Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua việc giải phương trình mũ và một số bài toán liên quan

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“ RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 
LỚP 12 THƠNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
MŨ VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN”.

 
 

BỘ MƠN: TỐN HỌC


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CÁT NGẠN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
“ RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH 
LỚP 12 THƠNG QUA VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 
MŨ VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN”.

         Bộ mơn: Tốn học.
                          Tác giả: Nguyễn Thị Huyền.
                                                 Tổ: TỐN TIN.
                     Điện thoại:  0976946655.
              Năm học: 2020­2021


LỜI CAM ĐOAN.
Năm học 2020 ­ 2021, tơi viết sáng kiến kinh nghiệm có tên là ''Rèn luyện tư  duy sáng 
tạo cho học sinh lớp 12  thơng qua việc giải phương trình mũ và một số bài tốn liên  

quan''.
       Tơi cam kết sản phẩm này là của cá nhân tơi tham khảo được từ các tài liệu, từ thực  
tế giảng dạy, từ mạng internet và  qua đó tổng hợp viết thành sản phẩm này khơng sao chép 
SKKN của người khác để nộp. Nếu nhà trường và tổ chun mơn phát hiện ra tơi sao chép 
của ai hay có sự  tranh chấp về  quyền sở hữu thì tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm trước  
ban chun mơn về tính trung thực của lời cam đoan này.
                                                      Thanh chương,  ngày 11  tháng 3 năm 2021.
                                                                            Người viết SKKN

                                                                                  Nguyễn Thị Huyền.

               
                                                                       


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Viết đầy đủ

ĐC

Đối chứng

TN

Thực nghiệm

GV

Giáo viên

HS 

Học sinh

HSG

Học sinh giỏi.

PP

Phương pháp.

YCBT

u cầu bài tốn.

L

Loại.

TM

Thỏa mãn.

THPT

Trung học phổ thơng.

THPTQG

Trung học phổ thơng Quốc gia.

TNSP

Thực nghiệm sư phạm.

SKKN

Sáng kiến kinh nghiệm

PT

Phương trình

NXB

Nhà xuất bản.

GD&ĐT

Giáo dục và Đào tạo.

BBT

Bảng biến thiên

GTLN, GTNN

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.


MỤC LỤC
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.

1

1.1. Lý do chọn đề tài

1

1.2. Mục đích nghiên cứu.

1

1.3. Đối tượng nghiên cứu.

2

1.4. Phạm vi nghiên cứu

2

1.5. Kế hoạch nghiên .

2

1.6. Phương pháp nghiên cứu.

2

1.7. Điểm mới của đề tài.

3

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI.

4

2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.

4

2.1.1.  Tư duy.

4

2.1.2.  Tư duy sáng tạo.

5

2.2. Cơ sở thực tiễn.

7

2.2.1.  Khảo sát thực trạng của học sinh với mơn Tốn.

7

2.2.2. Khảo sát quan điểm của một số giáo viên về rèn luyện tư duy sáng tạo  
cho học sinh THPT.

7

2.2.3. Kế hoạch giảng dạy phương trình mũ.

8

2.3. Thực trạng của đề tài.

10

2.4. Các sáng kiến của đề tài

12

2.4.1. Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản.

13

2.4.1.1. Phương pháp  đưa về cùng cơ số.   

14

2.4.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.

15

2.4.1.3. Phương pháp logarit hóa.

19


2.4.2. Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ.

21

2.4.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

21

2.4.2.2. Phương pháp đánh giá.

25

2.4.2.3. Phương pháp phân tích thành tích.

25

2.4.2.4. Phương pháp đặt  ẩn phụ  khơng hồn tồn và kết hợp tìm nghiệm  
của phương trình bậc hai.
2.4.3. Một số bài tốn liên quan đến phương trình mũ.

26

29

2.4.3.1.Tìm điều kiện của tham số để  phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn 
điều kiện nào đó.

29

2.4.3.2. Một số bài tốn thực tiễn, liên mơn liên quan đến tốn học.

39

2.5. Hiệu quả của sáng kiến.

43

2.5.1. Chọn bài thực nghiệm. 

44

2.5.2. Cách thức tiến hành, giáo án  thực nghiệm sư  phạm, một số  hình  ảnh 
thực nghiệm, phiếu khảo sát học sinh, hướng dẫn một số bài tập.

44

2.5.3. Kết quả thực nghiệm sư phạm.

45

2.5.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

46

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO

50

Phụ lục 1: Một số cơng thức tính đạo hàm của hàm số
Phụ lục 2: Các giáo án thực nghiệm, minh họa bài làm của học sinh.
Phụ lục 3: Một số hình ảnh minh họa cho các tiết dạy thực nghiệm.
Phụ lục 4: Phiếu khảo sát học sinh sau khi  học một số nội dung trong đề tài.
Phụ lục 5: Hướng dẫn một số câu trong phần bài tập.

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ.


1.1. Lý do chọn đề tài. 

Trước đây, từng có những quan niệm mơn Tốn là một mơn học trừu  
tượng và ít có tính thực tiễn. Những quan niệm đó đã dần thay đổi trong giai  
đoạn hiện nay khi khoa học cơng nghệ ngày càng phát triển mà nền tảng của  
sự  phát triển đó chính là khoa học cơ  bản, trong đó phải kể  đến vai trị của 
tốn học. Tốn hoc là cơng cụ  để  giải quyết nhiều vấn đề  trong nghiên cứu 
khoa học, trong thực tế  cuộc sống của chúng ta. Tốn học cũng được nhìn 
nhận rộng hơn trong nhiều mặt của đời sống xã hội hiện nay. Đối với mơn 
tốn lớp 12  trong những năm gần đây hình thức thi thay đổi, kiến thức trong 
mỗi đề  thi đều rộng và sâu, có nhiều câu liên quan đến tính  ứng dụng trong  
thực tiễn cuộc sống mà học sinh đã dùng kiến thức tốn học để  giải nó. Do  
vậy, qúa trình dạy học nhiều giáo viên đã sử  dụng phương pháp dạy học tích 
cực nhằm phát huy năng lực cho học sinh, qua đó học sinh được tự mình khám  
phá, tự  mình tìm ra lời giải của bài tốn mới, từ  đó hình thành năng lực, rèn  

