Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ số hàm với điều kiện biên loại ba

Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………… 3
Chương 1
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………….5
1.1 Phương trình truyền nhiệt………………………………………………5
1.2 Công thức Taylor……………………………………………………….7
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN
TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI MỘT………………… 9
2.1 Phát biểu bài toán……………………………………………………….9
2.2 Lưới sai phân và hàm
lưới…………………………………………… 10
2.3 Lược đồ sai
phân……………………………………………………….12
2.4 Bài toán sai phân đối với sai
sè……………………………………… 17
2.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….18
2.6 Sự ổn định…………………………………………………………… 18
2.7 Sự hội
tụ……………………………………………………………… 25
Chương 3
PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT TUYẾN
TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI BA……………………26
3.1 Phát biểu bài toán…………………………………………………… 26
3.2 Lưới sai phân và hàm lưới…………………………………………… 27
1
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
3.3 Lược đồ sai phân………………………………………………………27
3.4 Bài toán sai phân đối với sai sè……………………………………… 32
3.5 Sự xấp xỉ……………………………………………………………….33

3.6 Sự ổn định…………………………………………………………… 33
3.7 Sự hội
tụ……………………………………………………………… 43
KẾT LUẬN ………………………………………………………………….44
PHỤ LỤC ……………………………………………………………………45
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 51
2
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Lời nói đầu
Bài toán truyền nhiệt là một trong ba bài toán vật lý toán cơ bản mà chúng
ta hay gặp trong thực tế. Việc giải các bài toán đó để có được đáp số bằng số là
một yêu cầu quan trọng của thực tiễn. Trong một số Ýt trường hợp, chúng ta có
thể tìm được nghiệm tường minh. Tuy nhiên trong đa số trường hợp, đặc biệt
đối với các bài toán có hệ số hàm thì nghiệm tường minh của bài toán là khó có
thể xác định được, hoặc nghiệm tường minh ở dạng rất phức tạp. Vì vậy trong
trường hợp này chúng ta thường dựa vào các phương pháp giải gần đúng để tìm
nghiệm.
Đến nay có hai lớp phương pháp quan trọng thường được sử dụng để tìm
nghiệm gần đúng là : phương pháp sai phân hữu hạn và phương pháp phần tử
hữu hạn. Phương pháp sai phân là phương pháp được áp dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật. Nội dung của nó là đưa bài toán cần xét về
việc giải phương trình sai phân hoặc hệ phương trình sai phân sao cho việc tính
toán thuận tiện, đồng thời vẫn đảm bảo được tính ổn định của lược đồ, cũng như
đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm gần đúng tìm được tới nghiệm đúng
của bài toán.
Nhận thấy tầm quan trọng của phương pháp sai phân hữu hạn, em đã tìm
hiểu về phương pháp này. Đồng thời với sự hướng dẫn của thầy Tạ Văn Đĩnh,
em đã chọn đề tài : giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai
phân. Trong đồ án này em đã đi xây dựng lược đồ sai phân cho một số dạng bài
toán truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiên biên loại một và điều kiện biên loại ba.

Lược đồ này ổn định, đồng thời nghiệm sai phân của các lược đồ này đều hội tụ
đến nghiệm của bài toán vi phân cấp hai đối với
τ
(bước đi theo thời gian) và
cấp hai đối với
h
(bước đi theo không gian). Cụ thể là đồ án gồm các chương:
Chương 1 : Mở đầu
3
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Chương này giới thiệu phương trình truyền nhiệt và công thức Taylor để
nghiên cứu lược đồ sai phân.
Chương 2: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ
số hàm với điều kiện biên loại một.
Chương 3: Phương pháp sai phân giải bài toán truyền nhiệt tuyến tính hệ
số hàm với điều kiện biên loại ba.
4
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Chương 1
MỞ ĐẦU
1.1 Phương trình truyền nhiệt.
Xét một thanh vật chất không đồng chất, dài L(cm), có thiết diện thẳng
nhỏ không đổi là S(cm
2
), có khối lượng riêng là
ρ
(g/cm
3
), có nhiệt dung là
C(cal/g.

o
C). Xét một bộ phận vật chất có thể tích V(cm
3
). Nếu bộ phận đó có
nhiệt độ không đổi thì nhiệt độ u(
o
C) và nhiệt lượng H(cal) của nó liên hệ với
nhau bởi công thức:
H = u
ρ
CV (1.1)
Người ta quan sát thấy khi thanh vật chất có vùng nóng vùng lạnh thì nhiệt
lượng có khả năng khuếch tán từ vùng nóng sang vùng lạnh. Ta gọi suất khuếch
tán nhiệt là k(cm
2
/s).
Bây giờ giả sử thanh vật chất bị cách nhiệt khỏi môi trường xung quanh,
trừ tại hai đầu mút. Hãy xét diễn biến theo thời gian của phân bố nhiệt độ trong
thanh.
Ta tưởng tượng thanh vật chất đặt trên trục Ox từ x = a đến x = a+L = b
0 a b x
Gọi u(x,t) là nhiệt độ của thanh tại điểm x ở thời điểm t. Nhiệt truyền từ
nơi có nhiệt độ cao tới nơi có nhiệt độ thấp hơn. Sự lan truyền diễn ra dọc theo
thanh vật chất tức là theo phương x. Nó tuân theo định luật truyền nhiệt thực
nghiệm của Fourier.
5
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Luồng nhiệt q(cal/(cm
2
.s)) theo phương x (tức là nhiệt lượng khuếch tán

qua một đơn vị diện tích của thiết diện thẳng nhỏ S trong một đơn vị thời gian) tỉ
lệ với vận tốc biến thiên của nhiệt độ u dọc theo phương x, tức là tỉ lệ với
x
u
∂
∂
:
q = -k
ρ
C
x
u
∂
∂
(1.2)
dấu trừ (-) ở vế phải nói rằng nhiệt truyền theo chiều giảm của nhiệt độ.
Do có định luật bảo toàn nhiệt lượng nên có sự cân bằng nhiệt ở mỗi phân
tố nhỏ S
x
∆
của thanh từ x đến x+
x
∆
trong thời gian
t
∆
. Sự cân bằng này diễn
đạt bằng công thức :
Nhiệt truyền vào phân tố – Nhiệt ra khỏi phân tố = Nhiệt tích luỹ trong
phân tố.

