Tài liệu Cơ học lý thuyết Phần 12 pptx

-190-
Chơng 13
Lý thuyết va chạm
13.1. Các đặc điểm và giả thiết về va chạm
13.1.1. Định nghĩa
Va chạm là một quá trình động lực học đặc biệt trong đó vận tốc của vật
biến đổi rõ rệt về cả độ lớn và phơng chiều trong một thời gian vô cùng bé.
Thí dụ: Quả bóng đập vào tờng lập tức bắn trở lại, búa đập vào đe sẽ
dừng lại hẳn hay nẩy lên.v.v.
13.1.1.2. Các đặc điểm và các giả thiết đơn giản hoá
- Thời gian va chạm: Theo định nghĩa thời gian va chạm là rất nhỏ, thực tế
thời gian va chạm thờng bằng 10
-2
giây, 10
-3
giây hoặc 10
-4
giây tuỳ thuộc vào
cơ lý tính của vật va chạm. Vì thời gian va chạm rất nhỏ nên đợc xem là một
đại lợng vô cùng bé.
Vận tốc và gia tốc: cũng theo định nghĩa thì vận tốc của vật thay đổi đột
ngột và do đó lợng biến đổi vận tốc v của vật trong thời gian va chạm là giới
nội. Mặt khác theo giả thiết thời gian va chạm là vô cùng bé nên gia tốc trung
bình trong quá trình va chạm w
tb
= v/ là đại lợng rất lớn. Trong đó là thời
gian va chạm.
Nếu gọi l là đoạn đờng dịch chuyển trong thời gian va chạm của vật thì:
l =
=

0
dtv
r
.v
tb
r
Vì là đại lợng vô cùng bé nên l cũng là đại lợng vô cùng bé. Để đơn
giản ngời ta đa ra giả thiết trong quá trình va chạm cơ hệ không di chuyển vị
trí.
- Lực và xung lực va chạm
-191-
Khi va chạm ngoài các lực thờng nh trọng lực, lực cản.v.v. vật còn chịu
tác dụng của phản lực nơi tiếp xúc (Lực tác dụng tơng hỗ). Chính lực này là
nguyên nhân tạo nên gia tốc chuyển động của vật
trong quá trình va chạm. Lực đó gọi là lực va
chạm ký hiệu
N
r
.
N
t
N
*
O

Hì
nh 13-1
N(t)
Lực va chạm

N
r
khác với lực thờng F
r
nó
chỉ xuất hiện trong quá trình va chạm, không tồn
tại trớc và sau va chạm.
Thờng khó xác định trớc đợc lực va
chạm nhng quy luật biến đổi của nó có thể biểu
diễn trên hình (13. 1).
Vì gia tốc trong va chạm là rất lớn nên lực va chạm
N
r
cũng rất lớn. Thông
thờng lực va chạm lớn hơn rất nhiều so với lực thờng
F
r
. Mặt khác lực va chạm
lại biến đổi rất rõ trong thời gian va chạm vô cùng nhỏ nên ngời ta đánh giá
tác dụng của nó qua xung lực.
áp dụng định lý biến thiên động lợng cho hệ trong thời gian va chạm có
thể viết:
m
k
v
k
= + (k = 1 n).


0

k
dtF
r


0
dtN
r
Trong đó xung lực của lực thờng
là rất nhỏ so với xung lực va
chạm và ảnh hởng của nó đến lợng biến đổi động lợng của hệ không đáng kể.
Ngời ta đa ra giả thiết là bỏ qua tác dụng của lực thờng. Ta có thể viết biểu
thức biến thiên động lợng của hệ trong va chạm nh sau:


0
k
dtF
r
m
k
v
k
= = (13-1)


0
dtN
r
s

r
Biểu thức (13-1) là phơng trình cơ bản trong quá trình va chạm.
- Biến dạng và hệ số hồi phục
-192-
Quan sát quá trình va chạm ngời ta chia ra hai giai đoạn: giai đoạn biến
dạng và giai đoạn hồi phục.
Giai đoạn biến dạng trong thời gian
1
từ lúc bắt đầu va chạm cho đến khi
vật thôi biến dạng. Giai đoạn hồi phục kéo dài trong thời gian
2
từ khi kết thúc
giai đoạn biến dạng đến khi lấy lại hình dạng ban đầu đến mức độ nhất định tuỳ
thuộc vào tính chất đàn hồi của vật. Căn cứ vào mức độ hồi phục của vật ta có
thể chia va chạm thành ba loại: va chạm mềm là va chạm mà sau giai đoạn biến
dạng vật không có khả năng hồi phục tức là không có giai đọan hồi phục.
Va chạm hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va chạm vật
lấy lại nguyên hình dạng ban đầu.
Va chạm không hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va
chạm vật lấy lại một phần hình dạng ban đầu.
Để phản ánh tính chất hồi phục của vật ở giai đoạn hai ( gia đoạn hồi
phục) ta đa ra khái niệm hệ số hồi phục k. k bằng tỷ số giữa xung lực giai đoạn
2 và xung lực giai đoạn 1 ta có:
k =
1
2
S
S

