Luận văn thạc sĩ tính chính quy lyapunov trong không gian hilbert

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Tran Th% Huyen Thanh

TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHƠNG GIAN
HILBERT

LUắN VN THAC S KHOA HOC

H Nđi - 2012


Tran Th% Huyen Thanh

TÍNH CHÍNH QUY LYAPUNOV TRONG KHƠNG GIAN
HILBERT

Chun ngành: Tốn giai tích
Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Ngưài hưáng dan khoa HQC:
TS. Lê Huy Tien

Hà N®i - 2012


Mnc lnc
Lài cam ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lài nói đau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv

1 Kien thÉc chuan b%

1

1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tu liên hop

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.3 Toán tu unita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4 Nguyên lý điem bat đ®ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.5 Phương pháp trnc giao hóa Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.6 Bő đe Gronwall-Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Tính őn đ%nh cna h¾ vi phân tuyen tính . . . . . . . . . . . . . .

3

1.7

2 Tính chính quy Lyapunov trong không gian hEu han chieu

5

2.1 So mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3 Cách đưa bài toán ve trưòng hop tam giác trên . . . . . . . . .

8

2.4 Đ¾c trưng cna tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3 Tính chính quy Lyapunov trong khơng gian Hilbert

17

3.1 So mũ Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2 Tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.3 Cách đưa bài tốn ve trưịng hop tam giác trên . . . . . . . . .

19

3.4

H¾ so chính quy và h¾ so Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.5 Đ¾c trưng cna tính chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.6 M®t so đánh giá cho h¾ so chính quy và h¾ so Perron . . . . . .

32

ii


4 Tính on đ%nh cua phương trình khơng ơtơnơm trong khụng
gian Hilbert

35

4.1 Mđt so ieu kiắn cna phng trỡnh vi phân khơng ơtơnơm

...

35

4.2 Các ket qua ve tính őn đ%nh nghi¾m . . . . . . . . . . . . .

...

39

Ket lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

47

Tài li¾u tham khao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...

49


Li núi au

Lý thuyet n %nh l mđt bđ phắn quan TRQNG cna lý thuyet đ%nh tính
phương trình vi phân. Nó đưoc úng dung ngày càng nhieu trong các lĩnh vnc
kinh te, khoa HQc ky thu¾t, sinh thái HQc và mơi trưịng HQc. Vì v¾y, lý
thuyet őn đ%nh cna phương trình vi phân đang đưoc phát trien manh me. Có
hai phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi
phân là phương pháp su dung so mũ đ¾c trưng Lyapunov (hay còn GQI là
phương pháp thú nhat Lyapunov), phương pháp hàm Lyapunov (hay còn GQI
là phương pháp thú hai Lyapunov). Lu¾n văn t¾p trung vào phương pháp thú
nhat. Cơ so cna phương pháp này là khái ni¾m so mũ Lyapunov.
Vói trưịng hop phương trình vi phân ơtơnơm v J = Av trong không gian huu
han chieu, giá tr% riêng đưoc dùng đe nghiên cúu tính őn đ%nh. M®t ket
qua chúng ta đã biet cho trưòng hop này là:

Đ%nh lý 0.0.1. Phương trình vi phân ơtơnơm thuan nhat v J = Av, v ∈ Rn
őn đ%nh neu và chs neu tat ca các giá tr% riêng cua ma tr¾n A đeu có
phan thnc khơng dương, và các giá tr% riêng có phan thnc bang 0 đeu có ưác
cơ ban đơn. Nó là őn đ%nh ti¾m c¾n khi và chs khi tat ca các giá tr%
riêng cua ma tr¾n A đeu có phan thnc âm.
Cịn trong trưịng hop phương trình vi phân không ôtônôm thuan nhat v J
= A(t)v, so mũ Lyapunov đưoc dùng đe nghiên cúu tính őn đ%nh. Chúng ta
cũng đã biet đieu ki¾n đn cna tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình này như
sau:
Đ%nh lý 0.0.2. Phương trình v J = A(t)v őn đ%nh ti¾m c¾n khi so mũ

Lyapunov lán nhat cua nó là âm.
Trong trưịng hop phương trình ơtơnơm huu han chieu, vói gia thiet thích hop,
m®t nguyên lý cơ ban là tù sn őn đ%nh nghi¾m cna phương trình thuan nhat


