ON TAP HSG CHU DE CAN BAC HAI

CĂN BẬC HAI-CĂN BẬC BA
A.LÝ THUYẾT
I.CĂN BẬC HAI-ĐỊNH NGHĨA VÀ KÍ HIỆU

1.Căn bậc hai số học của một số a 0 là một số khơng âm x có bình phương bằng a.Kí hiệu x=
a
 x 0
x a   2
 x 
2.Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0
3.Với hai số a;b không âm ta có a  b  a  b

 a

2

a

A2  A

II.CĂN THỨC BẬC HAI-ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI-HẰNG ĐẲNG THỨC

1.Điều kiện để
2.

A tồn tại là A 0

 AneuA 0
A2  A 
 AneuA  0

III.KHAI PHƯƠNG MỘT TÍCH-NHÂN CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương một tích: Nếu A 0; B 0 thì A.B  A. B
2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A 0; B 0 thì A. B  A.B
IV. KHAI PHƯƠNG MỘT THƯƠNG-CHIA CÁC CĂN THỨC BẬC HAI

1.Quy tắc khai phương một thương: Nếu A 0; B 0 thì
2.Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: : Nếu A 0; B  0 thì

A
A

B
B
A
A

B
B

VI.BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI

A2 B  A . B
1.Đưa một thừa số ra ngoài dấu căn:
Với B 0
2. Đưa một thừa số vào trong dấu căn:
2
Với A 0; B 0 ta có A B  A B
2
Với A  0; B 0 ta có A B  A B

A
AB

B
B
3.Khử mẫu biểu thức lấy căn:
Với AB 0 và B 0
4.Trục căn thức ở mẫu:
A
A B

mB
a.Với B  0 ta có m B



C m A B
C
1

2
m2 A  B2
b. Với A 0 ; A  m B2 ta có m A B





C m A n B
C

n2

2
m2 A  n2 B
c. Với A 0; B 0 ;A  m B ta có: m A n B
VII.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH –RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI

p A  q A  r A  m  p  q  r  A  m

. Trong đó m,p,q,r  R; A  Q

VIII.CĂN BẬC BA

1.Căn bậc ba của một số a là một lũy thừa bậc ba bằng a
2.Mọi số thực đều có căn bậc ba duy nhất






3
3. a 0  a  0 ;

3

a  0  a  0 ; 3 0 0

B.CÁC VÍ DỤ:







 2x  1 x 2x x  x  x  x  x 1 x
A 

1
 .
1 x
1 x x
2 x1


1.Ví dụ 1::Cho biểu thức
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm x để

A

1
7

1
x 0; x  ; x 1
4
Điều kiện:
2

Đặt x a; a 0  x a , ta có:
2
 2a 2  1  a 2a 3  a 2  a   a  a   1  a 
A 

1
.
2
1  a3
2a  1
 1 a

  a  1  2a  1 a  a  1  2a  1  a  a  1  1  a 
.
A 

1
2
2a  1
  1  a   a  1  a  1  a  a  1 

A=

[

( 2 a −1 ) a ( 2 a −1 ) a ( a −1 ) (1 − a )
+
.
−1
2 a− 1

( 1 −a ) ( a2 −a+ 1 )

]

 1

a  a  1  1  a 
a
 .(2a  1).
A 
 2
1
2a  1
  1  a   a  a  1 
A=

−1
. Vậy:
a − a+1

A=

−1
1
1
1
<− ⇔
>
7 x − √ x+1 7
x − √ x +1

A=

2

⇔ x − √ x+1<7
⇔ x 

−1
.
x − √ x +1

x − √ x +1=

(do

x  60



x 3



(

2

√x−

1
3
+ >0 )
2
4

)



x 2 0 

x  30

⇔ 0 x  9
0  x  9


1
 x  4 , x 1
Đối chiếu với điều kiện ta được:
A
2.Ví dụ 2.Tính
* A= 2
*Đặt

2 3
2  2 3



2
2

3
2

5


 

2 3
2 3
 

; B 
 2  2 3   2  2 3 
3

 