Với khái niệm trên ta thấy ứng với va chạm mềm k = 0; với va chạm hoàn

toàn đàn hồi k =1 và va chạm không hoàn toàn đàn hồi 0 < k < 1.
13.2. Các định lý tổng quát của động lực học áp dụng vào
va chạm
Căn cứ vào các giả thiết và phơng trình cơ bản có thể thiết lập các định lý
tổng quát trong quá trình va chạm nh sau:
-193-
13.2.1. Định lý biến thiên động lợng
Xét va chạm của một cơ hệ gồm các chất điểm M
1
, M
2
, M
n
có khối tâm
c và vận tốc
v
r
c
. Gọi khối lợng của hệ là M = m

=
n
1k
k
, với m
k
là khối lợng của
chất điểm thứ k. Ta có biểu thức động lợng của cả hệ là:
K
r

= m

=
n
1k
k
v
r
k
= M
v
r
C
Gọi tổng xung lợng va chạm ngoài tác dụng lên chất điểm m
k
là S
r
k
e
và
tổng xung lợng va chạm trong
S
r
k
i
ta có
S

=
n

1k
r
k
i
= 0.
Nếu bỏ qua xung lợng của lực thờng thì định lý biến thiên động lợng
cho hệ viết đợc:
M
V
r
C(2)
- M V
r
C(1)
=

=
n
1k
S
r
k
e
(11-2)
Trong đó
V
r
C(2)
và V
r

C(1)
là vận tốc khối tâm của hệ sau và trớc lúc va
chạm.
Thí dụ 13.1. Qủa cầu có trọng lợng P = 1KN rơi ở độ cao H = 3m xuống
mặt phẳng nhẵn. Cho biết hệ số hồi phục k = 5/9.
H
h
Xác định xung lực va chạm s trong thời gian va
chạm và vận tốc của quả cầu sau va chạm (hình 13.2).
Bài giải: áp dụng định lý biến thiên động lợng
ta có:
M(
s)vu
r
r
r
=


v,u
r
r
là vận tốc của quả cầu lúc va chạm vào mặt
phẳng. Các véc tơ này có phơng thẳng đứng. Chiếu biểu thức lên phơng thẳng
đứng ta đợc:
Hình 13.2
M (u + v) = S (a)
-194-
Vận tốc của quả cầu trớc lúc va chạm là:
v =

s/m7,73.81,9.2gH2 =

Để xác định vận tốc u sau va chạm ta áp dụng định lý biến thiên động lợng
cho từng giai đoạn biến dạng và phục hồi. Gọi v' là vận tốc của quả cầu ứng với
cuối giai đoạn biến dạng ta có:
M(u+v') = S
1
S
1
là xung lợng va chạm trong giai đoạn biến dạng, ở đây v' bằng vận tốc
mặt sàn nên bằng không, v' = 0 ta có:
Mv = S
1
Đối với giai đoạn hồi phục ta cũng có:
M(u+v') = S
2
Mu = S
2
Theo định nghĩa về hệ số hồi phục ta có:
k =
9
5
v
u
M
M
s
s
v
u

1
2
===

Suy ra u = kv =
9
5
.7,7 = 4,3 m/s
Thay vào biểu thức (a) ta đợc:
s =
()
KNS2,1k1.v.
g
P
+
Nếu lấy thời gian va chạm
= 0,0005 giây thì lực va chạm trung bình là
N
tb
= KN2400
S
=

.
13.2.2. Định lý biến thiên mômen động lợng
Tách một chất điểm thứ k trong hệ là M
k
để xét. Ta có thể viết biểu thức
biến thiên mômen động lợng của chất điểm nh sau:

