Luận văn thạc sĩ tính ổn định của một lớp các hệ chuyển mạch tuyến tính trên thang thời gian

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

Phùng Hai Minh

TÍNH ON бNH CUA M®T LéP CÁC Hfi
CHUYEN MACH TUYEN TÍNH
TRÊN THANG THèI GIAN

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

Hà N®i - Năm 2017


Phùng Hai Minh

TÍNH ON бNH CUA M®T LéP CÁC Hfi
CHUYEN MACH TUYEN TÍNH
TRÊN THANG THèI GIAN

Chun ngành:

Tốn Éng dnng

Mã so:

60460112

LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

TS. ĐŐ C THUắN

H Nđi - Nm 2017


iii

Mnc lnc
Lài cam ơn

ii

Danh mnc ký hi¾u

1

Lài nói đau

2

Chương 1. Kien thÉc chuan b%

5

1.1

Thang thịi gian, tính kha vi, tính kha tích . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm mũ trên thang thịi gian...........................................................12

1.3

Khái ni¾m tính őn đ%nh.........................................................................15

1.4

H¾ chuyen mach...................................................................................... 19

1.5

Tính őn đ%nh cna h¾ chuyen mach........................................................21

Chương 2. Tính on đ%nh cua m®t láp các h¾ chuyen mach tuyen
tính trên thang thài gian

26

2.1

Phát bieu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.......

26

2.2

Trưòng hop h¾ con riêng őn đ%nh

.......

28

2.3

Trưịng hop h¾ Ac őn đ%nh và h¾ Ad khơng őn đ%nh

.......

35

2.4

Trưịng hop h¾ Ac khơng őn đ%nh và h¾ Ad őn đ%nh

.......

42

..........

Ket lu¾n

48

Tài li¾u tham khao

49


Lài cam ơn

Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên, Đai HQc
Quoc gia Hà N®i dưói sn hưóng dan cna t¾n tình và nghiêm khac cna TS. Đo
Đúc Thu¾n. Thay đã dành nhieu thịi gian hưóng dan cũng như giai đáp các
thac mac cna tơi trong suot q trình làm lu¾n văn. Tơi xin bày to lịng biet
ơn sâu sac tói thay.
Tác gia xin chân thành cam ơn Khoa Toán - Cơ - Tin hQc, Phòng Sau đai
HQ c,

Đai HQc Khoa HQc tn nhiên, cũng như q thay cơ tham gia giang

day khóa cao HQc 2015-2017 đã có cơng lao giang day tác gia trong suot thịi
gian HQc t¾p tai trưịng.
Nh¾n d%p này tơi cũng xin đưoc gui lịi cam ơn chân thành tói gia đình, ban
bè đã ln bên tơi cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ tơi trong suot q trình HQc t¾p
và thnc hiắn luắn vn tot nghiắp.
H Nđi, ngy 15 thỏng 11 năm 2017
HQc viên

Phùng Hai Minh


5

Danh mnc ký hi¾u

Ac

Ma tr¾n cna h¾ con liên tuc

Ad

Ma tr¾n cna h¾ con rịi rac

Bδ

Hình cau tâm O bán kính δ

∆f

Sai phân cna hàm f

ep(t, s)

Hàm mũ suy r®ng cna p

f

∆

∆-đao hàm cna hàm f

Hmin

Đưịng trịn Hilger nho nhat

Hµ(t)

Đưịng trịn Hilger úng vói hàm hat µ(t)

K

Lóp hàm liên tuc, đơn đi¾u tăng ng¾t

K∞

Lóp hàm liên tuc, đơn đi¾u tăng ngắt khụng b% chắn trờn

à(t)

Hm hat à(t) = (t) t

Pa,b

Thang thịi gian

R(T, Mn(R))

Lóp các hàm hoi quy và rd-liên tuc

ρ(t)

Toán tu nhay lùi

σ(t)

Toán tu nhay tien

S(T)
S(T)
Spec(A)

Mien őn đ%nh mũ cna thang thòi gian T
Mien őn đ%nh mũ đeu cna thang thịi gian T
Phő cna ma tr¾n A

T

Thang thịi gian tőng quát

ξh(z)

Phép bien đői tru


Li núi au
Lý thuyet hắ đng lnc trờn thang thũi gian bat kỳ T đưoc quan tâm chú ý
nhieu boi vì nó the hi¾n sn tương tác giua lý thuyet h¾ liên tuc và h¾ rịi rac.
Nó cho phép phân tớch tớnh n %nh cna hắ đng lnc trờn mien thịi gian khơng
đeu trong R. Khi T = R, phương trình đ®ng lnc thang thịi gian rút GQN thành
phương trình vi phân liên tuc thơng thưịng. Khi T = hZ (h là so thnc), chúng
rút GQN thành phương trình sai phân thơng thưịng. Bên canh hai trưịng hop
này, cịn có nhieu thang thịi gian thú v% khác vói Σ
bưóc thịi gian khơng đeu (ví
n
1

du thang T = {tn}n∈N gom các so đieu hịa tn =
). Tính őn đ%nh mũ đã
k=1 k

đưoc tìm ra cho h¾ tuyen tính su dung thang thũi gian hm m. Mđt so mo
rđng cho hắ đng lnc thịi gian bien đői, phương trình đ®ng lnc vói nhieu cau
trúc tőng quát và h¾ đieu khien huu han chieu phi tuyen trên thang thòi gian
cũng đã đưoc nghiên cúu. Tuy nhiên, tính chat này khơng de dàng mo rđng
cho lúp hắ chuyen mach.
Hắ chuyen mach l cỏc hắ liên quan ca đ®ng lnc liên tuc và đ®ng lnc rũi
rac. Chỳng bao gom mđt so huu han cỏc hắ con và m®t quy tac rịi rac đe đưa
ra sn chuyen mach giua các h¾. Chúng đã đưoc nghiên cúu rđng rói trong hai
thắp ki gan õy boi vỡ chỳng miờu ta mđt lúp rđng cỏc hắ vắt lý cng như
các h¾ thong ky thu¾t. Hau het các phương pháp hi¾n tai đe phân tích tích őn đ
%nh cna h¾ chuyen mach tuyen tính khơng the áp dung cho h¾ phát trien
(evolving) trên mien thịi gian liên tuc ho¾c rịi rac.
Tù nh¾n xét bên trên, trong bài báo [9], các tác gia đã phân tích tính őn đ
%nh cho m®t trưịng hop đ¾c bi¾t cna h¾ chuyen mach tuyen tính m trong ú
hắ đng lnc chuyen mach giua hắ con tuyen tính liên tuc và h¾ con tuyen tính
rịi rac trong m®t chu kỳ thịi gian nhat đ%nh. Có nhieu úng dung liên quan tói