Nhiệt truyền vào phân tố là q(x,t)S
t
∆
;
Nhiệt ra khỏi phân tố là q(x+
x
∆
,t)S
t
∆
;
Nhiệt tích luỹ trong phân tố là S
x
∆
ρ
C
u
∆
. trong đó
u
∆
là biến thiên của
nhiệt độ trong thời gian
t
∆
.
Vậy có :
q(x,t)S
t
∆

- q(x+
x
∆
,t)S
t
∆
= S
x
∆
ρ
C
u
∆
chia cho S
x t∆ ∆
ta được :

q(x,t) q(x x,t) u
C
x t
− + ∆ ∆
= ρ
∆ ∆
chuyển qua giới hạn (bằng cách cho
x 0∆ →
,
t 0
∆ →
), ta có:

q u
C
x x
∂ ∂
− = ρ
∂ ∂
áp dụng định luật Fourier (1.2) ta suy ra:

t
u
C)
x
u
kC(
x
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
ρρ
a < x < b, t > 0, k=k(x,t),

ρ
=
ρ
(x,t), C = C(x,t) (1.3)
6

Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
để đơn giản tính toán ta coi
ρ
=const và C=const ta viết lại phương trình (1.3)

t
u
)
x
u
k(
x ∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
a < x < b, t > 0, k=k(x,t) (1.4)
Phương trình (1.4) mô tả hiện tượng truyền nhiệt trong thanh vật chất
không đồng chất, gọi là phương trình truyền nhiệt của thanh, còn gọi là phương
trình truyền nhiệt một chiều.
Khi trong thanh vật chất còn có một nguồn nhiệt(sinh hay hấp thụ nhiệt)
đặc trưng bởi hàm f(x,t) thì ta có phương trình:

u u
k(x,t,u) f (x,t)
x x t
∂ ∂ ∂
 

+ =
 
∂ ∂ ∂
 
; a < x < b, t > 0 (1.5)
nếu k và f không phụ thuộc vào u thì ta có phương trình truyền nhiệt tuyến tính:

u u
k(x,t) q(x,t)u f (x,t)
t x x
∂ ∂ ∂
 
= − +
 
∂ ∂ ∂
 
; a < x < b, t > 0 (1.6)
nếu trong môi trường truyền nhiệt còn có hiện tượng đối lưu thì có phương trình:

u u u
k(x,t) r(x,t) q(x,t)u f (x,t)
t x x x
∂ ∂ ∂ ∂
 
= + − +
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
; a < x <b, t > 0 (1.7)
Trong phạm vi của đồ án này, em xin trình bày phương pháp sai phân đối

với một số dạng phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại một
và phương trình truyền nhiệt hệ số hàm với điều kiện biên loại ba.
1.2 Công thức Taylor
Ta nhắc lại công thức Taylor vì sau này ta phải sử dụng nó nhiều lần.
Giả sử
( )
xF
là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp m+1 trong một
khoảng
( )
βα
,
chứa x và
xx
∆+
,
x
∆
có thể dương hay âm. Khi đó người ta chứng
minh được công thức Taylor sau:
( ) ( ) ( )
( )
( )
++
∆
+
∆
+=∆+

!2!1

''
2
'
xF
x
xF
x
xFxxF
7
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
cF
m
x
xF
m
x
m
m
m
m
1
1

!1!
+
+
+
∆
+
∆
+
(1.8)
trong đó c là một điểm ở trong khoảng từ
x
đến
xx
∆+
; để diễn tả điều đó ta có
thể viết c =
xx ∆+ .
θ
với
10
<<
θ
.
Ta giả thiết thêm:

( )
constMxF
m
=≤
+

1
,
[ ]
βα
,∈x
Khi đó số hạng cuối cùng ở (1.8) là một vô cùng bé khi
0
→∆
x
và công
thức Taylor (1.8) viết gọn hơn:
( ) ( ) ( )
( )
( )
++
∆
+
∆
+=∆+

!2!1
''
2
'
xF
x
xF
x
xFxxF

( )
( )
( ) ( )
( )
1
!
+
∆+
∆
+
m
m
m
xOxF
m
x
(1.9)
8
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Chương 2
PHƯƠNG PHÁP CRANK – NICOLSON GIẢI BÀI TOÁN
TRUYỀN NHIỆT TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HÀM VỚI ĐIỀU KIỆN
BIÊN LOẠI MỘT
2.1 Phát biểu bài toán
Cho các số
ba,
;
ba <
và
0>T

. Xét:

( ) (
]
TbaQ
T
,0,
×=
;
[ ] [ ]
TbaQ
T
,0,
×=
Xét bài toán biên thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt:
Tìm hàm số
( )
txu ,
thoả mãn:

( ) ( ) ( )
txfutxq
x
u
txk
xt
u
Lu ,,,
=+







∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
≡

( )
T
Qtx ∈,
(2.1)

( ) ( )
xgxu
=
0,
,
bxa
≤≤
(2.2)

( ) ( )
tgtau

a
=
,
,
( ) ( )
tgtbu
b
=
,

Tt
≤<
0
(2.3)
trong đó
( )
txk ,
,
( )
txq ,
,
( )
txf ,
,
( )
xg
,
( )
tg
a

,
( )
tg
b
là những hàm số cho trước
đủ trơn và thoả mãn điều kiện :

( )
txkc ,0
0
≤<
,
( )
txq ,0 ≤
c
0
= const
Phương trình (2.1) là phương trình loại parabol. Phương trình (2.1) là
phương trình truyền nhiệt một chiều. Biến
x
gọi là biến không gian, còn biến
t
gọi là biến thời gian.
Bài toán (2.1)-(2.3) là một bài toán vừa có điều kiện ban đầu (đó là điều
kiện (2.2)), vừa có điều kiện biên (đó là điều kiện (2.3)); Đó là bài toán biên loại
một đối với phương trình (2.1).
Giả sử bài toán (2.1)-(2.3) có nghiệm duy nhất đủ trơn trong
T
Q
.