Lài nói đau

v

v J = Av se kéo theo sn őn đ%nh nghi¾m cna phương trình nua tuyen tính
vói nhieu nho v J = Av +f (v). Còn trong trưòng hop khơng ơtơnơm, đieu này
khơng đúng nua. V¾y bài tốn đ¾t ra là vói đieu ki¾n nào thì phương trình
vi phân nua tuyen tính v J = A(t)v + f (t, v) őn đ%nh ti¾m c¾n. Đe giai
quyet bài tốn này, ngồi dùng so mũ Lyapunov, chúng ta cịn can mđt
cụng cu khỏc l hắ so chớnh quy. Luắn vn h¾ thong lai các ket qua ve tính
chính quy Lyapunov trong khơng gian huu han chieu sau đó suy r®ng cho
trưịng hop khơng gian Hilbert.
Ngồi các phan mo đau, ket lu¾n và tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom 4
chương:
Chương 1: "Kien thÉc chuan b% " trình bày m®t so khái ni¾m cơ ban ve
khơng gian Hilbert, tốn tu liên hop, tốn tu unita, các khái ni¾m ve őn đ%nh
nghi¾m, bő đe Gronwall-Bellman, phương pháp trnc giao hóa Schmidt, nguyên
lý điem bat đ®ng.
Chương 2: "Tính chính quy Lyapunov trong khơng gian hEu han chieu"
trình bày khái ni¾m so mũ Lyapunov, tính chính quy và đ¾c trưng cna tính
chính quy Lyapunov trong khơng gian huu han chieu.
Chương 3: "Tính chính quy Lyapunov trong khơng gian Hilbert" trình
bày n®i dung chính cna lu¾n văn. Có ba ket qua chính trong chương này. Thú
nhat, khái ni¾m so mũ Lyapunov và tính chính quy Lyapunov cho phương trình
vi phân khơng ơtơnơm trong khơng gian Hilbert đưoc thiet l¾p. Thú hai, hai

đ¾c trưng cna tính chính quy Lyapunov (su dung h¾ so chính quy và hắ so
Perron) oc trỡnh by trong nđi dung %nh lý 3.4.1 và đ%nh lý 3.4.2. Thú ba,
các ưóc lưong cho h¾ so chính quy và h¾ so Perron đưoc trình bày trong muc
3.5.
Chương 4: "Tính on đ%nh cua phương trình khơng ơtơnơm trong khơng
gian Hilbert" trình bày các úng dung cna h¾ so chính quy đe nghiên cúu tính
őn đ%nh ti¾m c¾n cna phương trình vi phân nua tuyen tính v J = A(t)v + f (t,
v) trong không gian Hilbert.
Hà n®i, ngày 22 tháng 05 năm 2012


Chương 1
Kien thÉc chuan b%
1.1

Không gian Hilbert

Không gian đn: Không gian metric X trong đó MQI dãy cơ ban đeu h®i tu
tói m®t phan tu cna X đưoc GQI là m®t khơng gian metric đn. (Dãy {xn } ⊂ X
là dãy cơ ban neu lim ||xn − xm|| = 0).
n,m→+∞

Không gian tien Hilbert: Không gian vectơ thnc X đưoc GQI là khơng gian
tien Hilbert, neu trong đó xác đ%nh m®t hàm hai bien (x, y) GQI là tích vơ hưóng
cna hai vectơ x và y thoa mãn các tính chat sau:
(i) tính đoi xúng: (x, y) = (y, x);
(ii) song tuyen tính: (αx + βy, z) = α (x, z) + β (y, z) vói MQI α, β ∈ R;
(iii) thuan nhat dương: (x, x) > 0 neu x ƒ= 0 và (x, x) = 0 neu x = 0.
Không gian Hilbert H là không gian tien Hilbert, đay đn, trong đó khoang
√

cách giua các phan tu x, y ∈ H đưoc xác đ%nh boi ||x − y|| = (x − y, x − y)
.

1.2

Toán tE liên hap

Cho A là tốn tu tuyen tính liên tuc trong khơng gian Hilbert H. Do (Ax, y)
là phiem hàm song tuyen tính liên tuc nên ton tai duy nhat m®t tốn tu tuyen
tính liên tuc A∗ thoa mãn (Ax, y) = (x, A∗ y). Tốn tu A∗ xác đ%nh như
v¾y đưoc gQI là toán tu liên hop cna A.
Toán tu liên hop A∗ cna tốn tu A có các tính chat sau:
1


Chương 1. Kien thúc chuan b%

8

(i) ||A∗ || = ||A||;
(ii) (A∗ )∗ = A;
(iii) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ , (αA)∗ = αA∗ ;
(iv) (AB)∗ = B ∗ A∗ .

1.3

Tốn tE unita

Cho H là khơng gian Hilbert. Tốn tu unita là tốn tu tuyen tính b% ch¾n
U : H → H thoa mãn U ∗ U = UU ∗ = I, trong đó U ∗ là tốn tu liên hop cna U

và I : H → H là tốn tu đong nhat.
Tốn tu unita U có các tính chat sau:
(i) U bao tồn tích vơ hưóng cna khơng gian Hilbert H;
(ii) U là tồn ánh;
(iii) Mien giá tr% cna U là trù m¾t và ngh%ch đao U −1 cna nó là b% ch¾n,
U −1 = U ∗ .

1.4

Ngun lý điem bat đ®ng

Cho X là khơng gian đ%nh chuan đay đn. Ánh xa f : X → X đưoc GQI
là ánh xa co neu ton tai so θ thoa mãn 0 < θ < 1, sao cho vói MQI x1 , x2 ∈ X
thì
||f (x1 ) − f (x2 )|| ≤ θ||x1 − x2 ||.
x đưoc GQi là điem bat đ®ng cna ánh xa f neu f (x) = x.
Nguyên lý ánh xa co: MQI ánh xa co f : X → X đeu có duy nhat m®t
điem bat đ®ng.

