CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ LUYỆN HSG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (605.04 KB, 45 trang )
CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ LUYỆN HSG
Bài 1. Dao động liên kết
Hai quả nặng M và N, được coi như hai chất
điểm, có các khối lượng tương ứng là m1 và m2.
Chúng được nối với nhau bằng một lò xo có độ
cứng k2, và nối với hai điểm cố định P, Q bằng
hai lị xo có
P
k1
m1
M
k2
m2
k1
Q
N
cùng độ cứng k1 như trên hình vẽ. Các quả nặng có thể trượt khơng ma sát trên một trục nằm
ngang. Ta gọi x và y là các độ dời khỏi vị trí cân bằng lần lượt của quả nặng M và N.
1) Giả sử các quả nặng lệch khỏi vị trí cân bằng của chúng.
a) Hãy viết phương trình động lực học mơ tả chuyển động của các quả nặng.
b) Xác định các tần số đặc trưng của hệ.
c) Tìm biểu thức x(t) và y(t) cho độ dời của các quả nặng theo thời gian.
2) Giả sử m1 = m2 = m. Cho một ngoại lực điều hoà F = F0cost hướng theo trục, tác dụng
lên N. Giả thiết có một lực ma sát nhỏ tác dụng lên các quả nặng, sao cho sau một giai đoạn
chuyển tiếp kể từ khi lực điều hoà bắt đầu tác dụng, hệ sẽ dao động ổn định với tần số của
ngoại lực.
a) Tính biên độ dao động của các quả nặng theo tần số của ngoại lực và các tần số đặc
trưng của hệ.
b) Phác hoạ dạng biến thiên biên độ dao động của quả nặng N theo tần số của ngoại
lực.
Bài 2. Liên kết 2 vật
Hai vật A, B có cùng khối lượng m được
B
A
nối với nhau bằng một lị xo khối lượng khơng
F
đáng kể, có độ cứng k. Hệ số ma sát trượt giữa
mỗi vật và mặt sàn là . Lực ma sát nghỉ cực
đại tác dụng lên mỗi vật có cường độ là
3mg/2. Lò xo ở trạng thái tự nhiên.
Lúc đầu người ta kéo A bằng một lực có phương nằm ngang, độ lớn F = 2mg, đến khi B
bắt đầu chuyển động thì điều chỉnh độ lớn của lực F sao cho A luôn chuyển động với vận tốc
không đổi.
1) Viết phương trình chuyển động của vật A và vật B.
2) Vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc vận tốc của vật B đối với mặt sàn theo thời gian.
Bài 3. Chuyển động của hạt mang điện trong từ trường
Lúc t = 0, hạt điện tích dương q, khối lượng m rất nhỏ ở điểm (0,0,0) đang có vận tốc ban
đầu v 0 (0, a, b) thì người ta mắc một từ trường đều B (0, 0, B) . Xác định quỹ đạo của hạt.
Bài 4. Điện tích trong điện từ trường
Một hạt mang điện tích dương q, khối lượng m chuyển động thẳng đều với vận tốc v 0 dọc
theo trục x’0x nằm ngang trong vùng không gian có tác dụng của điện trường đều và từ trường
1
đều. Vectơ cường độ điện trường
E cùng chiều với trục 0z, hướng thẳng đứng xuống dưới
(Hình vẽ). Vec tơ cảm ứng từ B vng góc với mặt phẳng hình
vẽ.
1) Hãy xác định chiều và độ lớn của vectơ cảm ứng từ B (theo q, m, E và gia tốc rơi tự do
g).
2) Khi
hạt tới điểm 0, người ta đột ngột đảo chiều của cảm
v0 0
x
ứng từ B (làm B đổi hướng ngược lại, nhưng vẫn giữ nguyên x’
độ lớn ban đầu của nó). Chọn gốc thời gian là lúc hạt tới 0.
Hãy thiết lập phương trình chuyển động của hạt ở thời điểm t
và phác hoạ
E
quỹ đạo của hạt. Xem rằng thời gian làm đảo
chiều của B là nhỏ không đáng kể.
3) Xác định thời điểm gần nhất để hạt tới trục x’Ox, vị trí
của hạt và xác định vectơ vận tốc của hạt lúc đó.
z
Bài 5. Dao động nhỏ 3 chiều của con lắc đơn
Một con lắc đơn gồm quả cầu nhỏ, có khối lượng m = 10g, mang điện
z
tích q =10–5 C được treo bằng sợi dây mảnh, cách điện, dài l =1m,
C
không co giãn và có khối lượng khơng đáng kể. Con lắc được đặt
trong vùng có từ trường đều, véctơ cảm ứng từ B có phương thẳng
0
đứng hướng từ dưới lên và có độ lớn B = 10T. Ban đầu con lắc được
giữ nằm yên trong mặt phẳng yOz với góc lệch nhỏ 0 0,1 rad của
dây treo so với phương thẳng đứng (Hình vẽ). Sau đó con lắc được
y
thả tự do.
O
1) Thiết lập phương trình (vi phân) của chuyển động con lắc. Đặt
x
g
qB
0
; B
, hãy tính tần số góc (riêng) của con lắc theo
Hình vẽ
m
l
0, B.
2) Thiết lập các phương trình dao động x(t) và y(t) của con lắc. Nhận xét chuyển động của
mặt phẳng dao động của con lắc và tính chu kỳ lặp lại chuyển động của con lắc. Lấy g =
10m/s2.
h l l cos l(1 cos ) 0
Bài 6. Chuyển động trong trường xuyên tâm
Giả sử trong không gian 0xyz có một trường lực. Một vật khi đặt trong đó sẽ chịu tác
dụng của một lực, lực này có cường độ F = kr (k là hằng số) và luôn hướng về 0, với
r x 2 y2 z 2 là khoảng cách từ vị trí đặt vật đến tâm 0.
Lúc đầu một hạt có khối lượng m, điện tích q > 0 chuyển động trong trường lực trên.
Đúng vào thời điểm hạt có vận tốc bằng 0 tại điểm có toạ độ (R, 0, 0) thì người ta đặt một từ
trường đều có cảm ứng từ B dọc trục 0z. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Xét chuyển động của
hạt kể từ thời điểm trên.
1. Tìm các tần số đặc trưng của hạt.
2. Viết phương trình chuyển động của hạt.
Gợi ý: Nghiệm của một số hệ phương trình vi phân tuyến tính có thể tìm dưới dạng
sin(t ) , cos(t ).
Bài 7. Dao động của mạng tinh thể một chiều
2
Biết rằng do chuyển động nhiệt, các nguyên tử (hoặc ion) trong vật rắn kết tinh sẽ dao động
xung quanh các vị trí cân bằng tại các nút mạng. Khi một nguyên tử dao động, nó sẽ kéo các
nguyên tử khác cũng dao động theo. Kết quả là
M
M
m
m
0
trong mạng tinh thể sẽ có một sóng lan truyền,
a
a
a
sóng này thường được gọi là sóng đàn hồi.
n
n+1
n-1
na
Trong bài tốn này, ta xét mạng tinh thể một
Hình vẽ
chiều gồm hai loại nguyên tử có khối lượng tương
ứng là m và M = 3m, đặt xen kẽ cách đều nhau một khoảng cách bằng a (Hình vẽ).
Lấy một nguyên tử làm gốc tọa độ. Xét các nguyên tử thứ n - 1, n, n + 1,... có khối lượng
và vị trí như hình vẽ. Giả sử nguyên tử thứ n lệch khỏi nút mạng một đoạn xn ( x n a ) dọc
theo đường thẳng mạng thì các nguyên tử lân cận sẽ dịch chuyển theo. Khi đó, do tương tác với
nhau giữa các nguyên tử trong chuỗi xuất hiện lực kéo nguyên tử này trở về vị trí cân bằng.
Coi các lực này là lực đàn hồi có độ lớn tỉ lệ với độ biến thiên khoảng cách giữa các nguyên tử
với hệ số tỉ lệ ( phụ thuộc vào tính chất của mạng tinh thể).
Do lực tương tác giữa hai nguyên tử giảm rất nhanh theo khoảng cách nên ta chỉ xét tương
tác giữa hai nguyên tử liền kề, bỏ qua các tương tác khác.
