Về những bài toán tổ hợp và xác suất

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

LU N VĂN TH C SĨ

"V

NH NG BÀI TOÁN T
VÀ XÁC SU T"

H C VIÊN: NGUY N THANH TÂN
CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P
MÃ S : 60460113
CÁN B HƯ NG D N: PGS. TS. NGUY N MINH TU N

HÀ N I - 2015

HP


L i c m ơn
Lu n văn đư c hoàn thành dư i s ch b o và hư ng d n c a PGS. TS.
Nguy n Minh Tu n. Th y đã dành nhi u th i gian hư ng d n và gi i đáp các th c m
c c a tôi trong su t quá trình làm lu n văn. T t n đáy lòng em xin bày t s bi t ơn
sâu s c đ n th y.
M c dù đã r t nghiêm túc trong quá trình tìm tòi, nghiên c u nhưng ch c
ch n n i dung đư c trình bày trong lu n văn không tránh kh i nh ng thi u sót. Em r
t mong nh n đư c s đóng góp c a quý th y cô và các b n đ lu n văn c a em đư c
hoàn thi n hơn.
Hà N i, tháng 3 năm 2015
Tác gi

Nguy n Thanh Tân


M cl c
M đu ....................................

3

Chương 1: Nh ng bài toán đ m
1.1

4

Cơ s lý thuy t t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

4

Quy t c c ng và quy t c nhân . . . . . . . . . . . . . . . .
41.1.2
Giai th a và hoán v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.1.3
Ch nh h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51.1.4

T

hp ..............................
61.1.5

Ch nh h p có l p, hoán v có l p và t h p có l p . . . . .
1.2

Các d ng toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1

6
7

Các phương pháp đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2.2
Các bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 2: Nh ng bài toán v xác su t
2.1

2.2

23

Cơ s lý thuy t xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1

M t s đ nh nghĩa cơ b n c a xác su t . . . . . . . . . . . 23

2.1.2

Quan h gi a các bi n c

2.1.3

Các công th c tính xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

M t s bài toán xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6

2.2.7

9


Tính xác su

công th c c ng và nhân xác su t . . . 37 Tính xác su t b ng công

t b ng đ nh

th c xác su t có đi u ki n . . . . 44 Tính xác su t b ng công th c

nghĩa c đi n .

xác su t đ y đ và Bayes . 48 Tính xác su t b ng công th c

..........

Becnoulli . . . . . . . . . . . 57 Tính xác su t b ng đ nh nghĩa hình

31 Tính xác

h c . . . . . . . . . . . 62 Các bài toán v bi n ng u nhiên r i r c . . . .

su t b ng

. . . . . . . 67

K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3


M đu
T h p và xác su t là m t trong nh ng lĩnh v c toán h c đư c nghiên c u
t khá s m, nó đã đư c khai thác và ng d ng r t nhi u vào trong đ i s ng s n xu t.
Hi n nay trong giáo d c ph thông, t h p và xác su t là m t trong nh ng n i dung
quan tr ng, nó thư ng xuyên xu t hi n trong các đ thi đ i h c, cao đ ng, th m chí là
các kỳ thi h c sinh gi i qu c gia và qu c t . M c dù n i dung không khó nhưng h c
sinh thư ng xuyên g p khó khăn khi gi i quy t các bài toán này, nh t là các bài
toán liên quan đ n xác su t.
Lu n văn này ch y u t p trung vào các d ng toán xác su t, t đó giúp h c
sinh có cách nhìn nh n sâu s c hơn v các bài toán liên quan đ n xác su t. Lu n

văn đư c chia thành hai chương
Chương 1. Nh ng bài toán v t h p.
Chương 2. Nh ng bài toán v xác su t.
T t c các bài toán t h p trong chương 1 chính là n n móng đ xây d ng và
gi i quy t m t s bài toán xác su t trong chương 2. Hy v ng đây s là m t tài li u h u
ích trong gi ng d y cũng như h c t p c a th y, cô và các em h c sinh.

3


Chương 1
Nh ng bài toán đ m
Chương này ta s nh c l i m t s lý thuy t v t p h p cũng như lý thuy t
cơ b n c a t h p như hoán v , ch nh h p, t h p, m t s nguyên lý đ m và các bài t p
có liên quan trong chương trình ph thông.

1.1
1.1.1

Cơ s lý thuy t t h p
Quy t c c ng và quy t c nhân

1. Quy t c c ng
Gi s m t công vi c có th th c hi n theo phương án A ho c phương án B, trong đó
có n cách th c hi n phương án A, m cách th c hi n phương án B. Khi đó công vi c
có th đư c th c hi n b i n + m cách.
T ng quát, gi s môt công vi c có th th c hi n theo m t trong k phương
án A1, A2, . . . , Ak, trong đó có n1 cách th c hi n phương án A1, n2 cách th c hi n
phương án A2, . . ., nk cách th c hi n phương án Ak. Khi đó công vi c có th đư c th
c hi n b i n1 + n2 + • • • + nk cách.

