42 bài tập tích phân luyện thi quốc gia PTTH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (501.69 KB, 20 trang )
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
42 BÀI TẬP TÍCH PHÂN - LTĐH 2015
1) I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
xx
dx
3) I =
2
3
1
sin . 1 cos
dx
xx
4) I =
3
22
4
1
sin 2 .cos
dx
xx
5) I =
2
4
sin cos
3
0
2 cos 2 .sin 4
xx
x xdx
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
xx
dx
x
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx
x
8) I =
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
xx
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
xx
11) I =
2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
12) I =
2
3
4
7sin 5cos
sin cos
xx
dx
xx
13) I =
6
0
tan
4
cos2
x
dx
x
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
15) I =
2
3
0
sin
sin 3cos
x
dx
xx
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
xx
17) I =
3
22
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
18) I =
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
xe
dx
xe
20) I =
3
1
4
2
0
1
x
x
x e dx
x
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
22) I =
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
23) I =
1
1
2 ln 1
ln
e
x
x
dx
xx
24) I =
8
3
ln
1
x
dx
x
25) I =
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
xx
dx
26) I =
1
2
0
1 6 3x x dx
27) I =
1
2
1
1
11
dx
xx
28) I =
1
32
22
0
10 3 1 10
11
x x x
dx
xx
29) I =
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
30) I =
4
2
0
tanx xdx
31) I =
1
22
3
4
2tan
cos
x
ex
x x dx
xx
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx
33)
3
2
2
1
ln
1
xx
I dx
x
34) I =
2
3
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
35) I =
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
36)
4
2
2
0
.log 9I x x dx
37) I =
1
3
3
4
1
3
2014x x x
dx
x
38) I =
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
39) I =
ln6
0
3 3 2 7
x
xx
e
dx
ee
40) I =
1
42
1
3
ln 3 2lnx x x dx
41) I =
1
2
2
0
.
2
x
xe
dx
x
42)
22
2
2
1
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
H D GIẢI:
1) I =
4
2
4
1
1 2cos
dx
x
=
44
2 2 2
2
44
1 1 1 1
1
cos tan 3 cos
2
cos
dx dx
x x x
x
Đặt t = tanx => dt =
2
1
cos
dx
x
. Đổi cận => I =
1
2
1
1
1
dt
t
. Đặt t =
3
tanu
=> dt =
3
(1+tan
2
u)du. Đổi cận => I =
3
9
2) I =
2
2
0
sin
1 sin2x
xx
dx
=
2
22
12
00
2 2 2
1
2
2
0 0 0
2
1
2
0
sin
1 sìn2x 1 sìn2x
1
1 sìn2x 2
sin cos
sin
4
cos
11
1
4
cot
cot
2 4 2
sin
sin
4
4
xx
dx dx I I
x x x
I dx dx dx
xx
x
ux
du dx
x
I x x
dv dx
vx
x
x
4
0
4
4
dx
2 2 2
2 2 2 2
2
22
2
0 0 0 0
2
2
2
0
0
0
sin 1 1 cos2 1 1 1 cos sin
1 sìnx 2 4 2
sin cos sin cos
sin
4
sin cos
1 1 1 1 1
cot ln sin cos
4 4 2 sin cos 2 2 2
x x x x
I dx dx dx dx
x x x x
x
d x x
x dx x x
xx
Vậy I =
12
2
4
II
3) I =
2
3
1
sin . 1 cos
dx
xx
. Đặt t =
1 cosx
=> 2tdt = - sinxdx. Đổi cận
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
22
1 1 1 1 1
22
2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2
1
1
3
3
2
2
2
22
2
2 . 2 2
1 2 1 6 1
ln 1 ln 2 3
3
2 2 2 2
tt
tdt dt dt dt
I dt
tt
t t t t t t t
t
t
t
4) I =
3
22
4
1
sin 2 .cos
dx
xx
22
3 3 3
2 4 2 2 2
4 4 4
3
3
3
2
3
4
4
4
sin cos 1 1
.