1. Thiết lập hệ phương trình vi phân mô tả chuyển động của các nguyên tử trong mạng tinh thể.
2. Nghiệm của hệ phương trình có thể tìm dưới dạng sóng chạy xn = Ansin(naq)cos(t + ),
trong đó là tần số dao động mạng, An là biên độ dao động của nguyên tử thứ n (các nguyên
2
là số sóng, là bước sóng, là hằng
tử cùng loại có biên độ dao động giống nhau), q
số. Tìm sự phụ thuộc của vào q (hệ thức tán sắc). Chú ý: nghiệm của hệ phương trình cịn có
thể tìm dưới dạng phức xn An ei ( nqa t ) .
3. Gọi vùng Brillouin thứ nhất (của mạng tinh thể này) là miền
q
. Chứng tỏ
2a
2a
đều tương ứng với cùng một giá trị , vì vậy
a
khi nghiên cứu hệ thức tán sắc chỉ cần xét các giá trị q trong vùng Brillouin thứ nhất. Tìm các
giá trị ở lân cận giá trị q 0 (tâm vùng Brillouin thứ nhất) và tại giá trị q
(biên
2a
vùng Brillouin thứ nhất).
rằng các giá trị q sai khác nhau bội giá trị G
4. Phác họa đồ thị (q) .
5. Hãy chứng minh rằng ở trong vùng Brillouin thứ nhất của mạng tinh thể tồn tại một
miền cấm, các tần số sóng ứng với các giá trị nằm trong miền đó khơng
M
được truyền đi trong tinh thể mà bị hấp thụ mạnh.
Bài 8. Con lắc rung
Để đo gia tốc trọng trường g, người ta dùng con lắc rung, gồm một lá
thép phẳng chiều dài l, khối lượng m, một đầu của lá thép gắn chặt vào
kẹp 0 của giá, còn đầu kia gắn một chất điểm khối lượng M. Ở vị trí cân
bằng lá thép thẳng đứng. Khi làm lá thép lệch khỏi vị trí cân bằng một
góc nhỏ (radian) thì sinh ra momen lực c (c là một hệ số không đổi)
kéo lá thép trở về vị trí cân bằng ấy (xem hình vẽ).
Trọng tâm của lá thép nằm tại trung điểm của nó và momen qn
tính của riêng lá thép đối với trục quay qua 0 là ml2/3.
3
0
l
1) Tính chu kì dao động nhỏ T của con lắc.
2) Cho l = 0,20m, m = 0,01kg, M = 0,10kg. Để con lắc có thể dao động, hệ số c phải lớn
hơn giá trị nào? Biết g không vượt quá 9,9m/s2.
3) Cho l, m, M có các giá trị như ở 2), c = 0,208. Nếu đo được T = 10s thì g có giá trị bằng
bao nhiêu?
dT
, trong
4) Cho l, m, M, c có các giá trị như ở 3). Tính độ nhạy của con lắc, xác định bởi
dg
đó dT là biến thiên nhỏ của T ứng với biến thiên nhỏ dg của g quanh giá trị trung bình g0 =
9,8m/s2. Nếu ở gần g0, gia tốc g tăng 0,01m/s2 thì T tăng hay giảm bao nhiêu?
5) Xét một con lắc đơn có chiều dài L = 1m cũng dùng để đo g. Tính độ nhạy của con lắc
đơn ở gần giá trị trung bình g0; g tăng 0,01m/s2 thì chu kì T của con lắc đơn tăng hay giảm bao
nhiêu? So sánh độ nhạy của hai con lắc.
Bài 9. Bài toán về cân bằng
A. Hai thanh nhỏ AB và CD đồng chất, được nối
ở hai đầu bởi các sợi dây BC và AD khơng dãn có
khối lượng khơng đáng kể. Thanh AB có thể quay
khơng ma sát quanh trục cố định nằm ngang xuyên
qua trung điểm 0 của thanh. Hãy tính các góc hợp bởi
các thanh và các sợi dây khi hệ nằm cân bằng?
Cho AB = 40cm; BC = 50cm; DC = 70cm; DA =
30cm.
A
0
B
D
C
B. Hai thanh cứng nhỏ AB và CD đồng chất, được nối ở hai đầu bởi các sợi dây BC và AD
mảnh, nhĐ, kh«ng d·n. Thanh AB cã thĨ quay kh«ng ma sát quanh trục cố định nằm ngang
xuyên qua trung điểm 0 cña thanh. Cho AB = a, CD = b, AD = c, BC = d và giả sử: a b ,
cd.
a. HÃy mô tả hình dạng của tứ giác ABCD khi hệ nằm cân bằng?
qua a, b, c, d?
và góc D
b. Viết công thức tính góc C
Bài 10. Đo khối lượng trong trạng thái không trọng lng
Trong một trạm không gian quay quanh Trái đất có trạng thái không trọng lượng, do đó ta
không thể dùng những dụng cụ đo trọng lượng thông thường để từ đó suy ra khối lượng của các
nhà du hành vũ trụ. Trạm nghiên cứu vũ trụ 2 và một vài trạm nghiên cứu vũ trụ khác được
trang bị một Thiết bị đo khối lượng của vật. Thiết bị này gồm có một cái ghế gắn ở đầu của một
lò xo. Đầu kia của lò xo được gắn vào một điểm cố định của trạm. Trục của lò xo đi qua khối
tâm của trạm, độ cứng của lò xo là k = 605,6N/m.
1. Khi trạm đang cố định trên bệ phóng thì chiếc ghế (không có người) dao động với chu kú
T0 = 1,28195s.
TÝnh khèi lỵng m0 cđa chiÕc ghÕ.
2. Khi trạm đang quay trên quỹ đạo quanh Trái đất, nhà du hành vũ trụ ngồi trong chiếc ghế
và đo chu kú dao ®éng T' cđa chiÕc ghÕ. Anh ta thu được T' = 2,33044s. Anh ta tính đại khái
khối lượng của mình thì thấy nghi nghờ và tìm cách xác định khối lượng thực của mình. Anh ta
đo lại chu kì dao động của chiếc ghế (không có người) và tìm được T0' = 1,27395s.
4
Lúc đó anh ta đang trong trạng thái lơ lửng trong trạm.
Tính khối lượng thực của nhà du hành vũ trụ và khối lượng của trạm.
Chú ý: Bỏ qua khối lượng của lò xo.
Bi 11. Va chm ca qu cu và bức tường
Một khối trụ đặc có bán kính R, khối lượng m, lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang rồi
va vào một bức tường thẳng đứng cố định (trục của khối trụ luôn song song với mặt sàn và
tường). Biết hệ số ma sát giữa khối trụ và bức tường là ; vận tốc của trục khối trụ trước lúc va
chạm là v0; sau va chạm thành phần vận tốc theo phương ngang
của trục giảm đi một nửa về độ lớn; mơmen qn tính đối với
2
trục của khối trụ là I mR 2 (hình vẽ). Bỏ qua tác dụng của
5
trọng lực trong lúc va chạm và bỏ qua ma sát lăn.
Tính động năng của khối trụ và góc giữa phương
0
R
chuyển động của nó với phương nằm ngang ngay sau khi
v0
1
1
va chạm trong hai trường hợp, và .
8
5
Bài 12. Vật lăn trên mặt bàn
Một vật hình cầu bán kính R đang đứng n trên tấm gỗ mỏng CD. Mật độ khối lượng của vật
phụ thuộc vào khoảng cách r đến tâm của nó theo quy luật:
3m
r
1 , m là một hằng số dương.
3
7R R
Tấm gỗ được kéo trên mặt bàn nằm ngang
m
theo chiều DC với gia tốc khơng đổi
R
O
a (xem hình vẽ). Kết quả là vật lăn khụng
Tấm gỗ
Mặt bàn
trt v phớa D c on l v rơi xuống
mặt bàn. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt C
D
bàn là k , gia tốc trọng trường là g .
1. Tính khối lượng và mơ men qn
tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó.
2. Hãy xác định thời gian vật lăn trên tấm gỗ và gia tốc tâm O của vật đối với mặt bàn.
3. Tại thời điểm vật rơi khỏi tấm gỗ vận tốc góc của vật bằng bao nhiêu?
4. Chứng minh rằng trong suốt quá trình chuyển động trên mặt bàn vật ln ln lăn có
trượt.