1.5

Phương pháp trEc giao hóa Schmidt

a) Xét khơng gian Rn:
Phương pháp trnc giao hóa Schmidt là phương pháp chuyen mđt hắ n vect
đc lắp tuyen tớnh {u1, . . . , un} sang h¾ n vectơ {v1, . . . , vn} không chúa vectơ


θ, trnc giao vói nhau tùng đơi m®t và moi vectơ cna h¾ {v1, . . . , vn} bieu dien
tuyen tính qua h¾ {u1, . . . , un}.

b) Xét khơng gian Hilbert H:
H¾ {un } các phan tu cna khơng gian Hilbert H đưoc GQI là h¾ trnc giao neu
(ui , uj ) = 0 vói MQI i ƒ= j.
Cho h¾ {un } các phan tu cna khơng gian Hilbert H sao cho vói MQI n h¾
{u1 , . . . , un } đc lắp tuyen tớnh. Khi ú ton tai mđt hắ trnc giao {vn } cùng
lnc lưong vói {un } sao cho vói MQI n, hai h¾ vectơ u1 , . . . , un và v1 , . . . , vn có
cùng bao tuyen tớnh.
MQI khụng gian Hilbert tỏch oc cú mđt hắ trnc chuan đay đn đem đưoc
ho¾c huu han.

1.6

Bo đe Gronwall-Bellman

Cho λ(t) là hàm thnc liên tuc và µ(t) là hàm liên tuc không âm trên khoang
[a, b]. Neu hàm liên tuc y(t) thoa mãn tính chat
∫
y(t) ≤ λ(t) +t µ(s)y(s)ds
a

vói MQI t ∈ [a, b], thì cũng trên khoang đó ta cú
(s)à(s)esá à( )d

y(t) (t)
+
t

ds.

t

a

Neu (t) = l mđt hang so
thỡ

át

y(t) ea

1.7

à(s)ds

.

Tớnh on %nh cua hắ vi phân tuyen tính

Xét phương trình vi phân tuyen tính sau
v J = A(t)v + f (t, v), f (t, 0) = 0

(1.1)


1. Nghi¾m u = u(t), a < t < ∞ cna phương trình (1.1) đưoc gQI là őn đ%nh theo
Lyapunov (hay ngan GQN là őn đ%nh) neu vói MQI s > 0 và t0 ∈ (a, ∞), ton tai
so δ = δ(s, t0) > 0 sao cho:
(i) Tat ca các nghi¾m v = v(t) cna phương trình (1.1) thoa mãn đieu ki¾n
||v(t0) − u(t0)|| < δ thì xác đ%nh trong khoang t0 < t < ∞;
(ii) Đoi vói các nghi¾m này bat đang thúc sau đưoc thoa mãn

||v(t) − u(t)|| < s khi t0 ≤ t < ∞.
Trưịng hop đ¾c bi¾t, nghi¾m khơng (nghi¾m tam thưịng) u(t) = 0, (a < t <
∞) őn đ%nh neu vói MQI s > 0 và t0 ∈ (a, ∞) ton tai δ = δ(s, t0 ) sao cho
bat đang thúc ||v(t0 )|| < δ kéo theo bat đang thúc ||v(t)|| < s khi t0 < t < ∞.
2. Trong đ%nh nghĩa trên, neu so δ > 0 có the cHQN khơng phu thu®c vào đieu ki¾n
ban đau t0 ∈ G (G = (a, ∞)), túc là δ = δ(s) thì őn đ%nh đưoc GQI là őn đ%nh
đeu.
3. Nghi¾m u = u(t) (a < t < ∞) đưoc GQI là őn đ%nh ti¾m c¾n khi t → +∞,
neu:
(i) Nghi¾m u = u(t) őn đ%nh theo Lyapunov;
(ii) Vói MQI t0 ∈ (a, ∞) ton tai ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho MQI nghi¾m v(t)
(t0 ≤ t < ∞) thoa mãn đieu ki¾n ||v(t0) − u(t0)|| < ∆ se có tính chat
lim ||v(t) − u(t)|| = 0.
t→
∞

Trưịng hop đ¾c bi¾t, nghi¾m khơng u(t) = 0 őn đ%nh ti¾m c¾n, neu nó őn đ
%nh và
lim v(t) = 0 khi ||v(t0)|| < ∆.
t→
∞

4. Nghi¾m u(t) = 0 đưoc gQI là őn đ%nh mũ neu ton tai so γ > 0 sao cho vói
t0, ton tai so N = N (t0) mà ||v(t)|| ≤ Ne −γ(t−t0), trong đó v(t) là nghi¾m
vói đieu ki¾n ban đau ||v(t0)|| đn bé.
MQI


Chương 2
Tính chính quy Lyapunov trong

khơng gian hEu han chieu
Trong chương này, chúng ta h¾ thong lai các ket qua cơ ban ve so mũ
Lyapunov trong không gian huu han chieu.