5


x

2 3
2  2 3

;y

2
2

3
2

3

 x  y  2; xy 

1
3

11 2
B  x 5  y 5 ( x 3  y 3 )( x 2  y 2 )  x 2 y 2 ( x  y ) 
9
3 5
3.Ví dụ 3. Cho biểu thức A=x5-6x4+12x3-13x+2014.Tính giá trị của A khi x= 3  5
3 5
 2 x 3  5  3  2 x  5  x 2  3 x  1 0
3 5
2
2
3
2
Khi x= 3  5 =  B ( x  3x  1)( x  3x  2 x  5)  2009 2009
4.Ví dụ 4:Cho đa thức P(x) = x3+3ax+2b;với x là biến số thực,a và b là các số thực cho trước thỏa

3
3
2
a3+b2 0 .Tính giá trị đa thức P(x) tại x  a  b  b 
Giải
Ta có:

x  3 a3  b2  b 

3

 x3  a3  b 2  b 

3

a3  b2  b

a3  b2  b
a3  b2  b  3 3



a3  b2  b





a 3  b 2  b  3 a 3  b 2  b 


3

a 3  b 2  b 


 x 3  2b  3ax  x 3  3ax  2b 0
3
3
3
2
a3  b 2  b bằng 0
Vậy giá trị đa thức P(x) tại x  a  b  b 
5.Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức P = x3 + y3 – 3(x + y) + 1972, biết rằng

x  3 3  2 2  3 3  2 2 ; y  3 17  12 2  3 17  12 2
Giải: Ta có x3 = 6 + 3x  x3 – 3x = 6; y3 = 34 + 3y  y3 – 3y = 34. Do đó P = 6 + 34 + 1972 = 2012.

5 2 1
Bài 9:Chứng minh rằng:

1
1
1

 .... 
 10 2
2
3
50

1
1
1
+
+ .... +
√2
√3
√50
1
1
1
1
Ta có S >
+
+ .... +
=
.50 = 5 √ 2 (1)
√ 50
√ 50
√ 50
√ 50
2
2
1
2
2
1
=
<

Mặt khác: 1=
<
;
; ...;
=
2 √1
√1+ √ 0
√2 2 √2 √ 2+ √ 1
√ 50
2
2
<
.
2 √ 50 √ 50+ √ 49
Cộng vế theo vế có:
2
2
2
+
+. . .+
S<
1+ √ 0 √ 2+ √ 1
√ 50+ √ 49
bc + ca =√2018
Đặt S = 1 +

 2018  a   2018  b   2018  c 
2

Chứng minh rằng A =

Giải:Vì ab + bc + ca = 2018 nên

2

2

có giá trị là số hữu tỉ.

Từ (1) và (2)
⇒ 5 √2
< S < 10
(đpcm).

√2

6.Ví dụ 6:
Giả sử a, b, c
là các số hữu
tỉ thỏa mãn
điều kiện ab +


2

c+ a ¿
2
b+ c ¿ ¿
2
2

2
A= √(ab+ bc +ca+ a )(ab+ bc+ca +b )(ab +bc +ca +c ) = a+b ¿ 2 ¿
¿
√¿
=

|( a+b)(b +c)(c+ a)|

Do a, b, c là các số hữu tỉ nên

|( a+b)(b +c)(c+ a)| có giá trị là

số hữu tỉ.Vậy A có giá trị là số hữu tỉ.
7.Ví dụ 7:Cho a,b,c ,d là các số thực thoả ac=bd và ab>0.Chứng minh rằng

 a  b

2

2

  c  d   a 2  d 2  b 2  c2

2

  c  d   a 2  d 2  b 2  c2   a  b    c  d  a 2  b 2  c2  d 2  2

Giải:

 a  b

2

 ab  cd 

a

2

2

2

a

2

 d 2   b 2  c2 

 d 2   b 2  c2  (1)

2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
Vì ac=bd nên (ac-bd)2=0  2abcd a c  b d  a b  c d  2abcd a b  c d  a c  b d

2

  ab  cd  (a 2  d 2 )(b 2  c 2 )  ab  cd  (a 2  d 2 )(b 2  c 2 )

(2)

ab  cd ab  cd
Mặt khác ac=bd nên abcd=(bd)2 0 ,mà ab>0 suy ra cd 0 suy ra ab+cd>0 suy ra
(3) Từ (1) (2) (3) suy ra điều phải chứng minh
n
1   1 5   1 5 
un   
 

5   2   2  


8.Ví dụ 8:Với mỗi số nguyên dương n cho

a)Tính u2; u3
b) Chứng minh u2017+u2018=u2019
Giải:a) u2=1;u3=2
b)
2013
1   1 5 
u2013  u2014   
 
5   2 

2013

 1 5 


 2 

2013

 1   1  5  2014


 
5   2 




2013

n

 1 5 


 2 
2013

2014






2

 1 5   1 5 
1  1 5   3  5  1  1 5   3  5  1  1 5 
 
 
 

 
  
 . 
  