5. Vật chuyển động được một qng đường s bằng
K2
bao nhiêu trên mặt bàn?
K1
A
Bài 13. Bài toán điện
Đ
Trong mạch điện như hình vẽ, Đ là điơt lí tưởng, tụ
điện có điện dung là C, hai cuộn dây L1 và L2 có độ tự cảm
lần lượt là L1 = L, L2= 2L; điện trở của các cuộn dây và dây
nối khơng đáng kể. Lúc đầu khố K1 và khố K2 đều mở.
1. Đầu tiên đóng khố K1. Khi dịng qua cuộn dây
L1 có giá trị là I1 thì đồng thời mở khố K1 và đóng khố
K2. Chọn thời điểm này làm mốc tính thời gian t.
5
E
C
L1
B
Hình vẽ
L2
a) Tính chu kì của dao động điện từ trong mạch.
b) Lập biểu thức của cường độ dòng điện qua mỗi cuộn dây theo t.
2. Sau đó, vào thời điểm dịng qua cuộn dây L1 bằng khơng và hiệu điện thế uAB có giá
trị âm thì mở khố K2.
a) Mơ tả hiện tượng điện từ xảy ra trong mạch.
b) Lập biểu thức và vẽ phác đồ thị biểu diễn cường độ dịng điện qua cuộn dây L1 theo
thời gian tính từ lúc mở khố K2.
Bài 14. Bài tương đối tính
Hệ quy chiếu K’ (O’x’y’z’) chuyển động với vận tốc v không đổi dọc theo trục O’x’ (O’x’
trùng với trục Ox, O’y’ và O’z’ lần lượt song song với Oy và Oz) đối với hệ quy chiếu K
(Oxyz). Tìm các thành phần vận tốc của vật trong hệ K’. Tìm gia tốc a’ tương ứng của một hạt
trong hệ K’ tại thời điểm trong hệ K hạt này chuyển động với vận tốc u và gia tốc a dọc theo
một đường thẳng
1. song song với v
2. vng góc với v
3. nằm trong mặt phẳng xOy có phương lập với v một góc .
Bài 15. Tên lửa. Chuyển động của vật có khối lượng thay đổi
Giả sử tải là một khoang vũ trụ có khối lượng m, được
lắp ráp với một tên lửa hai tầng. Khối lượng của cả hai (tên
m
lửa đầy nhiên liệu và tải) là Nm. Khối lượng của tầng thứ hai
1
2
và của tải cộng lại là nm. Trong mỗi tầng, tỉ số giữa khối
nm
lượng của vỏ chứa nhiên liệu và khối lượng ban đầu (vỏ chứa
Nm
nhiên liệu cộng với nhiên liệu) là r, vận tốc phụt khí đốt là v0
(Hình vẽ). Giả sử tên lửa bắt đầu được phóng từ trạng thái
nghỉ và bỏ qua trọng lực.
1. Chứng minh rằng vận tốc v1 thu được từ việc đốt tầng thứ nhất được cho bởi công thức:
N
v1 v0 ln
rN n(1 r)
2. Hãy tìm một biểu thức tương ứng cho vận tốc bổ sung v2 do việc đốt tầng hai.
3. Cộng v1 với v2 ta có vận tốc v của tải theo N, n và r. Cho N và r khơng đổi, tìm giá trị
của n để v cực đại.
4. Chứng minh rằng điều kiện để v cực đại tương ứng với việc thu được vận tốc bằng nhau
ở hai tầng. Tìm vmax và kiểm chứng rằng nó có nghĩa đối với những trường hợp giới hạn r = 0
và r = 1.
5. Tìm một biểu thức cho vận tốc của tải của tên lửa một tầng với cùng các giá trị của N, r
và v0.
6. Giả sử rằng chúng ta muốn vận tốc của tải là 10km/s bằng việc sử dụng các tên lửa có v0
= 2,5km/s và r = 0,1. Chứng minh rằng ta chỉ có thể thực hiện được điều đó đối với tên lửa hai
tầng nhưng không thể thực hiện được đối với tên lửa một tầng dù có N lớn.
7. Chứng minh rằng đối với tên lửa có số tầng tùy ý, vận tốc tối đa của tải có khối lượng m
cho trước chỉ đạt được nếu các tầng được thiết kế sao cho độ gia tăng vận tốc mà mỗi tầng
đóng góp là như nhau.
6
Bi 16. Khi ph k
Khối phổ kế là thiết bị dùng để đo khối lượng của các ion. Nó hoạt động theo nguyên lý
sau:
- Các ion được gia tốc đến vận tốc lớn, đi vào máy tại điểm O, theo phương Ox.
z
- Trong máy có từ trường đều B, hướng theo trục
Oz vuông góc với Ox và Oy.
- Kính ảnh được đặt tại lân cận điểm P trên trục
Oy và vuông góc với phương Ox.
B
- Các ion chuyển động theo đường cong, tới
đập vào kính ảnh tại P. Căn cứ vào khoảng cách OP,
người ta suy ra được khối lượng của ion (xem hình
vẽ).
+
Giả sử chùm ion gồm các ion 39
19 K (K39) và
41
19
K+ (K41), đà được gia tốc có năng lượng là E =
500 eV; cảm ứng từ B = 0,7 T.
O
x
Chùm ion tới
.
y
P
Kính ảnh
1) TÝnh vËn tèc cđa ion khi đập vào kính ảnh.
2) Tính khoảng cách OP đối với mỗi loại ion.
3) Trong thực tế, năng lượng của các ion không giữ đúng giá trị bằng E, mà có thăng giáng
E = 5 eV. Hỏi có thể phân biệt được hai vết mà các ion đập vào kính ảnh không? Thăng
giáng của năng lượng vào bao nhiêu % thì hai vết không còn phân biệt được nữa?
4) Nếu góc của chùm ion tới có thăng giáng 30 (trên mặt xOy) thì có thể phân biệt được
vết của hai loại ion đó không?
Bi 17. Bi in c
Cho hai quả cầu P và Q, bán kính R = 5 cm. Quả cầu Q đặt trên một giá cách điện, quả
cầu P treo bằng dây cách điện vào đầu A của một thanh ABC. Đường nối tâm của P và
Q nằm trên đường thẳng đứng, khoảng cách PQ = a khá lớn để cho thể coi P,Q như các
quả cầu cô lập. Thanh ABC gồm hai đoạn: AB là một đoạn cứng, chiều dài L, BC là
một lá đàn hồi, chiều dài l (l<
vào một đế cố định (Hình vẽ). Khối lượng của mọi chi tiết không đáng kể. Khi có lực
tác dụng vào đầu A của thanh theo phương thẳng đứng, AB khơng bị biến dạng, cịn lá
đàn hồi bị biến dạng và cong thành một cung tròn. Khi đó có thể xem BC như cấu tạo
từ nhiều lớp, lớp giữa có chiều dài khơng đổi, lớp trên bị kéo dãn, lớp dươí bị nén (như
đã minh hoạ trên hình vẽ).
7
1. Tính và vẽ đồ thị biểu diễn lực
L
A
d
tác dụng FA vào đầu A của thanh theo
độ dịch chuyển Z của A theo phương
C
B
thẳng đứng. Khi Z nhỏ ta có thể viết
FA= k Z. Tính giá trị của k .
z
l
P
Áp dụng bằng số: L = 10cm; l =
10
0,1cm; d = 0,01cm; E = 5.10 Pa.
a
2. Đặt điện thế +V vào P và -V vào
Q. Xem các quả cầu tích điện P và Q
l
Q
như các điện tích điểm đặt tại tâm của P R
và Q.
a. Tính và vẽ đồ thị biểu diễn lực
F
mà Q tác dụng lên P theo khoảng cách a
giữa tâm của chúng.
b. Dùng phương pháp giải bằng đồ
Hình vẽ
thị, chứng tỏ rằng khi đưa điện tích Q
lại gần P theo đường thẳng đứng đến một khoảng cách nào đó, chúng sẽ hút nhau và
chạm vào nhau. Tính giá trị của V0 để cịn có thể giảm khoảng cách a xuống đến 3R mà
P và Q không bị hút đến chạm nhau.
c. Bằng lập luận định tính, hãy kết luận xem khi điện tích được phân bố trên bề mặt
các quả cầu thì bài tốn trên đây sẽ ra sao.
