Phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn (tóm tắt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI

NGUYỄN NHƯ DŨNG
KHĨA: 2018 - 2020

PHÂN TÍCH TĨNH HỆ DÀN PHẲNG
CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN RÀNG BUỘC ĐA BẬC TỰ DO
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Chuyên ngành:

Kỹ thuật xây dựng

Mã số:

8.58.02.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT XÂY DỰNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. VŨ THỊ BÍCH QUYÊN

HÀ NỘI – 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
NGUYỄN NHƯ DŨNG
KHĨA: 2018 - 2020

PHÂN TÍCH TĨNH HỆ DÀN PHẲNG
CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN RÀNG BUỘC ĐA BẬC TỰ DO
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Chuyên ngành:

Kỹ thuật xây dựng

Mã số:

8.58.02.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT XÂY DỰNG
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. VŨ THỊ BÍCH QUYÊN

XÁC NHẬN
CỦA CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN

HÀ NỘI - 2020


LỜI CẢM ƠN
Để thực hiện và hoàn thành đề tài luận văn này, tôi đã nhận được sự hỗ
trợ, giúp đỡ và tạo điều kiện từ nhiều cơ quan, tổ chức và cá nhân. Luận văn
cũng được hoàn thành dựa trên sự tham khảo, học tập kinh nghiệm từ các kết

quả nghiên cứu liên quan, các tạp chí chuyên ngành của nhiều tác giả ở các
trường Đại học, các tổ chức nghiên cứu, tổ chức chính trị…Đặc biệt là sự giúp
đỡ, tạo điều kiện về vật chất và tinh thần từ phía gia đình, bạn bè và các đồng
nghiệp.
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ giáo PGS.TS Vũ Thị
Bích Qun – người hướng dẫn khoa học đã trực tiếp dành nhiều thời gian,
công sức hướng dẫn tơi trong q trình thực hiện nghiên cứu và hồn thành
luận văn.
Tơi xin trân trọng cám ơn Ban giám hiệu, lãnh đạo Khoa sau Đại học
cùng toàn thể các thầy cơ giáo đã tận tình truyền đạt những kiến thức q báu,
giúp đỡ tơi trong q trình học tập và nghiên cứu.
Tuy có nhiều cố gắng, nhưng trong luận văn này khơng tránh khỏi những
thiếu sót, hạn chế. Tơi kính mong Q thầy cơ, các chun gia, những người
quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè tiếp tục có những ý kiến
đóng góp, giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn.
Một lần nữa xin chân thành cám ơn!
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Nguyễn Như Dũng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn thạc sỹ này là cơng trình nghiên cứu khoa học
độc lập của tôi. Các số liệu khoa học, kết quả nghiên cứu của luận văn là trung
thực và có nguồn gốc rõ ràng.
TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Nguyễn Như Dũng

MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục bảng
Danh mục hình vẽ
MỞ ĐẦU ...............................................................................................................................................1
Lý do chọnđề tài...................................................................................................................................1
Mục đích nghiêncứu............................................................................................................................2
Đốitượngvà phạm vi nghiên cứu.....................................................................................................3
Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................................................3
Ý nghĩa khoa học của đề tài................................................................................................................3
Cấutrúc luậnvăn...................................................................................................................................3
NỘI DUNG...........................................................................................................................................4
CHƯƠNG1. TỔNGQUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU..................................................4
1.1. Tổng quan về hệ dàn phẳng ....................................................................... 4
1.1.1. Tổng quan về sử dụng hệ dàn phẳng....................................................... 4
1.1.2. Tổng quan về phương pháp phân tích tĩnh hệ dàn phẳng ....................... 6
1.2. Phương pháp phần tử hữu hạn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng...................... 9
1.2.1. Mơ hình rời rạc hóa hệ dàn phẳng ........................................................ 10
1.2.2. Hàm chuyển vị - Hàm dạng .................................................................. 13
1.2.3. Xây dựng phương trình cân bằng – Ma trận độ cứng phần tử [K]e ...... 14
1.2.4. Hệ trục tọa độ ........................................................................................ 15
1.2.5. Ghép nối các phần tử - Xây dựng phương trình cân bằng của toàn hệ. 17
1.2.6. Xác định nội lực tại các nút phần tử, ứng suất và biến dạng thanh dàn 18
1.2.7. Trình tự tính tốn hệ dàn phẳng theo phương pháp PTHH .................. 19


