Luận văn thạc sĩ tính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ TUYẾT

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ
CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm
2011


PHẠM THỊ TUYẾT

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ
CHUYỂN MẠCH TUYẾN
TÍNH
Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH


Mục lục
1

2

Giới thiệu về hệ chuyển mạch

1

1.1

Một ví dụ đơn giản về hệ chuyển mạch . . . . . . . . . .

1

1.2

Sơ lược về sự ổn định của hệ không chuyển mạch . . . .

3

1.3

Khái niệm về hệ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4

Tính ổn định và khả ổn định của hệ chuyển mạch . . . .

9

1.4.1

Tính ổn định đảm bảo dưới sự chuyển mạch tùy ý

10

1.4.2

Tính ổn định thời gian chững....................................... 12

Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch
tùy ý
15
2.1 Một số khái niệm cơ bản...........................................................15
2.2

2.3

3

Hệ chuyển mạch phi tuyến....................................................... 18
2.2.1

Hàm Lyapunov chung....................................................18

2.2.2

Định lý Lyapunov.......................................................... 19

Hệ chuyển mạch tuyến tính...................................................... 24

2.3.1

Hệ nới lỏng.........................................................................25

2.3.2

Hàm Lyapunov phổ dụng..............................................31

2.3.3

Tiêu chuẩn đại số...........................................................36

Tính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính tuần hồn 45
3.1

Lý thuyết Floquet....................................................................45

3.2

Một số kết quả ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính
i


tuần hồn.................................................................................47
3.3

Ví dụ........................................................................................... 52

Kết luận

55

Tài liệu tham khảo

56

i


Danh mục các ký hiệu
R

Trường số thực.

C

Trường

phức. Z

Tập số nguyên.

+
R
Z++
Z+
Rn

Tập
sốnguyên

thựckhông
dương.
thực
âm.
Tập các
các số
dương.
Tập các số nguyên không âm.
Tập các vectơ thực n chiều.

Rn×m

Tập các ma trận thực n × m chiều.

In

Ma trận đơn vị n × n chiều.

xT

Vectơ chuyển vị của vectơ x.

AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A.

P > 0(P ≥ 0)

số

P là ma trận Hermit và xác định (nửa xác định)

dương. P < 0(P ≤ 0) P là ma trận Hermit và xác định (nửa xác
định) âm. λ(A)

Giá trị riêng của A.

ρ(A)

Bán kính phổ của tập ma trận A.

|x|

Chuẩn của vectơ x.

||A||

Chuẩn của ma trận A được cảm sinh từ một chuẩn vectơ.

µ|.|

Độ đo ma trận được cảm sinh bởi chuẩn |.|.

iii


min S

Phần tử nhỏ nhất của tập S.

sup S
inf S

Số nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng mỗi phần tử của S.
Số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng mỗi phần tử của S.

S1\S2
Ω◦

Tập {s ∈ S1 : s ∈/ S2 }.
Phần trong của tập Ω.

Br

Hình cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính r.

Hr

Mặt cầu tâm tại gốc tọa độ, bán kính r.

lim f (s)

Giới hạn trái của hàm f (.) tại t.

lim f (s)

Giới hạn phải của hàm f (.) tại t.

Ck

Tập các hàm có đạo hàm cấp k liên tục.

MF Γ

Hàm Minkovski của miền Γ .

T

Tập thời gian.

Ts
σ

Tập {t ∈ T : t ≥ s}.
Tín hiệu chuyển mạch của hệ chuyển mạch.

s↑t
s↓t

quỹhiệu
đạo
chuyển
mạchmạch.
hồn tồn
tồn xác
xác định
định trên
trên [t
[a,
[a,b)

S
tín
chuyển
mạch
hồn
+∞).
[t0,+∞)
0, b).
φ(t;
t0, x0, σ)Tập các
Nghiệm
của
hệ chuyển
Φ(t1, t2, σ) Ma trận chuyển trạng thái của hệ chuyển mạch tuyến tính.

