Về những bài toán tổ hợp và xác suất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

“VỀ NHỮNG BÀI TOÁN TỔ HỢP
VÀ XÁC SUẤT”

HỌC VIÊN: NGUYỄN THANH TÂN
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60460113
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - 2015


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Minh Tuấn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn và giải đáp các
thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Từ tận đáy lòng em xin
bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến thầy.
Mặc dù đã rất nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu nhưng chắc
chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn
của em được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 3 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thanh Tân

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1: Những bài toán đếm
1.1

1.2

2.2

4

Cơ sở lý thuyết tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Quy tắc cộng và quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Giai thừa và hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.4

Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5

Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp . . . . .

6

Các dạng toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Các phương pháp đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Chương 2: Những bài toán về xác suất
2.1

3

23

Cơ sở lý thuyết xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1

Một số định nghĩa cơ bản của xác suất . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.3

Các công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Một số bài toán xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1

Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển . . . . . . . . . . . 31

2.2.2

Tính xác suất bằng công thức cộng và nhân xác suất . . . 37

2.2.3

Tính xác suất bằng công thức xác suất có điều kiện . . . . 44

2.2.4

Tính xác suất bằng công thức xác suất đầy đủ và Bayes . 48

2.2.5

Tính xác suất bằng công thức Becnoulli . . . . . . . . . . . 57

2.2.6

Tính xác suất bằng định nghĩa hình học . . . . . . . . . . . 62

2.2.7

Các bài toán về biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . 67

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3


Mở đầu
Tổ hợp và xác suất là một trong những lĩnh vực toán học được nghiên cứu

từ khá sớm, nó đã được khai thác và ứng dụng rất nhiều vào trong đời sống sản
xuất. Hiện nay trong giáo dục phổ thông, tổ hợp và xác suất là một trong những
nội dung quan trọng, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học, cao
đẳng, thậm chí là các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. Mặc dù nội dung
không khó nhưng học sinh thường xuyên gặp khó khăn khi giải quyết các bài
toán này, nhất là các bài toán liên quan đến xác suất.
Luận văn này chủ yếu tập trung vào các dạng toán xác suất, từ đó giúp học
sinh có cách nhìn nhận sâu sắc hơn về các bài toán liên quan đến xác suất. Luận
văn được chia thành hai chương
Chương 1. Những bài toán về tổ hợp.
Chương 2. Những bài toán về xác suất.
Tất cả các bài toán tổ hợp trong chương 1 chính là nền móng để xây dựng và
giải quyết một số bài toán xác suất trong chương 2. Hy vọng đây sẽ là một tài
liệu hữu ích trong giảng dạy cũng như học tập của thầy, cô và các em học sinh.

3


Chương 1
Những bài toán đếm
Chương này ta sẽ nhắc lại một số lý thuyết về tập hợp cũng như lý thuyết
cơ bản của tổ hợp như hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, một số nguyên lý đếm và các
bài tập có liên quan trong chương trình phổ thông.

1.1
1.1.1

Cơ sở lý thuyết tổ hợp
Quy tắc cộng và quy tắc nhân

1. Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B ,
trong đó có n cách thực hiện phương án A, m cách thực hiện phương án B . Khi
đó công việc có thể được thực hiện bởi n + m cách.
Tổng quát, giả sử môt công việc có thể thực hiện theo một trong k phương
án A1 , A2 , . . . , Ak , trong đó có n1 cách thực hiện phương án A1 , n2 cách thực hiện
phương án A2 , . . ., nk cách thực hiện phương án Ak . Khi đó công việc có thể
được thực hiện bởi n1 + n2 + · · · + nk cách.
Biểu diễn dưới dạng tập hợp. Số phần tử của tập hữu hạn A được kí hiệu là |A|.
Nếu A1 , A2 , . . . , An là n tập hữu hạn, từng đôi một không giao nhau thì
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |

hay

n

n

|Ak |.

Ak =
k=1

k=1

4


2. Quy tắc nhân
Giả sử công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B , trong đó công đoạn A

có thể làm theo n cách, công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc
có thể thực hiện theo nm cách.
Tổng quát, giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 , A2 , . . . , Ak , ông
đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2
cách, công đoạn A3 có thể thực hiện theo n3 cách, . . ., công đoạn Ak có thể thực
hiện theo nk cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2 . . . nk cách.
Biểu diễn dưới dạng tập hợp.
Nếu A1 , A2 , . . . , An là n tập hữu hạn với |Ak | = mk (k = 1, 2, . . . , n). Khi đó
n

|A1 × A2 × · · · × An | = m1 × m2 × · · · × mn =

mk .
k=1

1.1.2

Giai thừa và hoán vị

1. Giai thừa
Định nghĩa 1. n giai thừa, kí hiệu là n! là tích của n số tự nhiên liên tiếp từ
1 đến n.
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · (n), n ∈ N∗ .

Quy ước 0! = 1, 1! = 1.
2. Hoán vị
Định nghĩa 2. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Một cách sắp thứ tự n
phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử
Pn = n! = 1 · 2 · · · (n − 1)n.

1.1.3

Chỉnh hợp

Định nghĩa 3. Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k
phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ
tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

5


Công thức
Akn =

n!
= n(n − 1)(n − k + 1) (với 1 ≤ k ≤ n).
(n − k)!

Chú ý. Một chỉnh hợp chập n của n phần tử là một hoán vị của n phần tử
Ann = Pn = n!.

1.1.4

Tổ hợp

Định nghĩa 4. Giả sử tập A gồm n phần tử n ≥ 1. Mỗi tập con gồm k phần
tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho (1 ≤ k ≤ n).
Kí hiệu Cnk (1 ≤ k ≤ n) là số các tổ hợp chập k của n phần tử.
Công thức

Cnk =

n!
.
k!(n − k)!