nhung hắ chuyen mach nh vắy. Mđt vớ du cu the l hắ khuech ai (cascaded
system) bao gom mđt bđ ieu chinh thũi gian liờn tuc (continuous-time plant),
mđt tắp ieu khien thòi gian ròi rac và các chuyen mach giua cỏc bđ ieu
khien. Thắt ra, tớnh chat thũi gian cna chúng khơng the bieu dien đưoc bang
đưịng thang liên tuc (túc là R) hay đưòng ròi rac (túc là Z).
Trong mđt so ti liắu trúc õy, mđt so ieu kiắn őn đ%nh đưoc đưa ra
cho h¾ chuyen mach tuyen tính mà đưoc xác đ%nh boi hai h¾ con tien trien
trên mien thòi gian liên tuc và mien thòi gian ròi rac đeu vói chu kỳ co đ%nh.

Tính őn đ%nh giai tớch oc dna trờn cựng mđt hm Lyapunov bắc 4. Tuy
nhiờn, sn mo rđng cho lúp hắ lún hn tien trien trên mien thịi gian khơng đeu
là khơng tam thưịng. e giai quyet van e ny, lý thuyet hắ đng lnc trên
thang thịi gian tùy ý T dưịng như thích hop. Tính giai tích cna h¾ chuyen
mach trên thang
thịi gian tùy ý đưoc trình bày trong [6, 1] su dung hàm Lyapunov chung b¾c
bon. Theo cách tương tn, tính őn %nh cna mđt lúp hắ chuyen mach tuyen tớnh
m bao gom mđt tắp cỏc hắ con tuyen tớnh liờn tuc őn đ%nh và h¾ con tuyen
tính rịi rac őn đ%nh vói hàm hat co đ%nh đưoc nghiên cúu trong [7]. Tuy nhiờn,
viắc tỡm mđt hm Lyapunov cho hắ chuyen mach là khơng đơn gian. Ngồi ra,
phương pháp tiep c¾n trong [6, 7] khụng ỏp dung oc neu mđt hắ riờng bi¾t
khơng őn đ%nh ti¾m c¾n.
Do tam quan TRQNG đ¾c bi¾t cna lý thuyet này mà nhieu nhà tốn HQc nưóc
ngồi và Vi¾t Nam đã dành nhieu thịi gian và cơng súc cna mình cho
vi¾c nghiên cúu các tính őn đ%nh giai tích cna h¾ chuyen mach. Trong
khn khő lu¾n văn này chúng tơi xin đưoc trình bày đe tài: “Tính on
%nh cua mđt lỏp cỏc hắ chuyen mach tuyen tính trên thang thài
gian”. Lu¾n văn đưoc tőng hop tù bài báo [9] cna F. Z. Taousser, M. Defoort
và M. Djemai cùng vói m®t so giáo trình ve lý thuyet hắ đng lnc trờn thang
thũi gian, hắ chuyen mach trờn thang thịi gian.
Muc đích cna lu¾n văn này là mo r®ng các ket qua cho mien thịi gian khơng
đeu T = Pak,bk tao boi hop các khoang rịi nhau vói đ® dài bien thiên ak và
khoang cách bien thiên bk. Hắ oc nghiờn cỳu chuyen mach giua mđt hắ đng
lnc con liờn tuc v mđt hắ con rũi rac vúi hàm hat b% ch¾n. Moi h¾ con liên tuc


ho¾c rịi rac có the khơng őn đ%nh. Su dung các tính chat cna hàm mũ thang
thịi gian, m®t so đieu ki¾n đưoc đưa ra đe đam bao tính őn đ%nh mũ cna lóp
h¾ này dưói đieu ki¾n hàm hat b% ch¾n khi h¾ con là őn đ%nh mũ. Các ket qua
ny oc mo rđng khi khao sỏt hắ con rịi rac khơng őn đ%nh ho¾c h¾ con liên

tuc khơng őn đ%nh.
Ngồi Lịi mo đau, Ket lu¾n và Tài li¾u tham khao, bo cuc cna lu¾n văn
bao gom 2 chương:
Chương 1: Kien thúc chuan b%. Trong chương này chúng tôi trình bày tóm
tat các khái ni¾m và nêu ví du ve thang thòi gian, ∆-đao hàm, hàm mũ trên
thang thòi gian, khái ni¾m h¾ chuyen mach trên thang thịi gian, khỏi niắm
tớnh n %nh.
Chng 2: Tớnh n %nh cna mđt lóp các h¾ chuyen mach tuyen tính trên
thang thịi gian. e đây chúng tơi trình bày ba đ%nh lý nêu các đieu ki¾n őn

đ

%nh mũ cna h¾ chuyen mach trên thang thòi gian Pak,bk trong ba trưòng hop
khác nhau. Bao gom trưịng hop khi h¾ con là őn đ%nh mũ và trưịng hop h¾
con rịi rac khơng őn đ%nh ho¾c h¾ con liên tuc khơng őn đ%nh.
M¾c dù đã het súc co gang nhưng do van đe nghiên cúu khá phúc
tap và kinh nghi¾m nghiên cúu cịn han che nên lu¾n văn có the van cịn
nhieu khiem khuyet. Trong q trình ĐQc d%ch tài li¾u, viet lu¾n văn cũng như
xu lý văn ban chac chan không tránh khoi nhung sai sót nhat đ%nh. Tác gia
rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien đóng góp cna q thay cơ và các ban e
luắn vn oc hon thiắn hn.
H Nđi, ngy 15 thỏng 11 năm 2017
HQc viên

Phùng Hai Minh


Chương 1
Kien thÉc chuan b%
Trong Chương 1 chúng tơi trình by mđt so kien thỳc s so liờn quan hắ

chuyen mach bao gom khái ni¾m thang thịi gian, ∆-đao hàm, ∆-tích phân,
các khái ni¾m tính őn đ%nh dna vào tài li¾u [2, 9]. Sau đó, dna vào tài li¾u [8],
chúng tụi trỡnh by lai khỏi niắm hắ đng lnc liờn tuc, hắ đng lnc rũi rac e
dan túi khỏi niắm hắ chuyen mach cựng cỏc %nh ngha mo rđng v tính chat
liên quan.