2.1

So mũ Lyapunov

Xét bài toán giá tr% ban đau
v J = A(t)v, v(0) = v0 ,

(2.1)

trong đó v0 ∈ Rn và hàm liên tuc A : R0+ → Mn(R), vói Mn(R) l tắp cỏc ma
trắn thnc cừ n ì n, thoa mãn
1 +
log ||A(t)|| = 0
t→+∞ t
lim

(2.2)

((log)+x = max{0, log x}),
trong đó ||A(t)|| là chuan cna tốn tu. Theo bő đe Gronwall, bài tốn (2.1) có
nghi¾m duy nhat và nghi¾m duy nhat này là toàn cuc.
Đ%nh nghĩa 2.1.1. So mũ Lyapunov λ : Rn → R ∪ {−∞} cua phương trình
(2.1) đưac đ%nh nghĩa như sau
λ(v0) = tlim

→+∞

1
t

log ||v(t)||,

trong đó v(t) là nghi¾m cua (2.1) (ta quy ưác log 0 = −∞)

(2.3)


Chương 2. Tính chính quy Lyapunov trong khơng gian huu han chieu

12

M¾nh đe 2.1.1. (xem [1], trang 320) So mũ Lyapunov có các tính chat sau
đây
(i) λ(αv) = λ(v) vái MQI v ∈ Rn và α ∈ R\{0};
(ii) λ(v + w) ≤ max{λ(v), λ(w)} vái MQI v, w ∈ Rn;
(iii) Neu vái v1, . . . , vm ∈ Rn\{0} mà các so λ(v1), . . . , λ(vm) phân biắt thỡ cỏc
vect v1, . . . , vm đc l¾p tuyen tính.
Nh¾n xét. Theo tính chat (iv) trong m¾nh đe 2.1.1, ta thay hàm λ nh¾n nhieu
nhat p ≤ n giá tr% phân bi¾t trên Rn\{0} là
−∞ ≤ λ1 < · · · < λp

(2.4)

Hơn nua, theo 2 tính chat đau tiên, vói MQI i = 1, . . . , p, t¾p
Ei = {v0 ∈ Rn : λ(v0 ) ≤ λi }

(2.5)

là khơng gian tuyen tính và ta ln có λ(v0 ) > λi vói MQI v0 ∈ Rn \Ei .

2.2

Tính chính quy

Trưóc khi đ%nh nghĩa tính chính quy Lyapunov cna phương trình (2.1),
chúng ta xét bài tốn liên hop cna (2.1) là
wJ = −A(t)∗ w,

w(0) = w0 ,

(2.6)

vói w0 ∈ Rn , trong đó A(t)∗ là ma tr¾n chuyen v% cna A(t).
Chúng ta cũng xét so mũ Lyapunov cna (2.6) là hàm µ : Rn → R ∪ {−∞} xác
đ%nh boi

1

log ||w(t)||,
(2.7)
t
trong đó w(t) là nghi¾m cna (2.6). Theo Mắnh e 2.1.1, chỳng ta thay hm à
à(w0) = tlim

→+∞

nh¾n nhieu nhat q ≤ n giá tr% phân biắt trờn Rn\{0} l
àq < Ã Ã Ã < µ1,

(2.8)

và vói MQI i = 1, . . . , q tắp
Fi = {w0 Rn : à(w0) µi}
là khơng gian tuyen tính.

(2.9)


Đ%nh nghĩa 2.2.1. Hai cơ sá v1 , . . . , vn và w1 , . . . , wn cua Rn đưac GQI là
đoi ngau neu (vi , wj ) = δij vái MQI i, j trong đó δij là kí hi¾u Kronecker và
(., .) là tích vơ hưáng trong Rn .
Đ%nh nghĩa 2.2.2. H¾ so chính quy cua cắp so m Lyapunov v à ac xỏc đ
%nh bái
γ(λ,µ) = min max{λ(vi) + µ(wi) : 1 ≤ i ≤ n}

(2.10)

trong đó giá tr% nhó nhat lay trên tat ca các c¾p cơ sá đoi ngau v1, . . . , vn và
w1, . . . , wn cua Rn.
Theo (2.4) và (2.8), do λ và µ chi nh¾n huu han giá tr% nên giá tr% nho nhat
trong đ%nh nghĩa trên ln ton tai.
M¾nh đe 2.2.1. (xem [7], trang 221) Neu v1 , . . . , vn và w1 , . . . , wn là c¾p
cơ sá đoi ngau cua Rn thì λ(vi ) + µ(wj ) ≥ 0 vái MQI i = 1, . . . , n.
Tù tính chat trên và theo đ%nh nghĩa hắ so chớnh quy chỳng ta nhắn thay
(,à) 0.
%nh nghĩa 2.2.3. Phương trình (2.1) là chính quy (Lyapunov) neu (,à)

= 0.
%nh lý 2.2.1. (xem [7], trang 226) Hắ so chính quy thóa mãn đánh giá sau:
trA(τ )dτ  .