4sin .cos 4 cos cos sin 2
1 1 1 tan 3 2 3 1
1 tan tan cot2 tan
4 2 4 3 6 3
x x dx dx
dx
x x x x x
x
x d x x x
5) I =
2
4
sin cos
3
0
2 cos 2 .sin 4
xx
x xdx
=
44
1 sin2x 4
12
00
2 .2sìn2xcos2xdx 2sìn2xcos 2xdx I I
Tính: I
1
=
4
1 sin2x
0
2 .2sìn2xcos2xdx
. Đặt t = 1 + sìn2x => dt = 2cos2xdx . Đổi cận
2 2 2
1
1 1 1
2 1 .2 2
t t t
I t dt t dt dt
. Đặt:
2
2
ln2
t
t
du dt
ut
dv dt
v
2 2 2
2
1
1
1 1 1
2
2
1
1 6 1
.2 2 2 1 2
ln2 ln2 ln2 ln2
6 1 1 4 2
1 . .2
ln2 ln2 ln2 ln2 ln 2
t t t t
t
t
I dt dt dt
hoctoancapba.com
Tính:
4
4
2
0
2sìn2x.cos 2I xdx
4
45
4
0
0
11
cos 2 cos2 cos 2
55
xd x x
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
Vậy
12
2 1 1
2
ln2 ln2 5
I I I
6) I =
2
4
2
3
sin . 1 cos
cos
xx
dx
x
=
0
22
44
2 2 2
0
33
sin sin
sin sin
cos cos cos
xx
xx
dx dx dx
x x x
0
4
0
4
22
0
3
0
3
11
1 1 tan tan
cos cos 1
7
31
12
dx dx x x x x
x
7) I =
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
e dx
x
=
2 2 2 2
2
0 0 0 0
sin . 1 sin
1 cos 1 cos 2 1 cos
cos
2
x x x
x
e dx x e dx e x
I dx e dx
x
x x x
22
22
00
2sin .cos
1
22
2
cos 2cos
22
x
x
xx
e
I dx e dx
xx
=
22
12
2
00
1
tan
22
cos
2
x
x
ex
I dx e dx I I
x
Tính: I
1
=
2
2
0
1
2
cos
2
x
e dx
x
Đặt
2
1
2tan
cos
2
2
x
x
ue
du e dx
x
dv dx
v
x
2
2
1 2 2
0
1
2. tan 2
22
x
x
I e I e I
2
12
I I I e
8) I =
2
3
2
3
sin sin
1 sin sin
x x x x
dx
xx
=
22
33
2
33
sin 1 sin
x dx
dx
xx
= I
1
+I
2
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
Tính: I
1
=
2
3
2
3
sin
x
dx
x
Đặt
2
cot
sin
ux
du dx
dx
vx
dv
x
hoctoancapba.com
I
1
= - xcot
2
3
3
x
2
2
3
3
3
3
cot ln sin
33
xdx x
Tính: I
2
=
2
3
3
1 sin
dx
x
=
2
3
2
3
sin cos
22
dx
xx
2
2
3
3
2
3
3
1
cot
2 2 4
sin
24
dx x
x
7 5 5
cot cot 2cot 4 2 3
12 12 12
Vậy I =
4 2 3
3
9) I =
2
2
6
1
sin . sin
2
x x dx
=
2
2
6
3
sin . cos
2
x xdx
. Đặt t = cosx => dt = - sinxdx
Đổi cận => I = -
3
0
2
22
0
3
2
33
22
t dt t dt
Đặt t =
33
sin cos
22
u dt udu
I =
3
2
44
4
2
00
0
3 3 1 3
cos 1 cos2 sìn2u 2
4 4 2 16
udu u du u
10) I =
6
0
1
cos .cos
4
dx
xx
Ta có: cosx. cos (x +
4
) = cosx (
1
2
cosx -
1
2
sinx) =
1
2
cos
2
x (1- tanx)
=> I =
6
2
0
2
cos 1 tan
dx
xx
6
6
0
0
tan
2 2ln tan 1
tan 1
dx
x
x
33
2 ln
3
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