Bài 18. Thí nghiệm Fizeau. Ánh sáng trong chất lỏng chuyển động
1. Vận tốc của ánh sáng trong nước đứng yên là c/n, với n là chiết suất của nước (n 4/3).
Năm 1851 Fizeau đã tìm thấy rằng vận tốc của ánh sáng (đối với PTN) trong một dòng nước
chuyển động với vận tốc v (đối với PTN) có thể biểu diễn dưới dạng:
c
u kv
n
trong đó k là hệ số kéo theo. Fizeau đã đo được k = 0,44.
Từ các phương trình Lorentz hãy xác định giá trị của k.
c
b
2. Tốc độ của ánh sáng đơn sắc trong một chất lỏng đứng yên bằng với n a 2 là
n
chiết suất của chất lỏng, là bước sóng của ánh sáng trong chất lỏng đứng yên. Hãy tìm tốc độ
ánh sáng đơn sắc này trong chất lỏng đang chuyển động thành dòng với tốc độ v. Coi v << c và
(1 + x) 1+ x, với x << 1.
Bài 19. Áp suất ánh sáng
Trong thí nghim o ỏp sut ỏnh sỏng Lebedev, ụng ó
Dây xoắn
o góc xoắn của một sợi dây khi chiếu ánh sáng vào
l
một lá bạch kim tròn (lá được sơn đen trong 2 lá), từ đó
Ánh s¸ng
Hå quang
d
xác định được độ lớn của áp suất ánh sáng.
G¬ng
Biết rằng nếu rọi vào lá bạch kim sơn đen thì độ
lệch của vết sáng trên thước đo là 76mm (thước đo đặt
8
AS
L
Thíc
cách gương 1200mm, đường kính của các lá là 5mm. Hệ số phản xạ của lá bạch kim sơn đen là
0,5. Khoảng cách từ tâm lá đến trục quay là 9,2mm. Hằng số k của momen xoắn của sợi dây
( M k ) là 2,2.10-9 Ncm/rad.
Hãy:
a. Xác định độ lớn của áp suất ánh sáng.
b. Năng lượng của ánh sáng hồ quang rọi vào mặt các lá bạch kim trong thời gian 1s trên
diện tích 1cm2.
Bài 20. Sự sinh cặp và hủy cặp hạt
Trong quá trình sinh cặp, năng lượng của một photon được biến đổi hoàn toàn thành các hạt
vật chất. Một sự sinh cặp xảy ra cạnh một hạt nhân nặng được đặt trong một từ trường đều có
cảm ứng từ B = 0,1T đã tạo thành cặp electron - poziton mà các quỹ đạo có bán kính cong
tương ứng là 40mm và 160mm. Biết phương của cảm ứng từ vng góc với các mặt phẳng quỹ
đạo.
d
1) Áp dụng định luật II Niutơn F m u , hãy tìm biểu thức vận tốc tương đối tính của
dt
hạt tích điện q trong từ trường.
2) Tìm năng lượng tồn phần của các hạt trong sự sinh cặp này.
3) Tính bước sóng của photon.
Biết mối liên hệ giữa khối lượng m h của hạt và vận tốc u của nó được tính theo biểu thức:
m0
mh
;
2
u
1
c
trong đó m0 là khối lượng nghỉ của hạt đo được khi hạt đứng yên đối với người quan sát, c =
3.108m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không; me = 0,511MeV/c2 là khối lượng nghỉ của
electron.
Bài 21. Ánh sáng trong chất lỏng chuyển động
c
b
với n a 2 là chiết suất
n
của chất lỏng, là bước sóng của ánh sáng trong chất lỏng đứng yên. Hãy tìm tốc độ ánh sáng
đơn sắc này trong chất lỏng đang chuyển động thành dòng với tốc độ v. Coi v << c và (1 + x)
1+ x, với x << 1.
Tốc độ của ánh sáng đơn sắc trong một chất lỏng đứng yên bằng
Bài 22. Chuyn ng tng i tớnh
Một hạt nhân phóng xạ chuyển ®éng víi vËn tèc 0,5c trong hƯ phßng thÝ nghiƯm (PTN).
Hạt nhân bị phân rà phát ra một electron, electron này chuyển động với vận tốc 0,9c đối với hạt
nhân và cùng hướng với chuyển động của hạt nhân.
a. Tìm vận tốc của electron đối với hệ PTN.
b. Giả sử bây giờ hạt nhân phát ra một electron theo hướng vuông góc với hướng chuyển
động của hạt nhân trong hệ PTN. Electron nµy cã vËn tèc 0,9c trong hƯ quy chiếu gắn
với hạt nhân. Tìm vận tốc của electron trong hÖ PTN.
9
Bài 23. Sự phụ thuộc của chiết suất vào bước sóng
Chiếu tia sáng trắng vào mặt bên của một lăng kính tam giác đều với góc tới i = 45o. Do tán
sắc, các tia sáng đơn sắc ló ra khỏi mặt bên thứ hai của lăng kính với các góc lệch khác nhau so
với tia sáng trắng. Biết sự thay đổi chiết suất của lăng kính đối với các tia từ đỏ đến tím rất
b
chậm ( n a 2 ), chiết suất đối với tia vàng là nv =1,653.
a. Tính góc lệch D v của tia vàng sau khi ló ra khỏi lăng kính.
b. Biết hai tia đơn sắc ló ra khỏi lăng kính hợp với nhau một góc i' nhỏ. Tìm hiệu số chiết
suất n của lăng kính đối với hai tia đơn sắc này. Áp dụng tính n nếu biết i' = 2o.
Bài 24. Máy đơn sắc
Máy đơn sắc là máy dùng để tạo ra các chùm sáng đơn sắc. Một máy đơn sắc có bộ
phận tán sắc là một lăng kính có tiết diện thẳng là một tứ giác ABCD. Các góc của tứ
giác đó như sau: A = 750; B = 900 ; C = 600; D = 1350.
Một tia sáng đơn sắc SI chiếu vào mặt AB của lăng kính. Tia khúc xạ gặp mặt AD ở J,
tại đó nó bị phản xạ và đến gặp mặt BC ở K rồi ló ra ngồi theo phương KR. Tia JK
vng góc với tia IJ. Chiết suất của lăng kính đối với tia màu này là n = 1,500.
a) Nêu đặc điểm của sự phản xạ ánh sáng ở J.
b) Tính góc lệch của tia ló so với tia tới.
c) Tia tới SI là tia sáng trắng, đi theo phương SI đã cho ở trên. Muốn cho thành phần
đơn sắc khác, mà chiết suất của lăng kính đối với nó là n’ = 1,505, lúc ló ra khỏi lăng
kính cũng đi song song với phương KR thì phải quay lăng kính quanh một trục vng
góc với mặt phẳng tiết diện thẳng của lăng kính đi một góc bằng bao nhiêu? Theo chiều
nào?
d) Thực tế, trong máy đơn sắc thì tia tới SI phải đi dọc theo trục chính của một ống
chuẩn trực, cịn tia ló KR phải ln ln chiếu vng góc qua một khe cố định để ra
khỏi máy. Muốn thế thì trục quay của lăng kính phải đi qua điểm nào trên tiết diện
thẳng?
e) Người ta gọi độ tán sắc góc của một lăng kính trong vùng ánh sáng có bước sóng từ
đến + d là thương số: D
d
; d là góc giữa hai tia ló đơn sắc và + d ứng
d
với cùng một tia tới là ánh sáng trắng. Hãy tính độ tán sắc góc của máy đơn sắc này.
Giả thiết là chiết suất của lăng kính phụ thuộc vào bước sóng ánh sáng theo hệ thức
n 1
0,125
2
, với đo bằng m.
Bài 25. Sợi quang
Một đoạn sợi quang thẳng có dạng hình trụ bán kính R, hai đầu phẳng và vng góc với trục
sợi quang, đặt trong khơng khí sao cho trục đối xứng của nó trùng với trục tọa độ Ox. Giả thiết
chiết suất của chất liệu làm sợi quang thay đổi theo quy luật: n f (r) n1 1 k 2 r 2 , trong đó r
là khoảng cách từ điểm đang xét tới trục Ox, n1 và k là các hằng số dương. Một tia sáng chiếu
tới một đầu của sợi quang tại điểm O dưới góc như hình vẽ.