1.1

Thang thài gian, tính kha vi, tính kha tích

Đ%nh nghĩa 1.1.1 ([2]). M®t thang thài gian T là mđt tắp con úng khỏc
rong tựy ý cna R.
Do ú, t¾p so thnc R, t¾p so nguyên Z, t¾p so tn nhiên N, t¾p so tn nhiên
khơng âm N0 là các ví du ve thang thịi gian. Trong khi t¾p so huu ti Q, t¾p so
vơ ti R\Q, t¾p so phúc C, và khoang mo (0, 1) không phai là thang thịi gian.
Đ%nh nghĩa 1.1.2 ([2]). Cho T là m®t thang thịi gian, vói moi t ∈ T, ta đ%nh
nghĩa toán tu nhay tien (forward jump) và toán tu nhay lùi (backward jump)
như sau:
1. Toán tu nhay tien σ(t) : T → T đưoc đ%nh nghĩa boi
σ(t) := inf{s ∈ T : s > t}.
2. Toán tù nhay lùi ρ(t) : T → T đưoc đ%nh nghĩa boi
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}.


Ta quy ưóc: neu t = max T thì σ(t) = t, neu t = min T thì ρ(t) = t.
Đ%nh nghĩa 1.1.3 ([2]). Ánh xa µ : T → R+ xác đ%nh boi
µ(t) = σ(t) − t, t ∈ T
đưoc gQI là hàm hat cna thang thòi gian T.
Đ%nh nghĩa 1.1.4 ([2]). Điem t ∈ T GQI là điem:
1. cơ l¾p phai (right-scattered) neu σ(t) > t;

2. trù m¾t phai (right-dense) neu t < sup T và σ(t) = t;
3. cơ l¾p trái (left-scattered) neu ρ(t) < t;
4. trù m¾t trái (left-dense) neu t > inf T và ρ(t) = t;
5. điem vùa cơ l¾p phai vùa cơ l¾p trái đưoc GQI là điem cơ l¾p;
6. điem vùa trù m¾t phai vùa trù m¾t trái đưoc GQI là điem trù m¾t.
Neu thang thịi gian T có phan tu lón nhat m là điem cơ l¾p trái thì ta
đ¾t Tk = T\{m}, neu ngưoc lai đ¾t Tk = T. Chang han, [a, b]k = [a, b] neu
b là trù m¾t trái và [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] neu b là cơ l¾p trái.
Ví dn 1.1.5. Ta xét hai trưòng hop khi T = R và T = Z.
(i) Neu T = R thì ta có vói bat kỳ t ∈ R
σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = inf{t, ∞} = t
và tương tn ρ(t) = t. Cho nên MQI điem t ∈ R là iem trự mắt. Hm hat
à tro thnh
à(t) 0 vúi MQI t ∈ R.
(ii) Neu T = Z thì ta có vói bat kỳ t ∈ Z
σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = inf{t + 1, t + 2, t + 3, . . .} = t + 1
và tương tn ρ(t) = t − 1. Cho nên MQI điem t ∈ Z là điem cơ l¾p. Hàm
hat µ trong trưịng hop này là
µ(t) ≡ 1 vói MQI t ∈ Z.


Ví dn 1.1.6. Cho a, b > 0 và xét thang thịi gian Pa,b tao boi các khoang rịi
nhau vói đ® dài a co đ%nh và khoang cách b co đ%nh
∞
[
Pa,b =
[k(a + b), k(a + b) + a].

Khi đó, vói t ∈

S∞

k=0
k=0 [k(a

+ b), k(a + b) + a) thì

σ(t) = inf{s ∈ Pa,b : s > t} = t.
S∞
Vói tk = k(a + b) + a ∈
k=0 {k(a + b) + a} thì
σ(tk) = inf{s ∈ Pa,b : s > tk} = k(a + b) + a + b = tk + b.
Khi đó,

neu t ∈

t

σ(t) =



và

t + b neu t ∈

0

µ(t) =



b

neu t ∈
neu t ∈

S∞

k=0 [k(a

S∞

+ b), k(a + b) + a)

k=0 {k(a

S∞

k=0 [k(a

S∞

+ b) + a}

+ b), k(a + b) + a)

k=0 {k(a

+ b) + a}.

Hình 1.1 minh HQA tốn tu nhay tien cna thang thịi gian Pa,b .
Hình 1.1: Tốn tu nhay tien cna thang thòi gian Pa,b.


Đ%nh nghĩa 1.1.7 ([9]). Xét hàm so f : T → R. ∆-đao hàm (còn GQI là
đao hàm Hilger) cna f tai t ∈ Tk là m®t so (neu nó ton tai), ký hi¾u f ∆ (t),
đưoc đ%nh nghĩa boi
f (σ(t)) − f (s)
f ∆(t) = lim
.
s→t
σ(t) − s
Hàm f đưoc GQI là ∆-kha vi (nói ngan GQN là kha vi) trên Tk neu f ∆ (t) ton tai
vói MQI t ∈ Tk .
Ví dn 1.1.8. Xét trưịng hop T = R, theo Ví du 1.1.5, ta có σ(t) = t. Hàm so
f : R → R là ∆-kha vi tai t ∈ Tk = T = R khi và chi khi ton tai giói han
f ∆(t) = lim