luyện tư duy sáng tạo cho học sinh nhằm đáp ứng xu hướng giáo dục của thời  
đại mới.
Trong chương trình tốn  THPT, phương trình mũ là một trong những 
kiến thức quan trọng của chương II sách Giải tích 12, nó có nhiều bài tốn  
nhằm rèn luyện tư duy  sáng tạo cho học sinh cũng như tính ứng dụng của nó 
trong thực tiễn cuộc sống. Đây cũng là một nội dung thường được đề  cập  ở 
một số câu của đề thi chính thức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT , đề thi 
thử  THPT Quốc gia, đề  thi thử  tốt nghiệp  THPT của một số  trường THPT  
hoặc đề của Sở GD&ĐT, một số đề thi  HSG của một số tỉnh,  đặc biệt hơn 
nữa nội dung của nó có ứng dụng để giải một số bài tốn trong thực tiễn.
Trong q trình giảng dạy, ơn thi THPT Quốc gia,  ơn thi tốt nghiệp THPT tơi nhận 
thấy tâm lý chung của học sinh là rất ngại và lúng túng khi gặp  phải một số  bài tốn về 
phương trình mũ chưa có dạng quen thuộc và một số bài tập liên quan đến phương trình mũ 
có chứa tham số, cũng như có một số câu trong đề thi liên quan đến ứng dụng của tốn  học  
vào thực tiễn có sử  dụng phương trình mũ, hàm số  mũ để  giải nó. Vì vậy, tơi viết SKKN 
''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12  thơng qua việc giải phương trình mũ  
và một số bài tốn liên quan'' để phần nào đó giúp các em học sinh lớp 12 có cái nhìn từ 
cụ  thể, hệ  thống, hình thành năng lực, rèn luyện tư  duy sáng tạo và cách học tích cực hơn 
đối với dạng tốn này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp các em học sinh lớp 12 tiếp cận  một số  phương pháp giải phương trình mũ và 
một số bài tốn liên quan. Đồng thời rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo khi giải và trình 
bày dạng tốn này, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn ở trường THPT.

1.3. Đối tượng nghiên cứu.


Một số phương pháp giải và giải một số bài tập cơ bản, nâng cao, một số bài tập về 
ứng dụng của tốn học vào bài tốn thực tiễn liên quan đến PT mũ, hàm số  mũ hoặc bài 
tốn liên quan đến phương trình mũ có chứa tham số, nhằm   giúp học sinh lớp 12 rèn luyện 

tư duy sáng tạo.
1.4. Phạm vi nghiên cứu.
Đề  tài chủ  yếu tập trung rèn luyện tính tư  duy sáng tạo cho học sinh lớp 12 thơng  
qua việc giải phương trình mũ và một số  bài tốn liên quan  thơng qua hệ thống bài tập cơ 
bản đến nâng cao.
1.5. Kế hoạch nghiên cứu.

TT

1

Thời gian

Nội dung cơng việc

Sản phẩm

­ Chọn đề tài SKKN.

­ Bản đề cương chi tiết.

­ Đăng ký với tổ chun mơn.
Tháng   8/2020   đến   tháng  ­ Khảo sát thực trạng.
10/2020

­ Tập hợp tài liệu.
­ Số liệu khảo sát đã xử lý.

­ Tham khảo tài liệu, mạng internet,  ­   Đề   cương   sáng   kiến   kinh 
lựa chọn bài tập .. .

nghiệm gửi sở.

2

3

Từ   tháng   11/2020   đến 
­ Trao đổi với đồng nghiệp.
tháng
­ Soạn giáo án, áp dụng thực nghiệm.
01 /2021

­  Tập hợp  ý kiến  đóng góp của 
đồng nghiệp.
­ Thực nghiệm.

­   Tham   khảo   các   tài   liệu,   mạng  ­ Bản nháp báo cáo.
internet, chọn bài tập mới.
­ Bản chính thức.
Từ tháng 02/2021 đến hết  ­ Viết báo cáo.
tháng 3/2021.
­   Tham   khảo   ý   kiến   của   đồng 
nghiệp.
­ Hồn thiện SKKN.

1.6. Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tư duy, tư 
duy sáng tạo, một số  phương pháp giải phương trình mũt, một số  bài tốn liên  
quan và bài tốn thực tế liên quan.

+ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
­ Phương pháp thu thập các nguồn tài liệu.
­ Phương pháp phân tích, tổng hợp các nguồn tài liệu đã thu thập.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:


­ Điều tra thực trạng của học sinh khi học tốn, tốn với thực tế, qua ơn thi năm học 
trước khi học sinh giải phương trình mũ và một số bài tốn liên quan.
­ Điều tra tính cần thiết của việc rèn luyện tư  duy sáng tạo cho học sinh qua kênh  
của giáo viên. Trao đổi với giáo viên trong nhóm. 
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm giảng dạy một số tiết dạy theo  
hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
+  Phương pháp thống kê tốn học:  Xử  lý phân tích các kết quả  thực nghiệm sư 
phạm.
1.7. Điểm mới của đề tài.
''Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12  thơng qua việc giải phương trình 
mũ và một số bài tốn liên quan'' đã được một số tác giả nghiên cứu nhưng đề  tài của tơi 
đã cập nhật một số bài tập mới nhất, sắp xếp các dạng bài tập từ đơn giản đến phức tạp, bài 
tập dạng cụ thể  ứng dụng để  giải cho bài tập sau liên quan,  phù hợp với nhiều đối tượng,  
một số bài tập tơi  đưa ra một số phương pháp giải khác nhau, đồng thời bài tập chủ yếu tơi 
tham khảo ở một số đề thi chính thức THPT Quốc gia, thi tốt nghiệp THPT, đề thi thử THPT 
Quốc gia, đề  thi thử tốt nghiệp THPT của một số  trường THPT hoặc đề  của Sở  GD&ĐT , 
một số đề thi  HSG của một số tỉnh trong những năm gần đây để các em thấy hứng thú hơn 
khi giải được dạng phương trình mũ hoặc một số bài tốn liên quan trong đề thi . Qua đó phát 
huy được tính tự học, tự rèn luyện, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh.  
Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tơi, đồng nghiệp  đã áp dụng đề  tài  này  vào 
giảng dạy và đã thu được kết quả rất khả quan, học sinh hứng thứ hơn, tích cực, chủ  động,  
sáng tạo hơn khi gặp dạng tốn này. Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học  
sinh trong q trình dạy và học ở dạng tốn này.

