Các công thức Toán ôn thi THPTQG (Số học + Hình học)

MỤC LỤC
Phần 1: GIẢI TÍCH .................................................................................................................................... 1
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .................................................................................... 1
VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ .................................................................................................. 4
CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH ............................................................................................... 12
VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ .............................................. 14
VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.............................................................. 15
VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ ......................................................................... 16
VẤN ĐỀ 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ ....................... 18
VẤN ĐỀ 7: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ.......................................................................... 19
VẤN ĐỀ 8: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ .......................................................................... 24
VẤN ĐỀ 9: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ................................................................... 26
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT ......................................................... 28
VẤN ĐỀ 1: LŨY THỪA ....................................................................................................................... 28
VẤN ĐỀ 2: LÔGARIT ......................................................................................................................... 30
VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT ................................ 31
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ .................................................................................................... 33
VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT ........................................................................................ 35
VẤN ĐỀ 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT ................................................................. 37
VẤN ĐỀ 7: ĐẠO HÀM CÁC HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT ........................................................... 38
PHẦN 2: HÌNH HỌC ............................................................................................................................... 39
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 – 10 ................................................................................... 39
A. TAM GIÁC VUÔNG: .................................................................................................................. 39
B. TAM GIÁC ĐỀU: ........................................................................................................................ 39
C. TAM GIÁC THƯỜNG ................................................................................................................ 39
D. TỨ GIÁC ...................................................................................................................................... 40
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 ......................................................................................... 41
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 ......................................................................................... 45
CHƯƠNG I: KHỐI ĐA DIỆN ............................................................................................................. 45
VẤN ĐỀ 1: KHÁI NIỆM KHỐI ĐA DIỆN ........................................................................................ 45
CÁC CÔNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH HÌNH CHĨP ĐỀU ......................................... 47

CHƯƠNG II: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU ........................................................................... 49


BÀI 1: KHÁI NIỆM MẶT TRÒN XOAY .......................................................................................... 49
BÀI 2: MẶT CẦU ................................................................................................................................. 52
CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP ............................. 56


Phần 1: GIẢI TÍCH
VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định trên K với K là một đoạn, khoảng hoặc nửa
khoảng.
 Hàm số f ( x ) được gọi là đồng biến trên K nếu x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
 Hàm số f ( x ) được gọi là nghịch biến trên K nếu x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )
II. Định lý: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên I
 Nếu f  ( x )  0, x  I và f  ( x ) = 0 tại một số điểm hữu hạn của I thì hàm số f ( x ) đồng
biến trên I.
 Nếu f  ( x ) , x  I và f  ( x ) = 0 tại một số điểm hữu hạn của I thì hàm số f ( x ) nghịch
biến trên I.
 Nếu f  ( x ) = 0, x  I thì hàm số f ( x ) không đổi trên I.
➔ Chú ý: Định lý không áp dụng dấu “=” với hàm nhất biến: y =

ax + b
.
cx + d

XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
 Tìm Tập xác định (TXĐ) của hàm số (hoặc xét khoảng ( a; b ) đề bài cho).
 Tính y, cho y = 0 tìm các nghiệm xi (hoặc tìm các điểm xi mà hàm số khơng có đạo
hàm)

 Lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên.
TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ
1. Hàm nhất biến: y =

ax + b
.
cx + d

d
 TXĐ: D = R \ − 
 c

 y =

ad − bc

( cx + d )

2

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định  y  0, x  D  ad − bc  0.

1


 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y  0, x  D  ad − bc  0.
 d

 học sinh xác định trên ( a; b )
−  ( a; b )

 Hàm số đồng biến trên ( a; b )  
 c
.

y

0,

x

a
;
b
(
)

ad − bc  0



 d
 học sinh xác định trên ( a; b )
−  ( a; b )
 Hàm số nghịch biến trên ( a; b )  
 c
.
 y  0, x  ( a; b )
ad − bc  0


2. Hàm bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d
 TXĐ: D = R
 y = 3ax 2 + 2bx + c
 Hàm số đồng biến trên R  y  0, x  R
 3ax 2 + 2bx + c  0, x  R ( *)

a  0

  0

 Hàm số nghịch biến trên R  y  0, x  R
 3ax 2 + 2bx + c  0, x  R ( *)

a  0

  0

Chú ý: Nếu hệ số 3a có tham số thì ta xét 3 x = 0, tìm được m, thế vào (*) kiểm tra có đúng
với mọi x khơng.
 Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên ( a; b )  y  (  ) 0, x  ( a; b )(*)
Ta giải ( *) bằng cách cô lập m:
h(x)
(*)  m  h ( x ) , x  ( a; b )  m  max
( )
x a;b

hoặc m  h ( x ) , x  ( a; b )  m  min h ( x )
x( a;b )