f (σ(t)) − f (s)
f (t) − f (s)
f ( s) − f ( t )
,
= lim s − t
s→t
s→t
s→t
σ(t) − s = lim
t−s

túc là f kha vi (theo nghĩa thơng thưịng) tai t, f ∆ (t) = f˙(t).
Ví dn 1.1.9. Xét trưịng hop T = Z, theo Ví du 1.1.5, ta có σ(t) = t+1. Cho f
là hàm bat kỳ xác đ%nh trên Z, ta ln có f là ∆-kha vi vói MQI t ∈ Tk = T =
Z. Th¾t v¾y,
f (σ(t)) − f (s)
f (t + 1) − f (s)
f ∆(t) = lims→t
= s→t
lim t + 1 − s
σ(t) − s
= f (t + 1) − f (t)
= ∆f (t),
o đây ∆ là tốn tu sai phân tien thơng thưịng. Túc là vói T = Z thì f ∆(t) =
∆f (t).
Nh¾n xét 1.1.10 ([9]). Qua hai ví du trên ta thay vói vi¾c su dung lý thuyet
thang thịi gian, lý thuyet cna phương trình vi phân và phương trình sai phân
là thong nhat.
Ví dn 1.1.11. Cho h > 0 và
T = hZ = {hk : k ∈ Z}.
Vói MQI t ∈ T ta có
σ(t) = inf{s ∈ T : s > t} = inf{t + nh : n ∈ N} = t + h


và tương tn ρ(t) = t − h. Cho nên MQI iem t T l iem cụ lắp v
à(t) = σ(t) − t = t + h − t ≡ h vói MQI t ∈ T
nên hàm hat µ là hang so. Vói hàm f : T → R ta có
f (σ(t)) − f (s) f (σ(t)) − f (t)
f ∆(t) =s→t
lim σ(t) −
=σ(t) − t

s
f (σ(t)) − f (t) f (t + h)
vói MQI t ∈ T.
=
=
− f ( t)
µ(t)
h
Ta cũng có
f
∆∆

(t)
=

f ∆(σ(t)) − f ∆(t)
µ(t)
∆
f (t + h) − f ∆(t)
=
h
f (t+2h)−f (t+h)

=

=

h

−

f (t+h)−f (t)
h

h
f ( t + 2 h) − f ( t + h) − f ( t + h) + f ( t )

h2
f (t + 2h) − 2f (t + h) +
=
f (t) h2
.
∆
Ta có the tính đao hàm cap cao f n (t) theo cách tương tn.
Ta có tính đao hàm cna tőng, tích và thương các hàm kha vi. Đieu này dna
vào đ%nh lý sau. Chúng minh cna nó có the xem trong [2].
Đ%nh lý 1.1.12 ([2]). Cho f và g : T → R là các hàm ∆-kha vi tai t ∈ Tk.
Khi đó:
1. Hàm tőng f + g : T → R ∆-kha vi tai t và
(f + g)∆(t) = f ∆(t) + g∆(t).
2. Vái hang so c tùy ý, hàm cf : T → R ∆-kha vi tai t và
(cf )∆(t) = cf ∆(t).
3. Hàm tích fg : T → R ∆-kha vi tai t và
(fg)∆(t) = f ∆(t)g(t) + f (σ(t))g∆(t) = f (t)g∆(t) + f ∆(t)g(σ(t)).


4. Neu f (t)f (σ(t)) ƒ= 0 1
∆-kha vi và
thì
f

.
Σ
1 ∆
f ∆(t)
(t) = −
.
f (t)f (σ(t))
f
5. Neu g(t)g(σ(t)) ƒ= 0
thì

f
g

∆-kha vi tai t và

. f Σ∆ (t) =
g

f ∆(t)g(t)− f (t)g∆(t)
.
g(t)g(σ(t))

Đ%nh nghĩa 1.1.13 ([2]). M®t hàm f : T → R đưoc GQI là chính quy neu
ton tai giói han bên phai huu han tai tat ca các điem trù m¾t phai trong T và
ton tai giói han trái huu han tai tat ca các điem trù m¾t trái trong T.
Đ%nh nghĩa 1.1.14 ([9]). Hàm f : T → R đưoc GQI là liên tnc trù m¾t
phai hay rd-liên tnc, neu nó liên tuc (theo nghĩa thơng thưịng) trên khoang trù
m¾t phai bat kỳ trong T.
Đ%nh nghĩa 1.1.15 ([9]). Ma trắn A(Ã) cừ mì n xỏc %nh trờn thang thũi gian

T đưoc GQi là rd-liên tuc neu moi thành phan cna A(·) là rd-liên tuc trên T.
Đ%nh nghĩa 1.1.16 ([2]). M®t hàm liên tuc f : T → R là tien kha vi (predifferentiable) vói mien kha vi D neu các đieu ki¾n sau đong thịi đưoc thoa
mãn:
i) D ⊂ Tk,
ii) Tk\D là không quá đem đưoc và không chúa điem cơ l¾p phai nào cna T,
iii)

f kha vi tai moi t ∈ D.

Đ%nh lý 1.1.17 ([2]). Cho f là m®t hàm chính quy. Khi đó ton tai m®t
hàm tien kha vi F vái mien kha vi D sao cho F ∆ (t) = f (t), vái MQI t ∈ D.
Đ%nh nghĩa 1.1.18 ([2]). Cho f : T → R là m®t hàm chính quy. Bat kỳ hàm
F như trong Đ%nh lý 1.1.17 là m®t tien nguyên hàm cna hàm f . Ta đ%nh
nghĩa tích phân bat đ%nh cna m®t hàm chính quy f là
∫ f (t)∆t := F (t) + C,


o đây C là m®t hang so tùy ý và F là m®t tien nguyên hàm cna hàm f . Ta

đ

%nh nghĩa tích phân Cauchy bang
f (t)∆t := F (s) − F (r),
∫ s s ∈ T,
r

r,

vói F là m®t tien nguyên hàm cna f . M®t hàm F : T → R đưoc GQI là
nguyên hàm cna f : T → R neu F ∆ (t) = f (t), vói MQI t ∈ Tk .