iv


LỜI NÓI ĐẦU
Trong những thập niên gần đây, hệ chuyển mạch đã được nhiều nhà
toán học tập trung nghiên cứu và đã thu được nhiều kết quả có ý nghĩa.
Động lực thúc đẩy việc nghiên cứu hệ chuyển mạch xuất phát từ ý
nghĩa của nó trong thực tế và kỹ thuật. Có ba bài tốn cơ bản đối với
tính ổn định của hệ chuyển mạch : (i) tìm điều kiện ổn định của hệ khi
sự chuyển mạch là tùy ý; (ii) xác định một lớp hẹp nhưng quan trọng
của các quy luật chuyển mạch ổn định hóa; (iii) xây dựng một luật
chuyển mạch ổn định.
Đã có nhiều hướng nghiên cứu liên quan đến hệ chuyển mạch như
phương pháp đại số Lie, phương pháp hàm Lyapunov bội, phương
pháp đại số tuyến tính, bất đẳng thức ma trận tuyến tính . . . Trong khi

rất nhiều vấn đề quan trọng về hệ chuyển mạch đã được giải quyết thì
vẫn cịn nhiều vấn đề vẫn đang cịn là bài tốn mở.
Bản luận văn tập trung trình bày những điều kiện để một hệ chuyển
mạch là ổn định dưới sự chuyển mạch tùy ý và việc sử dụng lý thuyết
Floquet để nghiên cứu tính ổn định của hệ chuyển mạch tuyến tính
tuần hồn. Nội dung bản luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Giới thiệu một số khái niệm cơ bản về hệ chuyển mạch.
Chương 2: Trình bày các điều kiện để hệ chuyển mạch phi tuyến
và tuyến tính là ổn định khi sự chuyển mạch là tùy ý.
Chương 3: Nghiên cứu các điều kiện để hệ chuyển mạch tuyến
tính tuần hồn là ổn định bằng việc áp dụng lý thuyết Floquet.
Trong quá trình làm luận văn, em đã nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo
rất tận tình của thầy giáo, GS TSKH Phạm Kỳ Anh. Em xin bày tỏ
lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã dành nhiều thời
gian chỉ bảo, hướng dẫn em viết bản luận văn này.
Trong quá trình học tập, em đã được các thầy cơ trong khoa Toán v


Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội đã truyền dạy những kiến thức quý giá, em xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới thầy cơ, những nhà giáo hết lịng vì khoa học và sự nghiệp
giáo dục.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do trình độ cịn hạn chế và thời
gian có hạn nên bản luận văn khơng thể tránh khỏi có thiếu sót. Em rất
mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và bạn bè để bản luận văn
được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2011
Phạm Thị Tuyết

vi


Chương 1

Giới thiệu về hệ chuyển
mạch
1.1

Một ví dụ đơn giản về hệ chuyển mạch

Trong R2, cho hệ phương trình:

 A x(t) nếu x ≥ 0,
d
1
2
x(t) =
≤ 0,
dt

trong đó x = (x1, x2) ∈ R2
và

A2x(t)

nếu

x2





−0.01 −0.5
−0.01 −2
 , A2 
.
A1 = 
=
2
−0.01
0.5 −0.01

Ma
A1 và
A2cận.
đều Tuy
có các
giá trị
riêng
−0.01
nên
từngkhơng
hệ con
đều trận
ổn định
tiệm
nhiên,
tính
ổn định

của±
hệi lai
ghép
chỉ
phụ
9


thuộc vào các hệ con mà còn phụ thuộc nhiều vào chế độ chuyển mạch
giữa chúng.
Nghiệm của hệ con thứ nhất và thứ hai lần lượt là:

1
0


Chương 1. Giới thiệu về hệ chuyển
mạch





 x = e−0.01t(A cos t + B sin t)
1

 x = e−0.01t(A cos t + B sin t)
1

và

 x2 = 12e−0.01t(A sin t − B cos t).

 x = 2e−0.01t(A sin t − B cos
2
t)
Khi đó quỹ đạo của chúng lần lượt là:
2
2

x +

x

= e−0.02t(A2 + B2) và x2 + 4x2 = e−0.02t(A2 + B2).

2

1

1
2
4
Bức tranh pha của mỗi hệ con là các ellip đồng dạng thu hẹp dần. Khi
t đủ lớn thì các ellip này co về gốc tọa độ. Từ đó ta sẽ suy ra bức tranh
pha của hệ chuyển mạch.

1
1

1.2

Sơ lược về sự ổn định của hệ không
chuyển mạch

Xét hệ
d
Rn×n
. dt
x(t)
= Ax(t), x(t) ∈ Rn, A ∈
Hệ trên được gọi là:
• Ổn định, nếu tất cả các nghiệm bị chặn.
• Ổn định tiệm cận, nếu tất cả các nghiệm hội tụ tới khơng khi t → ∞.
• Khơng ổn định trong các trường hợp khác.
Nghiệm của hệ có dạng:
x(t) = eAtx0, x0 ∈ Rn,


λ1 t
e
0
0
.
.
.
0





.
0
..