11) I =
2
22
0
3sin 4cos
3sin 4cos
xx
dx
xx
=
22
2 2 2 2
00
sin cos
34
3 1 cos 4cos 3 4 1 sin
xx
dx dx
x x sin x x
=
22
22
00
sin cos
34
3 cos 4 sin
xx
dx dx
xx
= I
1
+I
2
Tính: I
1
=
2
2
0
sin
3
3 cos
x
dx
x
Đặt t = cosx => dt = - sinxdx, đổi cận
I
1
= 3
1
2
0
3
dt
t
Đặt t =
3
tanu => I
1
= =
3
6
Tính: I
2
=
2
2
0
cos
4
4 sin
x
dx
x
= - 4
2
2
0
0
sin
sin 2
ln
sin 2 sin 2 sin 2
dx
x
x x x
= ln3
Vậy I =
3
6
+ ln3
12) I =
2
3
4
7sin 5cos
sin cos
xx
dx
xx
=
2
3
4
1 7sin 5cos
22
sin
4
xx
dx
x
Đặt t = x +
4
=> dt = dx
Đổi cận => I =
3
4
3
2
2 2 2 2
7 sin . .cos 5 cos . sin .
2 2 2 2
1
sin
22
t t t t
dt
t
=
33
3
44
4
33
2
22
sin
1 2sin 6 2 cos 1
cot 3
sin 2 sin
22
dt
tt
dt t
tt
3
4
2
2
13
2
2 2sin t
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
13) I =
6
0
tan
4
cos2
x
dx
x
Ta có:
2
2
2
tan 1 sin
tan ;cos2 cos . 1
4 1 tan cos
xx
x x x
xx
2
2
1
. 1 tan
1 tan
x
x
=> I = -
2
6
2
0
tan 1
tan 1
x
dx
x
Đặt t = tanx => dt = ( tan
2
x + 1) dt, đổi cận
I = -
1
1
3
3
2
0
0
1 1 1 3
12
31
1
dt
t
t
14) I =
2
0
1
cos
2 3sin 1
x x dx
x
22
12
00
cos
.cos
2 3sin 1
x
I dx x xdx I I
x
* Tính I
1
=
2
1
0
cos
2 3sin 1
x
I dx
x
; Đặt
3sin 1tx
=> t
2
= 3sinx + 1
=> 2tdt = 3cosx dx
2
22
2
1
11
1
2 2 2 2 2
1 2ln 2 2 2ln2 1 2ln3
3 2 3 2 3 3
t
I dt dt t t
tt
1
2 4 3
ln
3 3 4
I
* Tính
2
2
0
.cosI x xdx
Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
2
22
2
00
0
.sin sin cos 1
22
I x x xdx x
2
22
2
00
0
.sin sin cos 1
22
I x x xdx x
Vậy:
12
4 3 1
ln
3 4 2 3
I I I
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
15) I =
2
3
0
sin
sin 3cos
x
dx
xx
:sin 3cos 2sin( )
3
Do x x x
nên I =
2
3
0
1 sin
8
sin
3
x
dx
x
Đặt t = x +
3
dt =dx, sinx = sin ( t -
3
) =
13
sin cos
22
tt
. Đổi cận
I =
5
6
3
3
13
sin cos
1
22
8 sin
tt
dt
t
=
5
5
6
6
3
3
13
cot cot cot
16 16
t td t
=
5
2
6
3
1 3 1 3 3
cot
32 12 6
4 3 4 3
t
16) I =
2
6
1
sin cos
6
dx
xx
=
2
6
cos
66
2
3
sin .cos
6
x
dx
xx
2
6
cos cos sin sin
2
66
3
sin .cos
6
x x x x
dx
xx
=
2
6
sin
2 cos
6
sin
3
cos
6
x
x
dx
x
x
=
2
6
22
ln sin ln cos .ln2
6
33
xx
=
ln4
3
* Cách khác: Do sinx.cos (x +
31
) sin cos sin
6 2 2
x x x
2
1
sin 3cot 1
2
xx
Nên I =
22
2
66
3cot 1
1 1 2
2.