2

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
 Chuyển Bất đẳng thức (BĐT) về dạng: VT  0 (hoặc  0;  0;  0 )
 Đặt f ( x ) = VT với x  D.
 Tính f  ( x ) , cho f  ( x ) = 0 tìm nghiệm và lập bảng biến thiên (BBT), căn cứ vào BBT để
kết luận BĐT.
* Chú ý:
- Có thể kết luận BĐT dựa vào tính đơn điệu của hàm số không cần BBT
- Trong một số trường hợp ta cần tính đạo hàm cấp 2, 3… từ đó suy ra số nghiệm của f  ( x )
để lập bảng biến thiên.
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
a) Trường hợp 1: Thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x ) = g ( x ) (*)
 Bước 2: Xét hàm số f ( x ) và g ( x ) . Dùng lập luận khẳng định hàm số f ( x ) là đồng
biến còn hàm số g ( x ) là hàm hằng hoặc nghịch biến.
 Bước 3: Với x = x0 : f ( x0 ) = g ( x0 )  ( *) có nghiệm duy nhất x = x0 .
b) Trường hợp 2: Thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( u ) = f ( v )( *)
 Bước 2: Xét hàm đặc trưng f ( x ) . Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu.
 Bước 3: Khi đó: ( *)  u = v với u, v  D f .

3


VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. Định nghĩa: Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định trên tập hợp D và x0  D
 x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f ( x ) nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa
x0 sao cho ( a; b )  D và f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \  x0  . Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị

cực đại của hàm số f ( x ) .
 x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f ( x ) nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa
x0 sao cho ( a; b )  D và f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \  x0  . Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị

cực tiểu của hàm số f ( x ) .
 Giá trị cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị:
1. Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì
f  ( x0 ) = 0.

2. Chú ý:
 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc tại đó khơng
có đạo hàm.
 Đạo hàm f  có thể bằng 0 tại x0 nhưng khơng đạt cực trị tại điểm x0 .
III. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên ( a; b ) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
khoảng ( a; x0 ) và ( x0 ; b ) . Khi đó
 Nếu f  ( x0 )  0, x  ( a; x0 ) và f  ( x0 )  0, x  ( x0 ; b ) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
 Nếu f  ( x0 )  0, x  ( a; x0 ) và f  ( x0 )  0, x  ( x0 ; b ) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
2. Định lý 3: Giả sử hàm số f ( x ) có đạo hàm trên khoảng ( a; b ) chứa điểm x0 ; f  ( x0 ) = 0
và f ( x ) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 . Khi đó:
 Nếu f  ( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0
 Nếu f  ( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0

4


A. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
1. Phương pháp 1:
 Tìm TXĐ của hàm số (hoặc xét khoảng ( a; b ) đề bài cho)

 Tính y, cho y = 0 tìm các nghiệm xi (hoặc tìm các điểm xi mà hàm số khơng có đạo
hàm).
 Lập bảng biến thiên và kết luận các điểm cực trị.
2. Phương pháp 2:
 Tìm TXĐ của hàm số (hoặc xét khoảng ( a; b ) đề bài cho)
 Tính y  và tìm các nghiệm xi của y = 0
 Tính y và y ( xi ) , nếu y ( xi )  0 thì hàm số đạt cực đại tại xi và ngược lại
B. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU HOẶC ĐẠT CỰC TRỊ
TẠI X0.
1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đạt cực trị, cực tiểu hoặc cực đại tại x0 :
 TXĐ: D = R
 Tính đạo hàm: f  ( x )
 Hàm số đạt cực trị, cực tiểu hoặc cực đại tại x0  f  ( x0 ) = 0
Tìm được tham số và thử lại theo một trong 02 cách
+ Cách 1: Lập bảng biến thiên và kết luận
+ Cách 2: Tính f ; f  ( x0 ) và kết luận.
2. Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d . Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị:
 TXĐ: D = R
 y = 3ax 2 + 2bx + c
 Hàm số có 2 cực trị ( y  đổi dấu 2 lần)  y  có 2 nghiệm phân biệt
a  0

