Tài liệu PHƯƠNG PHÁP TẬP MỨC KHÔNG LƯỚI: CƠ SỞ TOÁN HỌC VÀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG NGÀNH DẦU KHÍ ppt

Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
175
PHNG PHÁP TP MC KHÔNG LI: C S TOÁN HC VÀ KH
NNG NG DNG TRONG NGÀNH K THUT DU KHÍ
MESHLESS LEVEL SET METHOD: MATHEMATICAL
FUNDAMENTALS AND POTENTIAL APPLICATIONS IN
PETROLEUM ENGINEERING


Mai Cao Lân*, Trn Công Thành**

* Khoa K thut a cht & Du khí, i hc Bách khoa Tp. H Chí Minh, Vit Nam
** University of Southern Queensland, Australia


TÓM TT

 tin cy và tính thit thc ca vic mô phng mt quá trình vt lý không nhng ph thuc vào
mô hình toán hc mô t quá trình, thng  dng nhng phng trình vi phân, mà còn ph thuc vào
đ chính xác và tính hiu qu ca phng pháp s dùng đ gii các phng trình vi phân đó. Bài báo
này trình bày c s lý thuy
t mt phng pháp s mi mang tên phng pháp Tp mc Không li
(Meshless Level set method) trong đó nhng tính nng u vit ca 2 nhóm phng pháp không li
(meshless) và tp mc (level set) đc tích hp đ gii các bài toán biên di đng. Mt s bài toán mu
gii bng phng pháp này đc trình bày trong bài báo đ minh ha cho đ chính xác và tính hiu
qu ca nó cng nh kh nng ng dng ca phng pháp trong ngành k thut du khí.

ABSTRACT

The reliability and usefulness of the numerical simulations of a physical process depend not only
on the mathematical model representing the process, normally in forms of differential equations, but

also on the accuracy and efficiency of the numerical methods for solving such equations. This paper
presents the theoretical basics of a new numerical method, namely Meshless Level Set method, in
which the advantageous features of meshless methods and level set methods are integrated to solve
moving boundary problems. Some benchmark problems solved by the method are presented to
demonstrate the accuracy and efficiency of the method as well as its potential applications in
petroleum engineering.

1. GII THIU
a s mô hình toán mô t mt quá trình vt
lý thng  dng các phng trình vi phân. i
vi bài toán đa bin, ta có các phng trình vi
phân riêng phn. Vic tìm nghim ca nhng
phng trình này nói chung là phc tp nên
thông thng không th dùng phng pháp gii
tích đc. Thay vào đó, ngi ta s dng các
phng pháp s đ tìm nghim gn đúng c
a
chúng. Hin nay các phng pháp s đc s
dng ph bin gm có phng pháp sai phân
hu hn (finite difference method - FDM), phn
t hu hn (finite element method - FEM), khi
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
176
hu hn (finite volume method - FVM), v.v….
Xin xem [Tannehill et al. (1997), Chung (2002)]
đ bit thêm chi tit. Các phng pháp này đc
gi chung là phng pháp ri rc hóa theo
không gian. i vi các bài toán ph thuc thi
gian, ta cn thêm công c s đ ri rc hóa
phng trình vi phân theo bin thi gian. Xin

xem [Quarteroni and Valli (1994), Quarteroni et
al. (2000)] đ bit thêm chi tit v các phng
pháp này.
Nu nh các phng pháp FDM, FEM,
FVM, v.v… ri rc hóa phng trình vi phân
trên c s chia nh min tính toán thành mt
li (mesh) gm nhng phn t ràng buc ln
nhau trên lói theo nhng nguyên tc xác đnh
(ta gi chung các phng pháp này là nhóm
phng pháp da vào li) thì đi vi các
phng pháp Không li, min tính toán đc
chia thành mt tp hu hn các đim ri rc, có
th b trí tùy ý (unstructured) và không có bt
k mi ràng buc nào v v trí tng đi gia
chúng trong quá trình tính toán. Kt qu là các
phng pháp không li rt thích hp cho các
bài toán có bin dng l
n (nh trong c hc rn
nt) hoc các bài toán có biên di đng (nh d
đoán quá trình đin khuôn đúc hoc mô phng
mt tin du-nc/khí-du trong quá trình bm
ép/thu hi tng cng du) trong khi đi vi các
phng pháp da vào li, vic gii các bài toán
này s rt phc tp (đôi khi làm gim đ chính
xác ca li gii) do phi thng xuyên điu
ch
nh li b bin dng trm trng. Có nhiu
phng pháp không li [Kansa (1990a,b),
Aluri (2002)], trong đó có phng pháp Indirect
Radial Basis Function Networks (IRBFN) [Mai-