2.2 Lưới sai phân và hàm lưới
9
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
2.2.1 Lưới sai phân
Chọn hai số nguyên N >1 và M ≥ 1 và đặt:

N
ab
h
−
=
,
ihax
i
+=
, i=0,1,2,…N

M
T
=
τ
,
τ
jt
j
=
. j = 0,1,2,…,M
Ta chia miền
T
Q

thành các ô bởi những đường thẳng
i
xx
=
,
j
tt
=
. Mỗi
điểm
( )
ji
tx ,
gọi là một nút, nút
( )
ji
tx ,
còn được viết gọn là (i,j);
h
gọi là bước đi
theo không gian,
τ
được gọi là bước đi theo thời gian.
Tập tất cả các nút tạo thành một lưới sai phân trên
T
Q
.
Lưới trên [a, b] (lưới không gian): Tập:
Ω
h

= { x
i
| i=1,2,…,N-1}
gọi là tập các nút trong trên
[ ]
ba,
. Tập:
Γ
h
= { x
i
| i=0, N }
gọi là tập các nút biên trên
[ ]
ba,
; nót 0 và nút N là hai nút biên. Tập:

hhh
Γ×Ω=Ω
gọi là một lưới sai phân trên
[ ]
ba,
.
Lưới trên
[ ]
T,0
(lưới thời gian): Tập:

{ }
j

t | j 1,2, ,M
τ
Ω = =
gọi là một lưới sai phân trên
(
]
T,0
. Tập:

{ }
{ }
0tM0,1, ,j|t
0j
=∪Ω===Ω
ττ
gọi là một lưới sai phân trên
[ ]
T,0
; nót t
o
= 0 là nút ban đầu.
Tập:

ττ
Ω∪Ω=Ω
hh
là tập các nút trong trên
T
Q
.

Tập:
10
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

{ }
h o
x a
−
τ τ
Γ = = ×Ω
gọi là tập các nút biên trái. Tập:

{ }
h o
x b
+
τ τ
Γ = = ×Ω
gọi là tập các nút biên phải. Tập:

{ }
0
h h 0
t 0
τ
Γ = Ω × =
gọi là tập các nút ban đầu.
Nh vậy tập:

0

h h h h h h
− +
τ τ τ τ τ τ
Ω = Ω ×Ω = Ω ∪Γ ∪Γ ∪ Γ
chính là lưới sai phân trên
T
Q
.
Ta phân lưới sai phân
T
Q
thành nhiều lớp :
Lớp thứ j tạo bởi các nút ứng cùng một giá trị thời gian t
j
là:

{ }
j
h i j
(x ,t ),i 0,1, ,N
Ω = =
;
nót (x
0
, t
j
) = (a, t
j
) và (x
N

, t
j
) = (b, t
j
) là hai nút biên.
2.2.2 Hàm lưới
Hàm số xác định tại các nút của một lưới nào đó gọi là một hàm lưới. Giá
trị của hàm lưới v tại nút (i, j) là
j
i
v
. Các giá trị cua hàm lưới v tại các nút của lớp
j
i
Ω
tạo thành hàm lưới v
j
xác định trên
h
Ω
. Ta có:

( )
1
10
, ,,
+
∈=
Nj
N

jjj
Rvvvv

Trong tập các hàm lưới này ta xét hai loại chuẩn

{ }
j
i
Ni
j
vv
≤≤
∞
=
0
max

( ) ( ) ( )
]h [
22
1
2
0
2
j
N
jjj
vvvv +++=

Mỗi hàm số u(x,t) xác định trên

T
Q
có giá trị tại (i,j) là u(x
i
,t
j
) và tạo ra hàm
lưới u xác định bởi
j
i
u
=u(x
i
,t
j
)
2.3 Lược đồ sai phân
11
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Sử dụng phương pháp Crank-Nicolson (6 điểm đối xứng) để giải.
Dùng công thức Taylor ta tính xấp xỉ các đạo hàm của phương trình (2.1)
tại các nút lưới ta có:
Với quy ước
2/
2/1
τ
+=
+
jj
tt

( ) ( ) ( )
+
∂
∂
+=






+=
++++
2/12/12/11
,
2
,
2
,,
jijijiji
tx
t
u
txutxutxu
ττ

( )
( )
3
2/1

2
2
2
,
2!2
1
τ
τ
Otx
t
u
ji
+
∂
∂






+
+
( ) ( ) ( )
+
∂
∂
−=







−=
+++
2/12/12/1
,
2
,
2
,,
jijijiji
tx
t
u
txutxutxu
ττ

( )
( )
3
2/1
2
2
2
,
2!2
1
τ

τ
Otx
t
u
ji
+
∂
∂






+
+
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=+
∂
∂
+
∂
∂
=−
+++
3
2/12/11
,

2
,
2
,,
τ
ττ
Otx
t
u
tx
t
u
txutxu
jijijiji

( )
( )
3
2/1
,
ττ
Otx
t
u
ji
+
∂
∂
=
+

⇒
( ) ( )
( )
2
1
2
,
,,
τ
τ
τ
Otx
t
u
txutxu
ji
jiji
+






+
∂
∂
=
−
+

(2.4)