  0

5


* Chú ý: Hàm số khơng có cực trị ( y  không đổi dấu)  y vô nghiệm hoặc có nghiệm
a  0
  0

kép 

3. Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c. Tìm điều kiện để hàm số có 3 cực trị
 TXĐ: D = R
 y = 4ax 3 + 2bx
Cho y = 0  4ax3 + 2bx  2 x ( 2ax 2 + b ) = 0
x = 0
  2ax 2 + b = 0 (1)

 g( x)

 Hàm số có 3 cực trị ( y  đổi dấu 3 lần)  y có 2 nghiệm phân biệt
a  0

 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0    0
g 0  0
 ( )

* Chú ý: Hàm số có 1 cực trị ( y  đổi dấu 1 lần)
a  0
 Phương trình (1) vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép  
  0

C. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CĨ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THỎA YÊU CẦU
I. Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Câu hỏi 1: Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị thỏa yêu cầu về hoành độ
Phương pháp:
 TXĐ: D = R
 y = 3ax 2 + 2bx + c

1. Hàm số có 2 cực trị có hồnh độ trái dấu (hoặc 2 cực trị nằm 2 phía so với trục tung)
 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu  P  0

2. Hàm số có 2 cực trị có hồnh độ cùng dấu

6


  0
 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu  
P  0

3. Hàm số có 2 cực trị có hồnh độ cùng dấu dương
  0

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương   P  0
S  0


4. Hàm số có 2 cực trị có hồnh độ cùng dấu âm
  0

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âm   P  0
S  0


5. Hàm số có 2 cực trị có hồnh độ thỏa x1  a  x2
  0
  0


  x1  a  
( x1 − a )( x2 − a )  0
x  a
 2

6. Hàm số có 2 cực trị có hồnh độ thỏa a  x1  x2
  0
  0


  x1  a  ( x1 − a )( x2 − a )  0
x  a

 2
 x1 + x2 − 2a  0

7. Hàm số có 2 cực trị có hồnh độ thỏa x1  x2  a
  0
  0


  x1  a  ( x1 − a )( x2 − a )  0
x  a

 2
 x1 + x2 − 2a  0

−b

 S = x1 + x2 = a

* Định lý Vi-ét ta có: 
 P = x .x = c
1 2

a

Câu hỏi 2: Cho hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d ( Cm ) . Viết phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm cực trị và một số câu hỏi liên quan
 TXĐ: D = R

7


 y = 3ax 2 + 2bx + c
 Hàm số có 2 cực trị A, B ( y  đổi dấu 2 lần)
a  0
 y  có 2 nghiệm phân biệt  
  0

a) Trường hợp 1: Nếu  chính phương (  = f 2 ( m ) ) hoặc đơn giản thì ta tìm tọa độ
các điểm cực trị A, B theo tham số và phương trình AB là:
AB :

x − xA
y − yA
=
xB − x A y B − y A

b) Trường hợp 2: Nếu  khơng chính phương và phức tạp thì ta chia y cho y  được:
y = g ( x ) . y + mx + n

Gọi 2 điểm cực trị là: A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
A  Cm  y1 = g ( x1 ) . y ( x1 ) + mx1 + n = mx1 + n
B  Cm  y2 = g ( x2 ) . y ( x2 ) + mx2 + n = mx2 + n

Suy ra đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là AB: y = mx + n (là số dư trong phép chia của
y cho y  )
* Một số câu hỏi thường gặp
1. Độ dài đoạn cực trị AB = k
+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) theo TH1 hoặc TH2
+ Tính AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 )
 AB =

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2

2

+ Cho AB = k tìm được giá trị tham số và kiểm tra điều kiện
2. Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của AB
+ Tính AB theo tham số (câu hỏi 1) rồi sử dụng phương pháp hàm số hoặc sử dụng bất
đẳng thức Cơsi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của AB.
3. Tam giác ABC cân hoặc vuông tại C với C ( x0 ; y0 ) :

8


+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
+ CA = ( x0 − x1 ; y0 − y1 )  CA2 = ( x0 − x1 ) + ( y0 − y1 )
2