Chú ý. Cn0 = 1
Cnk = Cnn−k (0 ≤ k ≤ n)
k+1
(1 ≤ k ≤ n).
Cnk + Cnk+1 = Cn+1

1.1.5

Chỉnh hợp có lặp, hoán vị có lặp và tổ hợp có lặp

1. Chỉnh hợp có lặp
Định nghĩa 5. Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi dãy có độ dài k các
phần tử của A, mà mỗi phần tử có thể lặp lại nhiều lần và được sắp xếp theo
một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử.
Chú ý. Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là nk .
2. Hoán vị lặp
Định nghĩa 6. Hoán vị trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được
gọi là hoán vị lặp.
Chú ý. Số hoán vị lặp của n phần tử thộc k loại, mà các phần tử từ loại i
(1 ≤ i ≤ k) xuất hiện n lần được kí hiệu là P (n1 , n2 , . . . , nk ) và được tính bằng

công thức
P (n1 , n2 , . . . , nk ) =

6

n!
.
n1 !n2 ! . . . nk !


3. Tổ hợp lặp
Định nghĩa 7. Giả sử tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Một tổ hợp chập m (m
không nhất thiết phải nhỏ hơn n) của n phần tử thuộc A là một bộ gồm m phần
tử, mà mỗi phần tử này là một trong các phần tử của A.
Chú ý. Số tổ hợp có lặp chập m của n phần tử là
n−1
m
Cnm = Cn+m−1
= Cn+m−1
.

1.2

Các dạng toán đếm

1.2.1

Các phương pháp đếm

1. Phương pháp đếm trực tiếp
Tùy theo bài toán ta có thể chia trường hợp hay không chia trường hợp để
đếm các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2. Phương pháp đếm vị trí

+ B1. Chọn vị trí cho số thứ nhất theo yêu cầu bài toán, suy ra số vị trí cho
các số tiếp theo.
+ B2. Sắp xếp các số còn lại.
3. Phương pháp đếm loại trừ
+ B1. Đếm số phương án xảy ra bất kỳ ta có kết quả n1 .
+ B2. Đếm số phương án không thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có kết quả n2 .
+ B3. Số phương án đúng là n = n1 − n2 .
Ta sử dụng phương pháp đếm loại trừ khi phương pháp đếm trực tiếp có quá
nhiều trường hợp.
4. Phương pháp lấy trước rồi xếp sau
+ B1. Chọn ra trước cho đủ số lượng và thỏa mãn tích chất mà bài toán yêu
cầu.
+ B2. Sắp xếp
Phương pháp này dùng cho các bài toán có sự sắp xếp, cạnh nhau, có mặt.
5. Phương pháp tạo vách ngăn
+ B1. Sắp xếp m đối tượng vào m vị trí sẽ tạo ra m + 1 vách ngăn.

7


+ B2. Sắp xếp đối tượng khác nhau theo yêu cầu bài toán vào m + 1 vách
ngăn trên.
6. Công thức bao hàm loại trừ
Cho A1 , A2 là hai tập hữu hạn, khi đó
|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 |.

Từ đó với ba tập hữu hạn A1 , A2 , A3 ta có
|A1 ∪ A2 ∪ A3 | = |A1 | + |A2 | + |A3 | − |A1 ∩ A2 | − |A1 ∩ A3 | − |A2 ∩ A3 | + |A1 ∩ A2 ∩ A3 |.

Bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A1 , A2 , . . . , Ak ta có

|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak | = N1 − N2 + N3 − . . . + (−1)k−1 Nk ,

trong đó Nm (1 ≤ m ≤ k ) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập
đã cho, nghĩa là
|Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aim |.

Nm =
1≤i1
Bây giờ, ta đồng nhất tập Am (1 ≤ m ≤ k) với tính chất Am cho trên tập hữu
hạn A nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của A “không thỏa mãn một
tính chất Am nào”. Gọi N là số cần đếm, N là số phần tử của A. Ta có
N = N − |A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak | = N − N1 + N2 − . . . + (−1)k Nk ,

trong đó Nm là tổng các phần tử của A thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất
đã cho. Công thức này gọi là công thức bao hàm và loại trừ.
Nhận xét.
Hầu nết các bài toán tổ hợp đều sử dụng một trong các phương pháp trên
để giải quyết, tuy nhiên sự linh hoạt của phương pháp tùy thuộc vào khả năng
của học sinh.
Đối với bài toán ban đầu có số 0, ta xét trường hợp xem số 0 là một số có
nghĩa, được kết quả n1 ; xét trường hợp số 0 đứng đầu, ta được kết quả là n2 ,
kết quả cần tìm sẽ là n1 − n2 .
8


Tài liệu tham khảo
[1] Các chuyên đề tổ hợp và xác suất trên mạng internet.
[2] Nguyễn Huy Đoàn, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn Khắc Minh, Đoàn Quỳnh,
Ngô Xuân Sơn, Đặng Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình, “Bài tập đại số và giải

tích 11 nâng cao”, NXB Giáo dục, 2007.
[3] Đào Hữu Hồ,“Hướng dẫn giải các bài toán xác suất và ứng dụng”, NXB Đại
học Quốc gia Hà Nội, 1996.
[4] Đào Hữu Hồ, “Xác suất thống kê”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1996.
[5] Hoàng Hữu Như, Nguyễn Văn Hữu, “Bài tập xác suất và thống kê toán
học”, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội, 1976.
[6] Lê Hoành Phò, “Phân loại và phương pháp giải toán tổ hợp và xác suất”,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008.
[7] Đặng Hùng Thắng, “Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng”, NXB
Giáo dục Việt Nam, 2012.

73