5 2   2 
5 2   2 
5 2 
 2   2 
2015
2015
 1 5  
1   1 5 
  
  
  u2015
2
5   2 


 

1 a
b
2 x2  1
x  


2
2 b
a
9.Ví dụ 9:Cho
,trong đó a>0;b>0.Tính giá trị biểu thức A= x  x  1

2013

 1 5 
. 

 2 

2


2

2

2 a b

2 a b
 a  b  A 
1 a
b
2 ab
x 2  1  


  1 
4 b
a
4ab
a b 2 a  b a b  a  b

2
ab
2 ab
Giải: Ta có
a b
b a
a b  A 
a b A
b ; Nếu
b
Nếu
3
2  4  x2   2  x  

A
4  4  x2

10.Ví dụ 10:Rút gọn biểu thức
Giải: Đặt
a  2  x ; b  2  x (a, b 0)  a 2  b 2 4; a 2  b 2 2 x

 2  x

3



;  2  x 2

2  ab (a 3  b 3 )
2  ab (a  b)(a 2  b 2  ab)

 2  ab (a  b)
4  ab
4  ab
 A 2  4  2ab (a  b)  A 2 a 2  b 2 2 x  A  x 2
 A

A

x x  4x  x  4
2 x x  14 x  28 x  16

11.Ví dụ 11:Cho biểu thức
a) Rút gọn biểu thức A
b)Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhân giá trị nguyên
Giải:

a)Để A có nghĩa trước hết x 0.Đặt t= x ( x 0) Ta có
t 2  1  t  4 

t 3  4t 2  t  4
9t  1)(t  1)(t  4)
A 3
 3

2
2
2
2t  14t  28t  16 2t  2t   12t  28t 16  2(t  1)(t  2)(t  4)
Để biểu thức A có nghĩa thì t 0, t 1, 2, 4  x 0, x 1, 4,16
t 1
x 1
A

2  t  2 2 x  2
Khi đó
t 1
1
3
A
 
2  t  2 2 2  t  2
b)
 t  2 1
 t 3
 x 9
 t  2 3   t 5   x 25



Để A nguyên thì x ngun và 





12.Ví dụ 12:Với số tự nhiên n, n 3
1
1
1
Sn 

 ... 
1
Sn 
3 1 2 5 2  3
 2n 1 n  n 1
2
Đặt
.Chứng minh
Ta có
1
n 1  n
n 1  n
n 1  n
n 1  n 1  1





 

2n  1
2 n 1. n 2  n
4n 2  4n  1
4n 2  4n
 2n 1 n  n  1





 









1
1
1
1
1
Sn   1 



 ... 

2
2
2
3
n
Do đó

1  1
  1
n 1  2 

1  1

n 1  2

a  b  c 2
 2
a  b 2  c 2 2
13.Ví dụ 13: Cho 3 số dương a,b,c thoả điều kiện 

1 

n 1 


1 b  1 c   b 1 a  1 c   c 1 a  1 b 

2

Chứng minh rằng A=
Giải:

a

2

2

1 a2

2

2

1  b2

2

1  c2

2

Ta có (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=2  2(ab  bc  ca ) 2  ab  bc  ca 1
Do đó A=

 1  b   1  c   b  1  a   1  c   c  1  a   1  b  a
2

a

2

2

2

2

2

2

2

1 a
1b
1 c
a(b  c)  b(c  a)  c(a  b) 2( ab  bc  ca ) 2

2

 b  c

2

b

 a  c

2

c

 a  b

2

C.BÀI TẬP

Bài 1: Tính giá trị biểu thức
A  2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2 
B  9