 −1
eAt = V 
V





0
..
.
0
0 . . . e λn t
Trong
đó λ
λn làứng.
các giá trị riêng của A, các cột của ma trận V là
1, ...,
các vectơ
riêng
tương
Định lý 1.2.1. (1) Hệ ma trận A là ổn định tiệm cận khi và chỉ
khi tất cả các giá trị riêng của A có phần thực âm.
(2) Hệ ma trận A là ổn định khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng của

A có phần thực không dương.
Tiếp theo, ta sẽ nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov.
Cho P = PT > 0 là một ma trận xác định dương sao cho:
AT P + PA = −Q < 0.


Chương 1. Giới thiệu về hệ chuyển
mạch

Khi đó:

d

(x(t)T P x(t)) = x˙ (t)T P x(t) + x(t)T P x˙ (t)

dt
= (Ax(t))T Px(t) + x(t)T PAx(t)
= x(t)T (AT P + PA)x(t)
= −x(t)T Qx(t) < 0.
Đặt V (x) = xT Px. Khi
đó:
V (x) > 0 ∀x ƒ= 0,
V (0) = 0,
d
V (x(t)) <
0.
Từ đó suy ra: dt
lim x(t) = 0.
t→∞

V (x) được gọi là hàm Lyapunov của hệ dd x(t) = Ax(t).
t

Định lý 1.2.2. (1) Tất cả các giá trị riêng của A có phần thực
âm khi và chỉ khi với mọi ma trận Q = QT > 0, tồn tại
một ma trận P = P T > 0 sao cho:
AT P + PA = −Q (phương trình Lyapunov).
(2) Với hầu mọi A: Tất cả các giá trị riêng của A có phần
thực không dương khi và chỉ khi tồn tại P = P T > 0 sao
cho:
AT P + P ≤ 0.
Hàm Lyapunov liên đới V (x) = xT Px.
Như vậy, tính ổn định (tiệm cận) của phương trình d dx(t) = Ax(t) có
thể được kiểm tra bằng cách giải một tập các phươngt trình tuyến tính.
Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản.
α =: R
›→ R
được gọi
là thuộc
nếu nó
liênMột
tục, hàm
tăng giá
chặttrịvàthực
α(0)
0.+ Nếu
α+khơng
bị chặn
thì talớp
nóiKnó

thuộc

1
3


lớp K∞.
Một hàm β : R+ × R+ ›→ R+ được gọi là thuộc lớp KL nếu β(., t)
thuộc lớp K với mỗi t ≥ 0 cố định và lim
t→+∞ β(r, t) = 0 với mỗi r ≥ 0 cố
định.
Một hàm liên tục V (x) : Rn ›→ R với V (0) = 0 được gọi là:
• Xác định dương nếu V (x) > 0 ∀x ∈ Rn\ {0}.
• Nửa xác định dương nếu V (x) ≥ 0
∀x ∈ Rn.
• Không bị chặn theo tia nếu tồn tại một hàm α(.) thuộc lớp K∞ sao cho
V (x) ≥ α(|x|)
∀x ∈ Rn.

1.3

Khái niệm về hệ chuyển mạch

Hệ chuyển mạch là một hệ bao gồm một số hữu hạn các hệ con và
một quy tắc chuyển mạch giữa các hệ con đó. Hệ này được mơ tả bởi
phương trình:
x+(t) = fσ(x(t)),
(1.1)
n
trong đó x ∈ R là trạng thái liên tục; σ là trạng thái rời rạc, nhận giá

+
dtử
x
làthời
kí
hiệu
cho
tốn
đạo
hàm
trong
trường
thời
gian
tục
trị
tậplàkhơng
chỉ
số
M
=trạng
{1,
2,tốn
...m}
và
fkhơng
, khợp
∈
M Euclid
làtrong

cácliên
kchuyển
vectơ;
(tức
x+(t)
=(tức
x(t))
và
tử
tiến
hợptrong
gian
rời
rạc
là
x+thái
(t)
=
x(t
+dịch
1)).
Như
vậy,
gian
liên
tục
là
gian
ntrường
chiều

và khơng gian trạng thái rời rạc là tập chỉ số M có hữu hạn phần tử.
d
Tập thời gian hoặc
là tập các số thực trong trường hợp thời gian liên
t
tục, hoặc là tập các số nguyên trong trường hợp thời gian rời rạc. Dựa
vào tính chất liên tục hoặc rời rạc của tập thời gian mà ta gọi là hệ
chuyển mạch liên tục hoặc hệ chuyển mạch rời rạc. Nếu tất cả các hệ
con của

(1.1) là tuyến tính thì ta gọi là hệ chuyển mạch tuyến tính. Khi có m hệ
con thì ta gọi là hệ chuyển mạch m−dạng.