( ) ( ) ( )
( )
2
2/12/12/11
,
2
,
2
,,
τ
ττ
Otx
t
u
txutxutxu
jijijiji
+
∂
∂
+=






+=
++++

( ) ( ) ( )
( )
2
2/12/12/1
,
2
,
2
,,
τ
ττ
Otx
t
u
txutxutxu
jijijiji
+
∂
∂
−=






−=
+++
⇒

( ) ( ) ( )
( )
2
2/11
,2,,
τ
Otxutxutxu
jijiji
+=+
++

⇒
( ) ( )
( )
( )
2
2/1
1
,
2
,,
τ
Otxu
txutxu
ji
jiji
+=
+
+
+

(2.5)
theo (2.5) ta có :
( )
2
2/112/12/12/1
),(),(),(),(
2
1
),(),(
τ
Otx
x
u
txktx
x
u
txk
x
tx
x
u
txk
x
jijijijijiji
+







∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
+++++
12
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( )
2
2/112/1
),(),(),(),(
2
1
τ

Otx
x
u
txk
x
tx
x
u
txk
x
jijijiji
+












∂
∂
∂
∂
+







∂
∂
∂
∂
=
+++
(2.6)
Ta chứng minh:



+






−++−+
++++++
),(),
2
(),
2
(),(),

2
(
1
12/12/1112/1
2
jijijijiji
txut
h
xkt
h
xktxut
h
xk
h

( )
2
12/1112/1
),(),(),(),
2
( hOtx
x
u
txk
x
txut
h
xk
jijijiji
+







∂
∂
∂
∂
=



−+
+++−+
Theo công thức Taylor ta có :

( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2
2
2/12/12/1
,
2!2
1
,

2
,,
2
hOtx
x
kh
tx
x
kh
txkt
h
xk
jijijiji
+
∂
∂






+
∂
∂
+=







+
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
1
3
3
3
1
2
2
2
1111
,
!3
1
,
!2
1
,,, hOtx
x
u
htx
x
u
htx

x
u
htxutxu
jijijijiji
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
++++++
⇒
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
1
3
3
1
2
2
1
111
,
6

,
2
,
,,
hOtx
x
uh
tx
x
uh
tx
x
u
h
txutxu
jijiji
jiji
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
+++
+++

( ) ( )
=
−






+
+++
+
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
111
2/1
,,
,
2

( ) ( ) ( ) ( )
+







∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
++++
12/112/1
,,
2
,,
jijijiji
tx
x
u
txk
x
h
tx
x
u
txk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )

3
12/1
2
2
1
2
2
2/11
3
3
2/1
2
,,
8
1
,,
4
1
,,
6
1
hOtx
x
u
tx
x
k
tx
x
u

tx
x
k
tx
x
u
txkh
jijijijijiji
+






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
++++++
(2.7)

Một cách tương tự ta có:

( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2
2
2/12/12/1
,
2!2
1
,
2
,,
2
hOtx
x
kh
tx
x
kh
txkt
h
xk
jijijiji
+
∂
∂







+
∂
∂
−=






−
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
1
3
3
3
1
2
2
2

1111
,
!3
1
,
!2
1
,,, hOtx
x
u
htx
x
u
htx
x
u
htxutxu
jijijijiji
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−=
+++++−

( ) ( )
=
−






−
+−+
+
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
111
2/1
,,
,
2
13
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( ) ( ) ( ) ( )
+







∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
++++
12/112/1
,,
2
,,
jijijiji
tx
x
u
txk
x
h
tx
x
u
txk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )
3
12/1
2
2
1
2
2
2/11
3
3
2/1
2
,,
8
1
,,
4
1
,,
6
1
hOtx
x
u
tx
x
k
tx
x

u
tx
x
k
tx
x
u
txkh
jijijijijiji
+






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
++++++

(2.8)
LÊy (2.7)-(2.8) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
=
−






−−
−






+
+−+
+
+++
+
h
txutxu
t
h
xk
h

txutxu
t
h
xk
jiji
ji
jiji
ji
111
2/1
111
2/1
,,
,
2
,,
,
2

( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
12/112/1
,,
2
,,
2
hOtx
x
u

txk
x
h
tx
x
u
txk
x
h
jijijiji
+






∂
∂
∂
∂
+






∂
∂

∂
∂
=
++++

( ) ( )
( )
3
12/1
,, hOtx
x
u
txk
x
h
jiji
+






∂
∂
∂
∂
=
++
⇒

( ) ( ) ( ) ( )
=
−






−−
−






+
+−+
+
+++
+
2
111
2/1
2
111
2/1
,,
,

2
,,
,
2 h
txutxu
t
h
xk
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
jiji
ji

( ) ( )
( )
2
12/1
,, hOtx
x
u
txk
x
jiji
+







∂
∂
∂
∂
=
++
(2.9)
Tương tù nh vậy ta chứng minh :




+






−++−+
++++
),(),
2
(),
2

(),(),
2
(
1
`2/12/112/1
2
jijijijiji
txut
h
xkt
h
xktxut
h
xk
h

( )
2
2/112/1
),(),(),(),
2
( hOtx
x
u
txk
x
txut
h
xk
jijijiji

+






∂
∂
∂
∂
=



−+
+−+
Theo công thức Taylor ta có :

( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2
2
2/12/12/1
,
2!2
1

,
2
,,
2
hOtx
x
kh
tx
x
kh
txkt
h
xk
jijijiji
+
∂
∂






+
∂
∂
+=







+
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
3
3
3
2
2
2
1
,
!3
1
,
!2
1
,,, hOtx
x
u
htx
x
u
htx
x

u
htxutxu
jijijijiji
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+=
+
⇒
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
3
3
2
2
1
,
6
,
2
,
,,

hOtx
x
uh
tx
x
uh
tx
x
u
h
txutxu
jijiji
jiji
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
+
14
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( ) ( )
=