1 ∫t
1
γ(λ,µ) ≥ 1 
lim
lim ∫t trA(τ )dτ −t→+∞
t
n t →+∞
t
0

Đ%nh lý 2.2.2. (xem [7], trang 228) Neu A(t) là ma tr¾n tam giác trên vái
MQI

t ≥ 0 thì h¾ so chính quy thóa mãn đánh giá sau
lim

 →+∞
n

γ(λ,µ) ≤
Σk=1

t

t

∫

0

ak(τ )dτ

∫−

ak (τ )dτ 

t

lim

t→+∞

0

trong đó ak(τ ) là các phan tu trên đưàng chéo chính cua A(t).


2.3

Cách đưa bài toán ve trưàng hap tam giác trên

Khi A(t) là ma tr¾n tam giác trên (tőng quát hơn là ma tr¾n tam
giác), chúng ta se có các đánh giá ve c¾n trên cna h¾ so chính quy. Khơng
mat tőng quát, qua ket qua cna đ%nh lý dưói đây, chúng ta ln có the gia su
A(t) trong bài tốn (2.1) có dang tam giác trên (vói MQI t) đoi vói cơ so chính
tac e1 , . . . , en cna Rn .

Đ%nh lý 2.3.1. Gia su A : R0+ → Mn(R) là hàm liên tnc. Khi đó ln ton tai
hàm liên tnc B : R0+ → Mn(R) và U : R0+ → Mn(R) thóa mãn
(i) B(t) có dang tam giác trên và ||B(t)|| ≤ 2n||A(t)|| vái MQI t ≥ 0.
(ii) U là kha vi, U (0) = Id và vái MQI t ≥ 0, U (t) là toán tu unita thóa mãn
B(t) = U (t)−1 A(t)U (t) − U (t)−1 U J (t)

(2.11)

(iii) Bài toán giá tr% ban đau (2.1) tương đương vái
xJ = B(t)x, x(0) = v0 ,

(2.12)

và nghi¾m v(t) cua (2.1) và x(t) cua (2.12) thóa mãn v(t) = U (t)x(t). Hơn
nua neu A thóa mãn (2.2) thì
lim
t→+∞

1
t

log+ ||B(t)|| = 0.

(2.13)

Chúng minh. Áp dung phương pháp trnc giao hóa Schmidt, chúng ta đưa
h¾ v1(t), . . . , vn(t) (trong đó vi(t) là nghi¾m cna (2.1) vói v0 = ei) ve h¾
u1(t), . . . , un(t) sao cho:
1. (ui(t), uj(t)) = δij vói MQI i và j;
2. Moi hàm uk(t) là m®t tő hop tuyen tính cna v1(t), . . . , vk(t).

Do moi vk(t) là m®t tő hop tuyen tính cna u1(t), . . . , uk(t) nên chúng ta có
(vi (t), uj (t)) = 0 vói MQI i < j.

(2.14)

Vói t ≥ 0 cho trưóc, chúng ta xét tốn tu tuyen tính U (t) sao cho U (t)ei =
ui (t)
vói MQI i. Chúng ta nh¾n thay rang U (t) là tốn tu unita vói MQI t, U (0) = Id,


và t ›→ U (t) là kha vi vói U J (t)ei = uJi (t) vói MQI i. Bây giị chúng ta
đ¾t
−1
x(t) = U (t) v(t). Chúng ta có
v J (t) = U J (t)x(t) + U (t)xJ (t) = A(t)v(t) = A(t)U (t)x(t),

(2.15)

và vì v¾y xJ (t) = B(t)x(t) vói B(t) đưoc xác đ%nh như trong (3.14).
Vói t ≥ 0 cho trưóc, gia su V (t) là tốn tu thoa mãn V (t)ei = vi (t) vói
MQI i, và đ¾t X(t) = U (t)−1 V (t). Do U (t) là toán tu unita nên tù (2.14)
chúng ta suy ra
0 = (vi (t), uj (t)) = (V (t)ei , U (t)ej ) = (X(t)ei , ej ) vói MQI i < j. (2.16)
Do đó X(t) là ma tr¾n tam giác trên. Tương tn, chúng ta cũng có X J (t) cũng là
ma tr¾n tam giác trên. Chúng minh tương tn (2.15), nhưng bây giị đ¾t V (t)
= U (t)X(t), chúng ta có X J (t) = B(t)X(t) vói t ≥ 0. Vì v¾y, B(t) =
X J (t)X(t)−1 cũng là ma tr¾n tam giác trên.
Vì U (t) là tốn tu unita nên tù (3.14) chúng ta suy ra rang
B(t) + B(t)∗ = U (t)∗ (A(t) + A(t)∗ )U (t) − (U (t)∗ U J (t) + U J (t)∗ U (t))
d