Với mỗi k ∈ M , ta gọi
x+(t) = fk(x(t))

(1.2)

là một hệ con của hệ chuyển mạch.
Trạng thái rời rạc σ được gọi là tín hiệu chuyển mạch. Nếu σ(t) = i
thì ta nói rằng hệ con thứ i được kích hoạt tại thời điểm t. Một đặc tính
của hệ chuyển mạch là tại một thời điểm có một và chỉ một hệ con
được
kích hoạt.
Kí hiệu T là tập thời gian. T có thể là tập số thực (T = R) hoặc
tập số nguyên (T = Z). Cho một số thực s, kí hiệu Ts = {t ∈ T : t ≥
s}.
Cho
hai rạc.

số
thực thợp
t2 với
đo của
độ dàitrường
t2 −
1 vàliên
2. Độ
1,1,t2t)2)làtrong
t1 trong
trường
tục,t1và<
là tlực
lượng
của[t[t
hợp
rời
Cho
χ là một hàm liên tục từng khúc xác định trên khoảng [t1, t2).
Với mỗi t ∈ (t1, t2) ta định nghĩa:
χ(t+) = lim χ(s),
s↓t

χ(t−) = lim χ(s)
s↑t

cho trường hợp liên tục và
χ(t+) = χ(t + 1),

χ(t−) = χ(t − 1)

cho trường hợp rời rạc
Khi các hệ con (1.2) được cho trước, dáng điệu của hệ chuyển mạch
được quyết định bởi tín hiệu chuyển mạch. Ta sẽ phân biệt quỹ đạo
chuyển mạch, tín hiệu chuyển mạch và quy luật chuyển mạch.
Một quỹ đạo chuyển mạch là một hàm liên tục phải, xác định trên
một khoảng thời gian hữu hạn, nhận giá trị trong M .
Cho
trước
một
khoảng
thời
[t,t0,),ttrên
−∞
<
tf là
f ) với
một
quỹ
đạo
chuyển
mạch
p gian
xácp[tđịnh
đoạn
đó
được
[t+∞,
).

Với
quỹ
đạo
chuyển
mạch
thời
điểm
t∈
(tt00,kí<
tfhiệu
) được
0,tflà
thời một
điểm
bước
nhảy
nếu:
0 f
σ(t−) ƒ= σ(t).


Giả
sửthứ
rằng
thời
bước
nhảy
(t0dãy
, tdãy
) gọi

được
t1
f trạng
<
t2chuyển
<
<
...,
thì
dãy
thứ
tự
ttự:
ttrong
...
được
làsốsắp
dãy
thời
0,
1, t 2gọi
điểm
mạch
của
σđiểm
trên
[t
t2f)...
).
Tương

tự,
rờilà
rạc
0, thứ
được
sắp
tựcác
σ(t
được
là
chỉthái
chuyển
1),cặp
mạch
của
σt3trên
[tσ(t
t),
Dãy
0, 0
f ).σ(t
(t0, i0), (t1, i1), ..., (ts, is)
với ik = σ(tk), được gọi là dãy chuyển mạch của σ trên [t0, tf ).
Quỹ đạo chuyển mạch được gọi là hoàn toàn xác định nếu có một số hữu
mạch
tồn
xác
trên
[t0 , hàm
tf Tập

) xác
được
kí trên
hiệu
là S
[t0 ,tf ) .
Mộthồn
tín hiệu
chuyển
mạch
là một
định
một
khoảng
hạn
bước
nhảyđịnh
những
quỹ đạo
chuyển
thời thời
gianđiểm
vơ hạn,
nhận
giátrên
trị khoảng
trong Mđó.
.
θcon
là gọi

một
tínquỹ
hiệu
chuyển
mạch
xác
định
[t
+∞)
và
0, với
[s
s
) sử
là,s2rằng
đoạn
có
độ
dài
hữu
hạn
của
[t
+∞)
thì trên
quỹ
đạo
chuyển
1,Giả
2p