2

+ CB = ( x0 − x2 ; y0 − y2 )  CB 2 = ( x0 − x2 ) + ( y0 − y2 )
2

2

+ Tam giác ABC cân tại C  CA2 = CB 2 .
+ Tam giác ABC vuông tại C  CA.CB = 0.
4. S ABC = k với C ( x0 ; y0 )
+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị dưới dạng tổng quát (theo TH1 hoặc TH2)
AB : ax + by + c = 0

 d C; AB  =

+ Tính AB =

ax0 + by0 + c
a 2 + b2
2
2
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) theo tham số

1
2

+ S ABC = d C; AB . AB (1) . Giải (1) ta tìm được tham số và kiểm tra điều kiện.
* Nếu phương trình AC đơn giản thì ta dùng AC làm cạnh đáy:
S ABC =

1
d  B; AC . AC
2

5. ACB = a với C ( x0 ; y0 )
+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) theo TH1 hoặc TH2
+
AB = ( x2 − x1 ; y2 − y1 )  AB 2 = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2

CA = ( x0 − x1 ; y0 − y1 )  CA2 = ( x0 − x1 ) + ( y0 − y1 )
2

2

2

CB = ( x0 − x2 ; y0 − y2 )  CB 2 = ( x0 − x2 ) + ( y0 − y2 )
2

2

CA2 + CB 2 − AB 2
+ cos ACB =
2CA.CB

6. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song với đường thẳng  : y = kx + p

9

+ Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị dưới dạng tham số AB : y = mx + n (theo TH1 hoặc TH2)
m = k
n  p

+ ycbt  

7. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị vuông góc với đường thẳng  : y = kx + p
+ Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị dưới dạng tham số AB : y = mx + n (theo TH1 hoặc TH2)
+ ycbt  m.k = −1
8. Hàm số có 2 cực trị nằm khác phía sau với đường thẳng d : Ax + By + C = 0
+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) theo TH1 hoặc TH2
+ ycbt  ( Ax1 + By1 + C )( Ax2 + By2 + C )  0
9. Hàm số có 2 cực trị nằm cùng phía so với đường thẳng d : Ax + By + C = 0
+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) theo TH1 hoặc TH2
+ ycbt  ( Ax1 + By1 + C )( Ax2 + By2 + C )  0
10. Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị đối xứng qua đường thẳng d : Ax + By + C = 0
+ Tìm tọa độ 2 điểm cực trị A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) và viết phương trình đường thẳng đi qua 2
cực trị dưới dạng tổng quát AB : ax + by + c = 0
d có vtpt: nd = ( A; B )
AB có vtpt: nAB = ( a; b )
x1 + x2 y1 + y2 
;

2 
 2

Gọi I là trung điểm AB  I 

 Aa + Bb = 0
n .nD = 0

   x1 + x2 
+ ycbt  
 y1 + y2 
 I  d
 A 2  + B  2  + C = 0



 

11. Góc giữa đường thẳng đi qua cực tiểu và cực đại với đường thẳng d : y = kx + p
bằng 
+ Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị dưới dạng tham số AB : y = mx + n

10


+ tan  =

k AB − kd
m−k
=
1 + k AB .kd
1 + mk

* Nếu góc giữa d và Ox bằng  thì tan  = m
* Nếu góc giữa d và Oy bằng  thì tan  =

1
m

II. Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c
Câu hỏi 1: Tìm điều kiện để hàm số có 3 cực trị thỏa yêu cầu
 TXĐ: D = R
 y = 4ax 3 + 2bx
Cho y = 0  4ax3 + 2bx  2 x ( 2ax 2 + b ) = 0
x = 0
  2ax 2 + b = 0 (1)

 g( x)

 Hàm số có 3 cực trị ( y  đổi dấu 3 lần)
a  0

 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0    0
g 0  0
 ( )


a = 0

x = 0
x = 0

 y = 0   2
 2
 x = −

b
x = −
 2ax + b = 0

2a


x = −


−b
2a
−b
2a


y = c

b2
 y = − 2 +c

4a

2
y = − b +c

4a 2

 −b
  −b


b2
b2
Suy ra 3 điểm cực trị là: A ( 0; c ) , B  −
; − 2 + c  , C 
; − 2 + c 
 2a 4a
  2a 4a


Do tính chất đối xứng nên tam giác ABC luôn cân tại A.
1. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều  AB = BC
2. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân  AB. AC = 0