∗
= U (t)∗ (A(t) + A(t)∗ )U (t)
− (U (t) U (t))
dt
∗
∗
= U (t) (A(t) + A(t) )U (t).
(2.17)
Vói MQI i, j = 1, . . . , n và t ≥ 0, chúng ta đ¾t bij (t) = (B(t)ei , ej ) và
∼

aij(t) = (A(t)ui (t), uj (t)). Vì B(t) có dang tam giác trên, nên tù (2.17),

chúng ta suy ra
∼

b∼ii (t) = aii(t);
∼
aij(t) + aji(t)

bij (t) =
(2.18)

khi i ƒ= j. M¾t khác do U (t) là tốn tu unita, và h¾ vectơ u1(t) = U (t)e1, . . . ,
un(t) =
U (t)en tao thành m®t cơ so trnc giao cna Rn nên
n

||A(t)|| ≥ ||A(t)ui(t)|| =Σ (Aui(t), uj(t)) uj(t)
j=

1

.
=

Σ1/

Σn
∼

j=
1

aji(t 2

)2

≥ |∼aij(t)|


vói MQI i và j. Ket hop bat đang thúc trên và (2.18) ta suy ra rang |bij (t)| ≤
Σ
.
Σ
2||A(t)|| vói MQI i và j. Đ¾t v
1/ = 1. Ta có
Σn
n
2
=

αiei vói ǁvǁ
2
i=
i= α
=
i
1
1
n

n

αi (B(t)ei, ej) e j
ǁB(t)vǁ2 =Σ Σj
i=
Σ
.
1 .
=1
Σ
Σ
n
n
n
Σ
2
Σ
2
2
b

ij(t)
=
i
α
αibij(t)
Σ
j=
1
n

≤
Do đó, chúng ta có
cũng

de

n

i=
j

Σ Σ
j= i=
1
j ≤
||B(t)||

dàng

≤ Σj=1

i=j

i
=
j

n

bij(t) ≤ 4n ǁA(t)ǁ
2

2

2

n

2n||A(t)||. Su dung bat đang thúc này, chúng ta
suy

ra

(2.13)

tù

(2.2).

□

Tù ket qua cna Đ%nh lý 2.3.1, chúng ta nh¾n thay vi¾c nghiên cúu tính chính
quy Lyapunov cna bài tốn (2.1) đưoc quy ve vi¾c nghiên cúu tính chính quy
cna bài tốn (2.12). Đieu đó đưoc the hi¾n trong đ%nh lý dưói đây.
Đ%nh lý 2.3.2. Phương trình v J = A(t)v là chính quy Lyapunov khi và chs
khi phương trình xJ = B(t)x là chính quy Lyapunov.
Chúng minh. Theo Đ%nh lý 2.3.1, bài tốn (2.1) tương đương vói bài
tốn (2.12), trong đó nghi¾m v(t) cna (2.1) và nghi¾m x(t) cna (2.12)
liên h¾ vói nhau bang đang thúc v(t) = U (t)x(t), vói U (t) là tốn tu unita
vói MQI t ≥ 0 (và U (0) = Id). Tương tn, bài toán (2.6) tương đương vói bài
tốn
y J = −B(t)∗ y,

y(0) = w0 ,

(2.19)

trong đó nghi¾m w(t) cna (2.6) và y(t) cna (2.19) liên h¾ vói nhau bang đang
thúc w(t) = U (t)y(t). Th¾t v¾y, su dung (3.14) chúng ta có
(U (t)y(t))J = U J (t)y(t) + U (t)y J (t)
= U J (t)U (t)−1 U (t)y(t) + U (t)(−B(t)∗ y(t))
= [U J (t)U (t)−1 − U (t)B(t)∗ U (t)−1 ]U (t)y(t)


= [−A(t)∗ + U J (t)U (t)−1 + U (t)U J (t)∗ ]U (t)y(t)
d
=−
[ A(t)∗ + (U (t)U (t)∗ )]U (t)y(t)
dt

=−
[ A(t)∗ +

d

(U (t)U (t)−1 )]U (t)y(t)

dt
= −A(t)∗ U (t)y(t).

(2.20)

Vì U (t) là tốn tu unita vói MQI t nên so mũ Lyapunov cna phương trình (2.12)
và phương trình (2.19), túc là các phương trình
xJ = B(t)x và y J = −B(t)∗ y,
lan lưot trùng vói so mũ Lyapunov λ và µ cna phương trình (2.1) và (2.6), túc
là các phương trình
v J = A(t)v và wJ = −A(t)∗ w.
Do đó, h¾ so chính quy cna c¾p phương trình (2.12) và (2.19) trùng vói h¾ so
chính quy cna c¾p phương trình (2.1) và (2.6). Chúng ta đã ket thúc chúng
minh

đ%nh

lý.

□

2.4

Đ¾c trưng cua tính chính quy

Ngồi h¾ so chính quy, chúng ta cịn dùng h¾ so Perron đe xét tính chính
quy cna (2.1). Trưóc khi đi tói đ%nh nghĩa h¾ so Perron và moi quan h¾ giua h¾
so Perron và h¾ so chính quy, chúng ta se xét đ%nh nghĩa cơ so chuan tac cna
R n.
Đ%nh nghĩa 2.4.1. Cơ sá v1 , . . . , vn cua Rn đưac GQI là chuan tac đoi vái
LQc

gom các không gian con E1 ⊂ E2 ⊂ . . . ⊂ Ep = Rn , neu vái MQI i =

1, . . . , p ln ton tai m®t cơ sá cua Ei gom các vectơ trong {v1 , . . . , vn }.
Khi cơ sá v1 , . . . , vn là chuan tac đoi vái LQc gom các không gian con
trong (2.5), chúng ta cũng nói rang nó là chuan tac đoi vái so mũ Lyapunov
λ (ho¾c đơn gian là chuan tac).
Trong phan này, hai cơ so đoi ngau v1 , . . . , vn và w1 , . . . , wn cna Rn mà
chúng ta xét tói, là chuan tac đoi ngau neu chúng lan lưot là chuan tac đoi vói
so mũ λ và µ, túc là đoi vói các LQc tương úng là
E1 ⊂ · · · ⊂ Ep = Rn, Fq ⊂ · · · ⊂ F1 = Rn.