1.3. Tổng quan về điều kiện biên .................................................................... 20

1.3.1. Khái niệm điều kiện biên ...................................................................... 21
1.3.2. Phân loại điều kiện biên [34, tr.243-298] ............................................. 26
1.3.3. Khái niệm điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do (Multi-freedom
Constraint - MFC) ........................................................................................... 35
1.3.4. Thiết lập cơng thức tốn học cho điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do
......................................................................................................................... 38
1.3.5. Thiết lập dạng ma trận điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do, tuyến tính
......................................................................................................................... 41
1.4. Nhận xét ................................................................................................... 42
CHƯƠNG 2. THIẾT LẬP ĐƯỜNG LỐI GIẢI BÀI TOÁN HỆ DÀN PHẲNG CÓ
ĐIỀU KIỆNBIÊN RÀNGBUỘC ...............................................................................................43
2.1. Các phương pháp xử lý điều kiện biên ràng buộc phân tích tĩnh hệ dàn
phẳng ............................................................................................................... 43
2.1.1. Phương pháp xử lý điều kiện biên có ràng buộc đơn tự do, tuyến tính,
thuần nhất ........................................................................................................ 43
2.1.2. Phương pháp xử lý điều kiện biên có ràng buộc đơn tự do, tuyến tính,
khơng thuần nhất ............................................................................................. 43
2.1.3. Phương pháp xử lý điều kiện biên có ràng buộc đa bậc tự do.............. 44
2.2. Thiết lập đường lối xử lý điều kiện biên ràng buộc theo phương pháp chính
– phụ (Master – Slave Elimination) ................................................................ 47
2.2.1. Xử lý điều kiện biên đa ràng buộc, tuyến tính theo phương pháp chính –
phụ ................................................................................................................... 47
2.2.2. Trường hợp tổng quát xử lý điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do theo
phương pháp chính - phụ ................................................................................ 52
2.2.3. Xử lý điều kiện biên đa ràng buộc theo phương pháp chính – phụ, giữ
nguyên bậc tự do ban đầu................................................................................ 52


2.2.4. Nhận xét ................................................................................................ 55
2.3. Thiết lập đường lối xử lý điều kiện biên ràng buộc theo phương pháp hàm

phạt (Penalty Function Method) ..................................................................... 57
2.3.1. Ý nghĩa vật lý phương pháp hàm phạt .................................................. 57
2.3.2. Lựa chọn trọng số phạt.......................................................................... 58
2.3.3. Phần tử phạt cho các ràng buộc đa bậc tự do........................................ 60
2.3.4. Cơ sở lý thuyết phương pháp hàm phạt ................................................ 61
2.3.5. Nhận xét ................................................................................................ 62
2.4. Thiết lập đường lối xử lý điều kiện biên ràng buộc theo phương pháp nhân
tử Lagrange (Lagrange Multiplier Adjunction) .............................................. 65
2.4.1. Ý nghĩa vật lý phương pháp nhân tử Lagrange..................................... 65
2.4.2. Phương pháp nhân tử Lagrange cho các ràng buộc đa bậc tự do chung
......................................................................................................................... 67
2.4.3. Cơ sở lý thuyết phương pháp nhân tử Lagrange................................... 68
2.4.4. Xử lý điều kiện biên theo phương pháp nhân tử Lagrange cải tiến...... 70
2.4.5. Nhận xét ................................................................................................ 71
2.5. Thiết lập đường lối xử lý điều kiện biên ràng buộc theo phương pháp hàm
phạt cải tiến ..................................................................................................... 72
2.5.1. Cơ sở lý thuyết ...................................................................................... 72
2.5.2. Xử lý điều kiện biên theo phương pháp hàm phạt cải tiến ................... 75
2.6. Nhận xét ................................................................................................... 75
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH TĨNH HỆ DÀN PHẲNG CÓ ĐIỀU KIỆN BIÊN RÀNG
BUỘC ĐA BẬC TỰ DOBẰNGPHƯƠNG PHÁP PTHH.................................................77
3.1. Thiết lập bài tốn hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do
......................................................................................................................... 77
3.2. Phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do theo
các phương pháp ............................................................................................. 78


