHQN ra trưóc cho đn so lưong và thoa mãn tích chat mà bài tốn u
cau.
+ B2. Sap xep
Phương pháp này dùng cho các bài tốn có sn sap xep, canh nhau, có
m¾t.
5. Phương pháp tao vách ngăn
+ B1. Sap xep m đoi tưong vào m v% trí se tao ra m + 1 vách ngăn.


+ B2. Sap xep đoi tưong khác nhau theo yêu cau bài tốn vào m + 1 vách
ngăn trên.
6. Cơng thÉc bao hàm loai trÈ
Cho A1, A2 là hai t¾p huu han, khi đó
|A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1 ∩ A2|.

Tù đó vói ba t¾p huu han A1, A2, A3 ta có
|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3| − |A1 ∩ A2| − |A1 ∩ A3| − |A2 ∩ A3| + |A1 ∩ A2 ∩
A3|.

Bang quy nap, vói k t¾p huu han A1, A2, . . . , Ak ta có
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak| = N1 − N2 + N3 − . . . + (−1)k−1Nk,

trong đó Nm (1 ≤ m ≤ k) là tőng phan tu cna tat ca các giao m t¾p lay tù k
t¾p đã cho, nghĩa là
Nm =

Σ
1≤i1k

|Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aim |.

Bây giị, ta đong nhat t¾p Am (1 ≤ m ≤ k) vói tính chat Am cho trên t¾p
huu han A nào đó và đem xem có bao nhiêu phan tu cna A “khơng thoa
mãn m®t tính chat Am nào”. GQI N là so can đem, N là so phan tu cna A. Ta
có
N = N − |A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak| = N − N1 + N2 − . . . + (−1)kNk,

trong đó Nm là tőng các phan tu cna A thoa mãn m tính chat lay tù k tính
chat đã cho. Công thúc này GQI là công thúc bao hàm và loai trù.
Nh¾n xét.
Hau net các bài tốn tő hop đeu su dung m®t trong các phương pháp trên
đe giai quyet, tuy nhiên sn linh hoat cna phương pháp tùy thu®c vào kha năng
cna HQc sinh.
Đoi vói bài tốn ban đau có so 0, ta xét trưịng hop xem so 0 là m®t so
có nghĩa, đưoc ket qua n1; xét trưịng hop so 0 đúng đau, ta đưoc ket qua là
n2, ket qua can tìm se là n1 − n2.


1.2.2

Các bài tốn đem

1. CHQN m®t nhóm phan tE tÈ mđt hay nhieu tắp hap
Bi tắp 1.1. Mđt lúp HQc có 40 em gom 25 nam, 15 nu. Can chQn m®t ban cán
sn gom 4 ngưịi. Hoi có bao nhiêu cách chQn neu
a) Ban cán sn có ít nhat m®t nam?
b) Ban cán sn có ít nhat m®t nam và m®t nu?
Lài giai. a) Neu trong ban cán sn lóp có ít nhat 1 ban nam thì có 4 kha năng
xay ra
1 nam và 3 nu có
C1

2
5

2 nam và 2 nu có
C2

2
5

3 nam và 1 nu có
C3

2
5

· C13 cách cHQN.
5
2
· C1 cách cHQN.

1
5
· C1 cách cHQN.

5

4 nam và khơng có nu có
C4

V¾y có tat
ca

1 ·
C25
C15

3

2 ·
+ 25
C C
15

cách cHQN.

2
5
2

3 ·

+ 25
C C
15

1
4

+
C

b) Neu ban cán sn gom tồn nam có
C4

2
5

= 469576 cách.