()
(
)
(
)
i
k0
e
k0kkkk0
smsmvmu.m.m
r
r
r
r
r
r
r
+=

Thiết lập cho cả hệ ta sẽ có:
() ()
(
)
(
)
i
k0
N
1i
e

k0
N
1i
kk0kk0
smsmvmmu.mm
rrrr
r
r
r
r

==
+=

-195-
ở đây
. Nếu bỏ qua lực thờng thì là mômen có
xung lực va chạm ngoài đối với tâm O.
()
0sm
N
1k
i
k0
=

=
rr
(

=
N
1k
e
k0
sm
rr
)
Ta có:

() ()
(
)
e
k
N
1k
01020
SmLL
r
r
rr

=
= (13-13)
Trong đó
; là mômen động lợng của hệ đối với tâm O tại thời
điểm sau và trớc lúc va chạm.
()
20

L
r
()
10
L
r
Chiếu biểu thức (13-3) lên một trục Ox nào đó ta đợc:
L
x
(2) - L
x
(1) =
(
)

=
N
1k
e
kx
sm
r
(13-3)'
Trong biểu thức (13-3), L
x
(2) và L
x
(1) là mômen động lợng của hệ đối với
trục Ox, còn
là tổng mô men lấy đối với trục Ox cả xung lực va chạm

ngoài S
(

=
N
1k
e
kx
sm
r
)
k
e
.
Biểu thức (13-3)' đợc áp dụng cho va chạm của các vật chuyển động quay.
Thí dụ 13-2: Hai bánh răng độc lập với nhau quanh cùng một trục với vận
tốc góc là
1
và
2
. Cho biết mômen quán tính của chúng đối với trục quay là
1

và

2
. Cho biết mômen quán tính của chúng đối với trục quay là J
1
và J
2

. Cho hai
bánh răng đột ngột ăn khớp với nhau. Xác định vận tốc góc sau va chạm của
hai bánh răng.
Bài giải:
Bỏ qua tác dụng của trọng lợng và
lực ma sát. Xét hệ gồm cả hai bánh răng,
khi đó xung lực va chạm tại răng ăn khớp
là xung lực trong (nội xung lực).
Nh vậy xung lực va chạm ngoài
S
k
e
= 0. áp dụng định lý biến thiên
mômen động lợng ta có:
J
1
.

1
J.
J
2
.

2
H
ình 13.3
-196-
L
x

(2) - L
x
(1) = 0 (a)
Mômen động lợng của hệ trớc lúc va chạm là:
L
x
(1) = J
1

1
+ J
2

2
Mômen động lợng của hệ sau va chạm là:
L
x
(2) = (J
1
+ J
2
)
Thay vào biểu thức (a) ta đợc:
J
1

1
+ J
2

2
= (J
1
+ J
2
)
Suy ra:
=
21
2211
JJ
JJ
+

+


13.2.3. Định lý động năng
Định lý biến đổi động năng đối với các bài toán va chạm không thể áp dụng
đợc. Nguyên nhân trong quá trình va chạm ta đã giả thiết di chuyển là không
đáng kể. Mặt khác thực tế cho thấy khi va chạm động năng của vật thờng bị
mất mát để chuyển hoá thành nhiệt năng và gây ra biến dạng d (đối với va
chạm không hoàn toàn đàn hồi). Nếu gọi lợng động năng là
T thì rõ ràng
T = T
1
- T
2
> 0.
Trong đó T

1
và T
2
là động năng của hệ ngay trớc và sau va chạm. Lợng
mất động năng
T phụ thuộc vào nhiều yếu tố: Trạng thái chuyển động, tính
chất cơ lý của vật. Trong kỹ thuật tuỳ thuộc vào yêu cầu của bài toán đặt ra mà ta
cần tăng hay giảm lợng mất động năng.
Thí dụ khi sử dụng va chạm vào việc gây biến dạng nh rèn, dập vật liệu ta
phải tìm cách tăng lợng mất động năng
T. Trái lại khi cần sử dụng va chạm
vào việc gây chuyển của vật thể nh đóng cọc, đóng đinh thì phải tìm cách giảm
lợng mất động năng
T.
13.3. Hai bài toán cơ bản về va chạm
13.3.1. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến
13.3.1.1. Định nghĩa
-197-
Xét hai vật có khối lợng máy biến áp và m
2
chuyển động tịnh tiến với vận
tốc v
1
và v
2
va chạm vào nhau (hình 13-4).
C
1
v
1

v
2
C
2
I
n
v
2
n
I
n'
C
2
v
1
C
1
n'
a)
b)
H
ình 13.4
- Va chạm thẳng: Là va chạm trong đó các vận tốc v
1
và v
2
đều song song
với pháp tuyến chung nn'. Đờng nIn' gọi là đờng va chạm.
- Va chạm xuyên tâm: là va chạm trong đó đờng va chạm nIn' trùng với
đờng xuyên tâm c

