TICH PHAN ON THI QUOC GIA CO DA

II, TÍCH PHÂN
Khái niệm tích phân
f (x)

① Cho hàm sớ

a, b Ỵ K .
F (x)
f (x)
liên tục trên K và
Hàm số
được gọi là nguyên hàm của
b

trên K thì

F (b) - F (a)

được gọi là tích phân của

b

từ a đến b và được kí hiệu là

ò f (x)dx.
a

b

I = ò f (x) ×dx = F (x) = F (b) - F (a),
a

a

Khi đó:

f (x)

với a gọi là cận dưới, b là cận trên.

② Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác nhau thay cho x , nghĩa là:
b

b

b

I = ị f (x) ×dx = ị f (t) ×dt = ị f (u) ×du = ×××××= F (b) - F (a).
a

a

a

y = f (x)

③ Nếu hàm số

liên tục và không âm trên đoạn

giới hạn bởi đồ thị của

y = f (x),

éa;bù
ê û
ú
ë

thì diện tích S của hình thang cong

trục Ox và hai đường thẳng

x = a, x = b

là:

b

S = ị f (x) ×dx ×
a

Tính chất của tích phân
b

a

a

ò f (x)dx = - ò f (x)dx


a

b

ò f (x)dx = 0.
và

b

b

òkf (x)dx = kò f (x)dx,

a



b

b

a

a

a

a

b

ò éêëf (x) ± g(x)ùúûdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx.


b

c

với (k ¹ 0).
b

ò f (x)dx = ò f (x)dx + ị f (x)dx.

a



a

a

c

Dạng tốn 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM
6

Câu 1.

Nếu ò0

A. 17

f ( x) dx = 10

2

Câu 2.

ò f ( x)dx = 1

Cho 1
A.– 2

4

và ò0
B. 170

và

ò f ( t)dt = - 3
1

Câu 5.

.

Cho biết 2
A. Chưa xác định

4

D. –3

ò f ( u)du
2

có giá trị là :
C. 2

2

B. 12

. Giá trị của
C. 3

ùdx
A = òé
êf ( x) + g( x) û
ú
ë
2

và
B. 1
c

2

f ( x)

D. 6

0

và a < b < c thì
C. –1

é0;10ù
ë ú
ûthoả:
liên tục trên đoạn ê
10

P = ò f ( x) dx + ò f ( x) dx
6

là

c

ò f (x)dx = 2 ò f (x)dx = 3
a

D. 4

5

b

Cho hàm số
của

ò f ( x) dx có giá trị là:

5

ò f ( x) dx = 3; ò g( x) dx = 9

Giả sử
A. 5

thì

4

B. – 4

b

Câu 4.

6

C. 3

4

5

Câu 3.

f ( x) dx = 7

là

10

ò

0

ò f (x)dx
a

f ( x) dx = 7,

bằng?
D. –5
6

ò f ( x) dx = 3. Khi đó, giá trị
2


A. P = 1

B. P = 4

C. P = 3

D. P = 2

4

Câu 6.

f ( 1) = 12 f '( x)
Nếu
,
liên tục và
A. 29
B. 5

ò f '( x) dx = 17

. Giá trị của
C. 15

1

4

Câu 7.

f ( x)

Nếu
A. 29

ò f ( x) dx = 10

liên tục và

0

Câu 8.
Câu 9.

ò f ( x) dx = 5

Nếu
A. 7

a

thì

ò f ( 2x) dx
0

bằng

C. 9

D. 19

d

ò f ( x) dx = 2

và

b

B. 3

b

, với a < d < b thì
C. - 3

ò f ( x) dx có giá trị là:
a

éa;bù
ê û
ú. Đẳng thức nào sau đây sai?
Cho f (x) là hàm số liên tục trên ë
b

A.

a

a

C.

B.

b

c

b

ò f (x)dx = ò f (x)dx + ò f (x)dx,( c Ỵ
a

D. 5

b

ị f (x)dx = - ị f (x)dx
b

bằng
D. 19

2

B. 5
d

f ( 4)

a

c

òkdx = k(b a

b

)

éa;bù
ê
ë ú
û

D.

a)" k Ỵ ¡

a

ị f (x)dx = ị f (x)dx
a

b

b

ị( 2x - 4) dx = 0

Câu 10. Biết 0
é

b=1
ê
ê
b= 4
ë
A. ê

, khi đó b nhận giá trị bằng
é
é
b= 0
b=1
ê
ê
ê
ê
b= 2
b= 2
ë
ë
B. ê
C. ê

é
b= 0
ê
ê
b= 4
ë
D. ê

m

Câu 11. Tìm

m,

biết

ò( 2x + 5)dx = 6
0

m = 1, m = - 6.

.