2
5

cách cHQN. Neu ban cán sn gom tồn

nu có C4 cách cHQN. Ban cán sn gom 4 ngưòi bat kỳ có C 4 cách chQn. V¾y so
1
5

cách cHQN thoa mãn yêu cau đe bài là

4

0

4
404 − C25
− 4 = 77375 cách.
C
C15

Bài t¾p 1.2. Ngưịi ta su dung 3 loai sách gom 8 cuon sách ve Toán, 6
cuon sách ve Lí và 5 cuon sách ve Hóa. Moi loai đeu gom các cuon sách đơi m®t


khác nhau. Có bao nhiêu cách cHQN 7 cuon sách trong so sách trên đe làm giai
thưong sao cho moi loai có ít nhat m®t cuon?
Lài giai. So cách cHQN 7 trong so 19 cuon sách bat kỳ là C17 . Bây giị, ta tính so
9
cách cHQN sao cho khơng có đn 3 loai sách. CHQN 7 trong so
11 cuon sách Lí và
Hóa có
C

7

1
1

cách. CHQN 7 trong so 13 cuon sách Tốn và Hóa có C 7 cách. CHQN
1
3

7 trong so 14 cuon sách Tốn và Lí có C 7 cách. CHQN 7 trong so 8 cuon sách
1
4
Toán có C 7 cách. Áp dung cơng thúc bao hàm
loai trù, so cách cHQN phai tìm là
8

7 − 7 − 7 − C7 = 44918 cách.
197 − C11
C
8
C13 C14

Bài t¾p 1.3. (Đe thi đai hQc, cac đang khoi D-2006). Đ®i thanh niên xung kích
cna m®t trưịng phő thơng có 12 HQc sinh gom 5 HQc sinh lóp T, 4 HQc sinh lóp
L và 3 HQc sinh lóp H. Can cHQN 4 HQc sinh đi làm nhi¾m vu sao cho 4 HQc sinh
khơng thu®c q 2 trong 3 lóp trên. Hoi có bao nhiêu cách cHQN như v¾y?
Lài giai. GQI A là t¾p hop MQI cách cHQN 4 HQc sinh trong 12 HQc sinh, B
là t¾p hop cách cHQN khơng thoa mãn yêu cau đe bài, C là t¾p hop
cách cHQN thoa mãn yêu cau đe bài. Ta có A = B ∪ C, B ∩ C = ∅. Theo quy
tac c®ng ta có
|A| = |B| + |C| ⇔ |C| = |A| − |B|. De thay |A| = C14 = 495. Đe tính |B|, ta nh¾n
2

thay se cHQN 1 lóp có hai HQc sinh, hai lóp cịn lai moi lóp m®t HQc sinh. Theo
quy tac c®ng và quy tac nhân ta có
211

121

112

|B| = C5 C4 C3 + C5 C4 C3 + C5 C4 C3 =
270.

Suy ra
|C| = 495 − 270 = 225.

Bi tắp 1.4. Trờn mđt tn sỏch cú 12 quyen sách đúng canh nhau. Hoi có
bao nhiêu cách cHQN 5 quyen mà khơng có 2 quyen nào đúng canh nhau?
Lài giai. So cách cHQN 5 quyen sách thoa mãn yêu cau đe bài chính là so
cách xep 5 quyen sách giong nhau vo mđt ngn sỏch ó ắt san 7 quyen
sách sao cho trong 5 quyen này khơng có 2 quyen nào đ¾t canh nhau. 7 quyen
sách trên giá se tao ra 8 khoang trong. Xep 5 quyen sách vào 8 v% trí sao cho
moi quyen o m®t 8v% trí có C 5 cách.
V¾y so cách cHQN thoa mãn u cau bài tốn là C85 cách.
Bài t¾p 1.5. Có 12 ngưịi ngoi quanh m®t bàn trịn. Hoi có bao nhiêu cách cHQN
ra 5 ngưịi mà khơng có 2 ngưịi nào ngoi canh nhau?


Li giai. Ta co %nh mđt ngũi v ắt ngũi này là A.
Neu 5 ngưịi đưoc cHQN có m¾t ngưịi A suy ra khơng the cHQN 2 ngưịi ngoi
canh A nua, v¾y ta se cHQN 4 ngưịi trong 9 ngưịi cịn lai sao cho trong 4 ngưịi
này, khơng có 2 ngưịi nào ngoi canh nhau. Theo Bài t¾p 1.4 o trên, so cách
cHQN se là C 4 cách.
6

Neu 5 ngưòi đưoc cHQN khơng có A, v¾y ta cHQN 5 ngưịi trong so 11
ngưịi cịn lai, theo trên ta có C 5 cách.

