De thi chon HSG co dap an

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG N
Năm học 2013-2014
MƠN TỐN 8
(Thời gian: 150 phút)
Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:
x  214 x  132 x  54


6
84
82
a) 86
1
1
1
1
 2
 2

b) x  9 x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18
2

Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác .
a
b
c


3
Chứng minh rằng: A = b  c  a a  c  b a  b  c

a b c
x y z
  0
  1
x
y z
a
b
c
b) Cho
và
.
x2 y 2 z 2
 2  2 1
2
Chứng minh rằng : a b c
.

Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên
4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.
Bài 4 (3,0đ).
Cho ABC vng tại A (AC>AB), đường cao AH ( H  BC ) . Trên tia HC lấy điểm
D sao cho HD = HA. Đường vng góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE
theo m = AB
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo góc AHM.
GB
HD


3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: BC AH  HC

Bài 5 (1,0đ).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

2010x  2680
x2 1
.

Bài 6 (1,0đ)
Tìm tất cả các tam giác vng có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo
diện tích bằng số đo chu vi .


ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN ÂN THI _ HƯNG N
Năm học 2013-2014

ĐÁP ÁN MƠN TỐN 8
Bài 1 (2,0đ). Giải các phương trình sau:
x  214 x  132 x  54
a)


6
86
84
82

x  214
x  132
x  54

 1
 2
 3 0
86
84
82
x  300 x  300 x  300



0
86
84
82
1
1
1
 (x  300)(   ) 0
86 84 82
 x 300
1
1
1
1
 2
 2


b) x  9 x  20 x  11x  30 x  13 x  42 18
2

Ta có: x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;
ĐKXĐ : x  4; x  5; x  6; x  7
Phương trình trở thành :
1
1
1
1



( x  4)( x  5) ( x  5)( x  6) ( x  6)( x  7) 18
1
1
1
1
1
1
1







x  4 x  5 x  5 x  6 x  6 x  7 18
1
1
1


x  4 x  7 18

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
(x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm được x=-13; x=2;
Bài 2 (2,0đ).
a) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác .
a
b
c


3
Chứng minh rằng: A = b  c  a a  c  b a  b  c

Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0


yz
xz
xy
;b 
;c 
2

2 ;
Từ đó suy ra a= 2
yz xz x y 1 y x
x z
y z 


  (  )  (  )  (  )
2y
2z
2 x y
z x
z y 
Thay vào ta được A= 2 x
1
 (2  2  2)
Từ đó suy ra A 2
hay A 3
a b c
x y z
x2 y 2 z 2
  0
  1
 2  2 1
2
b) Cho a b c
và x y z
. Chứng minh rằng : a b c
.
a b c

ayz+bxz+cxy
  0 
0
x y z
xyz

Từ :
 ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :
2

x y z
x y z
  1  (   ) 2 1
a b c
a b c

2

x
y
z2
xy xz yz


 2.(   ) 1
2
2
2
a

b
c
ab ac bc
2
2
2
x
y
z
cxy  bxz  ayz
 2  2  2 2
1
a
b
c
abc
x2 y 2 z2
 2  2  2 1(dfcm)
a
b
c
Bài 3 (1,0đ). Giải bài toán bằng cách lập phương trình.


Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần
x

tìm là x +11 (x là số nguyên khác -11)
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
-15)

x

x−7
x +15

x +15

Theo bài ra ta có phương trình x +11 = x − 7
Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)
5
Từ đó tìm được phân số − 6

Bài 4 (3,0đ).
1. Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.
CD CA

CE CB (Hai tam giác vng CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
0


Suy ra: BEC  ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).

(x khác


0


Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vng cân tại A. Suy ra: BE  AB 2 m 2

BM 1 BE 1 AD
 
 
2. Ta có: BC 2 BC 2 AC (do BEC ADC )
mà AD  AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

BM 1 AD 1 AH 2
BH
BH
 
 


AB 2 BE (do ABH CBA )
nên BC 2 AC 2 AC
0
0



Do đó BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135  AHM 45

3. Tam giác ABE vng cân tại A, nên tia AM cịn là phân giác góc BAC.
GB AB
AB ED
AH
HD



 ABC DEC    ED // AH  
HC
HC
Suy ra: GC AC , mà AC DC
GB HD
GB
HD
GB
HD





Do đó: GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC

A

2010x  2680
x2 1
.

Bài 5 (1,0đ). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2010x  2680
A
x2 1
 335x 2  335  335x 2  2010x  3015
335(x  3) 2


335

 335
2
2
x

1
x

1
=
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.
Bài 6 (1,0đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dương )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2
z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
xy=2(x+y+x+y-4)
xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4
Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
(x=5, y=12, z=13) ; (x=12, y=5, z=13) ; (x=6, y=8, z=10) ; (x=8, y=6, z=10)