mạch
được
là
đạo
condãy
của
θ0,nếu
p(t)
= mạch.
θ(t)
mọi
t ∈
[s
).) Khái
dãy
số
và
thời
điểm
chuyển
mạch
được
1,[s1s
2
định
nghĩa
một
cáchniệm
tương
tựchỉ

như
đối
với
quỹ
đạo
chuyển
quỹ
đạo
con
củamột
nó
là
hồn
tồn
xác
định.
hiệu
θbởi
là
tín
hiệu
[t định
,+∞)
Một
tín
mạch
được
hồn
tồn
xác

nếu
tất
các
chuyển
mạch
θ cặp
xác
định
trên
[t
+∞).
Tập
những
chuyển
0, là
Cho
trước
hàm
(x(.),
θ(.))
trênKí
đoạn
[t
ttín
trong
đó
xcả:
mạch
hồn
tồn

xác
định
trên
[t0,gọi
+∞)
được
kí
hiệu
S[thiệu
hoặc
0, 0
1),
S
khi
t0hiệu
=
0.chuyển
0,+∞)
n
[t
t1khúc.
) ›→
Rmọi
là(x(.),
liên
θ : [t0của
, t1)hệ›→
M là
hàm
0, với

từng
θ(.))
được
gọitụclàvà
nghiệm
(1.1)
trên
[t0hằng
, t1 )
nếu
hầuCặp
thàm
∈ [ttuyệt
, t1) đối
ta có:
0

x+(t) = fθ(t)(x(t)).
n
với bất
kỳ(1.1)
θ ∈ được
S[0,+∞)
, tồn
duy(một
nhấtcách
một
0 ∈ R
hàm
Hệnếu

chuyển
mạch
gọivàlàxhoàn
toàn
xáctạiđịnh
toàncục)


tuyệt
liên tục
trên
[0, trên
+∞)[0,
với+∞).
x(0) = x0 sao cho cặp (x(.), θ(.))
là
mộtđối
nghiệm
củax hệ
(1.1)
Khi mỗi hệ con thỏa mãn điều kiện Lipchitz toàn cục, tức là
lim sup
fk(x2)|

|fk(x1) −

< +∞, k ∈ M,

|x1 − x2|
thì hệ chuyển mạch là hồn tồn xác định vì các bài toán Cauchy tương

ứng giải được duy nhất. Trong bản luận văn này, ta luôn giả thiết rằng
x1ƒ=x2

các hệ con thỏa mãn điều kiện Lipchitz, và do đó tính hồn tồn xác
định của hệ chuyển mạch ln được đảm bảo.
Một quy luật chuyển mạch là một quy tắc chuyển mạch mà sinh ra
một quỹ đạo chuyển mạch hoặc một tín hiệu chuyển mạch từ một tập
các cấu hình ban đầu. Trong luận văn này, chúng ta chỉ xét những quy
luật chuyển mạch có dạng:
σ(t) = ϕ(t, σ(t−), x(t)),

(1.3)

trong đó ϕ là hàm hằng từng khúc, nhận giá trị trong M .
(1.1)
qua
luật
mạch
trên
[t0,thái
thiệu
nếu
cả phương
1)(liên
trình
Một
hàmquy
x(t)
được
gọi là

mộtt quỹ
tục)
của
hệ
(1.1)
và (1.3)
đúng
vớichuyển
hầu
mọi
∈(1.3)
[tđạo
chuyển
mạch
0, ttrạng
1). Tín
tương
trạng
thái
ban
đầu
x
trên
[t
,
t
0
0 theo
1).
ứng

σ được
gọi là
sinh bởi
quy
luậtgọi
chuyển
mạch
(1.3)
quy luật
chuyển
mạch
được
là hồn
tồn
xácdọc
định
nếux(.)
nó
với Một
sinh ra một tín hiệu chuyển mạch hoàn toàn xác định với trạng thái ban
đầu bất kì.
Với hệ chuyển mạch (1.1), một quy luật chuyển mạch hồn tồn xác
định có thể biểu diễn bởi tập {θx : x ∈ Rn} trong đó θx là tín hiệu
chuyển mạch được hoàn toàn xác định, sinh bởi quy luật chuyển mạch
đó với trạng thái ban đầu x. Hệ chuyển mạch có nghiệm duy nhất với
cấu hình ban đầu bất kì nếu cả hệ chuyển mạch và quy luật chuyển
mạch hồn tồn xác định. Để thuận tiện về mặt kí hiệu, quỹ đạo trạng
thái liên tục

sẽ được kí hiệu bởi φ(.; t0, x0, σ) hoặc φ(.; x0, σ) khi t0 = 0.