7
V¾y so cách cHQN thoa mãn đe bài là C 4 + C 5 = 36 (cách).
6

7

Bài t¾p tE giai
Bài t¾p 1.6. (Đe thi đai HQc, cao đang khoi B-2014). Trong m®t mơn HQc, thay
giáo có 30 câu hoi khác nhau gom 5 câu hoi khó, 10 câu trung bình, 15 câu de.
Tù 30 câu đó có the l¾p đưoc bao nhiêu đe kiem tra, moi đe gom 5 câu khác
nhau, sao cho trong moi đe nhat thiet phai có đn 3 loai câu hoi và so câu hoi de
khơng ít hơn 2?
Bài t¾p 1.7. Có bao nhiêu cách cHQN m®t nhóm gom k ngưịi trong so n
ngưịi sao cho cú mđt ngũi lm nhúm trong.
Bi tắp 1.8. Cú bao nhiêu cách cHQN 3 quyen sách tù giá sách gom 6 quyen
sao cho có đúng 2 quyen đúng canh nhau?
Bài t¾p 1.9. Có 10 cây giong gom xồi, mít, ői trong đó có 6 cây xồi, 3
mít và 1 ői. Hoi có bao nhiêu cách cHQN 6 cây trong đó có đn ca 3 loai?
Bài t¾p 1.10. Có 10 ngưịi ngoi canh nhau quanh m®t bàn trịn. Hoi có bao
nhiêu cách cHQN ra 3 ngưòi sao cho 3 ngưòi đó ngoi canh nhau?
2. Sap xep thÉ tE các phan tE
Bài t¾p 1.11. Có 5 viên bi xanh giong nhau, 4 bi trang giong nhau và 3 viên
bi đo đôi m®t khác nhau. Hoi có bao nhiêu cách xep 12 viên bi vào 12 ơ
theo m®t hàng ngang sao cho moi ơ có m®t viên bi?
Lài giai. Neu tat ca 12 viên bi đeu khác nhau thì so hốn v% chúng tao thành là
P12 = 12!. Nhưng các hoán v% cna 5 bi xanh và các hoán v% cna 4 bi trang cho


cùng m®t cách sap xep đoi vói 12 viên bi nên so cách sap xep phai tìm là
P12

P 5P 4

=

12!
5!4!

= 166320 cách.

Bài t¾p 1.12. Can xep 5 ban nam và 4 ban nu theo m®t hàng DQc mà khơng
cho phép hai ban nu nào đúng lien ke nhau. Hoi có bao nhiêu cách sap xep?
Lài giai. Đau tiên, ta sap xep 5 ban nam theo m®t hàng DQc có khoang cách, ta
có P5 = 5! cách xep 5 ban nam.
Vói moi cách xep 5 ban nam ta đeu có 6 v% trí đe xep các ban nu vào, đó
là v% trí đúng đau, 4 v% tr% xen giua và v% trí đúng cuoi. So cách sap xep 4
ban nu
đoi vói cách sap xep ban nam se là A4. V¾y có P5A4 = 43200 cách sap xep
thoa
6

6

mãn yêu cau bài toán.
Bài t¾p 1.13. Có bao nhiêu cách sap xep cho 5 HQc sinh nam và 3 HQc sinh nu
ngoi quanh m®t bàn trịn sao cho khơng có hai HQc sinh nu nào ngoi canh nhau?
Lài giai. Trưóc tiên ta sap xep v% trí cho 5 HQc sinh nam. Ban nam thú nhat có
m®t cách chQn cho ngoi vì cho ngoi nào cũng khơng phân bi¾t so vói v% trí bàn
trịn. Xep 4 ngưịi nam cịn lai có P4 cách xep.
Sau khi xep 5 ban nam vào bàn trịn, ta se có 5 khoang xen ke giua các
ban

3
nam. Xep 3 ban nu vào 5 v% trí này có A
cách xep.
5
3
V¾y so cách sap xep thoa mãn yêu cau là 4!A
(cách).
5