Bi u di n dư i d ng t p h p. S ph n t c a t p h u h n A đư c kí hi u là |A|.
N u A1, A2, . . . , An là n t p h u h n, t ng đôi m t không giao nhau thì
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An| = |A1| + |A2| + • • • + |An|

hay

n

n

|Ak|.

Ak =
k=1

k=1

4


2. Quy t c nhân
Gi s công vi c nào đó bao g m hai công đo n A và B, trong đó công đo n A có th
làm theo n cách, công đo n B có th làm theo m cách. Khi đó công vi c có th th c
hi n theo nm cách.
T ng quát, gi s m t công vi c nào đó bao g m k công đo n A1, A2, . . . , Ak, ông
đo n A1 có th th c hi n theo n1 cách, công đo n A2 có th th c hi n theo n2
cách, công đo n A3 có th th c hi n theo n3 cách, . . ., công đo n Ak có th th c
hi n theo nk cách. Khi đó công vi c có th th c hi n theo n1n2 . . . nk cách.
Bi u di n dư i d ng t p h p.
N u A1, A2, . . . , An là n t p h u h n v i |Ak| = mk (k = 1, 2, . . . , n). Khi đó

n

|A1 ⋅ A2 ⋅ • • • ⋅ An| = m1 ⋅ m2 ⋅ • • • ⋅ mn =

mk .
k=1

1.1.2

Giai th a và hoán v

1. Giai th a
Đ nh nghĩa 1. n giai th a, kí hi u là n! là tích c a n s t nhiên liên ti p t 1 đ n n.
n! = 1 • 2 • 3 • • • (n − 1) • (n), n ∈ N∗.

Quy ư c 0! = 1, 1! = 1.
2. Hoán v
Đ nh nghĩa 2. Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 1). M t cách s p th t n ph n t c a t p
h p A đư c g i là m t hoán v c a n ph n t đó.
Kí hi u Pn là s các hoán v c a n ph n t
Pn = n! = 1 • 2 • • • (n − 1)n.

1.1.3

Ch nh h p

Đ nh nghĩa 3. Cho t p h p A g m n ph n t (n ≥ 1). K t qu c a vi c l y k
ph n t khác nhau t n ph n t c a t p h p A và s p x p chúng theo m t th t nào đó
đư c g i là m t ch nh h p ch p k c a n ph n t đã cho.

5


Công th c
Ak = (n n!k)! = n(n − 1)(n − k + 1) (v i 1 ≤ k ≤ n).
n
−

Chú ý. M t ch nh h p ch p n c a n ph n t là m t hoán v c a n
ph n t
A n = Pn
= n!. n

1.1.
4

T hp

Đ nh nghĩa 4. Gi s t p A g m n ph n t n ≥ 1. M i t p con g m k ph n
t c a A đư c g i là m t t h p ch p k c a n ph n t đã cho (1 ≤ k ≤
n).

Kí hi u Ck (1 ≤ k ≤ n) là s các t h p ch p k c a n ph n t . n
C
ôn
g
th
c
Ck =
k!

(nn−
k)!. !
n

Chú
ý. C0
=1n
Ck = Cn−k (0 ≤
k ≤ n)

n

n

Ck

+ Ck+1 = Ck+1 (1 ≤

k ≤ n).
n
n
n+
1


1.1.5
Ch
nh h
p có l
p,

hoán
v có l
p và t
hp
có l p

m t ch nh h p l p ch p k c a n ph n t .
Chú ý. S các ch nh h p l p ch p k c a n ph n
t là nk.
2. Hoán
vlp
Đ nh nghĩa 6. Hoán v trong đó m i ph n t xu t hi n ít nh t m t l
n đư c g i là hoán v l p.
Chú ý. S hoán v l p c a n ph n t th c k lo i, mà các ph n t t lo i
i

1
.

(1 ≤ i ≤ k) xu t hi n n l n đư c kí hi u là P (n1, n2, . . . , nk) và đư c tính b ng

C
h

c

n
h

n

h

th

ô
g
c

p

P (n1, n2, . . . , nk) = n !

c
ó

n n.!. . n !.
1 2!

l
p

6

Đ nh
nghĩa 5. Gi s
tpAgmn
ph n t (n ≥ 1).
M i dãy có đ
dài k các ph n

t c a A, mà
m i ph n t có
th l p l i nhi u
l n và đư c s
p x p theo m
t th t nh t đ
nh đư c g i là

k


3. T h p l p
Đ nh nghĩa 7. Gi s t p A g m n ph n t (n ≥ 1). M t t h p ch p m (m không nh t thi t
ph i nh hơn n) c a n ph n t thu c A là m t b g m m ph n t , mà m i ph n t này là m
t trong các ph n t c a A.
Chú ý. S t h p có l p ch p m c a n ph n t là
Cm = Cm+m−1 = Cn−1 −1.
n

