Bài tập trường tĩnh điện

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.1 Xác định điện tích tổng của :
a) Dây dẫn 0 < x < 5 m biết mật độ điện tích dài ℓ = 12x2
(mC/m).
b) Mặt trụ r = 3 m, 0 < z < 4 m biết mật độ điện tích mặt s = rz2
(nC/m2) .
c) Khối cầu bán kính r = 4 m biết mật độ điện tích khối v =
10/(rsin) (C/m3).

(Ans: 0.5C; 1.206C; 157.91C )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.2 Cho trường vectơ :




2 
F  (2xy)a x  (x )a y  3a z

a) Trường vectơ trên có thể là vectơ cường độ trường điện của
một trường điện tĩnh hay không ? Tại sao ?
b) Nếu phải , hãy xác định biểu thức thế điện vơ hướng của

trường điện tĩnh đó ? Nếu khơng , tính : rot(F) .
(Ans:

a) Phải vì rotF = 0 b)  = x2y – 3z )

2.3 Giữa 2 bản cực đặt tại z = 5m và z = 0 tồn tại trường điện


tĩnh có vectơ cường độ trường điện : E  6a
(V/m)
z

Tìm hiệu thế điện giữa 2 bản cực ?
(Ans: 30 V )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.4 Cho phân bố khối điện tích : v = 0/r (nC/m3) trong miền
khối cầu 0 < r < a với 0 = const và  = 0 trong tồn khơng gian.
a) Tìm cường độ trường điện trong và ngồi miền khối cầu ?
b) Tính điện tích tổng chứa trong miền khối cầu ?

2.5 Cho phân bố khối điện tích : v = 80 (µC/m3) trong miền vỏ
cầu 8mm < r < 10mm và v = 0 ở các miền cịn lại.
a) Tính điện tích tổng chứa trong mặt cầu bán kính r = 10mm ?
b) Tìm cảm ứng điện tại r = 10mm và r = 20mm ?
(Ans:

a) 164 pC b) 130 nC/m2 & 32.5 nC/m2 )

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.6 Khối trụ dài vô hạn, bán kính 1m, tích điện khối với mật độ v
= 6r0 (C/m3), đặt đồng trục với mặt trụ dài vô hạn, bán kính 2m,
tích điện mặt với mật độ s = k = const. Cho  = 0 trong tồn
khơng gian.
(a) Tìm giá trị k để trường điện E(r = 3m) = 10 V/m. (b) Theo câu
a), xác định vectơ cường độ trường điện và thế điện các miền khi
chọn gốc thế trên mặt trụ bán kính 2m.
Ans: (a) k = 14 0
 2r ( 1  r 3 )+2ln2
2r 2 (r  1m)

2
(b) E r   r (1m  r  2m);   2ln( 2r )
 30

2
(r

2m)
30ln(
)

r
r

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.7 Mặt tích điện rộng vơ hạn với mật độ mặt S (C/m2) tạo ra
trường điện về cả 2 phía của mặt có vectơ cảm ứng điện:

 1

D  2 [ρS .n]

Nếu có nhiều mặt tích điện hiện diện, trường điện tại 1 điểm
được xác định dựa trên nguyên lý xếp chồng. Áp dụng tính vectơ
cảm ứng điện tại O trong 2 trường hợp sau:

Ans:
i) 0
ii) 1.5ax
C/m2 )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.8 Điện tích điểm q = 40 (C) nằm tại gốc tọa độ bị bao quanh
bởi đám mây tích điện với phân bố khối điện tích : v = – 5/r2
(C/m3). Tìm vectơ cường độ trường điện biết  = 0 ? Xác định vị

trí để cường độ trường điện bằng không ?