−






+
+
+
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
,,
,
2
1
2/1

( ) ( ) ( ) ( )
+







∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=
++
jijijiji
tx
x
u
txk
x
h
tx
x
u
txk ,,
2
,,
2/12/1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2

2
2
2/1
3
3
2/1
2
,,
8
1
,,
4
1
,,
6
1
hOtx
x
u
tx
x
k
tx
x
u
tx
x
k
tx
x

u
txkh
jijijijijiji
+






∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
+++
(2.10)
Tiếp tục ta có:

( ) ( ) ( )
( )
3

2/1
2
2
2
2/12/12/1
,
2!2
1
,
2
,,
2
hOtx
x
kh
tx
x
kh
txkt
h
xk
jijijiji
+
∂
∂







+
∂
∂
−=






−
++++

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
3
3
3
2
2
2
1
,
!3
1
,
!2
1

,,, hOtx
x
u
htx
x
u
htx
x
u
htxutxu
jijijijiji
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−=
−

( ) ( )
=
−







−
−
+
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
,,
,
2
1
2/1

( ) ( ) ( ) ( )
+






∂
∂
∂
∂

−
∂
∂
=
++
jijijiji
tx
x
u
txk
x
h
tx
x
u
txk ,,
2
,,
2/12/1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2/1
2
2
2
2
2/1
3
3

2/1
2
,,
8
1
,,
4
1
,,
6
1
hOtx
x
u
tx
x
k
tx
x
u
tx
x
k
tx
x
u
txkh
jijijijijiji
+







∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
+++
(2.11)
Lấy (2.10)-(2.11) ta có
( ) ( ) ( ) ( )
=
−







−−
−






+
−
+
+
+
h
txutxu
t
h
xk
h
txutxu
t
h
xk
jiji
ji
jiji
ji
,,
,
2

,,
,
2
1
2/1
1
2/1

( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2/12/1
,,
2
,,
2
hOtx
x
u
txk
x
h
tx
x
u
txk
x
h
jijijiji
+







∂
∂
∂
∂
+






∂
∂
∂
∂
=
++

( ) ( )
( )
3
2/1
,, hOtx
x

u
txk
x
h
jiji
+






∂
∂
∂
∂
=
+
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
=
−






−−
−







+
−
+
+
+
2
1
2/1
2
1
2/1
,,
,
2
,,
,
2
h
txutxu
t
h
xk
h
txutxu

t
h
xk
jiji
ji
jiji
ji
15
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

( ) ( )
( )
2
2/1
,, hOtx
x
u
txk
x
jiji
+






∂
∂
∂

∂
=
+
(2.12)
thay (2.9) và (2.12) vào (2.6) ta được :
( )
[ ]
( ) ( )
+





++−
+−
+
+
++
+++
+
+
2
11
2/1
1
2/12/1
111
2/1
1

,,,
2
1
h
txuatxuaatxua
ji
j
iji
j
i
j
iji
j
i
( )
[ ]
( ) ( )
( )
22
2/1
2
1
2/12/12/1
111
2/1
1
),(
,,,
hOtx
x

u
k
xh
txuatxuaatxua
ji
ji
j
iji
j
i
j
ii
j
i
++






∂
∂
∂
∂
=






++−
+
+
−
+++
++
+
+
τ
(2.13)
với






+=
+
+
+ 2/1
2/1
1
,
2
ji
j
i
t

h
xka
và






−=
+
+
2/1
2/1
,
2
ji
j
i
t
h
xka

Áp dông (2.4), (2.5) và (2.13) ta có:
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
+






++−
−
−
+−
+
+
++
+++
+
++
2
11
2/1
1
2/12/1
111
2/1
11
,,,
2
1
,,
h
txuatxuaatxuatxutxu
ji
j
iji

j
i
j
iji
j
ijiji
τ
( )
[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( )
=
+
+





++−
+
+
+
−
+++
++
+
+
2

,,
,
,,,
1
2/1
2
1
2/12/12/1
111
2/1
1 jiji
j
ji
j
iji
j
i
j
ii
j
i
txutxu
txq
h
txuatxuaatxua
( ) ( )
( )
( )
( )
22

2/12/12/1
,,, hOtxqutx
x
u
k
x
tx
t
u
jijiji
+++






∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
+++
τ
(2.14)
với







+=
+
+
+ 2/1
2/1
1
,
2
ji
j
i
t
h
xka
và






−=
+
+
2/1

2/1
,
2
ji
j
i
t
h
xka

ĐÓ có
( )
ji
j
i
txuv ,
≈
ta viết bài toán sai phân thay thế cho bài toán vi phân

( )
+



++−
−
−
≡
+
−

++++
+
+
+
+
+
+
2
1
1
2/112/12/1
1
1
1
2/1
1
1
h
2
1
L
h
vavaavavv
v
j
i
j
i
j
i

j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
τ
τ

( )
( )
=
+
+



++−
+
+
+
−
+++
++

+
+
2
,
1
2/1
2
1
2/12/12/1
11
2/1
1
j
i
j
i
ji
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j

i
vv
txq
h
vavaava

( )
2/1
,
+
=
ji
txf
(2.15)

( )
ii
xgv
=
0
(2.16)

( )
ja
j
tgv
=
0

( )

jb
j
N
tgv
=
(2.17)
16
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Mỗi phương trình (2.15) chứa 3 Èn
1
1
11
1
,,
+
+
++
−
j
i
j
i
j
i
vvv
ở lớp trên j+1 và 3 Èn
j
i
j
i

j
i
vvv
11
,,
+−
ở lớp j theo sơ đồ :
sơ đồ này gọi là sơ đồ 6 điểm đối xứng hay sơ đồ Crank-Nicolson.
Đặt
2
h
τ
γ
=
phương trình (2.15) viết lại là :