Bài t¾p 1.14. M®t h®i ngh% bàn trịn có phái đồn cna các nưóc, Anh 3 ngưịi,
Nga 5 ngưịi, My 2 ngưịi, Pháp 3 ngưịi, Trung quoc 4 ngưịi. Hoi có bao nhiêu
cách sap xep cho ngoi cho MQI thành viên sao cho ngưịi cùng quoc t%ch thì ngoi
canh nhau?
Lài giai. Neu m®t phái đồn nào ngoi vào trưóc thì bon phái đồn cịn lai có
4! cách xep. Như v¾y có 24 cách sap xep các phái đồn ngoi theo quoc gia

mình. Bây giị ta xem có bao nhiêu cách sap xep cho ngoi cho n®i b® tùng
phái đồn. Tù gia thiet ta có
3! cách sap xep cho phái đồn Anh


5! cách sap xep cho phái đoàn Nga


2! cách sap xep cho phái đoàn My
3! cách sap xep cho phái đoàn Pháp
4! cách sap xep cho phái đoàn Trung Quoc.

Theo quy tac nhân so cách sap xep cho hđi ngh% l
n = 4!3!5!2!3!4! = 4976640 cỏch.

Bi tắp 1.15. Có n ban nam và n ban nu. Hoi có bao nhiêu cách xep 2n ban
này ngoi vào hai dãy ghe đoi di¾n sao cho nam nu ngoi đoi diắn?
Li giai.
Xep n ban nam vo mđt dóy ghe cú n!
cách. Xep n ban nu vào m®t dãy ghe có
n! cách.

Đői cho n c¾p nam nu đoi di¾n có
2. . . . 2 = 2n cỏch.
s 2.
á
x n
Vắy so cỏch xep 2n ban nàm và nu vào hai dãy ghe đoi di¾n sao cho nam
nu ngoi đoi di¾n là (n!)2.2n cách.
Bài t¾p tE giai
Bài t¾p 1.16. (Trích VMO 2005 - Bang B). Theo dừi ket qua HQc tắp o
mđt lúp HQc ta thay
hơn 2/3 so HQc sinh đat điem gioi o mơn tốn và mơn v¾t lí;
hơn 2/3 so HQc sinh đat điem gioi o môn văn và môn l%ch su;
hơn 2/3 so HQc sinh đat điem gioi o môn l%ch su và mơn tốn.
Chúng minh rang trong lóp có ít nhat m®t HQc sinh đat điem gioi o ca bon mơn
Tốn, V¾t lí, Văn và L%ch su.
Bài t¾p 1.17. M®t tő có 10 HQc sinh. Hoi có bao nhiêu cách
a) Xep 10 HQc sinh thành m®t hàng DQc.
b) Ngoi quanh mđt bn trũn 10 ghe.
Bi tắp 1.18. Phõn phoi n qua cau phõn biắt vo m hđp phõn biắt n ≥
m. Có bao nhiêu cách phân phoi mà

a, H®p có the chúa nhieu ho¾c khơng chúa qua cau

nào? b, Moi h®p chúa ít nhat m®t qua cau?


Bài t¾p 1.19. Có 6 HQc sinh nam và 3 HQc sinh nu xep hàng DQc đi vào lóp. Có
bao nhiêu cách xep mà HQc sinh nu đúng đau hàng?
Bài t¾p 1.20. Gia su có c¾p so ngun dương k, n mà k ≤ n. Có bao nhiêu
dãy gom n so 0 và k so 1 mà khơng có hai chu so 1 nào đúng canh nhau?
3. Phân chia t¾p hap các phan tE thành các t¾p hap con
Bài t¾p 1.21. Có bao nhiêu cách chia 100 đo v¾t giong nhau cho 4 ngưịi
sao cho moi ngưịi nh¾n đưoc ít nhat 1 đo v¾t?
Lài giai. Gia su 100 đo v¾t đưoc xep thành hàng ngang, giua chúng có 99
khoang trong. ắt mđt cỏch bat k 3 vach vo 3 trong so 99 khoang trong
đó, ta đưoc m®t cách chia 100 đo v¾t ra thành 4 phan đe lan lưot gán cho 4
ngưịi. Khi đó, moi ngưịi nh¾n đưoc ít nhat mđt o vắt v tng so o vắt
cna 4 ngũi đó bang 100, thoa mãn u cau bài tốn.
V¾y so cách chia là
C

3

9
9

= 156849 cách.