2.9 Cho  = 0 và phân bố khối điện tích: v = 4r2 (nC/m3) trong
miền vỏ trụ 1m < r < 2m, v = 0 ở các miền cịn lại.
a) Tìm cảm ứng điện ở các miền ?
b) Tính năng lượng trường điện chứa trong khối trụ bán kính
3m, cao 4m và tâm tại gốc tọa độ ?
Ans: a) 0, (r3 – 1/r)10–9 , 15.10–9 /r b) 165,3 J )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.10 Hai bản cực phẳng rộng vô hạn làm bằng kim loại dẫn điện
tốt, đặt tại z = 0 có thế điện 0 và tại z = z0 có thế điện Vp > 0.
Khơng gian giữa 2 bản cực lấp đầy 2 lớp điện môi lý tưởng có độ
thẩm điện lần lượt là 1 trong miền 1 (0 < z < d) và 2 trong miền
2 (d < z < z0 ).
a) Dùng phương trình Laplace, tìm thế điện trong cả 2 miền, giả
sử thế điện chỉ phụ thuộc biến tọa độ z. (Lưu ý các phương
trình điều kiện biên tại z = d )
b) Cho z0 = 2d = 1m, Vp = 5V, 1 = 0, 2 = 20, tìm mật độ điện
tích mặt trên bề mặt bản cực tại z = z0 ?

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.11 Tụ điện trụ cách điện khơng khí. Cốt tụ trong (bán kính 2
cm) có thế điện – 20 V. Cốt tụ ngồi (bán kính 6 cm) có thế điện
60 V. Giả sử thế điện chỉ phụ thuộc biến tọa độ r trong hệ tọa độ
trụ.
a) Tìm thế điện tại r = 4 cm ?
b) Tìm vectơ cường độ trường điện tại r = 4 cm ?
c) Tìm vectơ cảm ứng điện tại r = 4 cm ?

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.12 Hai bản dẫn phẳng rộng vơ hạn đặt tại x = 1 m có thế điện
– 50 V và tại x = 4 m có thế điện 50 V. Khơng gian giữa 2 bản dẫn
có độ thẩm điện 0 và phân bố điện tích khối v = x/(6) nC/m3.
Giả sử thế điện chỉ phụ thuộc biến tọa độ x .
a) Tìm biểu thức thế điện giữa 2 bản dẫn ?
b) Tìm thế điện tại x = 2 m ?

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.13 Tụ điện phẳng hai bản cực song song kích thước 10mm x
10mm. Bản cực tại x = 0 có thế điện 0 và bản cực tại x = 2mm có

thế điện 5V. Mơi trường giữa 2 bản cực có  = 40. Tìm thế điện
trong miền giữa 2 bản cực giả sử nó chỉ phụ thuộc biến tọa độ x
với 2 trường hợp:
a) Môi trường có v = 0 ?
b) Mơi trường có v = 0 (C/m3) , 0 = const ?

(Ans: a) 2500x b) x2(– 0/80) + x[2500 + 10-30/40] )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.14 Điện tích điểm +q đặt tại tâm vỏ cầu dẫn bán kính b và c.
a) Tìm cường độ trường điện các miền (0 < r < b; b < r < c; r > c)
?
b) Tìm mật độ điện tích mặt trên bề mặt trong và ngồi vỏ cầu ?
Từ đó xác định điện tích của toàn bộ bề mặt trong và ngoài ?
Tiến hành nối đất vỏ cầu. Xác định :
c) Cường độ trường điện các miền (0 < r < b; b < r < c; r > c) ?
d) Thế điện trong các miền ?
e) Mật độ điện tích mặt trên bề mặt trong và ngồi vỏ cầu ? Từ
đó xác định điện tích của tồn bộ bề mặt trong và ngồi.
a) q/4π0r2 ; 0 ; q/4π0r2

b) sb = – q/4πb2 ; - q

, sc = q/4πc2 ; q

c) q/4π0r2 ; 0 ; 0 d) q/4π0[1/r – 1/b] ; 0 ; 0 e) sb = – q/4πb2 ;- q , sc = 0 ; 0

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.15 Hai bản dẫn phẳng kích thước w x d = 0,4m x 1m, hợp với
nhau một góc  = /4. Khoảng cách giữa cạnh trong và trục Oz
là a = 4mm. Hai bản dẫn đặt dưới hiệu thế điện U = 50V và môi
trường giữa 2 bản dẫn là điện mơi lý tưởng có  = 1,50.
Tìm thế điện trong miền giữa 2 bản
dẫn, giả sử  = () trong hệ tọa độ
trụ ? Từ đó suy ra mật độ điện tích
mặt và điện tích bản dẫn tại  = 0 ?
Tính điện dung C của tụ ?