1.2
1.2.1

n

n+m

Các d ng toán đ m
Các phương pháp đ m

1. Phương pháp đ m tr c ti p

Tùy theo bài toán ta có th chia trư ng h p hay không chia trư ng h p đ đ m
các trư ng h p th a mãn yêu c u bài toán.
2. Phương pháp đ m v trí
+ B1. Ch n v trí cho s th nh t theo yêu c u bài toán, suy ra s v trí cho các s ti
p theo.
+ B2. S p x p các s còn l i. 3.
Phương pháp đ m lo i tr
+ B1. Đ m s phương án x y ra b t kỳ ta có k t qu n1.
+ B2. Đ m s phương án không th a mãn yêu c u bài toán ta có k t qu n2. +
B3. S phương án đúng là n = n1 − n2.
Ta s d ng phương pháp đ m lo i tr khi phương pháp đ m tr c ti p có quá
nhi u trư ng h p.
4. Phương pháp l y trư c r i x p sau
+ B1. Ch n ra trư c cho đ s lư ng và th a mãn tích ch t mà bài toán yêu c u.
+ B2. S p x p
Phương pháp này dùng cho các bài toán có s s p x p, c nh nhau, có m t.
5. Phương pháp t o vách ngăn
+ B1. S p x p m đ i tư ng vào m v trí s t o ra m + 1 vách ngăn.

7


+ B2. S p x p đ i tư ng khác nhau theo yêu c u bài toán vào m + 1 vách
ngăn trên.
6. Công th c bao hàm lo i tr
Cho A1, A2 là hai t p h u h n, khi đó
|A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| − |A1 ∩ A2|.

T đó v i ba t p h u h n A1, A2, A3 ta có
|A1 ∪ A2 ∪ A3| = |A1| + |A2| + |A3| − |A1 ∩ A2| − |A1 ∩ A3| − |A2 ∩ A3| + |A1 ∩ A2 ∩ A3|.

B ng quy n p, v i k t p h u h n A1, A2, . . . , Ak ta có
|A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak| = N1 − N2 + N3 − . . . + (−1)k−1Nk,

trong đó Nm (1 ≤ m ≤ k) là t ng ph n t c a t t c các giao m t p l y t k t p
đã cho, nghĩa là
|Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aim|.

Nm =
1≤i1
Bây gi , ta đ ng nh t t p Am(1 ≤ m ≤ k) v i tính ch t Am cho trên t p h u
h n A nào đó và đ m xem có bao nhiêu ph n t c a A "không th a mãn m t
tính ch t Am nào". G i N là s c n đ m, N là s ph n t c a A. Ta có
N = N − |A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ak| = N − N1 + N2 − . . . + (−1)kNk,

trong đó Nm là t ng các ph n t c a A th a mãn m tính ch t l y t k tính ch t
đã cho. Công th c này g i là công th c bao hàm và lo i tr .
Nh n xét.
H u n t các bài toán t h p đ u s d ng m t trong các phương pháp trên đ gi i
quy t, tuy nhiên s linh ho t c a phương pháp tùy thu c vào kh năng c a h c sinh.
Đ i v i bài toán ban đ u có s 0, ta xét trư ng h p xem s 0 là m t s có
nghĩa, đư c k t qu n1; xét trư ng h p s 0 đ ng đ u, ta đư c k t qu là n2,
k t qu c n tìm s là n1 − n2.
8


1.2.2

Các bài toán đ m

1. Ch n m t nhóm ph n t t m t hay nhi u t p h p
Bài t p 1.1. M t l p h c có 40 em g m 25 nam, 15 n . C n ch n m t ban cán
s g m 4 ngư i. H i có bao nhiêu cách ch n n u
a) Ban cán s có ít nh t m t nam?
b) Ban cán s có ít nh t m t nam và m t n ?
L i gi i. a) N u trong ban cán s l p có ít nh t 1 b n nam thì có 4 kh năng
x y ra
1 nam và 3 n có C1 • C3 cách ch n.
25

15

2 nam và 2 n có C2 • C2 cách ch n.
25

15

3 nam và 1 n có C3 • C1 cách ch n.
25

15

4 nam và không có n có C4 cách ch n. 25
V y có t t c
C1 • C3 + C2 • C2 + C3 • C1 + C4 = 469576 cách.
25

15

25

15

25

15

25

b) N u ban cán s g m toàn nam có C4 cách ch n. N u ban cán s g m toàn
n có C4 cách ch n. Ban cán s g m 4 ngư i b t kỳ có C4 cách ch n. V y s
15

25

40

cách ch n th a mãn yêu c u đ bài là
C4 − C4 − C4 = 77375 cách.
40

25

15

Bài t p 1.2. Ngư i ta s d ng 3 lo i sách g m 8 cu n sách v Toán, 6 cu n
sách v Lí và 5 cu n sách v Hóa. M i lo i đ u g m các cu n sách đôi m t khác
nhau. Có bao nhiêu cách ch n 7 cu n sách trong s sách trên đ làm gi i thư ng
sao cho m i lo i có ít nh t m t cu n?