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
2.1. Cơ sở lý luận của đề tài.
2.1.1.  Tư duy.


2.1.1.1. Khái niệm về tư duy.

Theo từ  điển triết học: Tư  duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được 
tổ  chức một cách đặc biệt là bộ  não, là q trình phản ánh tích cực thế  giới  
khách quan trong các khái  niệm, phán đốn, lý luận. Tư  duy xuất hiện trong  
q trình sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một  
cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ  hợp quy luật. Tư  duy chỉ tồn tại  
trong mối liên hệ  khơng thể  tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là 
hoạt động chỉ  tiêu biểu cho xã hội lồi người cho nên tư  duy của con người  
được thực hiện trong mối liên hệ  chặt chẽ  với lời nói và những kết quả  của  
tư duy được ghi nhận trong ngơn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những q trình 
như  trừu tượng hóa, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên những vấn đề  nhất 
định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề  xuất những giả  thiết, những ý  
niệm...Kết quả của q trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.
Theo tâm lý học tư  duy là thuộc tính đặc biệt của vật chất có tổ  chức  
cao, chính là bộ  não người. tư  duy phản ánh thế  giới vật chất dưới dạng các 
hình  ảnh lý tưởng: “Tư  duy phản ánh những thuộc tính bên trong, bản chất,  
những mối quan hệ  có tính quy luật của sự  vật hiện tượng mà trước đó ta  
chưa biết”. 
Theo cách hiểu đơn giản, tư  duy là một loạt những hoạt động của bộ 
não diễn ra khi có sự  kích thích. Những kích thích này được não bộ tiếp nhận  
thơng qua bất kỳ  giác quan nào trong năm giác quan: Xúc giác, thính giác, thị 
giác, khứu giác, vị giác.
Tư  duy tốn học được hiểu thứ  nhất là hình thức biểu lộ  của tư  duy biện chứng  
trong q trình con người nhận thức khoa học, tốn học hay trong q trình áp  dụng tốn 

học  vào  các  khoa  học  khác  như:  Kỹ  thuật,  kinh  tế  quốc  dân ... Thứ hai tư duy tốn 
học có các tính chất đặc thù được quy định bởi bản chất của tốn học, bởi sự áp dụng các  
phương pháp tốn học để nhận thức các hiện tượng của thế giới hiện thực cũng như chính 
các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng. 
2.1.1.2.Các thao tác tư duy.

Phân tích và tổng hợp.
So sánh và tương tự.
Khái qt hố và đặc biệt hóa.
Trừu tượng hố và cụ thể hóa.
Các thao tác tư  duy cơ  bản được xem như  quy luật bên trong của mỗi 
hành động tư  duy. Trong thực tế  các thao tác tư  duy đan chéo vào nhau mà 
khơng theo trình tự máy móc. Tuy nhiên, tùy theo từng nhiệm vụ tư duy, điều 
kiện tư duy, khơng phải mọi hành động tư duy cũng nhất thiết phải thực hiện  
tất cả các thao tác trên.


Trong mơn tốn, thao tác phân tích và tổng hợp thường được sử  dụng để 
tìm hiểu bài tốn, để nhận diện bài tốn thuộc loại nào, sau đó phân tích tìm mối 
quan hệ  giữa các yếu tố  của bài tốn (các yếu tố  đã biết và các yếu tố  cần  
tìm...) từ đó sẽ tổng hợp các yếu tố, điều kiện vừa phân tích để đưa ra các bước  
giải hồn thiện. Hơn nữa, nhờ phân tích và tổng hợp ta có thể tổng hợp các bài  
tốn tương tự  thành một vài dạng tốn mẫu cùng với cách giải tương  ứng của  
chúng.
2.1.1.3. Các giai đoạn hoạt động của tư duy.
Tư duy là một hoạt động trí tuệ có các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề.
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm.
Giai đoạn 3:  Sàng  lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết.
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết.

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.
2.1.1.4. Phân loại tư duy

Theo đặc trưng của tư  duy, có các loại tư  duy sau: Tư  duy độc lập; Tư 
duy logic; Tư  duy trừu tượng; Tư  duy biện chứng; Tư  duy phê phán; Tư  duy 
sáng tạo.
2.1.2.  Tư duy duy sáng tạo.

2.1.2.1. Khái niệm về tư duy sáng tạo.
Trong tâm lý học định nghĩa: “Tư  duy sáng tạo là tư  duy vượt ra ngồi 
phạm vi giới hạn của hiện thực, của vốn tri thức và kinh nghiệm đã có, giúp  
q trình giải quyết nhiệm vụ của tư duy linh hoạt và hiệu quả”.
Theo từ  điển Giáo dục học:  “Tư  duy sáng tạo là tư  duy tạo ra những 
hình ảnh, ý tưởng, sự vật mới và chưa có từ trước”.
Các nhà nghiên cứu đưa ra quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo:
Theo J.DanTon: “Tư  duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý   nghĩa 
mới,  tìm  thấy  những  mối  quan  hệ  mới,  là  một  chức  năng  của  kiến thức, trí tưởng 
tượng và sự  đánh giá, là một q trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu  
lưu, chứa đựng những điều như: Sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự 
thử nghiệm, sự thám hiểm” .
Theo Bùi Văn Nghị: “Tư  duy sáng tạo được hiểu là cách nghĩ mới về  sự  vật, hiện  
tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết mới có ý nghĩa, giá trị”. 