11


3. Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích S  S =

1
AH .BC với H là trung
2

điểm BC
4. Ba điểm cực trị tạo thành góc BAC =   cos  =

AB 2 + AC 2 − BC 2
2 AB. AC

CÁC CƠNG THỨC TÍNH NHANH

A. Hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c có:
1. 3 cực trị  ab  0 (a, b trái dấu)
2. 3 cực trị gồm 1 cực đại và 2 cực tiểu  a  0; b  0
3. 3 cực trị gồm 2 cực đại và 1 cực tiểu  a  0; b  0
4. 1 cực trị  ab  0 (a, b cùng dấu và không đồng thời bằng 0)
5. 1 cực tiểu  a  0; b  0 (a, b không đồng thời bằng 0)
6. 1 cực đại  a  0; b  0 (a, b không đồng thời bằng 0)
7. 3 cực trị A  Oy, B, C tạo thành tam giác vuông  8a + b3 = 0.
8. 3 cực trị A  Oy, B, C tạo thành tam giác đều  24a + b3 = 0.
9. 3 cực trị A  Oy, B, C tạo thành tam giác diện tích S  24a 3 .S 2 + b5 = 0.
10. 3 cực trị A  Oy, B, C thỏa BAC =   8a + b3 .tan 2


2

= 0.

11. 3 cực trị A  Oy, B, C có bán kính đường trịn ngoại tiếp R  R =
12. 3 cực trị A  Oy, B, C có bán kính đường trịn nội tiếp r
r=

b2

b3
a 1 + 1 −

a








13. Phương trình đường trịn đi qua 3 điểm cực trị A, B, C là:
x 2 + y 2 − ( c + n ) x + cn = 0 với n =

2 
−
b 4a

B. Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d có:

12

b3 − 8a
.
8ab


Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:
 2c 2b 2 
bc
y = −
x+d −
9a
 3 9a 

13

VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên D với D  R.
 Nếu tồn tại x0  D sao cho f ( x )  f ( x0 ) , x  D thì số M = f ( x0 ) được gọi là giá trị lớn
nhất của hàm số f trên D, ký hiệu là max f ( x ) = M .
xD

 Nếu tồn tại x0  D f ( x )  f ( x0 ) , x  D thì số m = f ( x0 ) được gọi là giá trị nhỏ nhất của
hàm số f trên D, ký hiệu là min f ( x ) = m.
xD

II. Phương pháp tìm min, max của hàm số trên đoạn  a; b 
 Tính y, cho y = 0 tìm các nghiệm xi thuộc ( a; b ) (hoặc tìm các điểm xi mà hàm số
khơng có đạo hàm)
 Tính f ( x1 ) ; f ( x2 ) ;....; f ( xm ) ; f ( a ) và f ( b ) . So sánh các giá trị tìm được và kết luận.
Chú ý:
* Nếu D = ( a; b ) thì ta lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng ( a; b ) , từ đó suy ra giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
* Nếu đề bài khơng cho D thì ta hiểu là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số trên TXĐ
của hàm số.
* Trong một số trường hợp ta có thể đặt ẩn phụ để đưa đến hàm số đơn giản, khi đặt ẩn phụ
t cần chú ý đến tập giá trị của t.
+ t = sin x hoặc t = cos x thì −1  t  1
+ t = sin 2 x hoặc t = cos 2 x thì 0  t  1
+ Nếu góc x thuộc ( a; b ) thì ta dùng đường trịn lượng giác để tìm điều kiện của t
* Ngồi ra ta có thể dùng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacốpxki, điều kiện có nghiệm của
phương trình để tìm min, max.

14

VẤN ĐỀ 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Định nghĩa
 Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu
lim f ( x ) = y0 hoặc lim f ( x ) = y0

x →+

x →−

 Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu ít nhất
một trong các điều kiện sau thỏa mãn lim f ( x ) = +; lim f ( x ) = −; lim f ( x ) = + hoặc
x → x0+

x → x0+

x → x0−

lim f ( x ) = −

x → x0−

 Đường thẳng y = ax + b được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu
lim  f ( x ) − ( ax + b )  = 0 hoặc lim  f ( x ) − ( ax + b )  = 0
x →−

x →+

II. Phương pháp: Để tìm các số a và b trong phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng các
công thức sau:

a = lim

x →+

f ( x)
x

Hoặc a = lim

x →−

và b = lim  f ( x ) − ax 
x →+
f ( x)
x

và b = lim  f ( x ) − ax 
x →−

III. Chú ý:
 Hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d và hàm bậc 4 trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c khơng có
tiệm cận.
 Hàm nhất biến: y =