3.2.1. Phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do
theo phương pháp hàm phạt ........................................................................... 78
3.2.2. Phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do

theo phương pháp nhân tử Lagrange.............................................................. 83
3.2.3. Phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do
theo phương pháp hàm phạt cải tiến .............................................................. 88
3.2.4. So sánh kết quả phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc
đa bậc tự do theo ba phương pháp .................................................................. 94
3.3. Nhận xét ................................................................................................... 97
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .......................................................................................................98
Kếtluận.................................................................................................................................................98
Kiếnnghị............................................................................................................................................100
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt
BC
FEM
HTĐC
HTĐR
KUBCs
PBC
PTHH
RVE 2D
SFC
SUBCs
MFC

Tên đầy đủ
Boundary conditions
Phương pháp phần tử hữu hạn

Hệ tọa độ chung
Hệ tọa độ riêng
Kinematic uniform boundary conditions –
Điều kiện biên động học
Periodic boundary conditions –
Điều kiện biên chu kỳ
Phần tử hữu hạn
Phần tử khối 2D
Single freedom constraints – Ràng buộc đơn tự do
Static uniform boundary conditions –
Điều kiện biên tĩnh học
Multi-freedoms constraints – Ràng buộc đa bậc tự do


DANH MỤC BẢNG
Số hiệu bảng
Bảng 3.1
Bảng 3.2
Bảng 3.3
Bảng 3.4
Bảng 3.5

Tên bảng
Kết quả phân tích tĩnh hệ dàn phẳng theo
PP hàm phạt
Kết quả phân tích tĩnh hệ dàn phẳng theo
phương pháp Lagrange
Kết quả phân tích tĩnh hệ dàn phẳng theo
PP hàm phạt cải tiến
Bảng so sánh kết quả tính tốn xử lý điều

kiện biên (phần 1)
Bảng so sánh kết quả tính toán xử lý điều
kiện biên (phần 2)

Trang
82
88
93
95
96


DANH MỤC HÌNH, SƠ ĐỒ
Số hiệu hình
Hình 1.1
Hình 1.2
Hình 1.3
Hình 1.4
Hình 1.5
Hình 1.6
Hình 1.7
Hình 1.8
Hình 1.9
Hình 1.10
Hình 1.11
Hình 1.12
Hình 1.13
Hình 1.14
Hình 1.15
Hình 1.16

Hình 1.17
Hình 1.18

Tên hình
Hệ dàn phẳng
Một số phương pháp phân tích kết cấu
dàn phổ biến
Hệ dàn phẳng vật lý và hệ dàn phẳng tính
tốn
Trình tự rời rạc hóa hệ dàn phẳng
Phần tử thanh chịu kéo (nén) đúng tâm –
Phần tử mẫu
Phần tử thanh trong HTĐR (a) và trong
HTĐC (b)
Trình tự ghép nối phần tử và giải hệ
phương trình
Điều kiên biên của phân tố vô cùng nhỏ
ngay sát biên
Sơ đồ biểu diễn phân loại tải trọng và
điều kiện biên trong mơ-đun điều kiện
biên điển hình của PTHH
Minh họa điều kiện biên Dirichlet điển
hình và biến dạng
Hình ảnh thực tế yêu cầu điều kiện biên
Dirichlet
Điều kiện biên Neumann điển hình và
biến dạng liên quan
Điều kiện biên Robin điển hình và biến
dạng liên quan
Điều kiện biên chu kỳ điển hình và biến

dạng
Miền ảo mô tả điều kiện biên chu kỳ được
áp đặt chuyển vị
(a) Loại lưới chu kỳ và (b) không chu kỳ
cho tấm polymer khuyết
Dàn phẳng có ràng buộc đơn tự do và
ràng buộc đa bậc tự do
Phần tử khối 2D với các nút tham chiếu
và nút được giữ lại được tạo bởi điều kiện
biên chu kỳ