Tác giả  Trần Thúc Trình đã cụ  thể  hóa sự  sáng tạo với người học tốn: “Đối với  
người học tốn, có thể  quan niệm sự  sáng tạo đối với họ, nếu họ  đương đầu với những  
vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết”.
Theo định nghĩa thơng thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là tư  duy 
tạo ra cái mới.  Tư  duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về  thế  giới về  các phương  
thức hoạt động.

Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác  
giải nó khơng bị  những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hồn tồn), tức là nếu 
người giải chưa biết trước thuật tốn để  giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi  
chưa biết trước. 
Các quy trình giải một bài tốn theo bốn bước của Polya:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn.
Bước 2: Tìm cách giải.
Bước 3: Trình bày bài giải.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải.
2.1.2.2. Mối quan hệ  giữa các khái niệm tư  duy tích cực, tư  duy độc lập, tư  duy sáng  
tạo.
Bàn về mối quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng 
tạo thì mối quan hệ đó là các mức độ tư duy khác nhau mà tư duy tích cực có vai trị là tiền 
đề. Q trình từ  tư  duy tích cực đến tư  duy sáng tạo thơng qua tư  duy độc lập. Như  vậy  
trong tư  duy sáng tạo ln có tư  duy tích cực và tư  duy độc lập. Ơng Bùi Văn Nghị  cho  
rằng:
Tư  duy tích cực: Khi một HS chăm chú theo dõi việc giải bài tập và cố  gắng hiểu  
được các bước giải.
Tư duy độc lập: Thể  hiện ở  việc  HS tự  mình phát  hiện ra  vấn đề  tự mình  xác 
định phương  hướng, tìm ra  cách  giải quyết,  tự  mình  kiểm  tra  và hồn thiện kết quả đạt 
được.
Tư   duy sáng  tạo: Trên  các  kết  quả   đó   HS   tự   khám  phá  tìm  ra  cách chứng  
minh, lời giải mà HS chưa biết.
2.1.2.3. Một số đặc trưng của tư duy sáng tạo. 
Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hồn thiện, tính nhạy cảm vấn 
đề, tính chính xác, năng lực định giá, phán đốn, năng lực định nghĩa là một số 

đặc trưng cơ bản của tư duy sáng tạo.
Các yếu tố cơ bản nói trên chúng quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ 
xung cho nhau và khơng tách rời nhau. Khả  năng linh hoạt chuyển từ  hoạt  

động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho  
việc tìm được ra nhiều giải pháp trên nhiều góc độ  và tình huống khác nhau  


(tính nhuần nhuyễn) và qua đó phát hiện, đề xuất được nhiều phương án khác 
nhau, cũng như có thể  tìm được phương án  ấn tượng, khác lạ  (tính độc đáo). 
Tất cả các yếu tố cơ bản này lại quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: 
tính nhạy cảm vấn đề, tính chính xác, tính hồn thiện.
2.2. Cơ sở thực tiễn.
 2.2.1.  Khảo sát thực trạng của học sinh với mơn Tốn.
Để tìm hiểu vấn đề  này, tơi đã tiến hành khảo sát về phía học sinh và  đã phát 200  
phiếu khảo sát cho HS lớp 12 trong đó có 49 học sinh của trường THPT Cát Ngạn, 74 học 
sinh của trường THPT Thanh Chương III, 77 em học sinh trường THPT Nguyễn Cảnh Chân  
để các em phát biểu những ý kiến của mình khi học mơn Tốn. Nội dung khảo sát như sau:
Phiếu khảo sát.
Họ và tên học sinh.................................................................Lớp
Trường THPT .............................................................................................
       Em hãy trả lời câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ơ trống trong bảng có câu trả 
lời phù hợp với em?

Nội dung

(1) Em có thích khi học mơn Tốn khơng?.

(2) Em có thấy rằng kiến thức Tốn THPT có nhiều  ứng dụng  
trong thực tiễn cuộc sống khơng?.

(3) Mỗi bài tập  tốn em có thường làm theo cách của thầy cơ đã 
dạy khơng?.

Có

Khơng/ 
chưa


(4) Em đã bao giờ áp dụng kiến thức Tốn học THPT vào thực tế 
chưa?.

2.2.2. Khảo sát quan điểm của một số giáo viên về rèn luyện tư duy sáng tạo cho học  
sinh THPT.
Tổng số giáo viên dạy mơn tự nhiên được khảo sát 50 giáo viên (10 giáo viên trường 
THPT Cát Ngạn, 22 giáo trườngTHPT Thanh Chương III, 18 giáo viên trường Nguyễn Cảnh 
Chân). 

          Kính đề  nghị  Thầy/Cơ vui lịng dành thời gian đọc kỹ  và trả  lời khách 
quan các nội dung câu hỏi dưới đây bằng cách đánh dấu x vào ơ của phương 
án (phiếu 1) và khoanh trịn vào chữ  cái đứng trước  phương án (phiếu 2) cho 
câu trả lời của mình.
Phiếu 1: Khảo sát tính cần thiết trong dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho 
học sinh THPT
Các câu hỏi khảo sát

Rất cần 
thiết

Cần thiết

Khơng cần 
thiết

1.  Thầy   (cơ)   có   cho   rằng   dạy 
học  rèn luyện tư  duy sáng tạo cho 
học sinh  có cần thiết hay  khơng?.
2.  Theo thầy (cơ)  rèn luyện tư 
duy   sáng   tạo   cho   học   sinh   THPT 
qua việc giải bài tập  có cần thiết 
khơng?.
Phiếu 2: Khó khăn nhất trong dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.
3. Khó khăn nhất khi dạy học rèn luyện tư  duy sáng tạo cho học sinh THPT.
Với học sinh.