Ta xét m®t so trưịng hop đ¾c bi¾t:
Ví dn 1.1.19. Khi T = R thì tích phân trên thang thịi gian là tích phân
thơng thưịng vì lúc này ∆-đao hàm là đao hàm thơng thưịng, ngun hàm
cna hàm so là ngun hàm thơng thưịng nên ta có
∫b
∫b
f (t)∆t
f (t)dt,
a
=
a

o đây f là hàm liên
tuc.

Ví dn 1.1.20. Khi T = Z, xét hàm f bat kỳ xác đ%nh trên Z. GQI F là
m®t hàm tien nguyên hàm cna f . Khi đó F xác đ%nh và kha vi trên Z,
F ∆ (t) = f (t) ∀t ∈ Z. M¾t khác, theo Ví du 1.1.9, F ∆ (t) = F (t + 1) − F (t).
V¾y
f (t) = F (t + 1) − F (t).

(1.1)

Xét tích phân cna hàm f tù a đen b vói a, b ∈ Z, a ≤ b, theo đ%nh nghĩa ta có
∫
b

a

f (t)∆t = F (b)− F (a).

Ta có
f (a) = F (a + 1) − F (a)
f (a + 1) = F (a + 2) − F (a + 1)
f (a + 2) = F (a + 3) − F (a + 2)
......
f (b − 1) = F (b) − F (b − 1).

(1.2)


C®ng các đang thúc trên lai ta đưoc

b−1
Σ

F (b) − F (a) = f (a) + f (a + 1) + f (a + 2) + . . . + f (b − 1) = f (t).
(1.3)
t=a

Thay (1.3) vào (1.2) ta đưoc
∫ b f (t)∆t b−1 f (t).
=
Σ
a
t=a

Tőng quát hơn, ta tính đưoc



Σb−1

f (t),

neu a < b,

 t=a
∫b
f (t)∆t = 0,
neu a = b,
a
Σ

t=
b f (t), neu a > b,
− a−1
vói f là m®t hàm tùy ý f : Z → R.
Ví dn 1.1.21. Cho T = Z, tính tích phân bat đ%nh
∫ at∆t,

trong a ƒ= 1 là hang so. Vì
= at,
.
Σ
.
Σ
∆
t+1
t

a
at
=∆
=a −
a−
a−1
at a −
1
nên ta suy ra
1
∫ at∆t
=
trong đó C là hang so tùy ý.

1.2

at
a−
1

+ C,

Hàm mũ trên thang thài gian

Đ%nh nghĩa 1.2.1 ([2]). Vói h > 0 ta đ%nh nghĩa t¾p so phúc Hilger Ch và dai
Zh như sau:
1
C := .z ∈ C : z ƒ= − Σ ,
h
π

π
h
Z = ,z ∈ C : − < Im(z) ≤ , ,
h
h
h
và vói h = 0, đ¾t C0 = C, Z0 = C.


Đ%nh nghĩa 1.2.2 ([2]). Vói h > 0, ta đ%nh nghĩa phép bien đői tru ξh : Ch →
Zh boi
1
ξh(z) = log(1 + hz),
h
trong đó log là nhánh chính cna logarit. Vói h = 0, ta đ%nh nghĩa ξ0 (z) = z vói
MQI

z ∈ C.

Ta GQI ξh là phép bien đői tru boi vì khi h > 0 ta có the coi Zh là m®t hình
tru neu ta noi các đưòng biên Im(z) = −π h và Im(z) = cna Zh vói nhau đe
π

h

tao thành m®t hình tru.

Đ%nh nghĩa 1.2.3 ([9]). Hàm p : T → K đưoc GQI là hoi quy neu 1+à(t)p(t) =
0, t Tk .
Ký hiắu t¾p tat ca các hàm hoi quy và rd-liên tuc là R và ký hi¾u R+

neu chúng thoa mãn 1 + µ(t)p(t) > 0, ∀t ∈ Tk (túc là hàm hoi quy dương).
Đ%nh nghĩa 1.2.4 ([9]). Hàm ma tr¾n A : T → Mn (R) đưoc GQI là hoi
quy, neu ∀t ∈ Tk , I + µ(t)A(t) là kha ngh%ch, trong ú I l ma trắn n v%.
Mđt cỏch tng đương, hàm ma tr¾n A(t) là hoi quy khi và chi khi tat ca
các giá tr% riêng cna nó là hoi quy (túc là 1 + µ(t)λi(t) ƒ= 0, ∀1 ≤ i ≤ n, ∀t
∈ Tk, trong đó λi(t) là các giá tr% riêng cna A(t)). Lóp tat ca các hàm hoi quy
và rd-liên tuc A tù T tói Mn(R) đưoc ký hi¾u bang R(T, Mn(R)).
Đ%nh nghĩa 1.2.5 ([9]). Neu p ∈ R làm rd-liên tuc và hoi quy, ta đ%nh nghĩa
hàm mũ suy r®ng cna p trên thang thịi gian T boi
.∫
ξµ(τ)(p(τ ))∆τ , s, t ∈ T
t
ep(t, s) =
exp
s

Σ

vói ξh(z) là phép bien đői tru đưoc nêu trong Đ%nh nghĩa 1.2.2:
log(1 +
µ(t)z)
µ(t)


z


ξµ(t)(z) = 


neu µ(t) ƒ=
0

(1.4)

neu µ(t) = 0.

Ví dn 1.2.6. Vói T = R, theo Ví du 1.1.5, µ(t) = 0 ∀t ∈ T. Theo Ví du 1.1.19,
∫t
∫t
ξµ(τ)(p(τ ))∆τ =
ξµ(τ)(p(τ ))dτ.
s

s


Do à(t) = 0, theo (1.4),
à()(p( )) = p( ).
Vắy

.


ep(t, t0) =
exp

t

Σ=

ξµ(τ)(p(τ ))∆τ exp

Σ
. t
∫ p(τ )dτ .

t0

t0

Neu p làm hàm hang thì

.
∫

ep(t, t0) =
exp

t

Σ
= ep(t−t ).
p(τ )dτ
0

t0

Đ%nh lý 1.2.7 ([2]). Lay p(t) ∈ R và t0 ∈ T, hàm m suy rđng ep(t, t0) l
nghiắm duy nhat cua bi tốn giá tr% ban đau
x∆(t) = p(t)x(t),

x(t0) = 1.