10
y
1. Gọi là góc tạo bởi phương truyền của tia
sáng tại điểm có hồnh độ x với trục Ox. Chứng
x
minh rằng ncos = C trong đó n là chiết suất tại
điểm có hồnh độ x trên đường truyền của tia sáng
x
O
và C là một hằng số. Tính C.
2. Viết phương trình quỹ đạo biểu diễn đường
truyền của tia sáng trong sợi quang.
3. Tìm điều kiện để mọi tia sáng chiếu đến sợi quang tại O đều khơng ló ra ngoài thành
sợi quang.
4. Chiều dài L của sợi quang thỏa mãn điều kiện nào để tia sáng ló ra ở đáy kia của sợi
quang theo phương song song với trục Ox?
Bài 26. Thí nghiệm Dobronravov và Ioffe xác nhận tính hạt của ánh sáng
Trong một bản ebonite dày, người ta khoét một lỗ nhỏ. Lỗ này
B
dùng làm một ống tia Rontgen
tý hon. Khơng khí trong ống được
rút qua ống nhỏ R. Đoạn cuối của ống có một dây mảnh bằng Hạt bismuth
A
nhôm K dùng làm âm cực của ống. Đối âm cực là một bản nhôm
mỏng A. Sợi dây K được rọi bằng những tia tử ngoại qua cửa sổ
L
thạch anh L. Các quang electron bị bật khỏi dây K sẽ được tăng tốc
qua một điện trường có hiệu điện thế 12000V giữa bản A và dây
K. Khi va chạm với bản A, các electron sẽ bị hãm lại và phát ra tia
K
R
X. Tia X bị hấp thụ ít trong bản nên thực tế nó đi qua bản một cách
tự do. Dây dẫn K được rọi một thông lượng bức xạ tử ngoại sao
cho nó chỉ làm bật ra khoảng 1000 electron trong một giây. Những electron này, khi va chạm
với bản A, sẽ gây ra khoảng 1000 xung tia X trong một giây.
Người ta đặt một bản nhôm thứ hai B, song song với bản A và tạo cùng với A một tụ điện
phẳng. Qua một lỗ nhỏ khoét trên bản B người ta đưa vào trong tụ điện phẳng một hạt bismuth
tích điện có bán kính vào khoảng r = 3.10-5cm. Giữa hai bản A và B có đặt một hiệu điện thế
sao cho lực tĩnh điện tác dụng lên hạt bismuth cân bằng với trọng lượng của nó. Vì vậy, hạt
bismuth sẽ được giữ lơ lửng cách đối âm cực một khoảng d = 0,02cm.
Tia X sau khi đi qua bản A, chiếu vào hạt bismuth làm bật electron ra, và làm cho nó mất
cân bằng. Thực nghiệm cho thấy trung bình cứ sau = 30 phút thì hạt bismuth lại bị mất cân
bằng.
1. Chứng minh rằng khơng thể sử dụng quan điểm sóng để giải thích kết quả thí nghiệm
trên.
2. Hãy sử dụng quan điểm hạt để giải thích kết quả thí nghiệm trên.
Bài 27. Quang học khí quyển
Xét một chùm sáng đơn sắc song song chiếu theo phương Ox trong khí quyển. Gọi F là
quang thơng chiếu đến một lớp khơng khí có chiều dày dx, cắt vng góc với phương
Ox. Sau khi đi qua lớp khơng khí này, một phần quang thơng dF sẽ bị hấp thụ. Biểu
thức của dF là: dF = - Fdx; là hệ số hấp thụ của khơng khí.
1. Biết rằng 1km khơng khí hấp thụ 1% quang thơng chiếu đến ứng với ánh sáng có
bước sóng = 0,6 m. Tính và và chiều dầy của lớp khơng khí cần thiết để có thể làm cho
quang thơng sau khi ra khỏi lớp khơng khí đó chỉ cịn bằng 10% quang thơng ban đầu.
2. Cho rằng tỉ lệ với -4. Hãy tính trị số của và chiều dầy của lớp khơng khí nói
trong câu 1 ứng với bước sóng = 0,4 m.
11
3.Sự hấp thụ ánh sáng của khí quyển được gây ra do sự tán xạ ánh sáng bởi các phân
tử khí. Gọi A là độ rọi của ánh sáng ở mặt trước của lớp khí quyển nói trên. Mỗi thể
tích dV của lớp khí quyển sẽ trở thành một nguồn phát ánh sáng tán xạ. Cường độ I
của nguồn này theo phương làm với phương Ox một góc tuân theo định luật
Rayleigh: I = RA(1 + cos2)dV; R gọi là hệ số tán xạ. Cường độ phát sáng của một
nguồn theo một phương là quang thơng mà nguồn đó phát đi trong một đơn vị góc khối
bao quanh phương đó.
Hãy tìm biểu thức của R theo và tính giá trị của R đối với ánh sáng có bước sóng =
0,6 m.
N
4) Xét một khối khơng khí hình hộp chữ nhật có mặt trên M
P
Q
MNPQ nằm ngang, hai mặt bên MQQ'M' và NPP'N' thẳng
đứng, cách nhau khoảng l. Ánh sáng mặt trời chiếu thẳng
N'
M'
đứng. Độ rọi trên mặt phẳng MNPQ là A. Người quan sát đặt
P'
Q'
Hình
vẽ
mắt trong mặt phẳng MQQ'M' và nhìn mặt phẳng NPP'N'
dọc theo phương QP (Hình vẽ).
Gọi độ chói L của khối khơng khí theo phương PQ là quang thơng tán xạ mà khối
khơng khí gửi qua một đơn vị diện tích tại mặt MQQ'M'.
Tính tỉ số L/A theo R, và l .
Áp dụng bằng số l = 10 km ; R và ứng với = 0,6 m.
Bài 27. Mơmen qn tính
Mơmen qn tính phải tính theo cơng thức tổng qt: I r 2dm , ở đây dm là khối lượng của
thể tích nguyên tố dV bao quanh điểm đang xét, cách trục quay khoảng r.
4
dm dV d r 3 4r 2 với bài toán đối xứng xuyên tâm. Hoặc phải tính tích phân 3
3
lớp:
2
I r 2 dV
V
R
R
R
R
2
2
2
2
2
2
d d r r sin dr 4 r r dr r dV r dm
0
0
0
0
0
0
Nếu bài toán đối xứng trục, mơ men qn tính tính theo cơng thức tổng qt: I z 2dm , ở đây
dm là khối lượng của thể tích nguyên tố dV bao quanh điểm đang xét, cách trục quay khoảng z.
Tích phân được tính cho hệ toạ độ trụ:
2
2
I z dV
V
R
R
2
d d r r
0
0
0
2
R
2
2
R
sin dr 4 r r dr r dV r 2 dm
0
2
0
0
Áp dụng:
Mật độ khối lượng của vật phụ thuộc vào khoảng cách r đến tâm của nó theo quy luật:
3m
r
1 , m là một hằng số dương.
3
7R R
12
Tính khối lượng và mơ men qn tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó.