(2.21)


M¾nh đe 2.4.1. (xem [7], trang 236) Ln ton tai các cơ sá chuan tac đoi
ngau v1, . . . , vn và w1, . . . , wn cua Rn.
H¾ so Perron đưoc đ%nh nghĩa qua các giá tr% λJi và µJi . Trong đó, λJ1 ≤ · · ·
≤ λJn là các giá tr% cna so mũ λ trên Rn \{0}, đưoc tao thành bang cách
l¾p lai moi giá tr% λi vói so lan bang dim Ei − dim Ei−1 (trong đó E0 =
{0}). Tương tn, µJ1 ≥ · · · ≥ µJn là các giá tr% cna so mũ µ trên Rn \{0},
đưoc tao thành bang cách lắp lai moi giỏ tr% ài vúi so lan bang dim Fi

− dim Fi+1 (trong đó Fn+1 = {0}).
Đ%nh nghĩa 2.4.2. H¾ so Perron cua c¾p so mũ Lyapunov λ và µ là
π(λ, µ) = max{λJi + µJi : 1 ≤ i ≤ n}.
Moi quan h¾ giua h¾ so Perron và h¾ so chính quy đưoc the hi¾n qua đ%nh
lý sau
Đ%nh lý 2.4.1. (xem [7], trang 237) 0 ≤ π(λ,µ) ≤ γ(λ,µ) ≤ nπ(λ,µ).
Su dung Đ%nh lý 2.4.1, chúng ta thay rang ngồi cách dùng h¾ so chính quy,
chúng ta cịn có the dùng h¾ so Perron đe xét tính chính quy cna (2.1). Đieu
đó đưoc the hi¾n qua đ%nh lý dưói đây.
Đ%nh lý 2.4.2. (xem [7], trang 238) Các tính chat sau là tương đương
(i) γ(λ,µ) = 0;
(ii) π(λ,µ) = 0;
(iii) Vái c¾p cơ sá chuan tac đoi ngau v1, . . . , vn và w1, . . . , wn cua Rn ta có
λ(vi) + µ(wi) = 0

(2.22)

vái MQI i = 1, . . . , n;
(iv) λJi + µJi = 0 vái i = 1, . . . , n.
Han che cna Đ%nh lý 2.4.2 là khi xét tính chính quy cna (2.1) chúng ta can
xét ca bài tốn liên hop vói nó (bài tốn (2.6)). M®t cách khác khi nghiên cúu
tính chính quy mà khơng can xét bài tốn (2.6) đưoc trình bày trong đ%nh lý
dưói đây.


Vói moi cơ so v1, . . . , vn cna Rn, chúng ta ký hi¾u Γ(v1, . . . , vn) := |detK| 2 ,
1

trong đó K = (kij )n×n vói kij = (vi , vj ) vói MQI i và j, là the tích cna hình h®p
đưoc tao boi các vectơ v1 , . . . , vn .

Đ%nh lý 2.4.3. Các tính chat sau là tương đương
(i) γ(λ,µ) = 0;
∫t
(ii) lim 1 trA(τ )dτ
t→+∞ t 0 =

p
Σ

(dim Ei − dim Ei−1)λi.

i=
1

(iii) Vái MQI cơ sá chuan tac v1, . . . , vn cua Rn và MQI m ≤ n luôn ton tai giái
han
lim 1
log Γ(v1(t), . . . , vm(t))
t→+∞ t
trong đó mői vi(t) là nghi¾m cua (2.1) vái vi(0) = vi.

(2.23)

Chúng minh. Chúng ta chúng minh rang (i) kộo theo (ii). Thắt vắy, gia su
(,à) = 0. Khi đó, theo Đ%nh lý 2.2.1, chúng ta có
lim 1
∫t
t

t→+∞

trA(τ )dτ = lim

0

t→+∞

1 ∫t

trA(τ )dτ,

t

và do đó ton tai giói han trong (2.23). M¾t khác, theo M¾nh đe 2.4.1 và Đ%nh
lý 2.4.2, ta thay luôn ton tai cơ so chuan tac đoi ngau v1, . . . , vn và w1, . . . , wn
cna Rn sao cho (2.22) đúng.
Vói moi i, ta gia su vi (t) là nghi¾m cna (2.1) vói v0 = vi . Khi đó h¾
vectơ v1 (t), . . . , vn (t) l cỏc cđt cna ma trắn nghiắm c ban Y (t) cna
phương trình v J = A(t)v. Theo cơng thúc Ostrogradski-Liuvil, vói MQI t ≥ 0,
ta có
¸

0

detY(t
)
detY(0
)

n

Hơn nua |detY(t)|
≤

Q

i=
1

lim
t

trAτ dτ

1=
e0
∫
t

||vi(t)|| nên

t→+∞

t

trA(τ )dτ
≤

n
i=

1

Σ


.
(2.24)

λ(vi).