  A. Trình độ của học sinh khơng đồng đều.
  B. Khơng hứng thú với mơn học.
  C. Chưa làm quen với hướng tiếp cận này.

Với giáo viên.

  A. Chưa có kinh nghiệm, phương pháp.


  B. Trình độ của giáo viên cịn hạn chế.
  C. Chưa có tài liệu hướng dẫn.

2.2.3. Kế hoạch giảng dạy phương trình mũ.
2.2.3.1.Khung phân phối chương trình chính khóa và đại trà.
          Dựa vào sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáo dục  và kế 
hoạch   giảng   dạy   của   nhóm   chuyên   môn   năm   học   2020­2021   bài  ''Phương   trình   mũ   và 
phương trình logarit'' (Giải tích 12) được tách thành hai bài ''Phương trình mũ'' bài ''phương  
trình lơgarit'', thời lượng học chính khóa cả  2 bài là 4 tiết, ơn tập chương 2 tiết, học đại trà 

6 tiết  (trong đó học kỳ 1 có 3 tiết), ơn thi tốt nghiệp.

Bảng 1. Khung phân phối chương trình''phương trình mũ'' trường THPT Cát  
Ngạn.
Tên bài

Dạy

Phương trình 
mũ.

chính 
khóa

Tiết 
PPCT
36

37

Ơn thi tốt 
nghiệp

95

Thiết bị, học  Hình thức
liệu

Phương trình mũ cơ  bản    Máy   chiếu,  Trên lớp
+ Bài tập.

SGK,   bảng 
phụ,   phiếu 
PP giải phương trình mũ  học tập,...
đơn giản + bài tập
Phương trình mũ.

Ơn tập PT mũ 
và PT lơgarit

37, 38

Ơn tập hàm số, 
PT mũ và  
lơgarit

45

Ứng   dụng   của   tốn   học 
vào   một   số   bài   toán   liên 
quan đến thực tiễn

Ơn thi tốt 
nghiệp

94

Phương trình mũ.

Dạy đại 
trà

(dạy 
thêm)

Nội dung dạy học 

Ơn tập PT mũ.

Phiếu học 
Tìm   điều   kiện   của   tham  tập, SGK, 
số   để  PT mũ có nghiệm  máy tính,  
thỏa   mãn   điều   kiện   nào  bảng phụ, 
đó.
...

2.2.3.2. Mục tiêu nghiên cứu của đề tài.

Kiến thức
­ Nắm được định nghĩa nêu được cách giải phương trình mũ cơ bản.

Trên lớp


­ Hiểu rõ được các phương pháp thường dùng để  giải phương trình mũ đơn  
giản, một số phương pháp khác để giải phương trình mũ
­ Tìm điều kiện để phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.
­ Biết giải bài tốn liên quan gắn với thực tiễn và nắm ý nghĩa của nó.
Kỹ năng
­ Giải chính xác được các phương trình mũ cơ  bản và một số  dạng thường  
gặp.
­ Sử  dụng thành thạo các cơng thức để  biến đổi   PT đã cho về  dạng quen 

thuộc.
Tư duy và thái độ

­ Rèn luyện tư  duy logic, tư  duy thuật tốn, tư  duy trìu tượng và đặc biệt là  
rèn luyện tư  duy sáng tạo, khả  năng nhạy bén và năng  động trong các tình  
huống.
­ Giáo dục cho học sinh tính cần cù, cẩn thận, chính xác, kỷ luật, khơng ngại  
khó và tích cực tìm ra cái mới.  Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp  
tác trong hoạt động nhóm.
­ Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tịi nghiên cứu kiến thức liên quan.
Phát triển năng lực:
­ Năng lực hợp tác: Tơ ch
̉ ưc nhom hoc sinh h
́
́
̣
ợp tac th
́ ực hiên cac hoat đơng.
̣
́
̣
̣
­ Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giac tim toi, linh hơi kiên th
́ ̀
̀ ̃
̣
́ ức va ph
̀ ương  
phap giai qut bai tâp va cac tinh hng
́

̉
́ ̀ ̣
̀ ́ ̀
́ , tự liên hệ thực tế.
­ Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biêt cach huy đ
́ ́
ộng các kiến thức đã học để  giaỉ  
quyêt cac câu hoi. Biêt cach giai quyêt cac tinh huông trong gi
́ ́
̉
́ ́
̉
́ ́ ̀
́
ờ hoc.
̣
­ Năng lực sử dụng công nghệ thông tin: HS sử dung may tinh, m
̣
́ ́
ạng internet.
       ­ Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phat huy kha năng bao cao tr
́
̉
́ ́ ươc tâp thê, kha năng thut
́ ̣
̉
̉
́ 
trinh.
̀  Năng lực tính tốn.

2.3. Thực trạng của đề tài.
Bảng 2: Kết quả  khảo sát thực trạng của học sinh với mơn tốn
Tỉ lệ
Nội dung
Có

Khơng/chưa


(1) Em có thích khi học mơn Tốn khơng?.

57,5%

42,5%

(2) Em có thấy rằng kiến thức Tốn THPT có nhiều  ứng 
dụng trong thực tiễn cuộc sống khơng?.

41,5%

58,5%

(3) Mỗi bài tập tốn em có thường làm theo cách của thầy 
cơ đã dạy khơng?.
(4) Em đã bao giờ  áp dụng kiến thức Tốn học THPT  vào 
thực tế chưa?.