Khối lượng của vật:
R
R
3m
r
2
dV
0
0 7R 3 1 R 4r dr m
Mơ men qn tính
2
2 3m
dI0 dm.r 2
.4r 2 .r 2 .dr ;
3
3 7R 3
44
I0 RdI0
mR 2
105
0
R
Còn:
2
R
3m
r
22mR 2 3
4
I0
1
4
r
dr
7 R 3 R
35
2
0
2
I r dm r dV
0
BÀI GIẢI
Bài 1. Dao động liên kết
a. Phương trình động lực học cho M:
m1
x (k1 k 2 )x k 2 y
x
k1 k 2
k
x 2 y (1)
m1
m1
và cho N
k1 k 2
k
y 2 x (2)
m2
m2
b) Đặt x = A cos(t + ) và y = B cos(t + ) thì (1) và (2) cho
k k2
k
(2 1
)A 2 B 0
m1
m1
k2
k k2
A (2 1
)B 0
m2
m1
Để hệ có nghiệm khác khơng:
2 k 1 k 2 2 k1 k 2
k 22
0
m1
m 2 m1m 2
m 2
y (k1 k 2 )y k 2 x
y
1
1 2 (k1 k 2 )2
k 22
hay
(k1 k 2 )
0;
m1m 2
m1m 2
m1 m 2
phương trình trùng phương với
4
2
m m2
4k 22
2
1
(k
k
)
0
1
2
m1m 2
m1m 2
13
2
m m2
4k 22
2
và
(3)
(k
k
)
1
1
2
m
m
m
m
1
2
1
2
m m2
1
(2 )1,2 1
(k1 k 2 )
2m1m 2
2
Dễ dàng chứng minh
m1 m 2
(k1 k 2 )
m1m 2
(Hoặc dùng định lý vi ét: a.c > 0, suy ra hai nghiệm cùng dấu. có một nghiệm +, vậy nghiệm
kia cũng +)
vì vậy tồn tại hai giá trị :
m1 m 2
1
(k1 k 2 )
1
(4)
2m1m 2
2
m1 m 2
1
(5)
(k1 k 2 )
2m1m 2
2
c) Hệ phương trình (1) và (2) là tuyến tính, chồng chất hai nghiệm riêng là một nghiệm của hệ;
vì vậy có thể viết nghiệm của hệ dưới dạng:
x(t) = A1cos(1t + ) + A2cos(2t + )
(6)
y(t) = B1cos(1t + ) + B2cos(2t + ) ,
(7)
A1, A2, B1, B2 và được xác định từ điều kiện ban đầu và chiều dài PQ.
Từ (3), (4) và (5):
k1
k 2k 2
1
, 2 1
(8)
m
m
Từ (8)
m
m
k1 m12 ; k 2 22 12 ; k1 k 2 12 22
(9)
2
2
Phương trình động lực học
(k1 k 2 )x k 2 y 0
mx
(10)
(k1 k 2 )y k 2 x F0 cos t
my
(11)
Thay (9) vào (10) và (11):
12 22
12 22
x
x
y0
(12)
2
2
2 22
2 22
F
y 1
y 1
x 0 cos t
(13)
2
2
m
2
12 22
, x Ccost, y Dcost
x 2 x,
y 2 y , ta thu được hệ
2
phương trình để tìm C và D:
Đặt:
A
12 22
12 22
2
D0
2 C
2
(14)
14
2 22
12 22
F
C 1
2 D 0
2
m
2
Từ đó rút ra các biên độ của M và N:
F
12 22
(16)
C 0
2m (12 2 )(22 2 )
F0
2A 2
,
D
m (12 2 )(22 2 )
(15)
(17)
12 22
(18)
2
Như vậy biên độ D của quả nặng N có giá trị lớn tại các tần số cộng hưởng 1 và 2. Biên
độ này bằng không tại tần số cộng hưởng A.
với
A
b) Phác hoạ sự phụ thuộc của D vào :
5
Lấy 1 1, 2 2 A
2
Bài 2. Liên kết 2 vật
1. Phương trình chuyển động của A
Chọn trục Ox như hình vẽ, 0 là vị trí ban đầu của A.
k
mg
B
A
)
mx ''A 2mg mg kx A x ''A (x A
m
k
k
F
k
mg
x A A1 cos
t A
(1)
k
m
0 x x
0B
B
k
k
(2)
v A x 'A A1
sin
t A
m
m
mg
, . Và:
Thay t A 0; x A 0; v A 0 A1
k
k
k
mg
m
xA
t A ; v A g
sin
t A (3)
1 co s
k
k
m
m
2. Khi thời gian trôi đi một khoảng t A , vật B bắt đầu chuyển động, B chỉ chuyển động khi lực
đàn hồi của lị xo tác dụng vào B ít nhất bằng lực ma sát nghỉ cực đại và từ lúc đó trở
đi: v A v 0 hs. Tính t A :
xA
k
3mg
mg
t A
1 cos
k
2k
m
2 m
,
t A
3 k
(4)
v v (t ) g 3m
A
A
0
4k
15
Ta chọn hệ quy chiếu cho vật B như sau: lúc B bắt đầu chuyển động là thời điểm t = 0; trục tọa
độ có phương BA và hướng theo chiều BA; gốc tọa độ là điểm nằm trong đoạn AB, cách A
một đoạn bằng chiều dài tự nhiên của lị xo và ln chuyển động cùng vận tốc với A. Như vậy
nếu x B 0 nghĩa là lò xo giãn và x B 0 nghĩa là lò xo bị nén.
mx ''B mg kx B
k
k
mg
k
A sin
t ; v B x ,B A
cos
t (5)
k
m
m
m
mg
Thay t 0; x B 1,5
(dấu trừ chỉ lò xo bị giãn), v B v 0 :
k
mg
mg
1 mg
xB
A sin 1, 5
A sin
0
k
k
2 k
k
3m
3 mg
A cos
vB A
cos v 0 g
m
4k
2 k
Giải hệ:
1
7
mg
m
tg
;A
; v Bmax g
6
6
k
k
3
k
mg k
7 mg
2
xB
t 1
t 1 ,
sin
cos
k m
6
k
3
m
(6)
k
m
2
v B g
sin
t
, t 0.
k
m
3
Ở thời điểm t t 2 ; v B v 0 thì B có vận tốc bằng 0 đối với đất. Tìm t 2:
xB
g
k
k
m
2
3m
2
3
sin
t 2 g
sin
t 2
sin
k
3
4k
3
2
3
m
m
t2
2 m
3 k
Lúc đó
(6)
x B (t 2 )
mg
3mg
4
cos 1
k
2k
3
mg
, lực đàn hồi bằng lực ma sát tĩnh và B lại chuyển động. Quá trình lặp
k
m
lại tuần hồn với chu kỳ T 2
.
k
Vậy lị xo giãn 1, 5
Bài 3. Chuyển động của hạt mang điện trong từ trường
ma FL (qBv y , qBv x , 0)
B
qB
m
16
a
a
x co s B t
B
B
v x a sin B t
ma x qBv y
x B y
a
sin B t
y B x
Đặt v y a cos B t y
ma y qBvx
B
z 0
v z b
ma z 0
z bt
Quỹ đạo của hạt là đường xoắn ốc:
2
2
a
a
2
x
y
B
B
z bt
2v 0 2mv 0
Với bước nhảy h
B
qB
1.0
0.5
0.0
0.5
1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Bài 4. Điện tích trong điện từ trường
1. Vì hạt chuyển động đều nên lực Lorenxơ F tác dụng lên hạt phải cân bằng với hợp lực
của lực điện trường ( Fd qE ) và trọng lực ( P mg ). Nghĩa là FL hướng thẳng đứng lên trên
và có độ lớn: FL qE mg qv 0 B
B
qE mg
qE mg
; v0
qv0
qB
(1)
Véc tơ B hướng theo chiều âm trục Oy, vào phía trong mặt phẳng hình vẽ.
2. Bây giờ véc tơ B hướng theo chiều dương trục Oy. Áp dụng định luật II Niutơn:
ma Fd P FL
(2)
chiếu (2) lên Ox và Oz và chú ý đến (1) :
dv x
Bq
vz
dt
m
dv z Bq
Bq
v x qE mg
(v x v 0 )
dt
m
m
Hay là :
Bq
'
(v x v0 ) m v z (3)
v ' Bq (v v ) (4)
0
z m x
Ta tìm nghiệm của hệ (3) và (4) dưới dạng:
v x v0 A cos(t )
v z Csin(t )
(Hoặc
v x v0 A sin(t )
v z C cos(t )
cũng được)
Đạo hàm, thay vào hai vế (3), (4) ta thu được hai phương trình bậc nhất hai ẩn (A và C) khơng
có vế phải (vế phải bằng 0)
17
Bq
A m C 0
(5)
Bq A C 0
m
Để A và C khác 0, thì định thức hệ số các ẩn phải bằng 0, suy ra (loại nghiệm âm):
Bq
(6)
m
Bq
v x A cos
t v0
m
Bq
v z Csin
t
m
Tìm A, C,
Lúc t = 0, ta có: v x v0 và v z 0 ; suy ra: A 2v0 , 0 . Tìm C bằng cách thay A 2v0 và
(6) vào (5), C A 2v 0
Bq
v x 2v0 cos m t v 0
(7)
Bq
v 2v sin
0
m t
z
Từ (7):
t
2mv0
Bq
x
v x dt
sin
t v0t
qB
m
0
(8)
t
z v dt 2mv 0 cos Bq t 2mv0
m qB
0 z
qB
Trong (8), ở biểu thức của x nếu chưa để ý đến thành phần v 0 t thì ta có thể mơ tả chuyển
động của điện tích q như một hạt chuyển động theo quỹ đạo trịn với phương trình
2
2
2mv 0 2mv0
x z
qB qB
Nếu kể đến thành phần v 0 t , ta có thể phác họa quỹ đạo của vật như là một chuyển động tròn
bị kéo về phía chiều âm trục 0x với vận tốc v 0 . Từ đây dễ dàng phác họa được quỹ đạo của
hạt.