=−






+
+
++−
+
−
++
+++

+
+
+
+
+
1j
1i
1/2j
i
1j
i
1/2j
i
1/2j
i
1/2j
1i
1j
1i
1/2j
1i
va
2
1
v
2
q
2
)aa(
1va

2
1
γ
τγ
γ

1/2j
i
j
1i
1/2j
i
j
i
1/2j
i
1/2j
i
1/2j
1i
j
1i
1/2j
1i
fva
2
1
v
2
q

2
)aa(
1va
2
1
+
−
+
+++
+
+
+
+
++






−
+
−+=
τγ
τγ
γ
với
( )
2/1
2/1

,
+
+
=
ji
j
i
txqq
,
( )
2/1
2/1
,
+
+
=
ji
j
i
txff
các điều kiện (2.16), (2.17) cho
j
N
j
i
vvv ,,
0
0
Khi biết
j

i
v
ở lớp j phương trình (2.15) cho phép tính
1
+
j
i
v
nhưng phải giải
một hệ đại số tuyến tính đối với
11
2
1
1
, ,,
+++
j
N
jj
vvv
. Đây là một phương pháp Èn.
Hệ (2.15) là một hệ 3 đường chéo có thể giải bằng phương pháp truy đuổi.
2.4 Bài toán sai phân đối với sai sè
Gọi v là nghiệm của bài toán sai phân (2.15) – (2.17) và u là nghiệm của
bài toán vi phân (2.1) – (2.3) . Đặt w = v – u thì w là sai số phương pháp và :

uL-vLwL
hhh
τττ
=

do đó :
t
t
j+1
t
j
t
j-1
x
i-1
x
i
x
i+1
x
17
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

=
wL
h
τ
ϕ, ϕ = f -
uL
h
τ
đồng thời:

0uvw
0

i
0
i
0
i
=−=
,

0uvw
j
0
j
0
j
0
=−=
,

0uvw
j
N
j
N
j
N
=−=
Vậy w thỏa mãn :

=
τ

h
L
ϕ,
0w
0
i
=
,
0w
j
0
=
,
0w
j
N
=
(2.17)
2.5 Sự xấp xỉ
Theo (2.14) ta có :

)hO(LuuL
22
h
++=
τ
τ
đó là sự xấp xỉ toán tử vi phân L bởi toán tử sai phân
τ
h

L
. Từ đó ta suy ra :

=
wL
h
τ
ϕ, ϕ =
)hO(
22
+
τ
(2.18)
Ta nói bài toán sai phân (2.15) – (2.17) xấp xỉ bài toán vi phân (2.1) –
(2.3), cấp xấp xỉ là cấp hai đối với
τ
và cấp hai đối với h.
2.6 Sự ổn định
Xét bài toán sai phân với điều kiện biên thuần nhất (2.17). Để trình bày sự
ổn định, trước hết ta đưa ra một số khái niệm và một số kết quả phụ:
Với mỗi hàm lưới w xác định trên lưới:

ττ
Ω×Ω=Ω
hh
Ta xét các đạo hàm lưới :

( )
τ
ww

w
j-
i
j
i
j
i
t
1
−
=

( )
h
ww
w
j
i-
j
i
j
i
x
1
−
=


( )
h

ww
w
j
i
j
i
j
i
x
−
=
+1
18
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
do đó :

( )
( )
( ) ( )
=
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+

h
wawa
wa
j
i
x
/j
i
j
i
x
/j
i
x
j
i
x
/j
i
1
21
1
1
21
1
1
21


=

−
−
−
=
++
+
++
+
+
+
h
h
ww
a
h
ww
a
j
i-
j
i
/j
i
j
i
j
i
/j
i
1

1
1
21
11
1
21
1


2
1
1
2112121
1
1
1
21
1
h
wa)wa(awa
j
i-
/j
i
j
i
/j
i
/j
i

j
i
/j
i
+++++
+
+
+
+
+
++−
=
tương tù ta có :

( )
( )
( ) ( )
=
−
=
+
+
+
+
+
h
wawa
wa
j
i

x
/j
i
j
i
x
/j
i
x
j
i
x
/j
i
21
1
21
1
21

=
−
−
−
=
+
+
+
+
h

h
ww
a
h
ww
a
j
i-
j
i
/j
i
j
i
j
i
/j
i
1
21
1
21
1

2
1
212121
11
21
1

h
wa)wa(awa
j
i-
/j
i
j
i
/j
i
/j
i
j
i
/j
i
+++
++
+
+
++−
=
Với hai hàm lưới bất kì v và w xác định trên
h
Ω
, ta xét các tổng :

( )
∑
−

=
=
1
1
N
i
ii
hwvv,w

(
]
∑
=
=
N
i
ii
hwvv,w
1
Ta chứng minh công thức tổng từng phần :

( ) (
]
,vwvwvww,v
xNNx
−−=
10
(2.19)
Thật vậy ta có :

( )
∑∑
=
+
=
−==
1
1
1
1
1
N-
i
iii
N-
i
xiix
)v(vwhvww,v

∑ ∑ ∑∑
= = =
+++++
=
+
−++−=−=
1
1
1
1
1

1
11111
1
1
1
N-
i
N-
i
N-
i
iiiiiiii
N-
i
iiii
)vwv(wvwvw)vwv(w

∑ ∑
= =
++++
−+−−=
1
1
1
1
1111
N-
i
N-
i

iiiiiii
)vwv(w)vw(w

∑
=
−+−−=
1
2
111
N-
i
NNii-i
vwvw)vw(w
19
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