L i gi i. S cách ch n 7 trong s 19 cu n sách b t kỳ là C7 . Bây gi , ta tính s 19
cách ch n sao cho không có đ 3 lo i sách. Ch n 7 trong s 11 cu n sách Lí và
Hóa có C7 cách. Ch n 7 trong s 13 cu n sách Toán và Hóa có C7 cách. Ch n
11

13

9


7 trong s 14 cu n sách Toán và Lí có C7 cách. Ch n 7 trong s 8 cu n sách 14
Toán có C7 cách. Áp d ng công th c bao hàm lo i tr , s cách ch n ph i tìm là 8
C7 − C7 − C7 − C7 − C7 = 44918 cách.
19

11

13

14

8

Bài t p 1.3. (Đ thi đ i h c, cac đ ng kh i D-2006). Đ i thanh niên xung kích
c a m t trư ng ph thông có 12 h c sinh g m 5 h c sinh l p T, 4 h c sinh l p L và 3
h c sinh l p H. C n ch n 4 h c sinh đi làm nhi m v sao cho 4 h c sinh
không thu c quá 2 trong 3 l p trên. H i có bao nhiêu cách ch n như v y?
L i gi i. G i A là t p h p m i cách ch n 4 h c sinh trong 12 h c sinh, B là
t p h p cách ch n không th a mãn yêu c u đ bài, C là t p h p cách ch n th a mãn
yêu c u đ bài. Ta có A = B ∪ C, B ∩ C = ∅. Theo quy t c c ng ta có

|A| = |B| + |C| ⇔ |C| = |A| − |B|. D th y |A| = C4 = 495. Đ tính |B|, ta nh n 12

th y s ch n 1 l p có hai h c sinh, hai l p còn l i m i l p m t h c sinh. Theo
quy t c c ng và quy t c nhân ta có
|B| = C2C1C1 + C1C2C1 + C1C1C2 = 270.
543

543

543

Suy ra
|C| = 495 − 270 = 225.

Bài t p 1.4. Trên m t t sách có 12 quy n sách đ ng c nh nhau. H i có bao
nhiêu cách ch n 5 quy n mà không có 2 quy n nào đ ng c nh nhau?
L i gi i. S cách ch n 5 quy n sách th a mãn yêu c u đ bài chính là s cách
x p 5 quy n sách gi ng nhau vào m t ngăn sách đã đ t s n 7 quy n sách sao cho
trong 5 quy n này không có 2 quy n nào đ t c nh nhau. 7 quy n sách trên giá s t o
ra 8 kho ng tr ng. X p 5 quy n sách vào 8 v trí sao cho m i quy n
m t v trí có C5 cách. 8
V y s cách ch n th a mãn yêu c u bài toán là C5 cách. 8
Bài t p 1.5. Có 12 ngư i ng i quanh m t bàn tròn. H i có bao nhiêu cách ch n
ra 5 ngư i mà không có 2 ngư i nào ng i c nh nhau?

10


L i gi i. Ta c đ nh m t ngư i và đ t ngư i này là A.
N u 5 ngư i đư c ch n có m t ngư i A suy ra không th ch n 2 ngư i ng i c nh A

n a, v y ta s ch n 4 ngư i trong 9 ngư i còn l i sao cho trong 4 ngư i
này, không có 2 ngư i nào ng i c nh nhau. Theo Bài t p 1.4

trên, s cách ch n

s là C4 cách. 6
N u 5 ngư i đư c ch n không có A, v y ta ch n 5 ngư i trong s 11 ngư i
còn l i, theo trên ta có C5 cách. 7
V y s cách ch n th a mãn đ bài là C4 + C5 = 36 (cách).
6