(2.25)


Tương tn, vói moi i ta gia su wi(t) là nghi¾m cna (2.6) vói w0 = wi, chúng ta
cũng có
n

lim

1∫ trA(τ )dτ = −
lim
t

t

1
∫t

µ(wi).

(2.26)

tr(−A(τ ) )dτ ≥ −
Σ
∗

i=1

→+∞ t 0
t
Tù (2.25), (2.26) và sn ton tai giói han trong (2.23) nên
t→+∞

−
t

Σ
n

µ(wi) ≤

i=1

trA(τ )dτ ≤
Σ

1
∫t

lim

→+∞

t

lim 1
∫t
t→+∞

t

trA(τ )dτ
Σ
=

n

Σn µ(wi) = Σnλ(vi)
nên
i= −
J
1
n λ
i
λ(vi) =
Σ

i=
1
Σ

p

0

=

λ(vi).

i=1

0

M¾t khác theo (2.22), chúng ta nh¾n
thay

n

i=1

(dim Ei − dim Ei−1)λi.
i=1

Như v¾y, chúng ta đã ket thúc chúng minh (i) kéo theo (ii).
Bây giò, chúng ta tiep tuc chúng minh (ii) kéo theo (iii). Tương tn cách
chúng minh cna Đ%nh lý 2.3.1, chúng ta thay ton tai m®t tốn tu unita U (t)
sao cho các vectơ U (t)vi = ui(t) tao thnh mđt hắ trnc giao. Do U (t) là toán
tu unita nên
(U (t)∗ U (t)vi , vj ) = (U (t)vi , U (t)vj ) = (ui (t), uj (t)) = δij .
Đ¾t xi(t) = U (t)−1vi(t) vói i = 1, . . . , n. L¾p lu¾n tương tn như (2.16),
chúng ta nh¾n thay ma tr¾n X(t) vói X(t)v1 = x1(t), . . . , X(t)vn = xn(t) là

ma tr¾n tam giác trên. Do U (t) là toán tu unita nên
(vi(t), vj(t)) = (U (t)xi(t), U (t)xj(t)) = (xi(t), xj(t)) .


i=
1

Do đó, vì X(t) là ma tr¾n tam giác trên nên vói MQI m ≤ n ta có
m
Y
Γ(v1(t), . . . , vm(t)) = Γ(x1(t), . . . , xm(t)) = |xii(t)|,
i=1

(2.27)


trong đó xii (t) = (xi (t), vi ) vói MQI i. Gia su (ii) đúng. Chúng ta có
¸t trA(τ )
dτ

e0
Chú ý rang λ(xij ) = lim

1

t→+∞ t

Γ(v (t), . . . , v (t))
n
1

= Γ(v1, . . . , vn) .

log |xij (t)|, nên ta có λ(xi ) ≥ λ(xii ) vói MQI i. Do

v1, . . . , vn là cơ so chuan tac nên tù (ii) chúng ta suy ra
n

n

lim 1log Γ(v (t), . . . , v (t)) Σ
= λ(x ) ≥ Σλ(x ).
n
i
ii
t→+∞ t
i=1
i=1
M¾t khác, theo (2.27),
lim
t→+
∞

n
n

1

log
Γ(v

(t), . . . , (t)) =t→+∞
lim t
v

(2.28)

n

1Σ

i
i

(t)| ≤

log |x

Σ

i
i

).

(2.29)

λ(x

Tù (2.28) và (2.29) chúng ta suy ra
n

n

Σ
1 Σ
lim
log |xi (t)| = λ(x i ).

t→+∞

i

(2.30)

i

t
Bây giò, su dung (2.30), chúng ta chúng minh rang vói MQI i = 1, . . . , n
λ(xii) = lim log |xii(t)|.
t→+∞

Th¾t v¾y, neu
ci = lim
t→+∞

1
t

1

log |xii(t)| <
lim
t
→+∞

log |xii(t)| = ci

t

thì vói i = j nào đó, chúng ta cHQN m®t dãy con km sao cho
k

khi m → +∞, ta có
n
1 Σ
t→+∞

t
lim

i=
1

log |xjj (km )| → cj

1

m

n

1 Σ
i
i

m→+∞

i
i

m

m

i=
k
1
log |x (t)| = lim
log
Σ|x (k )|
1
= c + lim
log |x (k )|
i j
j

< cj +

m→+∞

Σ
iƒ=j

km

ii

m

n

ci =

Tù đây và (2.27), chúng ta suy ra vói MQI m ≤
m
n

Σ

ci

m
i
i


i=1

lim 1
t→+∞

t

log
Γ(v

(t)) =
1(t), . . . ,
Σ
v

lim

t→+∞

t

1

log | (t)|.
x