69%

22,5%

31%

77,5%

Bảng 3. Kết quả  khảo sát tính cần thiết trong dạy học rèn luyện tư  duy sáng tạo cho học  
sinh THPT.
Các câu hỏi khảo 
sát

Tỉ lệ
Rất cần thiết

Rất cần 
thiết

Cần
thiết

Khơng cần 
thiết

1. Thầy (cơ) có cho rằng dạy học 
rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh 
có cần thiết hay  khơng?.

66,0%

34,0%

0,0%

2. Theo thầy (cơ) rèn luyện tư duy 
sáng tạo cho học sinh THPT qua việc 
giải bài tập  có cần thiết hay khơng?.

80,0%

18,0%

2,0%

Bảng 4. Khó khăn nhất trong  dạy học tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.
Khó khăn nhất khi sử khi 
dạy học rèn luyện tư duy 

Tỉ lệ


Với học sinh

Với giáo viên

A. Trình độ chưa cao, khơng đồng đều.

40%

B. Khơng hứng thú với mơn học.

46%

C. Chưa làm quen với hướng tiếp cận này.

14 %

A. Chưa có kinh nghiệm, phương pháp.

44%

B. Trình độ của giáo viên cịn hạn chế.

36%

C. Chưa có tài liệu hướng dẫn.

20%

         Qua các bảng kết quả khảo sát trên, ta rút ra một số nhận xét sau: 
         Về phía học sinh: 57,5% học sinh có thích học tốn, thấy tốn khơng có ứng dụng trong 
thực tế (58,5%), phần lớn (69%) học sinh làm theo  cách của giáo viên đã hướng dẫn, phần 
lớn học sinh chưa áp dụng tốn học THPT vào bài tốn thực tế.

Về phía giáo viên: Đa số GV cho rằng dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo 
cho học sinh là rất cần thiết (66%). Đa số giáo viên thấy rằng rèn luyện tư duy 
sáng tạo cho học sinh THPT qua việc giải bài tập rất cần thiết  (80%). Tìm 
hiểu khó khăn nhất khi sử khi dạy học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh  
THPT: Với HS khơng hứng thú với mơn học (46%), GV chưa có kinh nghiệm 
và phương pháp (44%), trình độ giáo viên cịn hạn chế (36%), 
Nhận xét: Từ  các số  liệu nghiên cứu, ta thấy phần lớn học sinh làm theo 
cách mà giáo viên đã dạy, thấy tốn THPT ít có ứng dụng trong thực tế, phần lớn  

giáo
viên đã chú trọng hơn trong việc sử dụng phương pháp dạy rèn luyện tư duy 
sáng tạo cho học sinh.         
 Trong sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2008 của nhà xuất bản giáo 
dục, nhìn chung, nội dung phương trình mũ được bố trí và sắp xếp rất hợp lý, 
hệ thống bài tập phù hợp với đa số học sinh. Song số bài tập nâng cao để rèn 
luyện tư  duy sáng tạo học sinh học tốt thì chưa nhiều và chưa phong phú, ở 
một số  bài tập đưa ra khơng đề  cập đến các phương trình địi hỏi phải biến 
đổi các biểu thức  phức tạp. Sách giáo khoa cũng khơng xét đến các phương 
trình có chứa tham số, vì thế  phần lớn mà học sinh khơng giải được một số 
câu hỏi trong một số  đề  thi THPT trong những năm gần đây nếu như  các em  
khơng được rèn luyện dạng tốn này. Cụ thể: 
Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2018 mã đề 102 có câu:
Gọi S là tập các giá trị  ngun của tham số m sao cho phương trình   có hai nghiệm  
phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử.    
A. 

                           B. 

                         C. 

                D. 


Qua q trình ơn thi THPT và tìm hiểu từ  phía học sinh lớp 12 trường tơi trong năm  
học 2019­2020, tơi nhận thấy rằng số học sinh giải được câu trên là rất ít thậm chí là khơng. 
Ngun nhân là do các em chưa biết quy lạ  về  quen, các em cịn gại suy nghĩ, chưa linh  
động khi gặp dạng bài tốn mới. Cụ thể 
Trường 
THPT Cát Ngạn

Năm học
2019­2020

Sĩ số khối 
12
110

Biết rõ

Biết sơ sài

Khơng biết

5/110

28/110

77/110

Từ các thực trạng trên đã thơi thúc tơi nghiên cứu  đề tài  ''Rèn luyện tư duy sáng tạo 
cho học sinh lớp 12 thơng qua việc giải phương trình mũ và một số  bài tốn liên 
quan'' và áp dụng nội dung dạy học này trong năm học 2020 – 2021 để góp phần nâng cao 
chất lượng dạy học mơn tốn ở trường THPT và là tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12  
cũng như giáo viên bộ mơn tốn.

2.4. Các sáng kiến của đề tài.
          Việc giải phương trình mũ đã có một số  cách giải cụ  thể, song người 
học cần lựa chọn ra những phương pháp giải phù hợp cho mỗi loại phương 
trình, mỗi loại bài tốn. Chính vì vậy khi dạy phần này giáo viên cần rèn luyện  

cho học sinh các thao tác tư duy cơ bản: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, 
khái qt hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa, đặc biệt hóa...
         Trong phần này tơi trình bày một số phương pháp giải phương trình mũ  
cùng với một số  ví dụ  minh họa kết hợp, giải một số  bài tốn về  tìm điều 
kiện của tham số  để  phương trình mũ có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó 
và ứng dụng của  nó trong một số bài tốn thực tế, liên mơn dựa trên việc rèn  
luyện tư duy sáng tạo cho học sinh, tơi khơng đề  cập phần hướng dẫn nhanh  
thử đáp án bằng máy tính (nếu được) để tìm đáp án của bài tốn trắc nghiệm.
2.4.1. Một số phương pháp giải phương trình mũ đơn giản.
* Một số kiến thức liên quan. 
+) Một số tính chất của lũy thừa.