sin
3cot 1 3
3cot 1
dx
dx
x
x
x
2
6
2
ln 3cot 1
3
x
2 ln4
.ln2
33
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
17) I =
3
22
1
ln
4 ln 4 ln
e
x
dx
x x x
Đặt t = lnx =>dt =
1
dx
x
, đổi cận
I =
11
3
22
22
00
1
44
2
44
t
dt t t t dt
tt
hoctoancap ba.com
=
1 1 1 1
11
2 2 2 2 2 2
22
0 0 0 0
1 1 1 1
4 4 4 4 4 4
2 2 4 4
t t dt t t dt t d t t d t
11
33
22
22
00
1 1 1
4 4 5 5 3 3 16
6 6 6
tt
*Cách khác:
Đặt t =
22
4 ln 4 lnxx
2 2 4
8 2 16 8 2 16 lnt x t x
4 2 4 4 2 4
64 16 4 16 ln 4ln 16t t x x t t
33
ln
2
4
xt
dx t dt
x
,đổi
cận => I =
53
53
3
2
4
4
11
2 2 5 5 3 3 16
4 12 6
t
t dt t
18) I =
2
2
0
2
1 2 4
x
dx
x x x
=
2
2
0
11
1 1 3
x
dx
xx
22
12
2
22
00
1
13
1 . 1 3
dx x
dx I I
x
xx
Tính I
1
=
2
2
0
13
dx
x
Đặt x+1 =
3
tant => dx =
3
(1+ tan
2
t)dt, đổi cận
2
3
1
2
6
3 1 tan
3
18
3 1 tan
t
I dt
t
Tính: I
2
=
2
22
0
1
1 1 3
x
dx
xx
Đặt u = (x+1)
2
+ 3 =>du = 2(x +1)dx, đổi cận
12
12 12
2
44
4
1 1 1 1 1 3 ln3
ln .
2 3 6 3 6 6
du u
I du
u u u u u
Vậy I =
3 3ln3
18
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
1
2
0
(x 5 6)
19) I=
2 2013.
x
x
xe
dx
xe
=
1
0
(x+2) . 3
2 2013
xx
x
e x e
dx
xe
. Đặt t = (x+2)e
x
+2013
=> (x+2)e
x
= t – 2013, dt = [e
x
+(x + 2)e
x
]dx = [(x + 3)e
x
]dx, đổi cận
I =
3 2013
3 2013
3 2013
2015
2015
2015
2013
2013ln
e
e
e
t
dt t t
t
3 2013
3 2 2013ln
2015
e
e
20) I =
3
1
4
2
0
1
x
x
x e dx
x
=
3
11
4
2
12
00
.
1
x
x
x e dx dx I I
x
Tính I
1
=
3
1
2
0
.
x
x e dx
Đặt t = x
3
=> dt = 3x
2
dx => I
1
=
1
0
11
33
t
e
e dt
Tinh I
2
=
1
4
0
1
x
dx
x
Đặt t =
43
4
4x t x dx t dt
1
1 1 1
3
32
2
2 2 2
0 0 0
0
1
4 . 4 1 4 4
1 1 3 1
t t dt
I t dt t dt t
t t t
8
4
3
J
Với
1
2
0
1
dt
J
t
Đặt t = tanu => dt = (1 + tan
2
u)du =>
2
4
4
2
0
0
1 tan
1 tan 4
u
J du u
u
2
8
3
I
Vậy I =
93
3
e
21) I =
3
2
sin
0
sinx-sin
.sìn2x+
cos2 7
x
x
e dx
x
I =
2
22
sin
12
2
00
sin .cos
.sìn2x
2cos 8
x
xx
e dx dx I I
x
Tính: I
1
=
2
sin
0
.sìn2x
x
e dx
=
2
sin
0
2 sin . sin
x
x e d x
Đặt
sin
sin
sin
cos
sin
x
x
ux
du dx
dv e d x
ve
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
22
sin sin sin
2
1
0
00
2sin . 2 .cos 2 2 . sin
x x x
I x e e xdx e e d x
sin
2
0
2 2 2
x
ee
Tính: I
2
=
2
2
2
0
sin .cos
2cos 8
xx
dx
x
Đặt t = cosx => dt = -sinxdx, đổi cận
I
2
=
1
11
2
22
00
0
1 1 4 1 1 2 1 ln3
1 ln
2 4 2 4 2 2 2 2 2
tt
dt dt
t t t
Vậy I =
5 ln3
2
22) I =
4
2
0
tan tan
x
x x e dx
=
4 4 4
1 2 3
2
0 0 0
1
. tan .