10
5
3. Khi hạt lại gặp trục Ox, thì có thể coi 15
chuyển động trịn của hạt lại lặp lại như cũ, tức
2
là sau những khoảng thời gian T, 2T, 3T,... Ở
4
2 2m
đây T
qB
6
2kmv 0
; k 1, 2,3,... và
Khi đó x k v 0kT
8
qB
từ (7) và (8) tìm được: v x 2v 0 v 0 v0 ; v z 0
Tại những điểm đó, vận tốc v của hạt hướng theo chiều dương của trục Ox và có độ lớn bằng
v0 .
2
Bài 5. Dao động nhỏ 3 chiều của con lắc đơn
18
Phương trình chuyển động là:
ma T mg Flr
(1)
trong đó lực Loren Flr q v, B .
Gọi là góc (nhị diện) giữa mf (dây và trục 0z) và mf (y0z)
i
j
k
+ Flr q v, B v x v y v z (qBv y , qBv x , 0)
0 0 qB
+ mg (0, 0, mg)
+ T (T sin ) sin i (T sin ) cos j (T cos )k
Gọi r là khoảng cách vật và trục 0z:
r = lsin; x = r sin = lsin sin; y = r cos = lsincos;
Nhưng 0 là góc nhỏ, có thể lấy cos 1, T mg. Như vậy :
T ( mgx, mgy, mg)
Phương trình trên tương đương 3 phương trình vơ hướng:
mg
ma x T sin sin qBv y l x qBv y
mg
y qBv x
(2)
ma y T sin cos qBv x
l
ma z Tco s mg 0
Trong phép gần đúng dao động bé ta có thể coi chuyển động của con lắc xẩy trong mặt phẳng
0xy. Chia 2 vế các phương trình cho m, phương trình (2) được viết lại như sau:
x " 02 x B y '
(3)
2
y" 0 y B x '
g
qB
3,13 (rad / s) B
102 (rad / s) và điều kiên ban đầu:
Ở đây: 0
l
m
x(0) 0; y(0) l 0 ; x '(0) 0; y '(0) 0 (4)
Tìm nghiệm của (3) dưới dạng x = Asin(t+) và y = Bcos(t+). Thay vào (3), ta thu được
hệ phương trình cho A và B
2
2
(0 )A B B 0
(5)
2
2
B A (0 )B 0
Để hệ có nghiệm khơng tầm thường, thì phải là nghiệm dương của phương trình bậc hai
2 B 02 0
1 0 B
1
2
B
2B 420 B 0
2 2
2
B
0
2
2
Nghiệm tổng quát:
x(t) = A1 sin(1t+) + A2 sin(2t+)
y(t) = B1 cos(1t+) + B2 cos(2t+)
(6)
(7)
Hằng số A, B và tìm được bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu (4), (5) và (7):
19
(A1 A 2 ) sin 0
(B1 B2 ) cos l 0
(A11 A 2 2 ) cos 0
(B B ) sin 0
2 2
1 1
2
0 12
B
A1
1
B 1
(8)
Giải (8) ta được:
l0 122
l0 2 12
l 0 22
0; A1
; A2
; B1
(20 12 );
3
3
3
2 0
2 0
2 0 B
l 0 12
(20 22 ) (9)
2 30 B
Mặt phẳng dao động của con lắc quay được một góc 2 (một vịng) sau một khoảng thời
qB
)
gian (dao động tiến động với tần số Larmor L
2m
2
4m
T0
400(s) 21ph.
B / 2 qB
Bài 6. Chuyển động trong trường xuyên tâm
B2
Giả sử thời điểm t vật có toạ độ (x, y, 0).
Phương trình động lực học: F FL ma với F kr, FL q(v, B). Chiếu xuống hai trục
toạ độ, ta thu được hệ phương trình vi phân tuyến tính sau:
k
qB
x '' x
y'
mx '' kx qBy '
m
m (1)
my '' ky qBx ' y '' k y qB x '
m
m
Tìm nghiệm dưới dạng: x Acos(t ); y Csin(t ) . Thay vào (1) thu được hệ phương
trình cho A và C:
k
qB
2
m A m C 0
(2)
qB A k 2 C 0
m
m
Đặt B
qB
k
; 0
2m
m
2
qB
k
qB
2
2
B B 0 , ta chọn 2 nghiệm ứng với (++) và (-+)
2m
2m m
1 B B2 02 ; 2 B B2 02
2(12 02 )
2(02 22 )
Thay 1 và 2 vào (2) ta thu được: C1
A1 ; C 2
A2
1B
2 B
Như vậy nghiệm tổng quát:
20
x(t) A1 cos(1 t ) A 2 cos(2 t )
2(20 12 )
2(02 22 )
A1 sin(1t )
A 2 sin(2 t )
y(t)
2 B
1 B
2 22
12 02
t 0; v x 0; v y 0; x R; y 0 A1 02
R;
A
R
2
1 22
12 22
R 2
2
2
2
x(t) 2 2 1 0 cos 2 t 1 0 cos 1 t
1
2
2
2
2
2
y(t) 2R(1 0 )(2 0 ) sin 1 t sin 2 t
B (12 22 )
2
1
Bài 7. Dao động của mạng tinh thể một chiều
1. Vì tương tác giữa hai nguyên tử liền kề là đáng kể nên ta bỏ qua các tương tác khác. Sử dụng
định luật II Newton, viết được các phương trình vi phân mơ tả chuyển động của các ngun tử
ở ô mạng thứ n (M > m). Coi chiều dương của trục tọa độ hướng từ nguyên tử n đến (n+1)
Mx "n x n x n 1 x n 1 x n x n 1 x n 1 2x n
(1)
"
mx n 1 x n 1 x n x n 2 x n 1 x n 2 x n 2x n 1 (2)
2.
Cách 1:
Nghiệm của hệ có dạng:
xn = Ansin(aqn)cos(t+) x 'n = - Ansin(aqn)sin(t+); x "n 2 Ansin(aqn)cos(t+)
x "n 2 x n , x "n 1 2 x n 1 , x "n 2 2 x n 2 ,...
Đặt An-2= An= An+2= ...= A, An-1= An+1= ...= B
Thay vào (1) và (2)
AM2 sin(aqn) {Bsin[aq(n 1)] Bsin[aq(n 1)] A sin(aqn)}
A(2 M2 ) sin(aqn) B{sin[aq(n 1)] sin[aq(n 1)]}=B2sin(aqn)cos(aq)
A(2 M2 ) 2Bcos(aq)
(3)
Tương tự:
Bm(2 M2 ) sin[aq(n 1)] A{sin[aq(n 2)] sin(aqn)}=A2sin [aq(n 1)]cos(aq)
B(2 m2 ) 2Acos(aq)
(4)
Nhân 2 vế tương ứng của (3) và (4) sau đó giản ước AB đi, ta có:
AB(M2 2)(m2 2) 4 2 ABcos 2 (aq)=2 2 (1 cos 2aq)
4 2 Mm4 2(M m)2 2 2 [1 cos(2aq)]
4 2
M m 2 42
sin 2 (aq) 0
Mm
Mm
(5)
Cách 2:
Đặt x n Aei (aqn t ) , x n 1 Bei{aq (n 1)t} , x n 2 Aei{aq (n 2) t} ta có
x "n 2 x n ; x"n 1 2 x n 1 ; x"n 2 2 x n 2 ,...
thay vào (1) và (2)
M2 Aei(aqn t ) (Beiaq Beiaq 2A)ei(aqn t )
(2 M2 )A (Beiaq Be iaq ) 2Bcos(aq)
Tương tự:
(2 m2 )B 2A cos(aq)
Nhân hai vế: 4 2 Mm4 2(M m)2 4 2 cos2 (aq)
21
M m 2 42
[1-cos 2 (aq)] 0
Mm
Mm
M m 2 4 2
4 2
sin 2 aq 0
(5)
Mm
Mm
Phương trình này có 2 nghiệm:
2
1 1 1 1 4 sin 2 aq 4 1 1 3 sin 2 aq (6)
3m
4
M m
M m Mm
2
4
4
3 2
1 1
1 1
sin 2 aq
1 1 sin aq (7)
3m
4
M m
M m Mm
3. Theo (6) và (7), ta thấy (q) là hàm số phụ thuộc vào q một cách tuần hoàn với chu kì
: (q) (q m ) . Vì vậy khi xét hệ thức tán sắc ta chỉ cần xét các giá trị của q trong miền
a
a
q
(vùng Brillouin thứ nhất).