Trang
4
6
10
11
13
16
17
24
26
27
28
30
31
32
33
34
38
38

Hình 2.1
Hình 2.2
Hình 2.3
Hình 2.4
Hình 2.5
Hình 2.6
Hình 2.7
Hình 2.8
Hình 2.9
Hình 3.1

Trình tự xử lý điều kiện biên ràng buộc
đa bậc tự do
Phần tử hữu hạn một chiều, 07 bậc tự do
Sơ đồ khối thuật toán xử lý điều kiện biên
ràng buộc đa bậc tự do theo phương pháp
chính – phụ
Phần tử phạt (7) với độ cứng w
Sơ đồ khối thuật toán xử lý điều kiện biên
ràng buộc đa bậc tự do theo phương pháp
hàm phạt
Ý nghĩa vật lý của phương pháp nhân tử
Lagrange
Sơ đồ khối thuật toán xử lý điều kiện biên
ràng buộc đa bậc tự do theo phương pháp
nhân tử Lagrange
Đồ thị mô tả phép lặp
Sơ đồ khối thuật toán phương pháp hàm

phạt cải tiến
Dàn phẳng

45
47
54
58
64
65
69
73
76
77


1

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Hệ kết cấu dàn được sử dụng nhiều trong các cơng trình xây dựng, giao
thơng do có nhiều ưu điểm như vượt nhịp lớn, tải trọng nhẹ, giảm độ võng, chịu
được tải trọng lớn, tiết kiệm vật liệu và có tính thẩm mỹ cao. Hiện nay, kết cấu
dàn chủ yếu được chế tạo từ vật liệu thép, thường được chế tạo sẵn tại các nhà
máy và được lắp ráp tại cơng trường. Trong q trình gia công chế tạo và lắp
ráp, do nhiều nguyên nhân khác nhau như thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng
bức của các liên kết, chế tạo các cấu kiện không chính xác về kích thước hình
học, ...Có thể gây ra chuyển vị và nội lực ban đầu cho thanh dàn. Hệ dàn phẳng
làm việc trong điều kiện như trên gây khó khăn khi thiết kế và tính tốn.
Để tính tốn, thiết kế hệ dàn phẳng, các kỹ sư kết cấu sử dụng nhiều
phương pháp phân tích để xác định chuyển vị và nội lực trong các thanh. Hiện

nay, các kỹ sư chủ yếu sử dụng hai phương pháp phổ biến, gồm: Phương pháp
giải tích và phương pháp số. Do sự phát triển của khoa học cơng nghệ nên để
phân tích kết cấu nhanh chóng, chính xác, người ta sử dụng các phương pháp
số phổ biến hơn cả. Trong các phương pháp số, phương pháp phần tử hữu hạn
(PTHH) được sử dụng để xây dựng nên các phần mềm phân tích kết cấu nổi
tiếng toàn cầu như ABAQUS, SAP, LS-DYNA, ANSYS. Có thể nói nhờ có
phương pháp PTHH và cơng nghệ hiện đại mà việc phân tích kết cấu trở nên
đơn giản hơn so với trước đây.
Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu
quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong một miền xác định.
Phương pháp PTHH chia kết cấu cơng trình thành một số hữu hạn các phần tử.
Các phần tử này được kết nối với nhau tại một điểm định trước trên biên phần
tử, gọi là nút. Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ
trong dạng một hàm đơn giản được gọi là hàm xấp xỉ. Và các hàm xấp xỉ này