1.4

Tính ổn định và khả ổn định của hệ
chuyển mạch

Cho Υ = {Λx : x ∈ Rn} với Λx là tập con khác rỗng của S-tập
những tín hiệu chuyển mạch hồn tồn xác định. Tập này được gọi là
tập chấp nhận được những tín hiệu chuyển mạch, nó gán cho mỗi trạng
thái ban đầu một tập tín hiệu chuyển mạch. Tập này cảm sinh một tập
chấp nhận được những quỹ đạo trạng thái liên tục {Γx : x ∈ Rn},
trong đó
Γx là tập những quỹ đạo trạng thái với trạng thái ban đầu x và tín hiệu
chuyển mạch trong Λx, tức là:
Γx = {φ(.; 0, x, θ) : θ ∈ Λx} .
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử rằng Υ = {Λx, x ∈ Rn} là tập chấp nhận
được những tín hiệu chuyển mạch. Hệ chuyển mạch (1.1) được gọi là :
1) Ổn định theo Υ nếu tồn tại một hàm ζ ∈ K và một số thực dương δ
sao cho:

|φ(t; 0, x0, θ)| ≤ ζ(|x0|)
∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Bδ, θ ∈ Λx0 .
2) Ổn định tiệm cận theo Υ nếu tồn tại một hàm ξ ∈ KL sao cho:

|φ(t; 0, x0, θ)| ≤ ξ(|x0|, t) ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Rn, θ ∈ Λx0 .
3) Ổn định mũ theo Υ nếu tồn tại các số thực dương α và β sao cho:

|φ(t; 0, x0, θ)| ≤ βe−αt|x0|

∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Rn, θ ∈ Λx0 .

Định nghĩa 1.4.2. Giả sử rằng Υ = {Λx, x ∈ Rn} là tập chấp nhận
được những tín hiệu chuyển mạch. Hệ chuyển mạch (1.1) được gọi là :


Chương 1. Giới thiệu về hệ chuyển
mạch

1) Khả ổn định theo Υ nếu tồn tạix một hàmn ζ ∈ K,x một xsố thực dương
δ và một quy luật chuyển mạch {θ : x ∈ R } với θ ∈ Λ sao cho:
|φ(t; 0, x0, θx0 )| ≤ ζ(|x0|)
∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Bδ.
2) Khả ổn định tiệm cậnx theo Υ nếu
tồn tại một hàm ξ ∈ KL và một
quy luật chuyển mạch {θ : x ∈ Rn} với θx ∈ Λx sao cho:
|φ(t; 0, x0, θx0 )| ≤ ξ(|x0|, t) ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Rn.
3) Khả ổn định mũ theo Υ
nếu tồn tại các số thực dương α và β và một
quy luật chuyển mạch {θx : x ∈ Rn} với θx ∈ Λx sao cho:

|φ(t; 0, x0, θx0 )| ≤ βe−αt|x0|

∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Rn.

nhận
được
các
hiệu
chuyển

Nếu
Υ1 ⊆
tính tập
ổn
2 thì bởi
định chấp
Khi
các
con
là
cốtínđịnh,
tính
chấtmạch.
ổn định
được
xácΥđịnh
theo
Υ2 kéo
theo
tính
ổn
định
tính
khảhệ
ổn
định
theo
Υ
2. theo Υ1 và tính khả ổn định theo Υ1 kéo

1.4.1

Tính ổn định đảm bảo dưới sự chuyển mạch
tùy ý

Khi sự chuyển mạch giữa các hệ con xuất hiện theo cách bất kì thì
khi đó tính ổn định được gọi là tính ổn định đảm bảo. Tập chấp nhận
được các tín hiệu chuyển mạch được cho bởi:
Υas = {Λx : x ∈ Rn} , Λx = S, ∀x ∈ Rn
là tập lớn nhất trong tất cả các tập chấp nhận được các tín hiệu chuyển
mạch. Do đó, tính ổn định đảm bảo là khái niệm chặt nhất trong các
khái niệm ổn định. Đặc biệt, khi hệ chuyển mạch ổn định đảm bảo sẽ
kéo theo tính ổn định của các hệ con. Điều ngược lại khơng đúng và
được chứng minh qua ví dụ sau.