2a
2a
Tại tâm và biên vùng Brillouin thứ nhất:
Ta xét nghiệm với dấu (–):
Khi q = 0, 0 .
q
Khi q nhỏ, aq
8
2m
3m
2
2
+
Khi q ,
2a
3m
m
Ta xét nghiệm với dấu (+):
2
8
Khi q = 0,
.
3m
3m
2
2
Khi q ,
2a
m
3m
4. Đồ thị của (q) ở hình vẽ 13 gồm hai
nhánh (nhánh âm và nhánh quang ):
5. Dựa vào hình vẽ ta có một nhận xét quan
trọng. Trên phổ của (q) có một khoảng giá
q
2
2
đến giá trị
khơng
trị từ
0
/2a
-/2a
3m
m
Hình vẽ
ứng với nghiệm nào của phương trình sóng
truyền trong tinh thể, có nghĩa là khơng có dao
động ứng với tần số nằm trong khoảng đó. Như vậy tại biên của vùng Brillouin tồn tại một
miền cấm. Sóng ứng với tần số trong miền đó không lan truyền trong tinh thể được, mà bị hấp
thụ mạnh.
Suy ra: 4 2
Bài 8. Con lắc rung
1) Momen quán tính của con lắc J
ml2
m
Ml2 l2 (M )
3
3
22
Momen lực M
l
m
mg sin Mg sin c gl(M ) c
2
2
..
Phương trình M J
m
c gl(M )
..
..
m
m
2 = 0
l2 ( M ) = gl(M ) c hay
m
3
2
2
l (M )
3
m
Giả thiết c gl(M ) , con lắc có dao động nhỏ với chu kì
2
m
l 2 (M )
3
(1)
T 2
m
c gl(M )
2
m
) , với g max 9, 9m / s 2
2
cho c 9,9.0, 2.0,105 hay c 0, 2079 (Nm)
2) Điều kiện: c gl(M
3) Đặt a l2 (M
(1) T 2
m
) 0, 004132,
3
a
c bg
(2),
m
) 0, 021 đơn vị SI.
2
T2
a
2
4
c bg
b l(M
hay
với T = 10 s tính được g 9,83m / s 2
4) Lấy ln của (2)
1
1
ln T ln 2 ln a ln(c bg)
2
2
Lấy đạo hàm đối với g , với T là hàm của g :
1 dT
b
dT
bT
độ nhạy
(3)
T dg 2(c bg)
dg 2(c bg)
Với c 0, 208 thì với g g 0 9,8 m/s và T 10s ,
dT
48 . g tăng 0, 01m / s 2 thì T tăng 0, 48s , dễ đo.
ta có
dg
dT
Chú ý: Nếu lấy trực tiếp
từ (2), khơng qua ln thì phức tạp. Cũng khơng cần thay T
dg
trong (3) bằng (2), vì ta đã biết: với g g 0 thì T 10s
5) Với con lắc đơn T 2
L
, làm tương tự:
g
1
1
ln T ln 2 ln L ln g . Lấy đạo hàm đối với g
2
2
1 dT
1
dT
T
.
T dg
2g
dg
2g
23
Con lắc đơn có L 1m thì T 2s . Với g 9,8m / s2 thì
dT
0,1 ; g tăng 0, 01m / s 2 thì
dg
T giảm 0, 001s , không đo được.
Vậy con lắc rung nhạy hơn con lắc đơn.
Bài 9. Bài toán về cân bằng
A. Nếu hệ nằm trong trạng thái cân bằng thì tổng
ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0.
Hệ chịu tác dụng của 3 ngoại lực: p1 , N, p 2 , mà p1 , N có
giá qua 0, vậy giá của p2 cũng qua 0.
N
Bây giờ xét cân bằng của một thanh, giả sử thanh
A
0
CD. Thanh CD chịu tác dụng của lực T1 , T 2 , p 2 .
B
p1
Có 2 khả năng xảy ra:
+ T1 , T 2 , p 2 song song với nhau, ABCD là một hình
T1
D
thang.
0’
T2
+ T1 , T 2 , p 2 đồng qui.
C
Trường hợp T1 , T 2 , p 2 đồng qui. Giả sử CD không // với
p2
AB. Từ O’ kẻ C’D’//AB. Theo tính chất của đường tỉ lệ
O’D’ = O’C’ DD’//CC’, vơ lí! Vậy CD//AB.
Vậy trong cả 2 trường hợp, khi hệ nằm cân bằng đều tạo thành một hình thang (hoặc AD//BC,
hoặc AB//CD).
C’
Trường hợp cụ thể của bài toán với AB = 40cm; BC =
50cm; DC = 70cm; DA = 30cm:
Xét khả năng 1: AD//BC.
Kẻ DE//AB, ta có: DE = AB = 40cm, CE = BC - DA =
20cm
Xét DEC ta thấy điều này không thể xảy ra vì: DE +
EC < 70 (= DC). Vậy chỉ còn khả năng 2: AB//DC
Từ B kẻ BG//AD, G nằm trên DC. BG = AD = 30 cm,
BC = 50 cm, CG = DC – DG = DC – AB = 70 cm – 40
cm = 30 cm. Lập luận tương tự ta sẽ thấy CG + GB > BC
là phù hợp. Vậy trong trường hợp này hình thang được
tạo thành có AB//CD.
Áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác BCG:
BC2 CG 2 BG 2 502 302 302 5
, C 33,560
2.BC.CG
2.50.30
6
2
2
2
30 30 50
7
cos D cos G
, D 112,80
2.30.30
18
cos C
B 1800 C 146, 440 ; A 1800 D 67, 20
B. Trường hợp T1 , T 2 , p 2 song song.
Vì AD//BC
24
A
d
B
a
D
b
c
G
C
C'A C'D d
C ' B C 'C c
C'A
C'D
d
C ' B C ' A C 'C C ' D c d
C'A C'D
d
a
b
cd
ad
bd
C'A
; C'B
cd
cd
Xét tam giác C’AD:
AD 2 C 'A 2 C 'D 2 2.C 'A.C 'D.cos C '
2
2
ad bd
ad bd
d2
.
.cos C '
2.
cd cd
cd cd
2
a 2 b2 c d
cos C '
vì cos C ' 1
2ac
2
a 2 b2 c d
1
1
2ac
2
2
c d a b
2
2
a
b
c
d
a b cd a b
Bài 10. Đo khối lượng trong trạng thái không trọng lượng
1/ Theo cơng thức chu kỳ dao động điều hịa
2
m0
(1)
T0
2
k
0
Chúng ta tính được
k
m0 2 T0 2 = 25,21 kg
(2)
4
2/ Khi trạm bay trên quỹ đạo, hệ dao động là lị xo có một đầu gắn với cái ghế (khối lượng
m0), đầu kia gắn với trạm (khối lượng M) . Hệ này dao động giống như một vật có khối lượng
rút gọn:
m0M
m0 ’ =
(3)
m0 M
gắn với một đầu của lò xo, một đầu lò xo cố định. Chu kỳ T0’ của hệ cũng tính như (1) và
(2). Chúng ta tính được:
2
2
m 0 T0
1, 28195
(4)
=
m 0 ' T0 '
1, 27395
Khối lượng M của trạm tính từ (3)
m0
25, 21
25, 21
M=
2001 kg
2
2
m0
1,
28195
T0
1
1 1, 27395 1
m0 '
T
'
0
25
(5)