2

được biểu diễn qua các giá trị của hàm tại các điểm nút trên phần tử. Các giá
trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của
bài tốn.
Để giải quyết các bài tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng theo phương pháp
PTHH cần thực hiện qua nhiều bước, trong đó xử lý điều kiện biên là vấn đề
quan trọng. Hiện nay, các nghiên cứu về phương pháp PTHH chủ yếu tập trung
giải quyết các bài tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc
đơn tự do (single-freedom constrains). Ràng buộc đơn tự do là ràng buộc có
các thành phần chuyển vị nút là giá trị quy định cụ thể hay ràng buộc có các
thành phần chuyển vị nút độc lập với nhau. Trên thế giới, người ta đã đưa ra
các phương pháp giải quyết bài tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện
biên ràng buộc đa bậc tự do (multi-freedom constrains). Ràng buộc đa bậc tự

do là ràng buộc có liên kết hai hay nhiều thành phần chuyển vị của các nút hay
ràng buộc có các thành phần chuyển vị nút liên kết với nhau theo quy luật nhất
định. Để xử lý điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do, các kỹ sư chủ yếu sử dụng
ba phương pháp phổ biến, gồm: Phương pháp chính phụ (Master - Slave
Elimination), phương pháp hàm phạt (Penalty Augmentation) và phương pháp
nhân tử Lagrange (Lagrange Multiplier Adjuntion). Tuy nhiên, các nghiên cứu
cụ thể về cơ sở lý thuyết, đường lối xử lý điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do
chưa được công bố rộng rãi. Do đó, luận văn chọn đề tài “Phân tích tĩnh hệ dàn
phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu
hạn” để nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu
- Thiết lập đường lối, trình tự giải bài tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng
có điều kiện biên ràng buộc đa bậc tự do bằng phương pháp PTHH, trong đó
xử lý điều kiên biên ràng buộc theo ba phương pháp phổ biến, gồm: Phương
pháp chính phụ (Master-Slave Elimination), phương pháp hàm phạt (Penalty


3

Augmentation) và phương pháp nhân tử Lagrange (Lagrange Multiplier
Adjuntion). Trên cơ sở nghiên cứu các phương pháp xử lý điều kiện biên ràng
buộc đa bậc tự do, đề xuất bổ sung phương pháp hàm phạt cải tiến (Modified
Penalty Function) vào hệ thống các phương pháp xử lý điều kiện biên trong bài
tốn phân tích kết cấu dàn phẳng.
- Thiết lập thuật tốn sử dụng phần mềm lập trình MathCad.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Hệ dàn phẳng có các liên kết biên ràng buộc.
- Phạm vi nghiên cứu: Hệ dàn phẳng chịu tải trọng tĩnh. Sử dụng lý thuyết
tuyến tính hình học, vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi. Các điều kiện
biên ràng buộc tuyến tính.

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Kết hợp mô phỏng số và sử dụng
phần mềm lập trình MathCad.
Ý nghĩa khoa học của đề tài
Đề xuất một phương pháp giải bài tốn phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có
điều kiện biên ràng buộc. Các kết quả nghiên cứu có thể áp dụng trong việc
thiết kế tính tốn kết cấu cơng trình.
Cấu trúc luận văn
Ngồi các phần Mở đầu, Kết luận và kiến nghị, Tài liệu tham khảo và
Phụ lục, nội dung chính của luận văn gồm 03 chương:
- Chương 1: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu.
- Chương 2: Thiết lập đường lối giải bài toán hệ dàn phẳng có điều kiện
biên ràng buộc.
- Chương 3: Phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa
bậc tự do bằng phương pháp phần tử hữu hạn.


THƠNG BÁO
Để xem được phần chính văn của tài liệu này, vui
lịng liên hệ với Trung Tâm Thơng tin Thư viện
– Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội.
Địa chỉ: T.13 – Nhà H – Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Đ/c: Km 10 – Nguyễn Trãi – Thanh Xuân Hà Nội.
Email:

TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIỆN


98

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Trong luận văn đã nghiên cứu phương pháp xử lý điều kiện biên có ràng
buộc đa bậc tự do (bao gồm: Phương pháp chính phụ, phương pháp hàm phạt
và phương pháp nhân tử Lagrange) trong bài tốn phân tích tĩnh hệ kết cấu bằng
phương pháp phần tử hữu hạn. Từ đó luận văn đã đề xuất thêm phương pháp
hàm phạt cải tiến để có thể khắc phục hạn chế của các phương pháp trên.
Luận văn đã thiết lập được thuật toán xử lý điều kiện biên và trình tự giải
bài tốn phân tích tĩnh dàn phẳng có biên đa bậc tự do bằng phương pháp chính
phụ, phương pháp hàm phạt, phương pháp thừa số Lagrange và phương pháp
hàm phạt cải tiến. Trên cơ sở đó đã viết được các chương trình phân tích tĩnh
dàn phẳng có điều kiện biên đa bậc tự do và thực hiện khảo sát số phân tích
tĩnh dàn phẳng bằng phương pháp hàm phạt, phương pháp thừa số Lagrange và
phương pháp hàm phạt cải tiến.
Trên cơ sở phân tích các phương pháp xử lý điều kiện biên đa bậc tự do
và các kết quả nhận được từ khảo sát số có thể đưa ra một số nhận xét sau đây:
- Phương pháp chính phụ đưa ra kết quả chính xác, giảm số ẩn cần tìm.
Tuy nhiên lại phức tạp khi sắp xếp lại phương trình cân bằng, địi hỏi kinh
nghiệm khi lựa chọn ẩn chính – phụ, nhạy cảm với mức độ độc lập tuyến tính
của các ràng buộc và có thể mở rộng cho ràng buộc phi tuyến nhưng với điều
kiện lập trình riêng từng trường hợp. Phạm vi ứng dụng của phương pháp này
chủ yếu xử lý các ràng buộc đa bậc tự do tuyến tính, độc lập, đơn giản và có
thể mở rộng cho ràng buộc phi tuyến.
- Phương pháp hàm phạt được thực hiện lập trình trên máy tính đơn giản,
khơng bị ảnh hưởng vào sự phụ thuộc tuyến tính của điều kiện biên ràng buộc
và có thể mở rộng cho các ràng buộc phi tuyến. Phương pháp này có khó khăn
khi lựa chọn trọng số w từ kinh nghiệm của người phân tích, sai số nghiệm


99

không thể thấp hơn một ngưỡng nhất định. Trong thực tế, khi sử dụng phương
pháp này không cần phân biệt phương trình ràng buộc và khơng ràng buộc.
Ngồi ra, phương pháp này không bị ảnh hưởng bởi sự phụ thuộc tuyến tính
của các phương trình trong hệ phương trình điều kiện biên. Phương pháp này
có thể được mở rộng để xử lý các ràng buộc phi tuyến. Đối với bài toán phức
tạp, việc lựa chọn trọng số w được thực hiện bằng cách thử nghiệm nhiều lựa
chọn để chọn ra miền trọng số w hợp lý nhất. Phương pháp hàm phạt cải tiến
đề xuất trong luận văn có thể khắc phục được hạn chế này.
- Phương pháp nhân tử Lagrange có thể tìm được trực tiếp phản lực liên
kết, khơng u cầu người dùng phỏng đốn trọng số và có thể mở rộng cho các
ràng buộc phi tuyến. Tuy nhiên, phương pháp này đưa ra thêm các ẩn số, yêu
cầu phương pháp mở rộng độ cứng ban đầu và khá nhạy cảm với mức độ độc
lập tuyến tính của các ràng buộc.


100

Kiến nghị
Các phương pháp xử lý điều kiện biên và thuật tốn đã đề xuất trong luận
văn có thể áp dụng trong bài tốn phân tích và thiết kết cấu dàn có điều kiện
biên đa bậc tự do phức tạp.
Hướng nghiên cứu tiếp theo: Áp dụng các phương pháp xử lý điều biên
đã đề xuất trong bài tốn phân tích phi tuyến các loại kết cấu có điều kiện biên
đa bậc tự do phi tuyến bằng phương pháp phần tử hữu hạn.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
1.

Vũ Khắc Bảy (2012), Bài giảng phương pháp số (phương pháp phần tử
hữu hạn), Bộ môn Toán, Trường Đại học Lâm nghiệp, Hà Nội.

2.

Võ Như Cầu (2012), Tính kết cấu theo phương pháp ma trận, NXB Xây
dựng, Hà Nội.