Bài t p t gi i

7

Bài t p 1.6. (Đ thi đ i h c, cao đ ng kh i B-2014). Trong m t môn h c, th y
giáo có 30 câu h i khác nhau g m 5 câu h i khó, 10 câu trung bình, 15 câu d . T
30 câu đó có th l p đư c bao nhiêu đ ki m tra, m i đ g m 5 câu khác nhau, sao
cho trong m i đ nh t thi t ph i có đ 3 lo i câu h i và s câu h i d
không ít hơn 2?
Bài t p 1.7. Có bao nhiêu cách ch n m t nhóm g m k ngư i trong s n ngư i
sao cho có m t ngư i làm nhóm trư ng.
Bài t p 1.8. Có bao nhiêu cách ch n 3 quy n sách t giá sách g m 6 quy n
sao cho có đúng 2 quy n đ ng c nh nhau?
Bài t p 1.9. Có 10 cây gi ng g m xoài, mít, i trong đó có 6 cây xoài, 3 mít
và 1 i. H i có bao nhiêu cách ch n 6 cây trong đó có đ c 3 lo i?
Bài t p 1.10. Có 10 ngư i ng i c nh nhau quanh m t bàn tròn. H i có bao
nhiêu cách ch n ra 3 ngư i sao cho 3 ngư i đó ng i c nh nhau?
2. S p x p th t các ph n t
Bài t p 1.11. Có 5 viên bi xanh gi ng nhau, 4 bi tr ng gi ng nhau và 3 viên

bi đ đôi m t khác nhau. H i có bao nhiêu cách x p 12 viên bi vào 12 ô theo
m t hàng ngang sao cho m i ô có m t viên bi?
L i gi i. N u t t c 12 viên bi đ u khác nhau thì s hoán v chúng t o thành là
P12 = 12!. Nhưng các hoán v c a 5 bi xanh và các hoán v c a 4 bi tr ng cho
11


cùng m t cách s p x p đ i v i 12 viên bi nên s cách s p x p ph i tìm là
P12 = 12! = 166320 cách.
P5 P4
5!4!

Bài t p 1.12. C n x p 5 b n nam và 4 b n n theo m t hàng d c mà không
cho phép hai b n n nào đ ng li n k nhau. H i có bao nhiêu cách s p x p?
L i gi i. Đ u tiên, ta s p x p 5 b n nam theo m t hàng d c có kho ng cách, ta
có P5 = 5! cách x p 5 b n nam.
V i m i cách x p 5 b n nam ta đ u có 6 v trí đ x p các b n n vào, đó là
v trí đ ng đ u, 4 v tr xen gi a và v trí đ ng cu i. S cách s p x p 4 b n n
đ i v i cách s p x p b n nam s là A4. V y có P5A4 = 43200 cách s p x p th a
mãn yêu c u bài toán.

6

6

Bài t p 1.13. Có bao nhiêu cách s p x p cho 5 h c sinh nam và 3 h c sinh n
ng i quanh m t bàn tròn sao cho không có hai h c sinh n nào ng i c nh nhau?
L i gi i. Trư c tiên ta s p x p v trí cho 5 h c sinh nam. B n nam th nh t có
m t cách ch n ch ng i vì ch ng i nào cũng không phân bi t so v i v trí bàn
tròn. X p 4 ngư i nam còn l i có P4 cách x p.

Sau khi x p 5 b n nam vào bàn tròn, ta s có 5 kho ng xen k gi a các b n
nam. X p 3 b n n vào 5 v trí này có A3 cách x p. 5
V y s cách s p x p th a mãn yêu c u là 4!A3 (cách). 5
Bài t p 1.14. M t h i ngh bàn tròn có phái đoàn c a các nư c, Anh 3 ngư i,
Nga 5 ngư i, M 2 ngư i, Pháp 3 ngư i, Trung qu c 4 ngư i. H i có bao nhiêu cách
s p x p ch ng i cho m i thành viên sao cho ngư i cùng qu c t ch thì ng i
c nh nhau?
L i gi i. N u m t phái đoàn nào ng i vào trư c thì b n phái đoàn còn l i có 4!
cách x p. Như v y có 24 cách s p x p các phái đoàn ng i theo qu c gia mình. Bây
gi ta xem có bao nhiêu cách s p x p ch ng i cho n i b t ng phái đoàn.
T gi thi t ta có
3! cách s p x p cho phái đoàn Anh 5!

cách s p x p cho phái đoàn Nga
12


2! cách s p x p cho phái đoàn M
3! cách s p x p cho phái đoàn Pháp
4! cách s p x p cho phái đoàn Trung Qu c.

Theo quy t c nhân s cách s p x p cho h i ngh là
n = 4!3!5!2!3!4! = 4976640 cách.