B. m = 1, m = 6.

A.
C. m = - 1, m = - 6.

D. m = - 1, m = 6.

x

Câu 12. Cho

F (x) = ò(t 2 + t)dt
1

5
A. 3

é- 1;1ù
ë ú
ûlà:
. Giá trị nhỏ nhất của F (x) trên ê

B. 1

2

Câu 13. Cho
A. 2

ò f ( x) dx = 3
0

C.
2

ò éêë4f ( x) -

. Khi đó 0
B. 4

3ù
dx
ú
û

-

5
6

5
D. 6

bằng:
C. 6

D. 8
x

I = ò( 1- t )dt = 0

0
Câu 14.
Các số thực x sau đây thỏa mãn đẳng thức
A. x = 0 hoặc x = –2 .B. x = 0 hoặc x = 2 .C. x = 0 hoặc x = 1 .
5

Câu 15.
A. 9

Giả sử

dx

ò 2x 1

1

B. 8

là.

D. x = 0 hoặc x = –1

= ln K
. Giá trị của K là:
C. 81

D. 3


0

Câu 16.
A.30

Giả sử

3x2 + 5x - 1
2
I =ò
dx = a ln + b
x- 2
3

- 1
B. 40

C. 50
0

Câu 17.

Tính tích phân

I =ò
-a

. Khi đó giá trị a + 2b là
D. 60

dx
a2 - ax ( a là tham số thực dương).

(

)

I = - 2+ 2 2 a

A. I = a .

B.

C. I = - 2 + 2 2

D. I = - a .

Câu 18.

Cho

f ( x) =

4m
+ sin2 x
p
. Tìm

m

để nguyên hàm

F ( x)

.

của hàm số

f ( x)

thỏa mãn

ỉ
pư

p
÷
÷
F ( 0) = 1 v F ỗ
=
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ố4ứ 8

A.

m=-

4
3

B.

m=

3
4

C.

p
4

Cõu 19.
A.

-

Gi s

I = ũ sin3x sin2xdx = a + b
0

1
6

3
B. 10

C.

4
3

m=
2
2

-

D.

m=-

3
4

khi đó a + b là

3
10

1
D. 5
1

f ( x) = a sin px + b

ò f ( x) dx = 4

f ( 1) = 2

Câu 20.
Để hàm số
thỏa mãn
và 0
thì a,b nhận giá
trị :
A. a = p,b = 0
B. a = p,b = 2 C. a = 2p,b = 2 D. a = 2p,b = 3
2p

A và B , biết

1
3
3
A = 2, B =
A = 1, B =
A = 2, B =
2p .B.
2p .C.
2p .
A.

Câu 21.

Cho f (x) = A sin2x + B . Tìm

1

Câu 22.
Cho
A. a < 4e.

(

0

A = 1, B =

1
2p

)

0

. Xác định a để I < 1 + e.
B. a < 4e + 1.
C. a < 2e.

ổ - xử
ữ
ỗ
I = ũỗ
4- e 2 ữ
ữdx = K - 2e
ỗ
ữ
ỗ
ố
ứ
-2
Nờu

A. 11

D.

va

ũ f (x).dx = 3

I = ò ax - ex dx
0

Câu 23.

f '( 0) = 4

B. 10
2
 x  2 x   x  1

0

−x
2

D. a < 2e + 2.

∫ ( 4−e ) dx=K−2 e
−2

C. 12,5

thì giá trị của K là :
D. 9

2

Câu 24. Cho tích phân
khẳng định sau:

a 0
A.

∫
1

x 1
B.

dx a  b ln 3  c ln 2 (a, b, c  )
. Chọn khẳng định đúng trong các

c0

C. b  0

D.

a b c  0


2

f  x   A.sin  x  B
f '  1 2
Câu 25. Tìm các hằng số A, B để hàm số
thỏa các điều kiện:
;
2
2

2





 A 
A 
A 
 A 



2




 B 2
 B  2
 B 2

A. 
.
B. 
.
C.  B 2 .
D. 
.

∫f ( x)dx 4
0

Dạng tốn 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN S
b

b
ộf (x)ựìuÂ(x) ìdx = F ộu(x)ự = F ộu(b)ự- F éu(a)ù×
ê ú
ê ú
ê
ú
ị ëê ûú
ë
ûa
ë
û
ë û
a
– Bước 1. Biến đổi để chọn phép đặt t = u(x) Þ dt = uÂ(x) ìdx (xem li cac phng phap i biờn s trong
phần ngun hàm)
ìï x = b ìï t = u(b)
ï
Þ ïí
í
ïï x = a ïï t = u(a)
ỵ
– Bước 2. Đổi cận: ỵ
(nhớ: đổi biến phải đổi cận)
u(b)

I =
–

u(a)

Bước 3. Đưa về dạng
3

đơn giản hơn và dễ tính toán.

2

x

ị 1+

ị f (t) ×dt

1+ x
Câu 1.Biến đổi 0
sau đây?
f ( t ) = 2t2 - 2t
A.

ò f ( t) dt

dx
thành

1

f ( t) = t2 + t

B.

f ( t)
với t = 1 + x . Khi đó
là hàm nào trong các hàm

C.

f ( t ) = 2t 2 + 2t

D.

f ( t) = t2 - t

1
3

Câu 2.