Với các số thực  và  tùy ý, ta có
                                
                             

+) Đinh nghia lơgarit
̣
̃
Cho hai sơ d
́ ương  vơi . Sơ  thoa man đăng th
́
́ ̉
̃ ̉
ức  được goi la lơgarit c
̣ ̀
ơ sơ   cua  va ki hiêu la  .
́ ̉
̀ ́ ̣ ̀  
Ta viêt: 

́

+) Cac tinh chât c
́ ́
́ ủa lơgarit: Cho , ta có

+) Quy tắc tính lơgarit


­ Lơgarit cua mơt tich:
̉
̣ ́
Cho 3 sơ d
́ ương  vơi , ta co 
́
́
­ Lơgarit cua mơt th
̉
̣ ương:
Cho 3 sơ d
́ ương  vơi , ta co 
́
́
Đăc biêt: v
̣
̣ ơi  ta có 
́
­ Lơgarit cua m
̉ ột luy th
̃ ưa: Cho , , ta co   

̀
́
Đăc biêt: 
̣
̣
+) Cơng thưc đơi c
́ ̉ ơ số: Cho 3 sơ d
́ ương  vơi , ta co
́
́ 
Đăc biêt:  va  v
̣
̣
̀ ơi .
́
+) Lơgarit thâp phân và Lơgarit t
̣
ự nhiên.
Lơgarit thâp phân la lơgarit c
̣
̀
ơ sơ 10. Viêt 
́
́
Lơgarit tự nhiên la lơgarit c
̀
ơ sơ . Viêt 
́
́
+) Định nghĩa phương trình mũ: Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của  

lũy thừa.

+) Phương trình mũ cơ bản. 
Định nghĩa: Phương trình mũ cơ bản có dạng  
Cách giải:
Nếu  thì phương trình vơ nghiệm.
Nếu thì phương trình có nghiệm duy nhất .
Tổng qt: Cách giải phương trình mũ dạng 

Nếu   thì phương trình vơ nghiệm.
Nếu  thì  ta có  , giải PT tìm , kết luận nghiệm.
* Phương pháp chung: Quan sát các cơ  số, số  mũ, các biểu thức có trong PT rồi dùng các  
cơng thức biến đổi hoặc đặt ẩn phụ để đưa PT về dạng quen thuộc giải được.
2.4.1.1. Phương pháp  đưa về cùng cơ số.   
 Phương pháp: Biến đổi phương trình đã cho về dạng  phương trình 

Ví dụ 1. Giải các phương trình  a)        b)
 
Phân tích:
+ u cầu bài tốn giải phương trình mũ.

+ Xem mối quan hệ chung của các cơ số hoặc số mũ, linh động trong sử dụng cơng thức?. 
+ Với câu a ta có , sau đó sử  dụng cơng thức   để  đưa về  cùng cơ  số  hoặc suy nghĩ theo  
hướng giải khác.  


+ Với câu b nhận thấy hai  cơ số có mối quan hệ.
Giải.
Cách 1. 
Cách 2. 

b) Nhận xét: . Khi đó ta có
 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm  
Ví dụ 2. Giải các phương trình  
           b)       c) 

Phân tích­ hướng dẫn. 
+ Câu a: Tư duy đưa về cơ số  . 
+ Câu b: Tư duy đưa về cơ số  
+ Câu c: Cơ số chứa ẩn.
Tổng qt: Giải phương trình  
+) Nếu  thì   (là phương trình đại số)
+) Nếu a chứa ẩn thì  Tìm ,  thử lại và kết luận.
 

 2.4.1.2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Để sử dụng phương pháp này học sinh cần quan sát và phân tích kỹ các  
yếu tố của PT để  tìm mối quan hệ của chúng, rồi chọn  ẩn phụ  thích hợp để 
đặt và đưa về  PT đại số  hay hệ  phương trình tương đương đơn giản giải  
được.
* Dấu hiệu: Cơ số có mối quan hệ,  số mũ có dạng  
Ví dụ 3. Giải phương trình   (1) bằng cách đặt ẩn phụ  
 
Giải.
Đặt , phương trình (1) trở thành 

 

Với  ta có  Vậy phương trình đã cho có nghiệm  
 

Chú ý: Nếu khơng u cầu đặt ẩn phụ thì học sinh có thể  trình bày theo cách 
đơn giản như sau: 
Ví dụ 4. Giải phương trình 

 

Phân tích. 
+ Quan sát cơ số và biểu thức ở số mũ của PT, HS linh động sử dụng cơng thức 


đã học và biến đổi về dạng PT giải được.

 

+ Cho học sinh giải theo suy nghĩ.

Ví dụ 5. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Đồng Nai năm học 2018­2019).
Giải phương trình 

  

Phân tích­ Hướng dẫn giải. 
+ Biến đổi phương trình đã cho để thấy một mối quan hệ của các cơ số, số mũ?

+ Các cơ số có mối quan hệ, PT khơng có hệ số tự do.
Chia cả hai vế cho  hoặc   hoặc  rồi đặt ẩn phụ.

*Tổng qt: Một số dạng đặt ẩn phụ thường gặp của phương trình mũ:
Dạng 1.  
(Nhìn ra phương trình tương tự dạng phương  trình bậc hai,...).

Đặt  đặt điều kiện cho ẩn phụ t.
Dạng 2. , với 
(Số mũ giống nhau, cơ số có mối quan hệ).    
Đặt  đặt điều kiện cho ẩn phụ t. Khi đó 
Dạng 3. .
Chia hai vế cho  hoặc   hoặc  rồi đặt ẩn phụ.

              Nhận xét:  Thơng qua các ví dụ  trên và những gợi ý hướng dẫn giải  
phương trình mũ  đơn giản, giáo viên nên khuyến khích học sinh tìm tịi nhiều  
cách giải khác nhau từ bài tốn đơn giản để tạo sự linh hoạt, khéo léo trong tư  
duy. Dù học sinh giải cách nào ngắn hay dài thì giáo viên cũng ln động viên,  
kích lệ  các em. Như  vậy việc giải phương trình mũ đơn giản  ở  trên đã góp  
phần rèn luyện cho học sinh những thao tác phân tích và tổng hợp, so sánh và  
tương tự, ...của tư  duy, đồng thời   rèn luyện tư  duy thuật tốn, tư  duy trừu  
tượng....
Ví dụ 6. (Trích đề thi chọn HSG tỉnh lớp 12 tỉnh Bắc Ninh năm học 2018­ 2019). 
Giải phương trình  
Giải.
Cách 1: Ta có (*) 

Đặt  .
PT (*) trở thành 


Vậy PT đã cho có nghiệm   
Hướng dẫn cách 2. 
Đặt 
Chú ý: HS hay sai  khi giải  PT cơ bản  
Hướng dẫn cách 3. Phân tích thành nhân tử tương tự như các ví dụ ở mục 2.4.2.3.
Ví dụ 7. 