Bài t p 1.15. Có n b n nam và n b n n . H i có bao nhiêu cách x p 2n b n
này ng i vào hai dãy gh đ i di n sao cho nam n ng i đ i di n?
L i gi i.
X p n b n nam vào m t dãy gh có n! cách. X p n
b n n vào m t dãy gh có n! cách.
Đ i ch n c p nam n đ i di n có 2.2. . . . 2 = 2n cách.

n

V y s cách x p 2n b n nàm và n vào hai dãy gh đ i di n sao cho nam n
ng i đ i di n là (n!)2.2n cách.
Bài t p t gi i
Bài t p 1.16. (Trích VMO 2005 - B ng B). Theo dõi k t qu h c t p

mt

l p h c ta th y
hơn 2/3 s h c sinh đ t đi m gi i

môn toán và môn v t lí;

hơn 2/3 s h c sinh đ t đi m gi i

môn văn và môn l ch s ;

hơn 2/3 s h c sinh đ t đi m gi i

môn l ch s và môn toán.

Ch ng minh r ng trong l p có ít nh t m t h c sinh đ t đi m gi i Toán,

c b n môn

V t lí, Văn và L ch s .
Bài t p 1.17. M t t có 10 h c sinh. H i có bao nhiêu cách
a) X p 10 h c sinh thành m t hàng d c. b)
Ng i quanh m t bàn tròn 10 gh .

Bài t p 1.18. Phân ph i n qu c u phân bi t vào m h p phân bi t n ≥ m. Có
bao nhiêu cách phân ph i mà
a, H p có th ch a nhi u ho c không ch a qu c u nào?
b, M i h p ch a ít nh t m t qu c u?
13


Bài t p 1.19. Có 6 h c sinh nam và 3 h c sinh n x p hàng d c đi vào l p. Có
bao nhiêu cách x p mà h c sinh n đ ng đ u hàng?
Bài t p 1.20. Gi s có c p s nguyên dương k, n mà k ≤ n. Có bao nhiêu dãy
g m n s 0 và k s 1 mà không có hai ch s 1 nào đ ng c nh nhau?
3. Phân chia t p h p các ph n t thành các t p h p con
Bài t p 1.21. Có bao nhiêu cách chia 100 đ v t gi ng nhau cho 4 ngư i sao
cho m i ngư i nh n đư c ít nh t 1 đ v t?
L i gi i. Gi s 100 đ v t đư c x p thành hàng ngang, gi a chúng có 99 kho ng
tr ng. Đ t m t cách b t kỳ 3 v ch vào 3 trong s 99 kho ng tr ng đó, ta đư c m t
cách chia 100 đ v t ra thành 4 ph n đ l n lư t gán cho 4 ngư i. Khi đó, m i ngư i
nh n đư c ít nh t m t đ v t và t ng s đ v t c a 4 ngư i đó b ng 100, th a mãn yêu c
u bài toán.
V y s cách chia là C3 = 156849 cách. 99
Ngoài cách làm trên thì bài toán còn có th gi i quy t b ng phương pháp
hàm sinh. Tôi xin đưa ra m t s lý thuy t cơ b n v hàm sinh (xem [1]).
Hàm sinh c a dãy s th c a0, a1, . . . , an, . . . là hàm s đư c xác đ nh b i
G(x) = a0 + a1x + a2x2 + • • • + anxn + • • •

M t s đ ng th c liên quan đ n hàm sinh
1 = 1 + x + x2 + x3 + • • •
1−x
1
(1 − x) 2 = 1 + 2x + 3 x + 4 x + • • •

2

1
(1 − x)

n

= 1 + nx +

3

∞

n(n + 1) x2 + n(n + 1)(n + 2) x3 + • • • =
2!
3!

1 = 1 − x + x2 − x3 + • • •
1+x
1
(1 − ax)2 = 1 + 2ax + 3a x + 4a x + • • •
22

33

1 = 1 + xr + x2 r + x3 r + . . .
1 − xr
14

Ci+n−1xi

i=0

i


Ý tư ng chung c a phương pháp s d ng hàm sinh gi i bài toán đ m là đi
tìm h s c a xi trong khai tri n c a hàm sinh v i i là s ph n t đư c ch n ra trong n đ i
tư ng v i nh ng đi u ki n ràng bu c cho trư c. C th trong bài
toán trên, hàm sinh cho s cách chia đ v t cho ngư i th nh t là
1 − x97

A(x) = x + x2 + x3 + • • • + x97 = x

1−x

T i sao t ng trên ta ch b t đ u t x1 và k t thúc

.

x97? Đó là vì ngư i th nh t

ch c ch n nh n đư c m t đ v t, ba ngư i còn l i cũng nh n đư c ít nh t m t đ v t nên
s đ v t ngư i th nh t nh n đư c ch có th l t 1 đ n 97. Tương
t , hàm sinh cho s cách chia đ v t cho ngư i th hai, ba, b n cũng là A(x).
V y hàm sinh cho s cách phân ph i 100 đ v t gi ng nhau cho b n ngư i
sao cho m i ngư i nh n đư c ít nh t m t đ v t là