ax + b
a
−d
có tiệm cận đứng: x =
và tiệm cận ngang: y =
cx + d

c
c

15


VẤN ĐỀ 5: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Định nghĩa điểm uốn:
 Nếu f  ( x0 ) = 0 và f  ( x ) đổi dấu khi x đi qua điểm x0 thì điểm U ( x0 ; f ( x0 ) ) được gọi
là một điểm uốn của đồ thị hàm số y = f ( x )
II. Các bước vẽ đồ thị hàm bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d
1. Tập xác định: D = R
 lim y = 
2. Tìm các giới hạn tại vơ cực  x →−
y=
 xlim
→+

3. Tính y  , tìm các nghiệm của y, lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên, cực trị
4. Tính y, xét dấu y và kết luận điểm uốn
5. Lập bảng giá trị gồm 5 điểm cách đều, điểm uốn ở giữa
6. Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
III. Các bước vẽ đồ thị hàm bậc bốn: y = ax 4 + bx 2 + c
1. Tập xác định: D = R
 lim y = 
y=
 xlim
→+

2. Tìm các giới hạn tại vơ cực  x →−

3. Tính y  , tìm các nghiệm của y, lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên, cực trị
4. Lập bảng giá trị 5 điểm gồm 0 và 4 điểm đối xứng nhau
5. Vẽ đồ trị hàm số và nhận xét đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
IV. Các bước vẽ đồ thị hàm nhất biến: y =

ax + b
cx + d

 d
 c

1. Tìm tập xác định: D = R \ − 
2. Tìm các giới hạn và các đường tiệm cận

16



y=
 xlim
→−
+
 lim y =
 x →+

a
a
c
 y = là phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

a
c
c

 lim − y = 
 x → − dc 
d

+  
 x = − là phương trình tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y=
c
 lim
+
 d
x
→
−
  c 

3. Tính y =

ad − bc

( cx + d )

2

 0, x  D (hoặc  0, x  D )

Lập bảng biến thiên và kết luận sự biến thiên, cực trị
4. Tìm giao điểm với các trục tọa độ Ox và Oy
5. Lập bảng giá trị gồm 5 điểm cách đều, điểm −

d
ở giữa
c

6. Vẽ hệ trục, các đường tiệm cận, đồ thị hàm số và nhận xét giao điểm của hai tiệm cận là
tâm đối xứng

17


VẤN ĐỀ 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
 Biến số phương trình về dạng f ( x ) = g ( m )
 Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường cong ( C ) : y = f ( x ) và đường
thẳng d : y = g ( m ) cùng phương với trục hoành.
 Dựa vào đồ thị ( C ) ta suy ra kết quả biện luận

18


VẤN ĐỀ 7: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
I. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C1 ) và hàm số y = g ( x ) có đồ thị ( C2 )
 Phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) là: f ( x ) = g ( x ) (*)
 Số nghiệm của (*) là số giao điểm của ( C1 ) và ( C2 )
II. Sự tiếp xúc của hai đường cao:
Cho hai hàm số y = f ( x ) ; y = g ( x ) có đồ thị lần lượt là ( C1 ) ; ( C2 ) và có đạo hàm tại điểm
x0 .

 Hai đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) được gọi là tiếp xúc tại điểm M ( x0 ; y0 ) nếu chúng có cùng tiếp
tuyến tại M. Điểm M được gọi là tiếp điểm chung của ( C1 ) và ( C2 )
 Hai đồ thị ( C1 ) và ( C2 ) được gọi là tiếp xúc khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm
 f ( x ) = g ( x )
. Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm

 f  ( x ) = g  ( x )

Dạng 1: Hàm nhất biến
Câu hỏi 1: Cho hàm số y =

ax + b
có đồ thị ( C ) . Tìm điều kiện để ( C ) cắt đường thẳng
cx + d

d : y = mx + n tại 2 điểm phân biệt A, B cùng một nhánh hoặc hai nhánh

Phương pháp:
 Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
ax + b
d
= mx + n (ĐK: x  − )
cx + d
c

 Ax 2 + Bx + C = 0 (*)
g ( x)

1. d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau

  0
d

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1  −  x2  
d 
d
c
 x1 + c  x2 + c   0




2. d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc cùng một nhánh

19


  0
d
d

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt  − hoặc  −  
d 
d
c
c
 x1 + c  x2 + c   0