1m

r = 1,5
/4

x

O
a=4mm

w = 0,4m
sâu d = 1m

(Ans:

 = – U/ + U; s = U/r ;
C = (/)ln(1 + w/a) = 78 pF )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.16 Hai mặt cầu dẫn đồng tâm có bán kính lần lượt là 1cm và
5cm. Mơi trường giữa 2 mặt cầu dẫn là điện môi lý tưởng có độ
thẩm điện tương đối r = 3. Mặt cầu dẫn trong có thế điện 2V và
mặt cầu ngồi có thế điện – 2V.
Xác định : (a) Thế điện trong điện môi ? (b) Cường độ trường
điện trong điện môi ? (c) Thế điện tại r = 3cm ? (d) Vị trí của
mặt đẳng thế 0V ? (e) Giá trị điện dung C của hệ ?

(Ans: 0,05/r – 3 ; 0,05/r2; – 1,33 V; r = 1,67 cm; 4,2 pF )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.17 Tụ phẳng hai bản song song, cách điện là điện môi lý tưởng
không đồng nhất có độ thẩm điện  = 0(1 + x/d). Bản cực đặt tại
x = 0 nối đất và tại x = d có thế điện V0 > 0.
Xác định : (a) Thế điện trong điện môi , giả sử  = (x) ? (b)
Cường độ trường điện trong điện môi ? (c) Vectơ phân cực điện
trong điện môi ? (d) Mật độ điện tích phân cực (liên kết) mặt tại
x = 0 và x = d ?

Ans:

a) (V0/ln2)ln[(x+d)/d] (b) – (V0/ln2)/(x + d)ax c) – (0V0/dln2)x/(x+d)ax
d) ps(d) = – 0V0/2dln(2) ; ps(0) = 0 )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.18 Đánh thủng điện môi xảy ra khi biên độ trường điện E tại
một điểm nào đó trong điện mơi có giá trị lớn nhất và vượt qua
giá trị Ect của vật liệu.
a) Cho tụ điện trụ bán kính trong là a, bán kính ngồi là b, tại
giá trị nào của r (bán kính hướng trục) biên độ trường điện E
đạt cực đại ?
b) Tìm điện áp chọc thủng của tụ nếu a = 1cm, b = 2cm, điện mơi
lý tưởng có r = 6 và Ect = 200 MV/m ?

(Ans: a) r = a b) 1.3 MV )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.19
a) Tìm điện áp chọc thủng của tụ phẳng hai bản song song, giả
sử khoảng cách giữa hai bản cực là 50 mm và cách điện là

khơng khí (r = 1; Ect = 3 MV/m)?
b) Tìm điện áp chọc thủng của tụ nếu cách điện là điện mơi lý
tưởng có r = 3 và Ect = 20 kV/mm ?
c) Tìm điện áp chọc thủng của tụ nếu cách điện gồm hai phần:
điện mơi lý tưởng có r = 3, Ect = 20 kV/mm chiếm độ dày 10
mm; phần cịn lại là khơng khí.

(Ans: a) 150kV b) 1000 kV c) 130 kV )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.20 Hai bản cực phẳng rộng vô hạn làm bằng kim loại dẫn điện
tốt, đặt tại z = 0 và tại z = 1 m. Không gian giữa 2 bản cực lấp
đầy 2 lớp điện môi lý tưởng có độ thẩm điện lần lượt là 1 = 20
trong miền 1 (0 < z < d < 1m) và 2 trong miền 2 (d < z < 1m ).
Bản cực tại z = 0 có thế điện 0 V và trường điện trong điện môi:
3ε 2
ε 2  2ε1




E(z)   3ε
1

 ε 2  2ε1

 V
a z m (0  z  d)
 V
a z m (d  z  1)

a) Chứng tỏ rằng trường điện trên thỏa phương trình điều kiện
biên tại z = d .
b) Tìm thế điện trong miền 0 < z < 1m ?
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.20 (tiếp theo)
c) Xác định 2 biết mật độ điện tích mặt trên bề mặt bản cực tại z
= 1m có giá trị s = 30 (C/m2) ?
d) Xác định d nếu thế điện của bản cực tại z = 1m là 1 V ?.
e) Biểu thức thế điện xác định ở câu b) có thỏa mãn phương
trình Laplace ? Giải thích ?
f) Xác định điện dung của tụ biết bản cực có diện tích là A ?