10


Chương 1. Giới thiệu về hệ chuyển
mạch

Ví dụ 1.4.3. Cho hai hệ con tuyến tính phẳng:


0 1
x
x=
−1 −1
x˙ = A1
và





0
1
 x,
x=
x˙ = A2
−1 − 3a −1
−a
trong đó a là một tham số thực không âm. Rõ ràng, các giá trị riêng
của cả hai hệ con đều có phần thực âm nên chúng đều ổn định mũ. Khi
a = 0 thì hai hệ con trùng nhau và hệ chuyển mạch là ổn định mũ đảm
bảo. Khi a ≈ 36.512 thì hệ chuyển mạch là ổn định biên đảm bảo. Khi
a > 36.512 hệ chuyển mạch không ổn định đảm bảo.

12
0


1.2 mơ
tả bức
tranh
trị ban
đầulàm
tại mất
x0 =tính
[−1/3,

1]T )
củaHình
hệ chuyển
mạch
dưới
quypha
luật(giá
chuyển
mạch
ổn định,
được chỉ ra trong hình bên trái phía trên.

1.4.2

Tính ổn định thời gian chững

ti+1Một
−. Rõ
ttín
τ chuyển
với
là hai
thời
điểm
bước
liên
i ≥
i+1được
bất
mạch

với
thời
gian
chững
nếu
chững
ràng
rằngtiSvà
= tS
⊇
Sgọi
⊇là S
với
0
≤ nhảy
τ
ττ2,tiếp
và
τ1 mạch
τ2
1 ≤
quankì.
hệτ Cho
Shiệu
hồn
tồn
xác
định
với
τ là tập tín hiệu 0chuyển

thời
gian
tập con là chặt nếu 0 < τ1 < τ2.
Tập tín hiệu chuyển mạch S cho phép sự điều khiển chuyển mạch
nhanh một cách tùy ý, thậm chí khơng có một thời gian chững đều giữa
các thời điểm chuyển mạch.
Ví dụ, cho tín hiệu chuyển mạch:

1

), k = 0, 1, 2, ...,
1nếu t ∈ [k, k
k+
θ(t) =
+
2

2 các trường hợp khác
1
[k,
k này
+định
) tiến
tới
0 một
khi
k
+∞.
Rõ
ràng

những
tín
hiệu
chuyển
là
hồn
tồn
nhưng
dài
của
khoảng
gian
chuyển
mạch
mạch
thuộc
Sđịnh,
nó độ
khơng
thuộc
bất
kì thời
Sτcác
nào
với
τ>
0.
0 nhưng
Cố
τxác

≥dần
0,
cho
tập→
chấp
nhận
được
tín
hiệu
chuyển

mạch:

k+

Υτ = {Λx : x ∈ Rn} , Λx = Sτ , ∀x ∈ Rn.
Tính ổn định của hệ chuyển mạch theo Υτ được gọi là tính ổn định thời
gian chững τ . Một điều kiện cần đối với tính ổn định thời gian chững τ
là mỗi hệ con đều ổn định. Điều ngược lại đúng cho trường hợp ổn định
mũ, tức là nếu các hệ con ổn định mũ thì hệ chuyển mạch ổn định mũ
thời gian chững τ với τ đủ lớn. Thật vậy, từ tính ổn định mũ của các hệ


con, ta suy ra sự tồn tại của một thời gian T > 0 sao cho:
1
|φ (t; x )
x | ∀t ∈ T , ∈ Rn,
x
|≤ | 0
T

0
2
trong
(.;định
x
kí
hiệu
cho
quỹ
đạo
trạngmũ
thái
của
hệ chững
con
thứ
với
x(0) =đó
x0φ
. iDo
đó0) hệ
chuyển
mạch
làcho
ổn định
thời
τcận
.i Tuy
nhiên,
khẳng

này
khơng
đúng
trường
hợp
ổngian
định
tiệm
và
ổn định biên.
i

0

Ví dụ 1.4.4. Cho hệ chuyển mạch tuyến tính phẳng với hai hệ con ổn
định biên:



0


1
x

x=
−2 0
x˙ = A1
và



0


1
 x.

x=
−1/2 0
x˙ = A2

Hệ chuyển mạch không ổn định nếu ta lấy hệ con thứ nhất khi trạng
thái nằm trong góc phần tư thứ hai và thứ tư, lấy hệ con thứ hai trong
các trường hợp khác. Hình 1.3 mơ tả bức tranh pha của hệ chuyển
mạch dưới quy luật chuyển mạch đó. Khi quỹ đạo của mỗi hệ con là
tuần hoàn, bằng việc kết nạp một hoặc nhiều chu kì vào mỗi khoảng
thời gian chuyển mạch thì trạng thái ln phân kì. Hình bên phải, phía
dưới của hình 1.3 mơ tả bức tranh pha của hệ khi một chu kì được
kết nạp vào
mỗi khoảng thời gian chuyển mạch. Từ đó suy ra, với τ > 0 bất kì, tập
chấp nhận được Υτ chứa những tín hiệu chuyển mạch làm mất tính ổn
định.
Theo phân tích ở trên, với tính ổn định thời gian chững, bài tốn đặt
ra là phải đi tìm τ nhỏ nhất sao cho hệ chuyển mạch là ổn định thời
gian chững τ .