1
Ic
2
của vật (hình 13-4b).
13.3.1.2. Bài toán va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến
Cho hai quả cầu có khối lợng M
1
và M
2
chuyển động tịnh tiến theo đờng
xuyên tâm c
1
c
2
với các vận tốc
21
v,v
r
r
va chạm nhau. Cho biết M
1
, M
2
,
21
v,v
r
r
và
hệ số hồi phục k, tìm vận tốc

21
u,u
r
r
của hai quả cầu sau va chạm, đồng thời thiết
lập biểu thức mất động năng
T của hệ.
Mô hình cơ học đợc mô tả trên hình (13-5).







v
1 v
2
C
2
I
C
1
N
12
N
21
u
u
C

2
I
C
1
N
max
N'
max
N'
21
N'
12
v
1
u
2
C
2
I
C
1
Biến dạng
Hồi phục

H
ình 13.5

-198-
áp dụng định lý biến thiên động lợng cho mỗi quả cầu ở giai đoạn biến
dạng và giai đoạn hồi phục ta có:

M
1
(u - v
1
) = S
21
= - S (a)
M
2
(u - v
2
) = S
1
= S (b)
Giai đoạn hồi phục:
M
1
(u
1
- u) = S'
21
= - S' (c)
M
2
(u
2
- u) = S'
12
= S (d)
Theo định nghĩa về hệ số hồi phục ta có thêm phơng trình:

S' = k.S (e)
Trong 5 phơng trình trên có 5 ẩn số là u, u
1
, u
2
, S, S' ta có thể giải và tìm ra
kết quả sau:
u =
21
2211
21
2211
MM
uMuM
MM
vMvM
+
+
=
+
+

u
1
= V
1
- (1+k).
()
21
21

2
VV.
MM
M

+

u
2
= V
2
- (1+k).
(
21
21
2
VV.
MM
M

+
)
(13-4)
S =
21
21
21
VV
MM
MM

+

S =
21
21
21
uu
MM
MM

+

Trong trờng hợp này lợng mất động năng T đợc xác định nh sau:

T = T
1
- T
2
Với T
1
=
2
vM
2
uM
2211
+
là động năng của hệ sau va chạm.
Ta có:

T =
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
uV
2
M
uV.
2
M
+

Thay giá trị của u
1
và u
2
từ biểu thức (11-4) ta đợc:
-199-

T =
()
(
)
(
2
21
2
21
21
vvk1.
MM2
MM

+
)
(13-5)
So với động năng ban đầu của búa T
0
=
2
vM
2
11

Ta có:

()
=

+

=
+
=

2
1
2
21
2
2
0
M
M
1
k1
MM
M
k1
T
T

gọi là hiệu suất của búa. Rõ ràng muốn tăng hiệu suất của búa ta phải
tăng khối lợng của đe.
Nếu áp dụng biểu thức (13-5) vào búa đóng cọc ta sẽ thấy kết quả ngợc
lại. Vì phải giảm lợng mất động năng nên hiệu suất của búa đợc tính theo biểu
thức:

=

00
0
T
T
1
T
TT

=



Suy ra:

= 1 -
2
1
2
M
M
1
k1
+


Muốn tăng hiệu suất của búa ta phải tăng tỷ số
2
1
M
M

nghĩa là phải tăng khối
lợng của búa để đảm bảo khối lợng búa lớn hơn nhiều
lần so với khối lợng cọc.
B

S

A
13.3.2.2. Va chạm của vật rắn chuyển động quay quanh
một trục
Khảo sát vật rắn quay quanh trục (hình 13-6). Tại thời
điểm nào đó vật chịu tác dụng xung lực va chạm
S
r
. Khi áp
dụng định lý biến thiên mômen động lợng có:
L
z
(1) - L
z
(2) = m
z
(S)
H
ình 13.
6
Nếu gọi vận tốc góc của vật trớc và sau va chạm là
-200-

0

và
1
ta sẽ có:
J
z
(
1
-
0
) = m
z
(S) (13-6)
Từ (13-6) có thể tính vận tốc cả vật sau va chạm:


1
=
0
+
z
z
J
)S(m
(13-7)
ở đây J
z
là mômen quán tính của vật đối với trục quay z.
Trong va chạm của vật quay các xung lực, phản lực ở ổ đỡ là
A
s

r
và
B
s
r
rất
có hại vì nó làm tiêu hao năng lợng và gây h hỏng ở ổ đỡ trục. Nhiệm vụ của
bài toán là tìm cách hạn chế các xung lực
A
s
r
và
B
s
r
.
Giải quyết vấn đề trên ta áp dụng định lý động lợng đối với vật. Để đơn
giản ta giả thiết lúc đầu vật đứng yên tức là
=0, ta có:

BA01
SSSKK
r
r
r
r
r
++=

Vì

0
= 0 nên = 0 phơng trình còn lại:
0
K
r

BAc1
SSSuMK
r
r
r
r
r
++==
(a)
M là khối lợng của vật,
u
r
0
là vận tốc khối tâm của vật sau va chạm. Để
cho
từ (a) ta phải có điều kiện
0ss
BA
==
rr
c
uMS
r

r
=
.
Vì vật quay quanh trục z nên u
0
có phơng
vuông góc với OC và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với trục quay đi qua C. (Xem hình
13-7). Mặt phẳng đó là mặt phẳng oxy.
S
A
x
y
z
B
A
O
C
u
C
S
h

1

H
ình 13.7
S
B
A

s
r
Ta suy ra điều kiện thứ nhất để
và
B
s
r
triệt tiêu là xung lực S phải nằm trong mặt
phẳng vuông góc với trục quay và song song
với vận tốc
u
nghĩa là cũng vuông góc với OC.
Về trị số S = Mu
c
= M.a.
1
.
Thay

1
=
()
Z
Z
J
Sm
ta có: S = M. a.
Z
J
h.S

-201-
Suy ra:
1
J
h.a.M
Z
= hay h =
a
.M
J
Z

Kết luận: Để xung lợng va chạm ở các ổ đỡ bằng không cần phải thoả mãn
các điều kiện sau:
1. Xung lực va chạm S phải đặt trong mặt phẳng oxy qua khối tâm c của vật
và vuông góc với trục quay z.
2. Xung lực S phải đặt vuông góc với đờng OC nối từ trục quay qua c tại
điểm k đặt cách trục quay một đoạn h.
h =
a
.M
J
Z

Điểm K đợc xác định nh trên gọi là tâm va chạm.
Từ biểu thức (13-8) ta nhận thấy rằng khi khối tâm C nằm trên trục quay thì
điểm K ở xa vô cùng vì khi đó h =
. Trong trờng hợp này ổ đỡ luôn luôn nhận
xung lực va chạm khác không.

Thí dụ 13-3: Thanh AB có khối lợng M, mômen quán tính đối vơi trục
quay A là J
k
. Chuyển động với vận tốc
0
va đập vào vật C có khối lợng m đang
đặt đứng yên trên rãnh k (hình 13-8). Xác định vận tốc sau va chạm của thanh
AB và vật C cũng nh xung lực tại ổ trục A. Kích thớc cho trên hình vẽ.
Bài giải:
Gọi xung lực va chạm tác dụng lên vật C là
2
S
r
và xung lực tác dụng lên vật
AB là
S
r
1
ta có:
S
1
= S
2
= S
Phơng trình biểu diễn định lý biến
thiên mômen động lợng cho thanh AB viết
đợc:
J
A
(

1
-
0
) = -S.b (a)
b
y
B
a
x
S
2
A
C
S
1
K
S
2
C
D

2
Phơng trình biểu diễn định lý biến
thiên động lợng cho vật C viết đợc:
mu
c
- mv
c
= S ở đây v
0

= 0
do đó chỉ còn:
H
ình 13.8
-202-
mu
c
= S (b)
XÐt c¶ hÖ sè:
L
A
(1)
- L
A
(0)
= ∑m
A
(
(
)
0S
c
=
r

suy ra: L
A
(1)
= L
A

(0)
hay
J
A
ω
0
= J
A
.ω
1
+ m.u.b = J
A
ω
1
+ m.ω
1
.b
2
ω
1
(J
A
+ mb
2
) = J
A
.ω
0
suy ra:
ω

1
=
A
2
0
2
A
0A
J
mb
1
mbJ
.J
+
ω
=
+
ω

u =
ω
1
b =
A
2
0
J
mb
1
b

+
ω
S = M.u =
A
2
0
J
b
m
1
b
+
ω