5 3  5 8  10 7  4 3

4
12 
 15
D 



6  2 3 6 
 6 1



F

C



2 1



3 1



2 2 3
45  27 2  45  27 2
53 2 
3





E

6  11

6 1 5  2 2 

3



G=

10  6 3

3 2  3

2

3 2 

2

3



3 1

62 5 

5

5  21  5 

x 3 2  1 
Bài 2: Tính giá trị biểu thức P= x3 +3x +2 với



5 3 2



21  2 4 

7

1
3

21

3
3
Bài 3:Cho hàm số f(x) = ( x3+12x -31)2014.Tính f(a) tại a  16  8 5  16  8 5
1  ab 1  ab
M

a  b a  b với a  4  8. 2  2  2 . 2 
Bài 4: Tính giá trị biểu thức

2  2 và

3 8  2 12  20
3 18  2 27  45
Bài 5: Với a,b,c,d là các số hữu tỉ thỏa mãn a+b+c+d = 0.
x   ab  cd   bc  ad   ca  bd 

Chứng minh
là số hữu tỉ
x  y  z  xyz 4
Bài 6: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn
.Tính giá trị biểu thức
P  x  4  y   4  z   y  4  x   4  z   z  4  y   4  x   xyz
b

1 1 1
  0  a  b  a  c  b  c
Bài 7: Cho a và b là hai số dương,c khác 0.Chứng minh : a b c
1
1 1
a
2 
2
2
4
2
8 8
Bài 8: Cho
. Tính giá trị biểu thức X a  a  a  1
Bài 9:Chứng minh rằng số

x0  2  2  3 

6 3 2 3

4
2

là một nghiệm của phương trình : x  16 x  32 0
x x  y y  z z 3 xyz
Bài 10:Cho 3 số dương x,y,z thỏa
.Tính giá trị biểu thức

y 
x 
z
A  1 
1
1







y  
z  
x 

Bài 11: Chứng minh rằng với x, y, z 0; x  y  z


A

x



y





 

z





 

x y
x z
y x
y z
z
Thì giá trị biểu thức
không phụ thuộc vào các biến x,y,z
2 1
3 2
100  99
1
x


 .... 
x
1 2
2 3
99  100 .Chứng minh
2
Bài 12: Cho
a 1
 2
4
2
2
a

a

1

a
4
a

a
2

2

0
Bài 13:Cho a>0 và
.Chứng minh

x  3  2 x2  9
A
2 x  6  x2  9
Bài 14: Rút gọn biểu thức

Bài 15:Cho a,b,c là 3 số dương thỏa


b 
Chứng min h rằng:
a


c

a

c

b



b c, a  b  c , a  b 

a b

c

x





z

y



2

.

2

2



a
b

c
c


1
3

x 7

  x x  5 x 7
A 


 1
 : 
x x1
x  x 1 
 2 x  3 x 1 2 x  x  1  
Bài 16:Cho biểu thức
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A= 2,5
c) Tìm GTLN của A
2
x  x
2 x  x 2( x  1)
P


x

x

1
x
x1
Bài 17:Cho biểu thức
2 x

P nhận giá tyrị là số nguyên
a) Rút gọn P
b) Tìm x để biêỉ thức
 2x  x  1 2x x  x  x  x  x
A 1  

 .
1

x
1

x
x

 2 x1
Bài 18:Cho
6 6
A
5
a) Tìm các giá trị của x để
2
1
A
x 0; x 1, x 
3 với mọi x thỏa
4
b) Chứng minh
Q

Bài 19:Cho M  x  3  4 x  1  x  15  8 x  1 .Tìm GTNN của M với các giá trị tương ứng x
5  3x
A
1  x2
Bài 20: Cho -1 < x <1.Tìm GTNN của
2
2
2
2
2
2
Bài 21: Cho a;b;c là 3 số dương có tổng bằng 1.Chứng minh: a  b  a  c  b  c  2
2
2
2
Bài 22: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : a  b  c  2abc 1

P a 1  b 2 1  c 2  b 1  a 2 1  c 2  c 1  b 2 1  a 2  abc



















Tính giá trị biểu thức:
( HSG Đồng Nai 2017)
Bài 23: Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa ab + bc + ca = 1.Tính giá trị biểu thức:

(1  b 2 )(1  c 2 )
(1  c 2 )(1  a 2 )
(1  a 2 )(1  b 2 )
P a
b
c
1 a2
1  b2
1  c2
( HSG Đồng Nai 2018)