Cho tích phân

∫ 1  xdx
0

3
,với cách đặt t  1  x thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào

1

A.

3∫t 3dt
0

1

.

B.
2 3

Câu 3.

Tích phân

A. 6 .

I∫
2

3
x x2  3

1

3∫t 2 dt

0

.

1

3
∫t dt

C. 0

.

D.

3∫tdt
0

.

dx
bằng:


C. 3 .

B.  .


D. 2 .

a

Câu 4.

Câu 5.

Tích phân
 .a 4
A. 8 .

∫x

2

a 2  x 2 dx  a  0 

bằng

0

4

 .a
 .a 3
 .a 3
B. 16 .
C. 16 .
D. 8 .
1

M
M
x 3 1 xdx 
∫
N
Biết tích phân 0
, với N là phân số tối giản. Giá trị M  N bằng:
35
B. 36
C. 37
D. 38
A.
1

Câu 6.

∫

Đổi biến x = 2sint tích phân

A.

0

dx
4  x 2 trở thành:


6


6


6

∫tdt

∫dt

∫t dt

0

B.

0

C.

0

1


3

∫dt

D. 0

Dạng tốn 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
éa;bù
ë ú
ûthì:
Định ly: Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm va liờn tc trờn on ờ
b

b

ựI = ũ u(x) ìvÂ(x) ×dx = é
ê
ëu(x) ×v(x)ú
ûa
a

b

b

ị u¢(x) ×v(x) ×dx
a

hay

b

b

I = ị udv = uv
. a

a

Thực hành:
— Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác,…
Vi phân
b
ìï u = ìììììììììììắắ
ắắ
đ du = ììììììììììdx
b
ù
ì
I = udv = uv
. ớ
Nguyờn ha#m
a
ù dv = ììììììdx ắắ ắ ắ ắđ v = ììììììììììì
a
t: ùùợ
Suy ra:

ũ

ũ vdu.
a

b

ũ vdu.
a

loga x
Th t ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mu và dv = phần còn lại. Nghĩa là nếu có ln hay
thì

u = loga x =

1
.ln x
lna
và dv = cịn lại. Nếu khơng có ln; log thì chọn

chọn u = ln hay
thức và dv = cịn lại. Nếu khơng có log, đa thức, ta chọn u = lượng giác,….
— Lưu y rằng bậc của đa thức và bậc của ln tương ứng với số lần lấy nguyên hàm.
— Dạng mu nhân lượng giác là dạng nguyên hàm từng phần ln hời.
1

ị( 2x + 1) e dx = a + be.
x

Câu 1. Biết rằng tích phân
A. 1.

0

B. - 1.

a

Câu 2. Tìm a  0 sao cho

. Khi đó tích ab bằng
C. - 15.

D. 2.

x

∫x.e 2 dx 4
0

1
B. 4 .

A. 4 .

1
C. 2 .

D. 2 .
1

a
f ( x)dx 5
f ( x) 
 bxe x .
∫

3
f
'(0)

22
(
x

1)
a
b
0
Câu 3. Cho hàm số :
Tìm và biết rằng
và
a  2, b  8
a

2,
b

8
a

8,
b

2
B.
C.

D. a  8, b  2 .
.
.
.
A.
1

1

∫x cos 2 xdx  4 (asin2  b cos 2  c)

, với a, b, c  Z . Mệnh đề nào sau đây là đúng:
B. a  2b  c 0 .
C. a  b  c 0 .
D. a  b  c 1 .

Câu 4. Biết rằng : 0
2a  b  c  1 .
A.

m

I ∫(4 x ln 4  2 x ln 2)dx

0
Câu 5. Cho m là một số dương và
m 4 .
B. m 3 .
A.

. Tìm m khi I = 12
C. m 1 .

D. m 2 .


2

∫(2 x  1) cos xdx m  n

Câu 6: Biết 0
A. T  5.

. Tính T m  2n.
B. T  3.
C. T  1.

D. T 7.

p
2

Câu 7: Cho tích phân

I = ị sin2xesinxdx

. Một học sinh giải như sau:
x = 0Þ t = 0
1
t

Þ I = 2ị tedt
p
0
x = Þ t =1
2
Bước 1: Đặt t = sin x Þ dt = cosxdx . Đổi cận
0

u=

đa


ỡù u = t
ùớ
ị
t
ùù dv = edt
Bc 2: Chn ùợ

ỡù du = dt
ùớ
ùù v = et ị
ùợ

1

ũ

0

1

t
tedt
= tet 0

1

ũ

0

1

t
edt
= e - et = 1
0

1

t
I = 2ò tedt
=2

0
Bước 3:
Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải trên sai từ bước 1.

B. Bài giải trên sai từ bước 2 .
C. Bài giải trên hoàn toàn đúng.
D. Bài giải trên sai ở bước 3.