Duy and Tran-Cong (2001,2003)] dùng đ gii
các phng trình vi phân không l thuc thi
gian. Phng pháp này gn đây đã đc m
rng đ gii các bài toán ph thuc thi gian
[Mai-Cao and Tran-Cong (2003,2004,2005)].
Các phng pháp s đ gii bài toán biên di
đng đã và đang đc các nhà nghiên cu quan
tâm vì tính phc tp ca bn thân các biên di
đng (moving boundaries). Có hai nhóm
phng pháp s
đc s dng cho các bài toán
dng này: Nhóm phng pháp da trên li di
đng và nhóm phng pháp s dng li c
đnh. Phng pháp Tp mc (level set method)
thuc nhóm phng pháp th hai, do Osher and
Sethian (1988) đ xut. Phng pháp này ban
đu đc thit lp đ s dng vi nhóm các
phng pháp da vào li nh FDM, FEM,
FVM [Sethian (1999), Osher and Fedkiw
(2003)]. Trong bài báo này, phng pháp tp
mc đc trin khai trên nn tng ca phng
pháp không li IRBFN.
2. C S TOÁN HC
2.1. Phng pháp Tp mc
Trong phng pháp Tp mc, biên di đng
(t) ca min  ⊂ ℜ
2
đc xem là tp mc
không (zero) ca mt hàm φ(x,t), gi là hàm tp
mc, trong không gian ℜ

3

}0),(|{)(
2
=ℜ∈=Γ txxt
φ
(1)
Hàm φ(x,t) có th chn tùy ý vi điu kin
phi là hàm trn. Trong [Sethian (1999), Osher
and Fedkiw (2003)] , φ(x,t) đc chn là hàm
khong cách sao cho
−
+
Ω∈
Γ∈
Ω∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
=
x
x
x
txd
txd
tx

),,(
0
),,(
),(
φ
(2)
Trong đó d(x,t) là khong cách t đim x đn
biên di đng; 
+
và 
-
là min bên ngoài và bên
trong biên tng ng. Nh vy, trong phng
pháp tp mc, đi tng nghiên cu là hàm tp
mc φ(x,t) chuyn đng vi vn tc “m rng”
(extended velocity) V thay vì là biên (t) di
chuyn vi tc đ F [Osher and Sethian (1988)].
Phng trình chuyn đng ca hàm tp mc
tng ng vi dch chuyn ca biên trong
trng vn tc V c
a môi trng xung quanh
nh sau:
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
177
0=∇⋅+
∂
∂
φ
φ
V

t
(3)
 mt thi đim bt k, thông tin v biên di
đng (v trí, hình dáng, đ cong, v.v…) có th
đc tái to t hàm tp mc φ(x,t) bng cách
xác đnh tp hp các đon trên (t) sao cho
φ(x,t) trit tiêu.
Do phng trình (3) đc gii bng phng
pháp s nên ch sau mt bc thi gian φ(x,t) s
không còn là hàm khong cách. Vì vy vic tái
thit lp hàm tp mc tha điu kin (2) là mt
bc cn thit và đc thc hin bng cách tìm
li gii dng (steady) cho bài toán sau [Sussman
et al. (1994)]
)()0,(
|)|1)((
xtx
S
t
φφ
φφ
φ
ε
==
∇−=
∂
∂
(4a)
 đó S
ε

là mt hàm trn sao cho
22
)(
εφ
φ
φ
ε
+
=S (4b)
vi ε
là khong cách ngn nht gia mt
đim bt k vi các đim khác trong min tính
toán. C s lý thuyt cng nh các ng dng
tiêu biu ca phng pháp này đc trình bày
chi tit trong [Sethian (1999), Osher and Fedkiw
(2003)].
2.2. Phng pháp Không li IRBFN
Xp x
),(
ˆ
txu ca hàm u(x,t) có th đc
vit  dng t hp tuyn tính ca N hàm c s
)()()()(),(
ˆ
),(
1
twxgxgtwtxutxu
T
N
i

ii
==≈
∑
=
(5)
Trong đó g(x)=[g
1
(x),g
2
(x),…,g
N
(x)]
T
là tp
các hàm c s cho trc; w(t)=[w
1
(t),…,w
N
(t)]
T

là tp N trng s cn tìm. Vi mt tp hp M
đim trong min tính toán và giá tr hàm tng
ng ti các đim đó ti thi đim t, U(t)=[U
1
(t),
U
2
(t),…,U
M