2.20: Ans

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh

2.21 Tụ điện trụ (hai mặt trụ dẫn đồng trục Oz) có chiều cao là
L, bán kính mặt trụ trong là a, ngồi là b, cách điện là điện mơi
lý tưởng khơng đồng nhất có  = 0/r3 (a < r < b).
a) Giả sử điện tích +/- Q đặt trên hai mặt trụ trong và ngồi,
dùng luật Gauss tìm vectơ cảm ứng điện trong điện mơi ? Giải
thích tại sao có thể dùng luật Gauss trong bài tốn này ?
b) Tìm vectơ cường độ trường điện và thế điện trong điện mơi ?
c) Tìm điện dung của tụ ?

(Ans: a) Q/2πrL b) E = (Q/2π0L).r2; (Q/2π0L)(b3 – a3)/3 c) C = 6π0L/(b3 – a3) )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.22 Tính điện dung trên đơn vị chiều dài của cáp đồng trục có
cách điện là 3 lớp điện mơi lý tưởng như hình vẽ sau.

(Ans: 137,8 pF/m )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.23 Tính điện dung C của tụ điện trụ theo độ cao h của mức
chất lỏng, biết 2a = 10mm và 2b = 20mm. Vẽ đồ thị biến thiên C
theo h khi 0 < h < 500mm.

Ans: (a) C =

2πε 0
ln(b/a)

[hε r +(d  b)]

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.24 Tụ phẳng hai bản song song, diện tích bản cực A = 10 cm2,
đặt cách nhau d = 0,2 cm, cách điện là điện môi thực có r = 2 và
độ dẫn điện  = 4.10–5 S/m. Bản cực đặt tại z = 0 nối đất và tại z =
d có thế điện U = 120 V.
Xác định: Vectơ cường độ trường điện và mật độ dịng trong điện
mơi thực ? Mật độ cơng suất và cơng suất tổn hao trong điện mơi
thực ? Dịng qua tụ và điện trở của tụ ?

(Ans: – 60az kV/m; – 2.4az A/m2; 144 kW/m3; 2.88W; 24mA; 5k )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.25 Vật dẫn ¼ hình vành khăn có độ dẫn điện  = const. Tìm
điện trở của vật dẫn khi hai cực nối với:

a) Bán kính trong và ngoài ?
b) Mặt đáy và mặt trên ?
c) Hai mặt bên ( tại  = 0 và  = /2) ?

(Ans: a) 2ln(b/a)/h b) 4h/[(b2 – a2)]

)

Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.26 Tụ điện cầu, điện môi thực có ,  = const, nối vào nguồn
DC có U = const. Xác định:
a) Thế điện trong điện môi thực dùng phương trình Laplace ?
b) Cường độ trường điện trong điện mơi thực ?
c) Mật độ dịng trong điện mơi thực ?
d) Dịng điện qua tụ ?
e) Điện trở của tụ ?
f) Công suất tổn hao trong điện môi ?
(Ans:

a) Uab/(b-a).1/r –Ua/(b-a)
b) Uab/(b-a).1/r2 c) Uab/(b-a).1/r2
d) 4Uab/(b-a) e) (b-a)/4ab
f) 4U2ab/(b-a) )
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM
CuuDuongThanCong.com

/>

Chương 2: Trường điện tĩnh
2.27 Tụ điện phẳng, diện tích bản cực là S, cách nhau khoảng
cách là d, điện mơi thực có  = 0, độ dẫn điện  = 10d/(x + d) S/m,
nối vào nguồn DC có U = const (bản cực tại x = 0 có thế điện U,
bản cực tại x = d có thế điện 0). Xác định:
a) Vecơ cường độ trường điện, vectơ mật độ dịng và thế điện
trong điện mơi thực ?
b) Điện trở của tụ ?

Ans:

(a) E =

 
( x  d )a x ; J =
3d 2
2U

(b) R 

20U
3d


a x ;  =  3dU2 (x 2  2xd)  U

3d

20S
Bài tập TĐT (2017) – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp.HCM

CuuDuongThanCong.com

/>