3.

Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn,
NXB Xây dựng, Hà Nội.

4.

Nguyễn Tiến Cường (1985), Phương pháp số trong cơ học kết cấu, NXB
Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.

5.

Nguyễn Xuân Lựu (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB GTVT,
Hà Nội.

6.

Vũ Như Phan Thiện, Nguyễn Hoài Sơn, Đỗ Thanh Việt (2001), Phương
pháp phần tử hữu hạn với Matlab, NXB ĐH Quốc gia, Hồ Chí Minh.

7.

Hồ Thuần, Nguyễn Ngọc Huỳnh (1976), Ứng dụng ma trận trong kỹ thuật,
NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.

8.

Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, NXB Khoa học
và kỹ thuật, Hà Nội.

9.

Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn,
Đại học Bách Khoa, Hà Nội.

10. Lều Thọ Trình (2006), Cơ học kết cấu tập 1 - Hệ tĩnh định, NXB Khoa học
và kỹ thuật, Hà Nội.
11. Lều Thọ Trình (2006), Cơ học kết cấu tập 2 - Hệ siêu tĩnh, NXB Khoa học
và kỹ thuật, Hà Nội.
12. Nguyễn Mạnh Yên (1996), Phương pháp số trong cơ học kết cấu, NXB
Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.


Tiếng Anh:
13. A.R.Melro, P.P.Camanho và S.T.Pinho (2008), "Generation of random
distribution of fibres in long-fibre reinforced composites", Composites
Science and Technology. 68(9), tr. 10.
14. A. Akpoyomare, M. Okereke và M. Bingley (2017), "Virtual testing of
composites: imposing periodic boundary conditions on general finite
element meshes.", Compos. Struct. 160.
15. Al Kassem G. và D. Weichert (2009), "Micromechanical material models

for polymer composites through advanced numerical simulation
techniques", PAMM 9, tr. 2.
16. Argyris J. H. (1964), Recent Advances in Matrix Methods of Structural
Analysis, Progress in Aeronautical Science, Vol. 4, Pergamon Press, New
York.
17. Auricchio F. (2017), Mixed Finite Element Methods, Second,
Encyclopedia of Computational Mechanics, John Wiley & Sons, Ltd.
18. Brezzi F. (1985), Two families of mixed finite elements for second order
elliptic problems, Vol. 47.
19. Brezzi F. (1987), Efficient rectangular mixed finite elements in two and
three space variables Vol. 21.
20. Brezzi F. (1991), Mixed and Hybrid Finite Element Method, Springer
Series In Computational Mathematics, Vol. 15.
21. Carlos A. Felippa (2015), Introduction to finite element methods,
University of Colorado, Colorado, USA.
22. C.T.Sun và R.S.Vaidya (1996), "Prediction of composite properties from
a representative volume element", Composites Science and Technology.
56(2), tr. 8.


23. Gusev Andrei A. (2001), "Numerical Identification of the Potential of
Whisker- and Platelet-Filled Polymers", Macromolecules. 34(9), tr. 12.
24. He Qichang (2011), "Effects of size and boundary conditions on the yield
strength of heterogeneous materials", Journal of the Mechanics and
Physics of Solids. 49(11), tr. 18.
25. Huet Christian (1999), "Coupled size and boundary-condition effects in
viscoelastic heterogeneous and composite bodies", Mechanics of
Materials. 31(12), tr. 42.
26. I.M.Gitman, H.Askes và L.J.Sluys (2007), "Representative volume:
Existence and size determination", Engineering Fracture Mechanics.

