Giáo án chương VI §3 công thức lượng giác đại số 10

Lời ngõ
• Đây là phần trình diễn của một nhóm học sinh lớp 10A12
trường THPT Buôn Ma Thuột (ĐĂkLăk)do tôi chủ
nhiệm.Những ý tưởng thiết kế bài học vui nhộn nhằm
mục đích tạo hứng thú học tập cho học sinh, đồng thời
phắt triển nhu cầu tự học trong các em

• Mong các bạn góp ý .Xin gửi về địa chỉ sau:
•



CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI
dễ hay khó ?!
Hãy xem phần trình
bày sau trước khi trả
lời câu hỏi trên!


Kiến thức cơ bản
Một số ví dụ áp dụng cơng thức
Các dạng bài tập cơ bản

Bạn sẽ là ai sau bài học về
công thức biến đổi này ?
Thử xem nào! o^_^o


I/ Kiến thức cơ bản
1/ Cơng thức biến đổi tích thành tổng

1
cos α cos β = [ cos( α + β ) + ( α − β ) ]
2
1
sin α sin β = − [ cos( α + β ) − cos(α − β )]
2
1
sin α cos β = [ sin ( α + β ) + sin ( α − β ) ]
2


Chúng ta có thể nhớ cơng thức
như sau:
Cos nhân cos bằng một phần hai
tổng cos
Sin nhân sin bằng trừ một phần hai
hiệu cos
Sin nhân cos bằng một phần hai
tổng sin


Ví dụ 1: Tính
a/

5π
π = 1 cos 5π + π  + cos 5π − π 
cos
cos



2
24
24
24
24






24
24
1
π
π
=  cos + cos 
2
4
6
1 2
3

= 
+
2 2
4 
2+ 3
=
4

b/

5π
π
1   5π π 
 5π π 
sin
sin
= − cos
+  − cos
− 
2   4 24 
24
24
 24 24 
1
π
π
= −  cos − cos 
2
4
6
1 2
3

= − 
−
2 2

4 
3− 2
=
4


c/

5π
π 1   5π π 
5π π 

cos sin
= sin 
+  + sin 
− 
24
24 2   24 4 
 24 4 
1 π
π
=  sin + sin 
2
4
6
1 2 1
= 
+ 
2 2 2
2 +1

=
4


2/ Cơng thức biến đổi tổng thành
tích
x+ y
x− y
cos x + cos y = 2 cos
cos
2
2
x+ y
x− y
cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
x+ y
x− y
sin x + sin y = 2 sin
cos
2
2
x+ y
x− y
sin x + sin y = 2 cos
sin
2
2

Đơn giản hơn chúng ta có thể nhớ
cơng thức bằng các câu thơ sau:

Sin cộng sin bằng hai sin cos
Sin trừ sin bằng hai cos sin
Cos cộng cos bằng hai cos cos
Cos trừ cos bằng trừ hai sin sin


Ví dụ 2: Tính
a/ cos 75o + cos 15o
75o + 150
75o − 15o
= 2 cos⋅
⋅ cos
2
= 2 ⋅ cos 450 ⋅ cos 30o
2 3
= 2⋅
⋅
2 2
6
=
2

2

b/

0
o
0
o
75
+
15
75
−
15
o
0
sin
cos 75 − cos 15 = −2 sin
2
2
o
o
= 2 sin 45 sin 30

2 1
=2
⋅
2 2
2
=
2

c/

0
o
0
o
75
+
15
75
+
15
0
0
cos
sin 75 + sin 15 = 2 sin
2
2
o
o
= 2 sin 45 cos 30