(t)], bng cách thay
)()(
1
tUGtw
−
= vào phng trình (4), ta có
công thc xp x hàm
)()(),(
ˆ
1
tUGxgtxu
T −
= (6)
Trong đó G là ma trn đc xác đnh bng
cách áp dng (5) ti M đim trong min tính
toán vi tp các hàm c s đã cho g(x). Trong
phng trình (6), giá tr hàm ti các đim nút
U(t) là bin cn tìm. o hàm bc nht và bc
hai ca hàm u(x,t) đc xp x bng cách ly
đo hàm phng trình (6) tng ng:
)()(),(
ˆ
1
,,
tUGxgtxu
T
jj
−
= (7a)
)()(),(

ˆ
1
, ,
tUGxgtxu
T
ljlj
−
= ) (7b)
Nu nh trong phng pháp Kansa (1990a),
hàm c s g(x) trong phng trình (5) đc
chn là hàm multiquadrics (MQ) thì trong
IRBFN, g(x) là đo hàm bc k ca hàm
multiquadrics hoc thin plate splines (TPS). a
s các bài toán trong lnh vc C hc Cht lng
Tính toán (Computational Fluid Dynamics -
CFD) đc gii vi k=2. Chi tit v c s lý
thuyt ca phng pháp IRBFN cng nh ng
dng ca nó đ gii các toán ph thuc thi gian
đ
ã đc trình bày trong [Mai-Cao and Tran-
Cong (2005)].
3. PHNG PHÁP TP-MC KHÔNG-
LI VÀ CÁC BÀI TOÁN MINH HA
Quy trình gii mt bài toán biên di chuyn b
đng di tác dng ca trng vn tc không
đi bng phng pháp Tp mc không li bao
gm các bc sau:
Bc 1: Xây dng hàm tp mc ban đu là
hàm khong cách tha phng trình (2);
Bc 2: Thc hin dch chuyn hàm tp mc

trong mt bc thi gian bng cách gii phng
trình (3);
Bc 3: Tái thit lp hàm tp mc tha
phng trình (2) bng cách tìm li gii dng cho
phng trình (4a,b). Thông tin v biên di đng 
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
178
thi đim đang xét có th tái to bng gii thut
ly đng đng mc zero ca hàm φ(x,t);
Bc 4: Quay li bc 2 cho bc thi gian
k tip hoc kt thúc quá trình khi thi gian mô
phng đt đn giá tr gii hn cho trc.
Trong bài báo này, các phng trình vi phân
 bc 2 và 3 đc gii bng các lc đ s da
trên phng pháp IRBFN mô t trong [Mai-Cao
and Tran-Cong (2005)].
3.1. Bài toán bt xoay tròn
Xét mt bt hình tròn bán kính r=0.15 ban
đu đc đt ti v trí (0.5,0.7) trong min ch
nht [0,1] x [0,1] có trng vn tc xoáy (u,v)
đc xác đnh nh sau:
u=-sin(πx) cos(πy)
v=-cos(πx) sin(πy)
Kt qu mô phng  nhiu thi đim khác
nhau đc trình bày trong hình 1.  mi thi
đim, gii thut trích đng đng mc zero ca
hàm tp mc cho ta biên dng bt có dng đa
giác khép kín. Din tích ca hình đa giác này
chính là din tích ca bt  thi đim tng
ng. Kt qu tính toán cho thy t l phn trm

thay đi v din tích ca hình tròn trong sut
quá trình mô phng không vt quá 2% vi mt
đ đim trong min tính toán là 32 x 32.


Hình 1: Bài toán bt xoay tròn
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
179

Hình 2: Bài toán bt xoay tròn (tip theo)

3.2. Bài toán 4 bt di đng trong dòng chy
xoáy
Các bt ban đu đc b trí ngu nhiên nh
 hình 2 trong mt trng vn tc xoáy gii hn
trong min [-1,1] x [-1,1]. Các hình bên trái ca
hình 2 th hin biên di đng là đng đng mc
zero (màu xanh dng, trong cùng)  các thi
đim ban đu và t=4.1333. Bên phi là hàm tp
mc  các thi đim tng ng trên đó biên
dng ca 4 bt di đng đc gn vào. Nh
vy
thay vì theo dõi s chuyn đng và bin dng
ca bn thân 4 bt di đng, ta quan sát hàm tp
mc di chuyn theo quy lut (3) và trích đng
đng mc zero ca nó đ có biên dng ca các
bt  thi đim cn quan tâm. Vi phng pháp
Tp mc Không li, s kt dính và tách ri
gia các bt đc mô phng hoàn toàn theo quy
trình 4-bc tng quát mô t  trên mà không

cn phi x lý cho t
ng trng hp riêng bit
nh trong các phng pháp truyn thng khác.
4. KT LUN & HNG PHÁT TRIN
CA  TÀI
Phng pháp Tp mc Không li đc xây
dng trên c s trin khai phng pháp Tp
mc trên nn không li ca phng pháp
IRBFN. Qua các bài toán mu trình bày trong
bài báo, phng pháp mi cho thy đ chính xác
và tính hiu qu cao ca nó khi gii các bài toán
ph thuc thi gian, trong đó mô hình các bt di
đng có th
đc m rng đ mô phng ch đ
dòng chy ca hn hp dung dch trong ng
khai thác.
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
180