74(16), tr. 6.
27. J. K. Bathe (2016), Finite Element Procedures, Prentice Hall, New Jersey.
28. J.M.Tyrus, M.Gosz và E.DeSantiago (2007), "A local finite element
implementation for imposing periodic boundary conditions on composite
micromechanical models", International Journal of Solids and Structures.
44(9), tr. 17.
29. Kenjiro Terada và các cộng sự. (2000), "Simulation of the multi-scale
convergence in computational homogenization approaches", International
Journal of Solids and Structures. 37(16), tr. 26.
30. M.I.Okereke và A.I.Akpoyomare (2013), "A virtual framework for
prediction of full-field elastic response of unidirectional composites",
Computational Materials Science. 70, tr. 17.
31. Morais Alfredo Balacos de (2000), "Transverse moduli of continuousfibre-reinforced polymers", Composites Science and Technology. 60(7), tr.
5.
32. O. C. Zienkiewicz và R. L. Taylor (2000), The Finite Element Method, 15,
Vol. 1: The Basic, Butterworth-Heinemann.


33. O.van der Sluis và các cộng sự. (2000), "Overall behaviour of
heterogeneous elastoviscoplastic materials: effect of microstructural
modelling", Mechanics of Materials. 32(8), tr. 13.
34. Okereke Michael và Simeon Keates (2018), Finite Element Applications,
Springer Nature, Switzerland.
35. Otiaba K.C., M. Okereke và R. Bhatti (2014), "Numerical assessment of
the effect of void morphology on thermo-mechanical performance of
solder thermal interface material", Appl. Thermal Eng. 64(1), tr. 12.
36. Qin S. và các cộng sự. (1999), "The effect of particle shape on ductility of
sicp reinforced 6061 al matrix composites", Mater. Sci. Eng. 272(2), tr. 7.
37. R. C. Hibbeler và K. S. Vijay Sekar (2013), Mechanics of Materials, Vol.
9, Pearson Education South Asia Pte Limited.

38. S.Jacques, I.De Baere và W.Van Paepegem (2014), "Application of
periodic boundary conditions on multiple part finite element meshes for
the meso-scale homogenization of textile fabric composites", Composites
Science and Technology. 92, tr. 13.
39. T.Kanit và các cộng sự. (2003), "Determination of the size of the
representative volume element for random composites: statistical and
numerical approach", International Journal of Solids and Structures.
40(13-14), tr. 32.
40. V.-D.Nguyen và các cộng sự. (2012), "Imposing periodic boundary
condition

on

arbitrary

meshes

by

polynomial

interpolation",

Computational Materials Science. 55, tr. 16.
41. V. Kouznetsova, W. A. M. Brekelmans và F. P. T. Baaijens (2001), "An
approach to micro-macro modeling of heterogeneous materials",
Computational Mechanics. 27, tr. 11.


42. Vu Thi Bich Quyen, Dao Ngoc Tien và Nguyen Nhu Dung (2019), "A

modified penalty function method for treating multi freedom constraints in
finite element analysis of frames", Journal of Physics. 1425(2020).
43. Vu Thi Bich Quyen, Dao Ngoc Tien va Nguyen Nhu Dung (2020), "Static
analysis of the truss with multi freedom constraints using mixed element
method", International conference on architechture and civil engineering
(ICACE 2019) education intergration & sustainable development, Vol.2,
tr.52-59, Hanoi Architectural University, Hanoi, Vietnam.
43. Vu Thi Bich Quyen, Dao Ngoc Tien, Nguyen Nhu Dung và Cao Quoc
Khanh (2020), "Penalty function method for imposing nonlinear multi
freedom and multi node constraints in finite element analysis of frame
systems", XXII International Scientific Conference, National University of
Civil Engineering, Hanoi, Vietnam.
44. Zihui Xia, Yunfa Zhang và Fernand Ellyin (2003), "A unified periodical
boundary conditions for representative volume elements of composites and
applications", International Journal of Solids and Structures. 40(8), tr. 14.


PHỤ LỤC
PHỤ LỤC 1: Code lập trình MathCad xử lý điều kiện biên theo phương pháp
hàm phạt trong phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc đa bậc
tự do.
PHỤ LỤC 2: Code lập trình MathCad xử lý điều kiện biên theo phương pháp
nhân tử Lagrange trong phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc
đa bậc tự do.
PHỤ LỤC 3: Code lập trình MathCad xử lý điều kiện biên theo phương pháp
hàm phạt cải tiến trong phân tích tĩnh hệ dàn phẳng có điều kiện biên ràng buộc
đa bậc tự do.