Ngồi cách làm trên thì bài tốn cịn có the giai quyet bang phương pháp
hàm sinh. Tơi xin đưa ra m®t so lý thuyet cơ ban ve hàm sinh (xem [1]).
Hàm sinh cna dãy so thnc a0, a1, . . . , an, . . . là hàm so đưoc xác đ%nh
boi
G(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn + · · ·

M®t so đang thúc liên quan đen hàm sinh
1

= 1 + x + x2 + x3 +· ·
1− x
·
1
= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 ·+·
(1 − x)2
·
∞
Σ
1
n(n + 1) 2 n(n + 1)(n + 2) 3
= 1 + nx +
x +
x +···=
Ci
i+n−
2!
3!
(1 −
1
i=
x)n
0
xi
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · ·

1+
x 1
= 1 + 2ax + 3a2x2 + 4a3x3 · ·
+ (1 − ax)2
·
1
1 − xr


= 1 + xr +
x2r + x3r +
...


Ý tưong chung cna phương pháp su dung hàm sinh giai bài tốn đem là đi
tìm h¾ so cna xi trong khai trien cna hàm sinh vói i là so phan tu đưoc cHQN
ra trong n đoi tưong vói nhung ieu kiắn rng buđc cho trúc. Cu the trong
bi toỏn trên, hàm sinh cho so cách chia đo v¾t cho ngưòi thú nhat là
A(x) = x +
+
x2
x3

9
7

.

+ · · · + x=
x

1 − x97 .
Σ 1−x

Tai sao tőng trên ta chi bat đau tù x1 và ket thúc o x97? ú l vỡ ngũi thỳ
nhat chac chan nhắn oc mđt đo v¾t, ba ngưịi cịn lai cũng nh¾n đưoc ít
nhat mđt o vắt nờn so o vắt ngũi thỳ nhat nh¾n đưoc chi có the la tù 1
đen 97. Tương tn, hàm sinh cho so cách chia đo v¾t cho ngưịi thú hai, ba,
bon cũng là A(x).
V¾y hàm sinh cho so cách phân phoi 100 đo v¾t giong nhau cho bon
ngũi sao cho moi ngũi nhắn oc ớt nhat mđt đo v¾t là
.
4
1 − x97
G(x) = (A(x))4 =
Σ 1−x
x4

98 4
= (x − x ) .
(1 − x)4

Bây giò ta chi can đi tìm h¾ so cna x100 trong khai trien cna G(x) và đó cũng
là ket qua cna bài tốn. Ta có
(x − x98)4 = (x4 − 4x101 + 6x198 − 4x295 + x392)
∞

1
(1 −
x)i4

C

=

Σ
i+
3

x i.

i=

Ta chi can tìm i sao cho x4xi = x100, hay i = 96. Suy ra h¾ so cna x100 là C96.
V¾y có C9 = 156849 cách chia thoa mãn yêu cau đe bài.
96

9
9

9

Bài t¾p 1.22. Cơ giáo có 12 quyen vo giong h¾t nhau đe làm phan thưong cho
ba HQc sinh A, B, C . Hoi cơ giáo có bao nhiêu cách chia vo cho ba HQc sinh
biet A phai nh¾n đưoc ít nhat 4 quyen, B và C moi ngưịi ít nhat 2 quyen
nhưng C không đưoc nhieu hơn 5 quyen?


Lài giai. Trưóc tiên ta chia cho A 4 quyen, B và C moi ngưịi 2 quyen thì so
vo cịn lai se còn là 12 − 8 = 4 quyen. Bây giò ta tiep tuc chia 4 quyen còn lai
cho A, B, C nhưng vói đieu ki¾n C khơng đưoc có quá 3 quyen.