∑
=
−+−=
1
2
11
N-
i
NNiix
vwvwhvw

∑
=
−++−=

1
1
1111
N-
i
NNxiix
vwvwhvwhvw

∑
=
−+−+−=
1
1
111011
N-
i
NNiix
vwvw)vwv(whvw

∑
=
−−=
1
1
10
N-
i
iixNN
hvwvwvw

(
]
,vwvwvw
xNN
−−=
10
đó là (2.19)
Từ (2.19) ta suy ra công thức Green sai phân sau:

( ) (
]
xxxNxNxx
,wvvwvw,wv
−−=
10
(2.20)
Bây giờ phương trình
=
wL
hτ
ϕ ở (2.18) có thể viết thành :

( )
1
1
21211211
22
1
+

+
+++++
=
+
++−
j
jj
/j
x
j
x
/jj
x
/jj
t
ww
qwawaw
ϕ
hay

( )( )
1
1
1111
22
1
+
+
++++
=

+
++−
j
jj
j
x
x
jjjj
t
ww
qwwaw
ϕ
với
211 /j
i
j
i
aa
++
=

211 /j
i
j
i
qq
++
=
Đặt
j11

ˆ
www
jj
+=
++
vậy

( )( )
1
1
1111
2
ˆ
ˆ
2
1
+
+
++++
=+−
j
j
j
x
x
jjj
t
w
qwaw
ϕ

(2.21)
Nhân cả hai vế của (2.21) với
( )
i
j
t
wτh
1
2
+
rồi cộng lại theo i ta được :

( )
( )
( )
( )
( )
( )
111
1
1
1
11
2
ˆˆ
2
+++
+
+
+

++
=+−
j
t
jj
t
j
j
t
j
x
x
j
t
j
t
,wτ,wwqτ,wwaτ,wwτ
ϕ
áp dông công thức Green sai phân (2.20) với chú ý rằng
0
11
0
==
++
j
N
j
ww
ta được

( )
( )
(
]
( )
( )
( )
111
11
2
2
1
2
ˆˆ
2
+++
++
+
=++
j
t
jj
t
jj
x
t
j
x
j
t

,wτ,wwqτw,waτwτ
ϕ
20
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
( ) ( ) ( )
11
1
11
1
11
2
2
1
22
++
+
++
+
+++
=

















−
++
















−
++
j
t
j
jj

jjj
j
x
j
x
j
x
j
x
jj
t
,wτ
τ
ww
,wwqτ
τ
ww
,wwaτwτ
ϕ
(
]
(
]
( ) ( ) ( )
1111111111
2
2
1
2,2
+++++++++++

=−+−+
j
t
jjjjjjjj
x
j
x
jj
x
j
x
jj
t
,wτ,wwq,wwqwwa,wwawτ
ϕ
(2.22)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

( ) ( )
2
2
1
2
2
1
2
1
2
11111
222

++++++++
+≤≤≤
j
t
jj
t
jj
t
jj
t
j
wττwτ,wτ,wτ
ϕϕϕϕ
do đó (2.22) cho :
(
]
(
]
( ) ( )
2
2
1
2
2
111111111
2
2
1
,2
+++++++++++

+≤−+−+
j
t
jjjjjjjj
x
j
x
jj
t
j
x
jj
t
wττ,wwq,wwqwwa,wwawτ
ϕ
(
]
(
]
( ) ( )
2
2
111111111
2
2
1
,,
++++++++++
≤−+−+
jjjjjjjj

x
j
x
jj
x
j
x
jj
t
τ,wwq,wwqwwawwawτ
ϕ

(
]
( ) (
]
( )
2
2
111111111
,
+++++++++
≤−−+
jjjjj
x
jjjjj
x
j
x
j

τ,wwqwa,wwqwwa
ϕ
(2.23)
Mặt khác







−
∂
∂
+






−−=






+−==
++

jijiji
/j
i
j
t,
h
x
t
k
τ
τ
,t
h
xk
τ
,t
h
xkaa
22222
211
với
22
τ
tt
τ
t
jjj
+≤≤−








−
∂
∂
+=
+
ji
jj
t,
h
x
t
k
τaa
2
1







−
∂
∂

=
−
+
ji
jj
t,
h
x
t
k
τ
aa
2
1
với giả thiết
Lt,
h
x
t
k
ji
≤






−
∂

∂
2
⇒
Lt,
h
x
t
k
τ
aa
ji
jj
≤






−
∂
∂
=
−
+
2
1
Tương tự với giả thiết
( )
Lt,x

t
q
ji
≤
∂
∂
21
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
nên ta có
L
τ
qq
jj
≤
−
+
1
từ (2.23) ta có:

(
]
( ) (
]
( )
2
2
111111111 +++++++++
++≤+
jjjjj
x

j
x
jjjjj
x
j
x
j
τ,wwq,wwa,wwq,wwa
ϕ

XÐt trường hợp
0
=
j
q
:
⇒
( )
0,
1
=
+
jjj
wwq
và
( )
0,
111
=
+++

jjj
wwq
Vậy
(
]
(
]
2
2
11111
+++++
+≤
jj
x
j
x
jj
x
j
x
j
τ,wwa,wwa
ϕ
⇔
(
]
2
2
1
1

111 +
+
+++
+
















−
+≤
jj
x
j
x
j
j
jj
jj

x
j
x
j
τ,wwa
aτ
)aa(
τa,wwa
ϕ
mà
L
c
L
aτ
)aa(
j
jj
=≤
−
+
0
1
⇒
(
]
( )
(
]
2
2

1111
1
++++
++≤
jj
x
j
x
jj
x
j
x
j
τ,wwaL,wwa
ϕτ

Đặt
( )
(
]
j
x
j
x
j
wwajE ,
=
ta có :
( )
( )

( )
2
2
1
11
+
++≤+
j
jELjE
ϕττ

( )
( )
( )
2
2
1
011
ϕττ
++≤
ELE

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2

2
2
2
1
2
2
2
2
101112
ϕτϕτττϕττ
++++≤++≤
LELELE
…
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2