2 3
=2
⋅
2 2
6
=
2

c/

0
o
0
o
75
+
15
75
−
15
sin 75 − sin 15 = 2 cos
sin
2
2
= 2 cos 450 sin 30 o

0

o

2 1
=2
⋅
2 2
2
=

2


II/ Các dạng toán cơ bản
1/ Chứng minh các biểu thức nhờ giả thiết cho trước:
Ví dụ1: Cho
Chứng minh rằng:

a+b+c =π

a
b
c
sin a + sin b + sin c = 4 cos cos cos
2
2
2


Bài làm:
Ta có: M = sin a + sin b + sin c
Ta có: M

Vì

a
Vì

a+b
a −b

c
c
= 2 sin
cos
+ 2 sin cos
2
2
2
2
+ b + c = π ⇒ a + b =  π − c 
2
 2 2
a+b
π
π c 
= sin  −  = cos
2
2
 2 2
a+b
c
π c 
⇒ cos
= cos −  = sin
2
2
 2 2
⇒ sin

c
a −b
c
c
= 2 cos cos
+ 2 sin cos
2
2
2
2
c
a −b
c
= 2 cos  cos
+ sin 
2
2
2
c
a −b
a+b
= 2 cos  cos
+ cos

Ta lại có:
2
2
2 
M

Suy ra

a −b
a+b
a
b
cos
+ cos
= 2 cos cos
2
2
2
2
a
b
c
M = sin a + sin b + sin c = 4 cos cos cos
2
2
2


Bài tập áp dụng:
Bài1: Cho

A + B chứng
+ C =minh
π rằng

A

B
C
π−A
π −B
π −C
cos + cos + cos = 4 cos
cos
cos
2
2
2
4
4
4
A
B
C
π − A π − B π −C
sin + sin + sin = 1 + 4 sin
sin
sin
2
2
2
4
4
4
A
B
C

π+A
π −B
π +C
cos − cos + cos = 4 cos
cos
cos
2
2
2
4
4
4


Bài2: Cho

A+ B +C =π

chứng minh rằng

2n + 1
sin ( 2n + 1) A + sin ( 2n + 1) B + sin ( 2n + 1) C = ( − 1) 4 cos
A
2
Bài3:
2n +Nếu
1 tam giác
2n +ABC
1 có
cos

B cos
C
thì
2
2
n

3R = 4π

4( cos A + cos B + cos C ) = 7


2/ Chứng minh đẳng thức
Ví dụ2: chứng minh rằng

1
cos 75 cos 15 Bài
= sin
75 sin 15 =
làm:
4
o

Ta có:

o

o

[ (

o

)

(

1
cos 75 cos 15 = cos 750 + 150 + cos 750 − 150
2
1
= cos 900 + cos 60 0
2
1
=
4
o

o

(

)

)]


Mà:

Vậy

(

)

1
1
o
0
sin 75 sin 15 = − cos 90 − cos 60 =
2
4
1
o
o
o
o
cos 75 cos 15 = sin 75 sin 15 =
4
o

o


Bài tập áp dụng:
Chứng minh:
1/
2/

3/

4/

2− 3
cos 75 sin 15 =
4
(nếu
)
sin a + sin b
=− 3
cos a − cos b
0

0

π
a+b =
3

sin a + sin b cos( a + b )
= tan ( a + b )
cos a − sin b sin ( a + b )

sin 2 ( a + b ) = sin 2 a + sin 2 b + 2 sin a sin b cos( a + b )


3/ Chứng minh bất đẳng thức
Ví dụ 3: Chứng minh rằng

sin x + sin y

x+ y
≤ sin
(∀x, y ≥ 0; x + y ≤ 2π )
2
2 Bài làm:
Ta có:

sin x + sin y
x+ y
x− y
= sin
cos
2
2
2


Mà

Vậy

x +doy
sin
≥0
2

x+ y
và0 ≤
≤π
2

sin x + sin y
x+ y
≤ sin
2
2

x− y
cos
≤1
2


Bài tập áp dụng
Chứng minh rằng:
1/

cos x + cos y
x+ y
≤ cos
(∀x, y;−π ≤ x + y ≤ π )
2
2

2/ Với mọi tam giác ABC, ta ln có:
b/

a/

cos A + cos B + cos C > 1

2

x
1 + ≥ cos A + x(cos B + cos C ) , ∀x ∈ R
2