3. d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc cùng nhánh trái

  0

d
d 
d

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: x1  x2  −   x1 +   x2 +   0
c
c 
c


d
 x1 + x2 + 2  0
c


4. d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc cùng nhánh phải

  0

d
d 
d

 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt: −  x1  x2   x1 +   x2 +   0
c

c 
c


d
 x1 + x2 + 2  0
c


Câu hỏi 2: Cho hàm số y =

ax + b
có đồ thị ( C ) . Tìm điều kiện để ( C ) cắt đường thẳng
cx + d

d : y = mx + n tại 2 điểm phân biệt A, B thỏa u cầu

Phương pháp:
 Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
ax + b
d
= mx + n (ĐK: x  − )
cx + d
c
 Ax 2 + Bx + C = 0 (*)
g ( x)

 d cắt ( C ) tại 2 điểm phân biệt A, B

a  0


d
 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác −    0
c

d
 g  −   0
  c 
20


 Vì A, B  d  A ( x1 ; mx1 + n ) , B ( x2 ; mx2 + n )
a) Độ dài AB = k
Tính AB = ( x2 − x1 ; mx2 − mx1 )
 AB =

( x2 − x1 ) + ( mx2 − mx1 )
2

2

Tính AB theo định lý Viet
Cho AB = k tìm được giá trị tham số và kiểm tra điều kiện
b) Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của AB
Tính AB theo tham số rồi xét hàm hoặc sử dụng bất đẳng thức Côsi
c) S ABC = k với C ( x0 ; y0 )
1
S ABC = d C ; AB . AB (3)
2

+ AB  d : mx − y + n = 0
 d C; AB  =

+ AB =

mx0 − y0 + n
m2 + 1

( x2 − x1 ) + ( mx2 − mx1 )
2

2

Dạng 2: Hàm bậc 3
Câu hỏi 1: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị ( C ) . Tìm điều kiện để ( C ) cắt
đường thẳng d : y = mx + n tại 3 điểm phân biệt A, B và C.
Phương pháp:
 Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
ax 3 + bx 2 + cx + d = mx + n

 ( x − x0 ) ( ax 2 + Bx + C ) = 0

 x = x0
  Ax 2 + Bx + C = 0 (*)

g( x)


21

 d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt
 Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác x0 .

a  0

   0
g x  0
 ( 0)

* Chú ý: Đặt tham số làm nhân tử chung để tìm nghiệm đặc biệt x0 , sau đó dùng sơ đồ
Horne để phân tích thành nhân tử.
Câu hỏi 2: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị ( C ) . Tìm điều kiện để ( C ) cắt
đường thẳng d : y = mx + n tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ lập thành CSC
Phương pháp:
 Xét phương trình hồnh độ giao điểm:
ax 3 + bx 2 + cx + d = mx + n (*)

 3 nghiệm x1 , x2 , x3 tạo thành CSC  x1 + x3 = 2 x2 (1)
Theo định lý Viet ta có x1 + x2 + x3 = −

b
( 2)
a

 Thế (1) vào (2) tìm được nghiệm x2 theo tham số
 Thế nghiệm x2 vào phương trình (*) ta tìm được tham số
 Thế tham số vào phương trình (*) để thử lại
Dạng 3: Hàm bậc 4 trùng phương
Câu hỏi: Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị ( C ) . Tìm điều kiện để ( C ) cắt trục

hồnh tại 4 điểm phân biệt có hồnh độ tạo thành CSC (hoặc tạo thành 3 đoạn bằng
nhau)
Phương pháp
 Lập phương trình hoành độ giao điểm:
ax 4 + bx 2 + c = 0 (1)

Đặt t = x 2 ( t  0 )
at 2 + bt + c = 0 ( 2 )
22


 ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
 Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

  0

 Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương   P  0
S  0


 Giả sử (2) có 2 nghiệm là 0  t1  t2
 (1) có 4 nghiệm: − t2  − t1  t1  t2

(

)

(

− t1 − − t2 = t1 − − t1


4 nghiệm tạo thành CSC  
 t1 − − t1 = t2 − t1


(

 t2 = 3 t1

)

)

 t2 = 9t1 (3)

−b

t1 + t2 = a
 Theo định lý Viet ta có: 
( 4)
c
t .t =
 1 2 a

Thế (3) vào (4) ta tìm được tham số và kiểm tra điều kiện

23