(1.5)

Ví dn 1.2.8. Cho T = hZ vói h > 0. Lay α ∈ R là m®t hang so, túc là,
1
α ∈ C\ .− Σ .
h
t
h
Khi đó
eα (t, 0) = (1 + αh) vói MQI t ∈ T.
(1.6)

Đe thay đieu này ta chú ý rang ve phai cna (1.6) thoa mãn
y(0) = (1 + αh)0 = 1
và
y(t + h) − y(t)
ht+h
t
(1 + α) h − (1 + α ) h
=
h
t
h
(1 + α) (1 + αh − 1)
=
h
t

= α(1 + αh)h

y∆(t) =

= αy(t)
t

vói MQI t ∈ T. V¾y theo Đ%nh lý 1.2.7, hàm mũ suy r®ng eα (t, 0) = (1 + αh) h
vói MQI t ∈ T.


Đ%nh nghĩa 1.2.9. Cho A ∈ Mn(R), h¾ phương trình
x∆(t) = A(t)x(t)
oc gQI l hắ đng lnc tuyen tớnh n chieu trên thang thịi gian T.
Neu T = R thì h¾ có dang x˙ (t) = A(t)x(t).
x(t + h) −
Neu
T
=
hZ,
thì
h¾
rút
GQN thành
x(t)
đương x(t + h) = [I + hA(t)]x(t).

= A(t)x(t) hay tương

h

Đ%nh nghĩa 1.2.10 ([9]). Nghi¾m duy nhat cna
x∆(t) = A(t)x(t),

x(t0) = I,

(1.7)

vói t ∈ T, A ∈ Mn (R), đưoc GQI là ma tr¾n chuyen tiep, và đưoc ký hi¾u
bang A (t, t0 ). Neu A l mđt ma trắn hang, thì hàm mũ tőng quát φA (t, t0 ) =
eA (t, t0 ) là nghi¾m duy nhat cna (1.7).
Đ%nh lý 1.2.11 ([2]). Gia su rang ma tr¾n A là hoi quy, và C : T → Mn(Rn)
là ∆-kha vi. Neu C(t) l mđt nghiắm cua phng trỡnh đng lnc ma tr¾n
C∆(t) = A(t)C(t) − C(σ(t))A(t),
thì
C(t)eA(t, s) = eA(t, s)C(s).
H¾ qua 1.2.12 ([2]). Gia su A là hoi quy và C là ma tr¾n hang. Neu C giao
hốn vái A, thì C giao hốn vái eA. Nói riêng, neu A l mđt ma trắn hang, thỡ
A giao hoỏn vỏi eA.

1.3

Khỏi ni¾m tính on đ%nh

Ta thao lu¾n ve đ%nh nghĩa tính n %nh cna hắ đng lnc
x(t) = A(t)x(t),

A Mn(R).

(1.8)

e đây, chúng ta ln ln cơng thúc hóa đoi vói goc TQA đ®, nơi đưoc gia thiet
là trang thái cân bang.


Đ%nh nghĩa 1.3.1 ([9]). Gia su rang thang thòi gian T có phan tu nho
nhat t0 ≥ 0. H¾ (1.8) vói x(t0 ) = x0 đưoc GQI là őn đ%nh mũ trên T neu ton tai
hang so β = β(t0 ) ≥ 1 và hàm hang âm λ ∈ R + (túc là hoi quy
dương) sao cho
nghi¾m tương úng thoa mãn
ǁx(t)ǁ ≤ βǁx0ǁeλ(t, t0), ∀t ∈ T.

(1.9)

Neu hang so β khụng phu thuđc t0 T thỡ hắ (1.8) oc GQI là őn đ
%nh mũ đeu.
Đ%nh lý 1.3.2 ([3]).
H¾

x∆ = Ax,

A ∈ Mn(R),

őn đ%nh mũ đeu khi và chs khi h¾
x∆ = λx
là őn đ%nh mũ đeu vái MQI λ ∈ Spec(A).
Đ%nh nghĩa 1.3.3 ([4]). Cho thang thòi gian T khơng b% ch¾n trên, vói bat
kỳ t0 ∈ T đ%nh nghĩa
T

1

∫ lim
SC(T) := {λ ∈ C : lim sup
sup
T− t
T→∞

0

t0

log |1 + sλ|
s
∆t < 0}

s\µ(t)

và
SR(T) := {λ ∈ R : ∀T ∈ T, ∃t ∈ T vói t > T sao cho 1 + µ(t)λ = 0}.
Khi đó mien őn đ%nh mũ cna thang thòi gian T đưoc đ%nh nghĩa boi
S(T) := SC(T) ∪ SR(T).
Ví dn 1.3.4.
1. Khi T = R thì SR(R) = ∅ và SC(R) = {λ ∈ C : Re λ < 0}.
.
Σ
2. Khi T = hZ thì SR (hZ) = −h 1 và SC (hZ) = {λ ∈ C : |1 + λh| < 1}.


Đong thịi ta GQI t¾p

S = S(T) := {λ ∈ C : phương trình x∆ = λx là őn đ%nh mũ
đeu} là mien őn đ%nh mũ đeu cna thang thòi gian T.
Đ%nh lý 1.3.5 ([4]). Cho T là m®t thang thi gian khụng b% chắn trờn v cho
A Rnìn là hoi quy. Khi đó các khang đ%nh sau đúng:
1. Neu h¾ x∆ = Ax őn đ%nh mũ thì Spec(A) ⊂ S(T).
2. Neu A chéo hóa đưac thì h¾ x∆ = Ax là őn đ%nh mũ khi và chs khi
Spec(A) ⊂ S(T).
3. Neu mői giá tr% riêng cua A là hoi quy đeu thì h¾ x∆ = Ax őn đ%nh mũ.
Đ%nh lý 1.3.6. H¾ tuyen tính (1.8) h¾ so hang so là őn đ%nh mũ đeu khi và
chs khi Spec(A) S(T).
Viắc xỏc %nh mien n %nh cna mđt thang thịi gian cho trưóc nói chung
là khơng đơn gian neu khơng nói là rat khó khăn, đieu này phan nào cho thay
cau trúc phúc tap cna thang thòi gian. Sau đây ta se tìm mien őn đ%nh mũ cna
thang thịi gian T trong mđt so trũng hop ắc biắt.
Vớ dn 1.3.7. Xét phương trình tuyen tính
Σ
−1 −2
∆
x =
x
Σ
1 −4