Hình 3: Bài toán 4 bt di đng trong dòng chy xoáy

ây chính là hng phát trin ca đ tài
trong đó có xét ti s phân chia thành nhng bt
th cp cng nh s kt hp gia các bt khí
trong quá trình đi t đáy ging lên b mt. Ngoài
ra, các mô hình cht lng phi Newton (non-
Newtonian fluid) cng s đc xem xét đ mô t
ng x phc tp ca hn hp dung dch khai
thác.
TÀI LIU THAM KHO

1.
Atluri, S.N. and Shen, S. The Meshless
Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method,
Tech Science Press, Encino, USA (2002).
2. Chung, T.J. Computational Fluid Dynamics,
Cambridge University Press, UK (2002).
3. Kansa, E.J. Multiquadrics - A Scattered
Data Approximation Scheme with
Applications to Computational Fluid-
Dynamics I. Surface Approximations and
Partial Derivative Estimates, Computers and
Mathematics with Applications 19 (1990a),
pp. 27-145.
4. Kansa, E.JMultiquadrics - A Scattered Data
Approximation Scheme with Applications to
Computational Fluid-Dynamics II.
Solutions to Parabolic, Hyperbolic and
Elliptic Partial Differential Equations,
Computers and Mathematics with
Applications 19 (1990b), pp. 147-161
Hi ngh khoa hc và công ngh ln th 9, Trng i hc Bách khoa Tp. HCM, 11/10/2005
181
5. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Solving
Time-Dependent PDEs with a Meshless
IRBFN-based Method. In: Alves, C.J.S. and
Chen, C.S. and Leitao, V. (eds):
International Workshop on MeshFree
Methods, July 21-23, Lisbon, Portugal
(2003)
6. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Element-

Free Simulation for non-Newtonian Flows.
In: Atluri, S.N. and Beskos, D.E. and
Polyzos, D. (eds): International Conference
on Computational & Experimental
Engineering & Sciences, ICCES, July 26-
29, Madeira, Portugal (2004).
7. Mai-Cao, L. and Tran-Cong, T. Meshless
IRBFN-Based Method for Transient
Problems, Computer Modeling in
Engineering & Sciences 7 (2005), pp. 149-
171.
8. Mai-Duy, N. and Tran-Cong, T. Numerical
Solution of Differential Equations Using
Multiquadric Radial Basis Function
Networks, Neural Networks 14 (2001),
pp.185-199.
9. Mai-Duy, N. and Tran-Cong, T.
Approximation of Function and its
Derivatives Using Radial Basis Function
Networks, Applied Mathematical Modelling
27 (2003), pp. 197-220.
10. Osher, S. and Fedkiw, R.: Level Set
Methods and Dynamic Implicit Surfaces,
Springer, New York (2003).
11. Osher, S. and Sethian, J.A. Fronts
Propagating with Curvature-Dependent
Speed: Algorithms Based on Hamilton-
Jacobi Formulations, Journal of
Computational Physics 79 (1988), pp. 12-
49.

12. Quarteroni, A. and Valli, A.: Numerical
Approximation of Partial Differential
Equations, Springer-Verlag, New York
Quarteroni, A. and Sacco, R. and Saleri, F.:
Numerical Mathematics, Vol. 37 of Texts in
Applied Mathematics, Springer-Verlag,
New York (2000).
13. Sethian, J.A. Level Set Methods and Fast
Marching Methods: Evolving Interfaces in
Computational Geometry, Fluid Mechanics,
Computer Vision, and Materials Science,
Cambridge University Press, New York
(1999).
14. Sussman, M. and Smereka, P. and Osher,
S.J. A Level Set Approach for Computing
Solutions to Incompressible Two-Phase
Flow, Journal of Computational Physics 114
(1994), pp.146-159.
15. Tannehill, J.C. and Anderson, D.A. and
Pletcher, R.H. Computational Fluid
Mechanics and Heat Transfer, Taylor &
Francis,USA (1997).