2
110111
j
jjj
j
LLELjELjE
ϕτϕττϕτττϕττ
+++++++≤+−+≤
−−
⇒
( )
( )
( )
( )
2
2
1
101
s
sj
j
s
j
LELjE
ϕτττ
−
=
∑
+++≤
Đặt

2
2
2
2
max
s
s
ϕϕ
=
và vì
( )
( )
0,0
000
==
xx
wwaE

⇒
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1
11
11

1
ϕ
τ
τ
τϕττ
−+
−+
=+≤
−
=
∑
L
L
LjE
j
sj
j
s
vì
( )
( )
( )
11
11
1
1
−+
−+
=+
∑

=
L
L
L
j
j
s
τ
τ
τ
22
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
⇒
( )
( ) ( )
2
2
2
2
1111
ϕ
τ
ϕ
τ
τ
τ
L
L
L
L

jE
jj
−+
=
−+
≤
dễ thấy
( )
j
tL
j
eL
≤+<
τ
10
⇒
( )
2
2
1
ϕ
L
e
jE
j
tL
−
≤
⇒
(

]
2
2
1
ϕ
L
e
,wwa
j
tL
j
x
j
x
j
−
≤
(2.24)
Xét trường hợp
0
0
>=≥
constq
j
θ

(
]
( )
+
















−
+≤+
+
++++++ j
x
j
x
j
j
jj
jjjjj
x
j
x
j

,wwa
aτ
)aa(
τa,wwq,wwa
1
111111

2
2
1
1
+
+
+

















++
jjjj
j
jj
j
τ,wwq
qτ
)q-q(
τq
ϕ
mà
L
c
L
aτ
)aa(
j
jj
=≤
−
+
0
1

L
qτ
)qq(
j
jj
≤

−
+1
⇒
(
]
( )
( )
(
]
( )
[ ]
2
2
1111111
1
+++++++
+++≤+
jjjjj
x
j
x
jjjjj
x
j
x
j
τ,wwq,wwaLτ,wwq,wwa
ϕ
đặt
( )

(
]
( )
jjjj
x
j
x
j
,wwq,wwajF
+=
ta có
( ) ( )
2
2
1
11
+
++≤+
j
τj)FLτ(jF
ϕ

( )
( )
( )
2
2
1
011
ϕττ

++≤
FLF

( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
101112
ϕτϕτττϕττ
++++≤++≤
LFLFLF
… ……
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )

2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
110111
j
jjj
j
LLFLjFLjF
ϕτϕττϕτττϕττ
+++++++≤+−+≤
−−
⇒
( ) ( )
∑
=
+
+++≤
j
s
jj-sj
)Lτ(τF)Lτ(jF

1
2
2
1
101
ϕ
23
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân
Đặt
2
2
2
2
max
s
s
ϕϕ
=
và vì
( )
( ) ( )
0,,0
00000
=+=
wwqwwaF
j
xx
⇒
( )
( )

( )
( )
2
2
2
2
1
11
11
1
ϕ
τ
τ
τϕττ
−+
−+
=+≤
−
=
∑
L
L
LjF
j
sj
j
s
với
( )
( )

( )
11
11
1
1
−+
−+
=+
∑
=
L
L
L
j
j
s
τ
τ
τ

( )
( ) ( )
2
2
2
2
1111
ϕ
τ
ϕ

τ
τ
τ
L
L
L
L
jF
jj
−+
=
−+
≤
dễ thấy
( )
j
tL
j
eL
≤+<
τ
10
⇒
( )
2
2
1
ϕ
L
e

jF
j
tL
−
≤

(
]
( )
2
2
1
ϕ
L
e
,wwq,wwa
j
tL
jjjj
x
j
x
j
−
≤+

mà
( )
0,
≥

jjj
wwq
⇒
(
]
2
2
1
ϕ
L
e
,wwa
j
tL
j
x
j
x
j
−
≤
giống công thức (2.24)
ta lại có :

j
ix
j
i-
j
i

hwww
+=
1
ta suy ra:

∑∑
==
=⇒+=
i
i
j
ix
j
i
i
i
j
ix
jj
i
hwwhwww
11
0
vì
0
0
=
j
w
. Do đó, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có :

( ) ( )
( )
≤≤






=
∑∑∑
===
i
i
i
i
j
ix
i
i
j
ix
j
i
h.whhww
1
2
1
2

2
1
2
1

( ) ( ) (
]
∑∑
==
=≤≤
N
i
j
x
j
x
j
ix
N
i
j
ix
,ww(b-a)wh(b-a).Nhwh
1
2
1
2
mà
(
]

(
]
j
x
j
x
jj
x
j
x
,wwa,wwc
≤
0
và
( )
0
≥
jjj
,wwq
nên từ (2.24) ta suy ra :

( )
( )
2
2
0
2
j
i
L

1a-b
w
ϕ
−
≤
j
tL
e
c
24
Giải bài toán truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp sai phân

2
2
0
j
L
1
c
a-b
w
ϕ
−
≤
∞
j
tL
e
(2.25)
Bất đẳng thức (2.25) là bất đẳng thức nói lên sự ổn định của phương pháp

Crank-Nicolson. Ta có bÊt đẳng thức ổn định (2.25) mà không cần một hạn chế
về quan hệ giữa
τ
và h . Vậy phương pháp Crank-Nicolson là một phương pháp
ổn định vô điều kiện.
2.8 Sự hội tụ
Bất đẳng thức ổn định (2.25) kết hợp với sự xấp xỉ (2.18) cho :

)hO(
L
1
c
a-b
w
22
2
0
j
+=
−
≤
∞
∞
τϕ
tL
e
(2.26)
Vậy có:

)hO(uvw

22jjj
+=−=
∞∞
τ
(2.27)
đó là sự hội tụ và đánh giá sai số của phương pháp Crank-Nicolson.
25