G(x) =

(A(x))4

=

x4

1 − x97
1−x

4

98 4

= (x − xx)) . (1 −
4

Bây gi ta ch c n đi tìm h s c a x100 trong khai tri n c a G(x) và đó cũng là
k t qu c a bài toán. Ta có
(x − x98)4 = (x4 − 4x101 + 6x198 − 4x295 + x392)
1
(1 − x)4 =

∞

i=0

Ci+3xi. i

Ta ch c n tìm i sao cho x4xi = x100, hay i = 96. Suy ra h s c a x100 là C96. 99
V y có C96 = 156849 cách chia th a mãn yêu c u đ bài. 99
Bài t p 1.22. Cô giáo có 12 quy n v gi ng h t nhau đ làm ph n thư ng cho

ba h c sinh A, B, C. H i cô giáo có bao nhiêu cách chia v cho ba h c sinh bi t A
ph i nh n đư c ít nh t 4 quy n, B và C m i ngư i ít nh t 2 quy n nhưng C
không đư c nhi u hơn 5 quy n?
L i gi i. Trư c tiên ta chia cho A 4 quy n, B và C m i ngư i 2 quy n thì s v
còn l i s còn là 12 − 8 = 4 quy n. Bây gi ta ti p t c chia 4 quy n còn l i cho A, B, C nhưng v i
đi u ki n C không đư c có quá 3 quy n.
15


TH 1. C không nh n đư c quy n nào trong 4 quy n, chia 4 quy n cho A và B
có 5 cách chia.
TH 2. C nh n đư c 1 quy n, chia 3 quy n còn l i cho A và B có 4 cách chia. TH
3. C nh n đư c 2 quy n, chia 2 quy n còn l i cho A và B có 3 cách chia. TH 4. C
nh n đư c 3 quy n, chia 1 quy n còn l i cho A và B có 2 cách chia.
V y s cách chia th a mãn yêu c u đ bài là
5 + 4 + 3 + 2 = 14 (cách).

Bây gi , ta hãy th gi i bài toán theo phương pháp hàm sinh. Hàm sinh cho
s cách chia v cho A là
A(x) = x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = x4 11− x . 5
−x

Hàm sinh cho s cách chia v cho B là
B(x) = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = x2 11− x . 5
−x

Hàm sinh cho s cách chia v cho C là
C(x) = x2 + x3 + x4 + x5 = x2 11− x . 4
−x

Hàm sinh cho s cách chia 12 quy n v cho A, B, C là
G(x) = A(x)B(x)C(x)
= x4 11− x x2 11− x x2 11− x = x (1 − x−)x(13 − x )
5
5
4
8 3 (1 52 )
1
−x
−x
−x
= x8(1 − 2x5 + x10)(1 − x4) x − 1

1

Ta có (x − 1)3 =

1

4

3

= (x8 − x12 − 2x13 + 2x17 + x18 − x22) x − 1 .
∞i
i

c x
=0 i+2

i

nên h s c a x12 trong khai tri n c a G(x) là

1C4 − 1C0 = 14.
6

2

V y s cách chia là 14 cách.
Nh n xét. Tho t nhìn ban đ u chúng ta th y cách gi i b ng hàm sinh dài hơn cách
gi i thông thư ng nhưng suy nghĩ sâu thêm chúng ta s th y đ i v i nh ng bài d li u
l n thì cách li t kê t ra kém hi u qu , th m chí khó có th gi i quy t đư c. Ta xét bài


toán sau.
16


Bài t p 1.23. Trong túi xách c a Long có 10 chi c nh n vàng, 20 chi c nh n
b c và 30 chi c nh n b ch kim. H i Long có bao nhiêu cách ch n ra 30 đ v t đ đem
bán bi t r ng m i lo i trang s c có ít nh t m t đ v t đư c l y ra.
L i gi i. Bài toán trên s x y ra r t nhi u trư ng h p n u gi i quy t theo phương
pháp thông thư ng. Ta s gi i quy t bài toán trên b ng phương pháp hàm sinh.
Hàm sinh cho s cách ch n nh n vàng là
A(x) = x + x2 + x3 + • • • + x10 = x 11− xx . 10
−

Hàm sinh cho s cách ch n nh n b c là
B(x) = x + x2 + x3 + • • • + x20 = x 11− xx . 20

−

Hàm sinh cho s cách ch n nh n b ch kim là
C(x) = x + x2 + x3 + • • • + x28 = x 11− xx . 28
−

Hàm sinh cho s cách ch n 30 đ v t đem bán, bi t r ng m i lo i trang s c có
ít nh t m t lo i đư c l y ra là
G(x) = A(x)B(x)C(x)
= x3 (1 − x )(1 − x )3)(1 − x )
10

(1 − x

20

28

1

= (x3 − x13 − x23 + x33 − x31 + x41 + x51 − x61)(1 − x)3

Ta có

1
(1 − x)3 =

∞

Ci+2xi. i

i=0

Suy ra h s c a x30 trong khai tri n c a G(x) là 1C27 − 1C17 − 1C7 = 199.
29

19

9

V y Long có 199 cách ch n 30 đ v t đem đi bán mà m i lo i có ít nh t m t
đ v t đư c l y ra.
Bài t p 1.24. Có bao nhiêu cách phân ph i 25 qu bóng gi ng h t nhau vào 7
h p riêng bi t sao cho h p đ u có không quá 10 qu bóng và s bóng là tùy ý trong
sáu h p còn l i.