(1.10)

xác đ%nh trên thang thịi gian T. Ta có các giá tr% riêng cna ma tr¾n A là −2
và −3, nên A chéo hóa đưoc.
Neu lay T = R thì Spec(A) = {−2, −3} ⊂ S(T) = {λ ∈ C : Re λ < 0}
và phương trình (1.10) là őn đ%nh mũ.
Neu lay T = 2Z thì

S(T) = SC(T) ∪ SR(T) = {λ ∈ C : |1 + 2λ| < 1} ∪

.

−
2

1Σ

.

Nên Spec(A) = {−2, −3} ƒ⊂ S(T) và phương trình (1.10) không őn đ%nh mũ.


Neu lay T = 12 Z thì
S(T) = SC (T) ∪ SR (T) =

.

Σ
λ
λ ∈ C : |1 + | < 1 ∪ {−2} .
2

Nên Spec(A) = {−2, −3} ⊂ S(T) và phương trình (1.10) őn đ%nh mũ.
Đe nghiên cúu tớnh n %nh cna hắ đng lnc trờn thang thũi gian, ta %nh
ngha mđt tắp mo cna mắt phang phỳc đưoc GQI là hình trịn Hilger.
Đ%nh nghĩa 1.3.8 ([9]). Vói moi t ∈ T, hình trịn Hilger đưoc đ%nh nghĩa là
1 .
1

H
= .z ∈ C : .z +
<
Σ.
µ(t)
.
µ(t)
Khi µ(t) = 0, ta ký hiắu

à(t).

H0 = {z C : Re(z) < 0} = C−,

là nua trái cna nua m¾t phang phúc.
Khi t¾p các hàm hat thang thịi gian b% ch¾n trên, hình trịn Hilger nho
nhat (ký hi¾u là Hmin) là hình trịn Hilger tương úng vói µ(t) = µmax = suptT
à(t). Chỳng ta cú sn liờn hắ giua hỡnh trũn Hilger và mien őn đ%nh mũ.
Th¾t v¾y, hình trịn Hilger nho nhat Hmin là t¾p con cna mien őn đ%nh mũ.
Đ%nh nghĩa 1.3.9 ([9]). Ma tr¾n hoi quy A(t) đưoc GQI là Hilger őn đ%nh neu
Spec(A(t)) ⊂ Hµ(t) vói MQI t ∈ T. Neu A(t) ≡ A, thì đieu này tương đương
vói Spec(A) ⊂ Hmin (túc là tat ca các giá tr% riêng cna A thu®c Hmin ).
Bo đe 1.3.10 ([4]). Cho thang thũi gian T. ắt g((t), à(t)) := 2 Re(λ(t))
+ µ(t)|λ(t)|2 . Cho A(t) ∈ Mn (R) là ma trắn vuụng cap n. Khi ú g((t), à(t))
< 0 vói MQI t ∈ T và MQI λ(t) ∈ Spec(A(t)) khi và chi khi A(t) là Hilger őn
đ%nh.
Chúng minh. Cho thang thòi gian T, A ∈ Mn(R), λi(t) ∈ Spec(A(t)). Co đ%nh
t ∈ T. Chú ý rang g(λi(t), µ(t)) < 0 khi và chi khi
2 Re(λi(t)) + µ(t)|λi(t)|2 < 0
1
1

2 Re(λ (t)) + µ(t)(Re(λ (t))2 + Im(λ (t))2) +
<
i
i
i
µ(t)
µ(t)


2
µ(t
)
.

Re(λ (t)) + Re(λ (t))2 + Im(λ (t))2 +
i

i

i

Re(λi(t))
+

1

Σ2

1
µ(t)2

<

1
µ(t)2

1
+ (Im(λi(t)) − 0)2
<

µ(t)2

µ(t
)
1
1
.
.λ i(t) + µ(t).< µ(t)
.
.

Túc là g(λi(t), µ(t)) < 0 khi v chi khi i(t) thuđc Hà(t). Do ú g(λ(t), µ(t)) < 0
vói MQI t ∈ T và MQI λi (t) ∈ Spec(A(t)) khi và chi khi A(t) là őn đ%nh Hilger.

1.4

H¾ chuyen mach

Trưóc khi trình bày đ%nh nghĩa hắ chuyen mach, chỳng tụi xin oc trỡnh
by mđt vớ du trong thnc tien liên quan đen h¾ chuyen mach đe thay đưoc sn

xuat hi¾n cna h¾ chuyen mach trong cu®c song hàng ngày.
Ví dn 1.4.1. Xét mơ hình đơn gian miêu ta chuyen đ®ng cna xe ơ tơ có dang
x˙ 1 = x2
x˙ 2 = f (a, q)
trong đó x1 là v% trí cna xe, x2 là toc đ® cna xe, a ≥ 0 là gia toc truyen vào, và
q = {1, 2, 3, 4, 5, −1, 0} là v% trí cna can so. Hàm f se nh¾n giá tr% âm và giam
dan theo a khi q = −1, nhắn giỏ tr% õm v đc lắp vúi a khi q = 0, và tăng
theo a, dương vói a đn lón, và giam theo q khi q > 0. Trong h¾ này, x1 và x2
là các trang thái liên tuc và q là trang thái ròi rac. Rõ ràng trang thái rịi rac
anh hưong tói quy đao liên tuc. Trong trưịng hop truyen so tn đ®ng, sn tien
hóa cna trang thái liên tuc x2 đưoc su dung đe xác đ%nh chuyen tiep ròi rac.
Trong trưòng hop truyen so bang tay, các chuyen tiep rịi rac đưoc kiem sốt
boi ngưịi lái xe.
Tiep theo chúng tơi xin trình bày khái ni¾m ve h¾ chuyen mach dna theo
tài li¾u [8].
Đ%nh nghĩa 1.4.2 ([8]). Hắ chuyen mach l mđt hắ bao gom mđt so huu han
cỏc hắ con v mđt quy tac rũi rac đe đưa ra sn chuyen mach giua các h¾ con