.

Chương 2

Tính ổn định của hệ
chuyển mạch dưới sự
chuyển mạch tùy ý
2.1

Một số khái niệm cơ bản

Trong chương này, chúng ta sử dụng thuật ngữ "tính ổn định đảm
bảo" để mơ tả tính ổn định của hệ chuyển mạch khi sự chuyển mạch
xuất hiện một cách tùy ý.
Xét hệ chuyển mạch cho bởi:
n
x+(t)
fσ(t)tục,
(x(t)),
trong
đó
x(t)
∈
R
là
trạng
thái=liên
σ(t) ∈ M = {1, 2, ...,(2.1)
m} là
trạng thái rời rạc, fi : Rn ›→ Rn là trường vectơ.
Trong chương này, chúng ta giả thiết rằng:

1) fi(0) = 0 với mọi i ∈ M , điều kiện này suy ra gốc tọa độ là điểm cân
bằng.

12
4


Chương 2. Tính ổn định của hệ chuyển mạch dưới sự chuyển mạch
tùy ý

2) Các hàm fi(x) là liên tục Lipchitz toàn cục, tức là tồn tại một hằng số L
sao cho:
|fi(x) − fi(y)| ≤ L|x − y|
∀x, y ∈
n
R ,i∈M .
(2.2)
Điều kiện này đảm bảo tính hồn tồn xác định của hệ chuyển mạch.
Chúng
tathời
kí
hiệu
φ(t;
t0,điều
xx00,, kiện
σ)
quỹ
đạo0.
trạng
thái

liênquỹ
tục quỹ
của
hệ
(2.1)
tạithái
điểm
t với
ban
x(t
=
x0hóa
đạo
0) điểm
chuyển
mạch
σ;
kí kiện
hiệu
φ(t;
σ)0là
tqua
Sự
tiến
0đầu
đạo
trạng
điều
ban
đầu

x(t
)khi
=x
vàcác
thời
tvà
>của
0 =
kì,
trường
có
trực
tiếp
trường
vectơ
fti,0 ibất
∈
M .trong
Thật
vậy, với
hợpthể
rờibiểu
rạc diễn
ta
có:
φ(t; t0, x0, σ) = fσ(t−1) ◦ ... ◦ fσ(t0+1) ◦ fσ(t0)(x0),
trong
đó chuyển
◦ là kí mạch
hiệu hợp

hàm số, tức là f1 ◦ f2(x) = f1(f2(x))
. Với hệ
liêncủa
tục,các
ta có:
fi0
◦ ... ◦
, σ) = t− ◦ Φftiss−1
t1−
◦
Φ
−ts−
t
t0
f
φ(t; ,
(x0),
1
i1
Φfis
Φ
t0

x0

f
f s,hợp
trong
đó
Φ

(x
là0nhiên,
kí
hiệu
cho
giáΦtrị
đường
cong
tích
phân
của
0) x
tại
tĐể
qua
x(t
)tích
=
,ổn
vàđường
(t0trong
, của
i0cong
),hệ
...,
(t
i mạch,
) tổng
là dãy
chuyển

mạch
củaf
0
σ trên
[t
,
Tuy
trường
qt,
ta
khơng
biết
0
biểu
thức
giải
(x
t
0s).
trình t).
bày
tínhcủa
định
chuyển
chúng
ta đưa
thêm

một số khái niệm.
Cho d(x, y) là khoảng cách Euclid giữa hai vectơ x và y. Cho tập Ω ⊂ Rn

và một vectơ x ∈ Rn, khitđó:
|x|Ω =y∈Ω
inf d(x, y) = d(x, Ω).
Đặc biệt |x|{0} kí hiệu bởi |x|.
Cho tập Ω ⊂ Rn và một số thực dương τ , B(Ω, τ ) được gọi là τ -lân cận
của Ω, tức là:
B(Ω, τ ) = {x ∈ Rn : |x|Ω ≤ τ } .

12
5