BO 50 THI TOAN 9 VONG 2 CHO THI TINH

BỘ 50 ĐỀ THI TỐN GỌI: 0853351198
PHỊNG GD&ĐT
HUYỆN …………..

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 - VÒNG 2
NĂM HỌC: 2017 - 2018
MƠN: TỐN

Đề chính thức

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (6,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số
chính phương.
b) Cho các số thực x, y thoả mãn: x > 8y > 0.
P

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1
x
y  x  8y 

Câu 2: (7,5 điểm)
1

1

1

a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac > 0 và ab + bc + ca > 0. chứng
minh cả ba số trên đều cùng âm hoặc đều cùng dương.
b) Giải hệ phương trình:

c) Giải phương trình:

x 2  4 x  5 2 2 x  3

Câu 3: (5,0 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB. Qua A và B theo thứ tự đó vẽ các
đường thẳng d và d' song song với nhau. Tiếp tuyến tại M (M khác A và B) của
đường tròn cắt d và d' theo thứ tự ở E và F.
a) Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường trịn đường kính EF.
b) Nếu đường thẳng d vng góc với AB, gọi N là điểm đối xứng với điểm
M qua AB, gọi I là giao điểm của AF và BE. Chứng minh ba điểm M, I, N thẳng
hàng.
Câu 4: (1,5 điểm)
Cho tam giác đều ABC, cạnh có độ dài là 1. Đánh dấu 5 điểm bất kỳ trong
tam giác ABC. Chứng minh rằng: ắt tồn tại ít nhất là 2 điểm trong số đó mà khoảng
cách giữa chúng nhỏ hơn 0,5.
(Giám thi coi thi khơng giải thích gì thêm)
Số báo danh..........................Họ và tên........................................................................................


ĐÁP ÁN MƠN TỐN 9 - VỊNG 2
KỲ THI HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2017 - 2018
Câu

Ý

Nội dung

Điểm

+) Ta có: 10 n 99  21 2n  1 199 .
a
3,0đ
Câu 1

1,0 đ

+) Tìm số chính phương lẻ trong khoảng này ta được 2n + 1
bằng 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 1,0 đ
60; 84.
+) Tương ứng Suy ra 3n + 1 bằng: 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ
1,0 đ
có 121 là số chính phương. Vậy n = 40
1
y  x  8y 

5,0
điểm

+) Từ x > 8y > 0 suy ra: x - 8y; 8y và
là các số dương. 1,0 đ
+) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có:
P (x  8y)  8y 

1
y  x  8y 

3 3 (x  8y).8y.



b
3,0đ
Dấu “ = ” xảy ra khi: x - 8y= 8y =



Câu 2
6,0
điểm
b
2,5 đ

c
2,5 đ

1
y  x  8y 





1
. Vậy Min P = 6 khi x = 4, y = 4
1 1 1

+ +
> 0 nên: abc (a + b + c) > 0
ab bc ac

+) TH1: Nếu abc > 0 suy ra (a + b + c) > 0
mà ab + bc + ca > 0 nên ba số a, b, c đều dương.
- Thật vậy nếu giả sử a < 0 , bc < 0 suy ra ab + ac > 0 suy ra
b + c < 0 suy ra a + b + c < 0 mâu thuẫn.
+) TH2: Tương tự có ba số a, b, c đều âm.
+) ĐK: x
0, y
0
+) x = 0, y = 0 không phải là nghiệm của PT.
+ Từ hệ PT ta có: ( √ x2 +3 - √ y 2+3 ) + 3 ( √ x − √ y ) = 0
⇔

3( x − y )
x2 − y2
+
√ x 2 +3+√ y 2+ 3 √ x+ √ y

=0

+ Từ đó : x = y.
+ Tìm được nghiệm của hệ : (1 ; 1)

1,0 đ

x 16y
8y 2  x  8y  1

 x 4
 y 1
 4

+) Từ
a
2,5 đ

1
3 3 8 6
y  x  8y 

1,0 đ

0,5 đ

1,0 đ
1,0 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

2
+) Giải phương trình x  4 x  5 2 2 x  3 (1)

3
+) ĐK: x  2

0,5 đ


2

+) (1)   x  2   2 2 x  3  1
Đặt x + 2 = a; 2 x  3 b 0
Ta có: a2 - 2b = - 1; b2 - 2a = - 1
 a2 - 2b - b2 + 2a = 0
 a  b 0

 (a – b) (a + b + 2) = 0   a  b  2 0
+) a - b = 0  x = - 1 ( tm đk)

+) a + b + 2 = 0 vơ nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là x = - 1

Câu 3
6,0
điểm

1,0 đ
1,0 đ

a
2,0 đ
d

d’

0,5 đ

+) Lấy K trung điểm EF. Vẽ KG vng góc AB tại G (1).
0,5 đ
+) ABFE là hình thang, OK đường trung bình suy ra OK // AE
suy ra tam giác AKO và tam giác EKO có diện tích bằng nhau.
Từ đó ta có: KG = KE.
1,5 đ
0,5 đ
+ Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
b
2,0 đ

0,5 đ


+) AM = EM, BF = MF (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
+) AE/BF = AI/IF do đó AI/IF = EM/MF suy ra MI // AE
(Talet đảo). Mà AE vuông góc AB nên MI vng góc AB (3)
+) Từ giả thiết MN vng góc AB (4)
+) Từ (3) và (4) có đpcm.

Câu 4
1,5
điểm

Lưu y:

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

+) Các đường trung bình chia tam giác đều ABC thành 4 tam
0,5 đ
giác đều có cạnh 0,5.
+) Theo nguyên lý Dirichlet ắt tồn tại ít nhất 2 điểm rơi vào 0,5 đ
cùng 1 tam giác nhỏ.
0,5 đ
+) Khoảng cách giữa 2 điểm này nhỏ hơn 0,5

- Học sinh làm cách khác nếu đúng thì vẫn cho điểm tới đa.
- Đới với câu 3, vẽ hình sai hoặc khơng vẽ hình thì khơng chấm.