đó. H¾ này đưoc bieu dien boi phương trình
x∆(t) = fk(x(t)),

(1.11)

trong đó x ∈ Rn là trang thái liên tnc, k là trang thái rài rac nh¾n giá tr%
trong t¾p chi so M = {1, 2, . . . , m} và fk, k ∈ M , là các trưòng véctơ. x∆ là
d
tốn tu đao hàm trong trưịng hop thịi gian liên tuc (túc là x∆(t) =
x(t))
ho¾c là

dt
tốn tu sai phân tien trong trưòng hop thòi gian ròi rac (túc là x∆(t) =
x(t+1)).
Không gian trang thái liên tuc là không gian Euclid n chieu và khơng gian
trang thái rịi rac là t¾p chi so M có huu han phan tu. T¾p thịi gian có the là
t¾p các so thnc trong trưịng hop thịi gian liên tuc, ho¾c là t¾p các so nguyên
trong trưòng hop thòi gian ròi rac. Dna vào tính chat liên tuc ho¾c rịi rac cna
t¾p thịi gian mà ta GQI là h¾ chuyen mach liên tuc ho¾c h¾ chuyen
mach rịi rac. Neu tat ca các h¾ con cna (1.11) là tuyen tính thì ta GQI là h¾
chuyen mach tuyen tính. Khi h¾ có m h¾ con thì h¾ cịn đưoc GQI là h¾ chuyen
mach m-dang.
Vói moi k ∈ M , trang thái đơn le
x∆(t) = fk(x(t))

(1.12)

đưoc GQI l mđt hắ con cna hắ chuyen mach. Khi cỏc h¾ con (1.12) đưoc
cho trưóc, dáng đi¾u cna h¾ chuyen mach đưoc quyet đ%nh boi tín hi¾u
chuyen mach.
T¾p nhung tín hi¾u chuyen mach hồn tồn xác đ%nh trên [t0 , +∞) đưoc
ký hi¾u boi 0S[t

,+∞)

ho¾c S khi t0 = 0. Ký hi¾u Υ = {Λx : x ∈ Rn } vói Λx

là t¾p con khác rong cna S. T¾p Υ gán các tín hi¾u chuyen mach cho moi
trang thái ban đau và đưoc GQI là t¾p tín hi¾u chuyen mach chap nhắn ac.
Tắp ny cam sinh mđt tắp chap nhắn đưoc nhung quy đao trang thái liên tuc

{Γx : x ∈ Rn }, trong đó Γx là t¾p nhung quy đao trang thái vói trang thái
ban đau x và tín hi¾u chuyen mach trong Λx , túc là:
Γx = {φ(·; 0, x, θ) : θ ∈ Λx}.
Hàm giá tr% thnc α : R+ → R+ đưoc GQI là thu®c láp K neu nó liên tuc, đơn
đi¾u tăng ng¾t, và α(0) = 0. Ngồi ra, neu α khơng b% ch¾n, thì nó đưoc GQI là


thuđc lỏp K . Hm : R+ ì R+ → R+ đưoc GQI là thu®c lóp KL neu β(·, t)
thu®c lóp vói moi t 0 và lim β(r, t) = 0 vói moi r ≥ 0 co đ%nh.
K
≥
→+∞
t

Đ%nh nghĩa 1.4.3 (Tính őn đ%nh, [8]). Gia su rang Υ = {Λx , x ∈ Rn } là
t¾p tín hi¾u chuyen mach chap nh¾n đưoc. H¾ chuyen mach (1.11) đưoc GQI là
1) őn đ%nh trên Υ neu ton tai m®t hàm ζ ∈ K và m®t so thnc dương δ sao
cho
x
|φ(t; 0, x0, θ)| ≤ ζ(|x0|) ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Bδ, θ ∈ Λ

0

2) őn đ%nh ti¾m c¾n trên Υ neu ton tai m®t hàm ξ ∈ KL sao cho
|φ(t; 0, x0, θ)| ≤ ξ(|x0|, t) ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ nR , θ ∈x Λ
0

3) őn đ%nh mũ trên Υ neu ton tai các so thnc dương α và β sao cho
|φ(t; 0, x0, θ)| ≤ βe−αt ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Rn, θ ∈ Λx0 .
Tính őn đ%nh cna h¾ chuyen mach đưoc phân ra làm nhieu kieu khác nhau,

như tính őn đ%nh cna h¾ chuyen mach khi h¾ con chuyen mach tùy ý, tính őn đ
%nh thịi gian dùng, tính őn đ%nh autonom, tính őn đ%nh ngau nhiên. Trong
lu¾n văn này, chúng tơi chi t¾p trung vào trình bày tính őn đ%nh cna h¾ chuyen
mach khi h¾ con chuyen mach tùy ý.

1.5

Tính on đ%nh cua h¾ chuyen mach

Đoi vói h¾ chuyen mach, chuyen mach có the gây nên sn thay đői khơng dn
đốn đưoc cna h¾ chuyen mach. Tính őn đ%nh cna tùng h¾ con khơng suy ra
tính őn đ%nh cna h¾. Có khi các h¾ con riêng bi¾t đeu őn đ%nh nhưng h¾ chuyen
mach có the van khơng őn đ%nh. Đieu này đưoc minh chúng qua các ví du sau.
Ví dn 1.5.1. Gia su h¾ chuyen mach có hai h¾ con riêng bi¾t őn đ%nh
ti¾m c¾n, vói quy đao đưoc minh HQA trong Hình 1.2(a) và (b). Khi đó, h¾
chuyen mach có the őn đ%nh (Hình 1.2(c)) ho¾c khơng őn đ%nh (Hình 1.2(d)).