17


L i gi i. Hàm sinh cho s cách ch n bóng vào h p đ u tiên là
A(x) = 1 + x + x2 + • • • + x10

1 − x11 .
= 1−x

Hàm sinh cho s cách ch n bóng vào h p hai, ba, b n, năm, sáu, b y là
B(x) = 1 + x + x2 + • • • + x25 = 11− xx . 26
−

Hàm sinh cho s cách phân ph i 25 qu bóng vào b y h p này là

G(x) = A(x)[B(x)]6 = (1 − x11)(1 − xx)) . 26 6
(1 − 7

Ta có

1
(1 − x)7 =

∞

Ci+6xi. i
i=0

Suy ra h s c a x25 là 1C25 − 1C14 = 697521.
31

20

V y s cách chia th a mãn yêu c u là 697521 cách.
Bài t p 1.25. Có bao nhiêu cách g i 8 b c nh khác nhau vào 5 phong bì khác
nhau sao cho m i phong bì có ít nh t m t b c nh?
L i gi i. G i 8 b c nh vào 5 phong bì có 58 cách.
Bây gi ta tính xem có bao nhiêu cách phân ph i nh mà có r phong bì không có
nh (1 ≤ r ≤ 4). Trong trư ng h p r phong bì không có nh thì 8 nh r i m t cách t do cho (5 − r)
phong bì nên có (5 − r)8 cách. M t khác, khi ch n r phong
bì trong 5 phong bì có Cr cách. Áp d ng công th c bao hàm lo i tr thì s cách

5

phân ph i 8 nh vào 5 phong bì mà không có phong bì nào r ng là

58 − C148 + C238 − C328 + C418 = 12600 (cách).
5

5

5

5

Chú ý. Ta c n phân bi t 8 b c nh gi ng nhau và khác nhau trong bài toán trên.
N u 8 b c nh là gi ng nhau thì ta có th gi i quy t bài toán tương t như Bài 1.21.

18


Bài t p t gi i
Bài t p 1.26. Có bao nhiêu cách phân b 100 s n ph m cho 12 c a hàng bi t
r ng m i c a hàng ph i có ít nh t m t s n ph m.
Bài t p 1.27. Có bao nhiêu cách g i 5 b c thư vào 5 phong bì sao cho có ít
nh t m t b c thư b đúng đ a ch ?
Bài t p 1.28. Có bao nhiêu cách chia 10 đ v t đôi m t khác nhau cho 2 ngư i,
sao cho m i ngư i nh n đư c ít nh t m t đ v t?
Bài t p 1.29. Có bao nhiêu cách chia 10 hoa h ng, 12 hoa cúc cho 2 em sao
cho m i em nh n đư c ít nh t 1 bông hoa h ng và 2 hoa cúc?
Bài t p 1.30. Có bao nhiêu cách chia 40 qu táo cho 4 em sao cho em th nh t
nh n đư c ít nh t 2 qu táo, em th tư nh n đư c ít hơn 35 qu ?
4. Các bài toán v l p s , t o s
Bài t p 1.31. Có bao nhiêu s t

nhiên đư c t o b i các ch

s catp

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

a) g m 5 ch s đôi m t khác nhau?
b) g m 5 ch s đôi m t khác nhau và là s ch n?
L i gi i. G i s t o thành là a1a2 . . . a5.
a) a1 có 6 cách ch n. S cách ch n 4 trong 6 ch s còn l i cho 4 v trí còn l i
là A4 cách. 6
V y s các s t nhiên g m 5 ch s đôi m t khác nhau t o b i t p A là
6A4 = 2160 s .

6

b) TH1. a5 = 0 s cách ch n 4 trong 6 ch s còn l i cho 4 v tr còn l i là
A4 = 360 cách. 6

TH2. a5 = 0. Ta có 3 cách ch n ch s a5; sau đó có 5 cách ch n ch s a1,
ti p theo ch n 3 trong 5 s còn l i cho 3 v trí còn có A3 = 60 cách. V y s cách 5
ch n cho TH này là 3.5.A3 = 900 cách. 5
Theo quy t c c ng, s các s t nhiên th a mãn yêu c u là
360 + 900 = 1260 s .
19