TH 1. C khơng nh¾n đưoc quyen nào trong 4 quyen, chia 4 quyen cho A và B
có 5 cách chia.
TH 2. C nh¾n đưoc 1 quyen, chia 3 quyen cịn lai cho A và B có 4 cách
chia. TH 3. C nh¾n đưoc 2 quyen, chia 2 quyen cịn lai cho A và B có 3
cách chia. TH 4. C nh¾n đưoc 3 quyen, chia 1 quyen cịn lai cho A và B
có 2 cách chia.
V¾y so cách chia thoa mãn yêu cau đe bài là
5 + 4 + 3 + 2 = 14 (cách).

Bây giò, ta hãy thu giai bài toán theo phương pháp hàm sinh. Hàm sinh
cho so cách chia vo cho A là
A(x) = x4 +
x5

+
x6

+
x7

+
x8

4

+
x6

2

x5
=x

1

.
1−x

Hàm sinh cho so cách chia vo cho B là
B(x) = x2

+
x3

+
x4

+
x5

1

x5
=x

.
1−x

Hàm sinh cho so cách chia vo cho C là
C(x) = x2

+
x3

+
x4

+
x5

2

1

x4
=x

.
1−x

Hàm sinh cho so cách chia 12 quyen vo cho A, B, C là
G(x) = A(x)B(x)C(x)
1
x8(1 − x5)2(1 − x4)
2 1 −
2 1 −
4
=

(1 − x)3
x5
x4
5
x
x
x
1−
1−
=x
x
x .
1− 5
4
x
= x8

Σ

(1 −
2x

= (x8

+
1
2

x10

1
3

)(1 − x
)

1 3
x−1
2
2

.

1 3
.
− x − 2x +
−x ) Σ
+
x
−
1
2x17
x18


Ta có

1

(x − 1)3

1C46− 1C02 = 14.

=

cii+
2

xi nên h¾ so cna x12 trong khai trien cna G(x) là

Σ∞i=0

V¾y so cách chia là 14 cách.
Nh¾n xét. Thoat nhìn ban đau chúng ta thay cách giai bang hàm sinh dài
hơn cách giai thơng thưịng nhưng suy nghĩ sâu thêm chúng ta se thay đoi
vói nhung bài du li¾u lón thì cách li¾t kê to ra kém hi¾u qua, th¾m chí khó
có the giai quyet đưoc. Ta xét bài toán sau.


Bài t¾p 1.23. Trong túi xách cna Long có 10 chiec nhan vàng, 20 chiec
nhan bac và 30 chiec nhan bach kim. Hoi Long có bao nhiêu cách cHQN ra 30
đo v¾t đe đem bán biet rang moi loai trang sỳc cú ớt nhat mđt o vắt oc lay
ra.
Li giai. Bài tốn trên se xay ra rat nhieu trưịng hop neu giai quyet theo
phương pháp thơng thưịng. Ta se giai quyet bài toán trên bang phương
pháp hàm sinh.
Hàm sinh cho so cách cHQN nhan vàng là
A(x) = x +
+
x2
x3

10
1 = x1 − x .
+···+x
0
1−x

Hàm sinh cho so cách cHQN nhan bac là
B(x) = x +
+
x2
x3

20
2 = x1 − x .
+···+x
0
1−x

Hàm sinh cho so cách cHQN nhan bach kim là
C(x) = x +
+
x2
x3

28
2 = x1 − x .
+···+x
8
1−x

Hàm sinh cho so cách cHQN 30 đo v¾t đem bán, biet rang moi loai trang súc có
ít nhat m®t loai đưoc lay ra là
G(x) = A(x)B(x)C(x)
10
20
28
= x3 (1 − x )(1 − x 3 )(1 − x )
(1 − x)
3
13
31
41
51
= (x − x − x23 + x33
−x + x + x
−

Ta có
1
(1 −
i
C
x)3

=

∞
Σ
i+

2

x61)
(1 − x)3

1

x i.

i=

Suy ra h¾ so cna x30 trong khai trien cna G(x) là 1C27 − 1C17 − 1C7 = 199.
2

1

9

V¾y Long có 199 cách cHQN 30 đo v¾t đem i bỏn 9m moi9 loai cú ớt nhat mđt
o vắt đưoc lay ra.