XÁC SUẤT THỐNG KÊ: KỲ VỌNG TOÁN

KỲ VỌNG TOÁN


Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên (dưới
dạng bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất
hay hàm mật độ xác suất) hoàn toàn xác định biến ngẫu
nhiên.
Tuy nhiên, khi nghiên cứu một biến ngẫu nhiên, nếu chỉ
đánh giá thông qua quy luật phân phối xác suất của
biến ngẫu nhiên đó thì ta sẽ khơng dễ dàng so sánh
được, đánh giá được các biến ngẫu nhiên với nhau về
một đặc tính nào đó. Vì vậy cần có những con số thể
hiện những thơng tin cơ đọng nhất về biến ngẫu nhiên
ấy. Các con số này gọi là các số đặc trưng của biến ngẫu
nhiên. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên gồm có kỳ
vọng, phương sai, độ lệch chuẩn và các số đặc trưng
khác.


2. Ý nghĩa của kỳ vọng:
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên chính là giá trị trung bình
của biến ngẫu nhiên đó (tính theo độ tập trung xác
suất). Nó phản ánh giá trị trung tâm của biến ngẫu
nhiên.
Vậy kỳ vọng E(X) là trung bình có trọng lượng. Nếu
lặp lại n lần độc lập phép đo đại lượng ngẫu nhiên X,
ta nhận được kết quả X1 , X 2 ,..., X n.
Dưới một số giả thiết nhất định thì
X1  X 2  ...  X n hội tụ về kỳ vọng E(X) khi n � �

X

n

Vì vậy với n đủ lớn ta có thể xem X �E(X).



Ví dụ 2: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ
1
(phân phối Cauchy).
f (x) 
2
(1  x )
Tính E(X).


Ví dụ 3: Thời gian giữa hai chuyến xe ở một bến
là đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (phút) có hàm
mật độ xác suất:

�x
�
f (x)  �50
�
0
�

khi x �(0, 10)
khi x �(0,10)

Tính thời gian chờ xe trung bình của khách.


4. Tính chất của kỳ vọng tốn:
a) E(c) = c (với c là hằng số)
b) Nếu X, Y có kỳ vọng thì X �Y cũng có kỳ
vọng và E(X �Y)  E(X) �E(Y)
c) Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập và có
kỳ vọng E(X), E(Y) thì E(XY) = E(X).E(Y)
d) E(cX)  cE(X) (với c là hằng số)


Giả sử biến ngẫu nhiên Y là hàm của biến ngẫu nhiên X,
Y  (X) và có kỳ vọng E(X) .
Khi đó:
+ Nếu X có phân phối rời rạc P[X  x i ]  pi , i  1, 2,....
�

thì E(Y)  E((X))  �(x i )p i
i 1

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x)
thì E(Y)  E((X)) 

�

(x)f (x)dx
�

�

Ví dụ 4: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối
xác suất là
X
0
1
p

0,5

Tính E(X), E(2X  1), E(X 3 ), E(e X ) .
1
1 1
Giải:
E(X)  0 �  1 � 
2

2

2

1
E(2X  1)  2E(X)  1  2 �  1  2
2
1
1
1
E(X 3 )  03 �  13 � 
2

2 2

1 1 1 1
E(e )  e �  e �  (e  1)
2
2 2
X

0

0,5


Ví dụ 3: Thời gian giữa hai chuyến xe ở một bến là
đại lượng ngẫu nhiên liên tục X (phút) có hàm mật
độ xác suất:
�x
khi x �(0, 10)
�
f (x)  �50
�
0
khi x �(0,10)
�
Tính thời gian chờ xe trung bình của khách.
Ví dụ 5: Tính E(X 2 ) .
Giải:
�

4

x
1
x
2
2
2
E(X )  �
x f (x)dx  �
x . dx  .
50
50 4
�
0
10

10
0

 50


5. Ứng dụng của kỳ vọng toán:
Khái niệm kỳ vọng tốn lúc đầu xuất hiện trong các trị
chơi may rủi để tính giá trị mà người chơi mong đợi sẽ
nhận được. Hiện nay khái niệm này được áp dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực kinh doanh và quản lý như một tiêu
chuẩn để ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn giữa
nhiều chiến lược khác nhau.
Trong kinh tế, kỳ vọng tốn đặc trưng cho năng suất trung
bình của một phương án sản xuất, lợi nhuận trung bình

của một danh mục đầu tư, trọng lượng trung bình
hoặc tuổi thọ trung bình của một loại sản phẩm…
Do đó trong kinh tế, kỳ vọng toán là một tiêu chuẩn để ra
quyết định khi có nhiều phương án lựa chọn khác nhau.


Ví dụ 6:
Bài tốn: Trị chơi “Bầu cua tơm cá” công bằng
hay thiên vị? Tại sao?
Luật chơi: Giả sử đặt a (đồng) vào ô B. Gieo
ngẫu nhiên 3 con xúc xắc. Nếu xuất hiện i mặt B
thì sẽ được thưởng i lần a đồng (i = 1, 2, 3).
Ngược lại khơng xuất hiện mặt B nào thì mất số
tiền đặt vào.





Trị chơi “Bầu cua tơm cá” cơng bằng hay
thiên vị?
Giả sử đặt a (đồng) vào “ô cá”.
Gọi X là số tiền thu về sau 1 lần tham gia (tức là
1 lần đặt tiền).
X có thể nhận những giá trị:
-a, a, 2a, 3a.
Ta xem việc gieo 3 con xúc xắc (xí ngầu) như
thực hiện dãy 3 phép thử Bernoulli, với

1

n  3, p 
6


0

3

�1 ��5 � 125
P[X  a]  C � �� �
�6 ��6 � 216
2
1�
�5 � 75
1 �
P[X  a]  C3 � �
� �
�6 �
�6 � 216
2
1 ��5 � 15
2 �
P[X  2a]  C3 � �� �
�6 ��6 � 216
3
0
1 ��5 � 1
3 �
P[X  3a]  C3 � �� �
�6 ��6 � 216

Số tiền trung bình thu về sau 1 lần tham gia là:
0
3

125
75
15
1
17a
E(X)  (a).
 a.
 2a.
 3a.

0
216
216
216
216 216
Kết luận: Trò chơi thiên vị cho người “cầm cái”.


Ví dụ 7:
Một dự án xây dựng được viện thiết kế C soạn
thảo cho cả 2 bên A và B xét duyệt một cách độc
lập. Xác suất để A và B chấp nhận dự án khi xét
duyệt tương ứng là 0,7 và 0,8. Nếu chấp nhận dự
án thì A phải trả cho C là 4 triệu đồng, cịn ngược
lại thì phải trả 1 triệu. Với B, nếu chấp nhận dự
án thì phải trả cho C là 10 triệu đồng, ngược lại

phải trả 3 triệu. Chi phí cho thiết kế là 10 triệu và
thuế 10% doanh thu. Hỏi C có nên nhận thiết kế
hay không?


Hướng dẫn:
Để quyết định xem có nên nhận thiết kế hay
khơng thì C phải tính số lãi kỳ vọng mà C có thể
nhận được.
Gọi X là số lãi mà C có thể nhận được sau khi
trừ mọi chi phí.
X có thể nhận những giá trị: -6,4; -3,7; -0,1; 2,6.
Từ đó:
E(X)
(6, 4) �0,06  (3,7) �0,14  ( 0,1) �0, 24  2,6 �0,56  0, 53
Ta có E(X) = 0,53 > 0. Vậy C vẫn có thể nhận
thiết kế.