(Trích đề thi thử Trường THPT Phan Chu Trinh Đà Nẵng­ 2020­2021).
Biết phương trình  có hai nghiệm  và , trong đó  ngun tố cùng nhau, giá trị biểu thức  là:
A. 

B. 

C. 

Phân tích:
Biến đổi  PT được về cùng số mũ , vế phải của PT chưa phải một số và 
, suy ra chia cả hai vế của phương trình cho  
Giải. Nhận xét: 
Ta có 

  
Do   nên , 
 Vậy chọn A.
Ví dụ 8. Giải phương trình 
Phân tích:
+ Ta có 
+ Nếu đặt 
Giải:

.
 thì PT đã cho trở thành PT nào và có giải được khơng?

Cách 1.
Ta có 
Đặt 

 
PT (1)  trở thành  
Với , ta có 
Với , ta có 
Vậy PT đã cho có nghiệm:  
Cách 2. Phương pháp phân tích thành nhân tử được trình bày ở mục 2.4.2.3. 
Ví dụ 9. (Trích đề thi chọn HSG lớp 12 tỉnh Nghệ An năm học 2010­2011).

D. 


Giải phương trình  
Phân tích: 
Nếu ta suy nghĩ: Đặt  PT trở  thành  thì việc giải PT này khơng đơn giản, vậy có phương  
pháp nào đơn giản hơn khơng?  
Giải. 
Đặt  , 
Khi đó theo bài ra ta có  . Do đó .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: .
Chú ý: Như vậy, việc đặt ẩn phụ có thể  chuyển PT mũ về PT hoặc hệ phương trình  đơn  
giản giải được. Từ ví dụ 9 ta có thể tổng qt dạng phương trình mũ tương tự  và nêu được  
cách giải nó.
2.4.1.3. Phương pháp lơgarit hóa.
* Dạng1. Phương trình 

         Từ phương pháp giải dạng 1  ở  trên, ta có thể  đặt ra câu hỏi: Nếu lấy  
lơgarit hai vế  với một cơ  số   bất kỳ  liệu có được khơng ? và câu trả  lời là  
hồn tồn được. Như vậy ta có thể giải quyết các phương trình phức tạp hơn,  
dạng  bằng cách lấy lơgarit hai vế với cơ số nào đó. 
 

 Ví dụ 10. Giải  các phương trình  a)  

       

Phân tích:
+ Quan sát PT thấy các cơ số khơng thể biểu thị qua cơ số chung và biểu thức ẩn ở  
của lũy thừa khơng có quan hệ chung dạng
 .

số mũ 

+ Lấy lơgarit hóa theo một cơ số nào đó cả hai vế.
Giải.

         Chú ý: Ví dụ trên có thể lấy theo cơ số khác nhưng nên chọn cơ số thích hợp để PT  
dễ giải, ta có thể tổng qt dạng câu a, b và nêu được PP giải chúng.
* Dạng 2. PT : Lấy lơgarit hai vế theo cơ số  bất kỳ 
* Dạng 3. Phương trình dạng 
+) Nếu  thì phương trình vơ nghiệm.
+) Nếu thì lấy logarit hai vế theo cơ số  bất kỳ . 
Nhận xét: Như vậy từ việc giải PT mũ đơn giản đến dạng PT mũ phức tạp hơn, ta  
thấy việc giải PT mũ đã giúp học sinh rèn luyện khả  năng phân tích, tổng hợp, so sánh,  


quan sát, tính độc lập trong tìm tịi lời giải ....cũng như  kỹ năng mềm dẻo, nhuần nhuyễn,  
hồn thiện....Qua đó giúp học sinh rèn luyện tư duy sáng tạo.
Bài tập.
Câu 1. Giải các phương trình  
                  b)       c) 
Câu 2. Giải các phương trình 

a)  

b) 

     

  Câu 3. Giải các phương trình   

            

a)     c)                                          
  
Câu 4. (Trích đề thi thử trường THPT Cao Bá Qt  2017­ 2018) 
Cho phương trình. Khẳng định nào sau đây là đúng:
A. Nghiệm của phương trình là các số vơ tỷ.   
B. Tổng các nghiệm của một phương trình là một số ngun.
C. Tích các nghiệm của phương trình là một số âm.           
D. Phương trình vơ nghiệm.
Câu 5. (Trích mã đề 101 THPTQG năm 2017). Cho phương trình  Khi đặt  ta có được 
phương trình nào dưới   đây? 

A. 

    B.        C. .         D. 

Câu 6. ( Đề thi thử  THPT Thạch Thành 1 Thanh Hóa năm học 2020­2021)
Gọi  là nghiệm của phương trình  Khi đó  bằng:

A. 4039.                      B. 1.

                   C.

                    D. 2020.

Câu 7. (Trích đề thi thử THPT Gia Viễn A Ninh Bình năm học 2020­2021) 
Cho hai số thực  Biết phương trình  có hai nghiệm phân biệt . Giá trị nhỏ nhất  
của biểu thức  bằng:
A. .                         B. .

                       C.                        D. 

2.4.2. Một số phương pháp khác để giải phương trình mũ.
2.4.2.1. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
* Kiến thức liên quan.

+) Tính đơn điệu của hàm số mũ: 
Khi  thì hàm số đồng biến trên  .     Khi   thì hàm số nghịch biến 
 
 
+) Định lý về tính đơn điệu của hàm số:

Với  là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc đoạn. 
Cho hàm số  có đạo hàm trên K.