cos
x x x
e dx e dx x e dx I I I
x
Tính: I
1
=
4
2
0
1
.
cos
x
e dx
x
Đặt
2
1
tan
cos
x
x
ue
du e dx
vx
dv dx
x
I
1
=
4
44
4
3 1 3
0
0
tan . tan .
xx
x e x e dx e I I I e
Tính: I
2
=
4
4
4
0
0
1
xx
e dx e e
Vậy I = 1
23) I =
1
1
2 ln 1
ln
e
x
x
dx
xx
=
1
2 ln 1
ln
e
xx
dx
x x x
Đặt t = lnx => x = e
t
, dt =
1
dx
x
,đổi
cận => I
1 1 1
0 0 0
2 1 1 1
1 1 1
1
t t t
t t t
e t e e
dt dt dt J
e e t e t
Tính: J =
1
0
1
t
t
e
dt
et
Đặt u =
1
tt
e t du e dt
, đổi cận
1
1
ln 1
e
du
Je
u
Vậy I = 1 + ln(e + 1)
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
24) I =
8
3
ln
1
x
dx
x
Đặt
ln
21
1
dx
ux
du
x
dx
dv
vx
x
8
8
3
3
1
2 1.ln 2 6ln8 4ln3 2
x
I x x dx J
x
Tính: J =
8
3
1x
dx
x
Đặt t =
2
11x t x
,
2tdt dx
, x = t
2
– 1, đổi cận
3
2
2
.2
1
t
J tdt
t
3
3
2
2
1 1 1
2 2 ln
1 1 1
t
dt t
t t t
2 ln3 ln2
Vậy I = 20ln2 - 6ln3 – 4
25) I =
1
2
1
0
2
2 9 . 3 2
x
xx
dx
11
2 2 2
00
2 2 .2
2
2 9 3.2 2
2 9 3
2
x x x
xx
x
x
I dx dx
1
0
2
2 9 3.2 2
x
xx
dx
Đặt
2
2
25 2
3.2 2 3.2 2 2 9 2
3 3ln2
x x x x
tt
t t dx dt
2
22
2
11
1
5 5 5
2 2 1 1
. . . ln
ln2 ln2 0 5 . 5 5ln2 5
25
t t t
t
I dt dt
t t t
tt
1 3 2 1 9
ln ln .ln
5ln2 7 3 5ln2 14
26) I =
1
2
0
1 6 3x x dx
ho ctoancapba.com
1
2
2
0
2 3 1Ix
dx Đặt
3 1 2sin 3 2cosx t dx tdt
Khi x = 0
3
sin
23
tt
Khi x = 1 => sin t = 0 => t = 0
0 0 0
2
3 3 3
2 4 1
4 4sin 2 cos . cos . 1 cos2
2
33
I t t tdt t dt
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
0
3
2 1 2 1 3
sin2
2 3 2 2
33
tt
Vậy
21
2
33
I
27) I =
1
2
1
1
11
dx
xx
=
1
2
1
11
2
xx
dx
x
11
2
11
11
22
xx
dx dx
xx
12
II
Tính:
1
1
1
1
1
1 1 1
1 ln 1
22
I dx x x
x
1
2
2
22
1
1
; 1 2 2 ; 1 2 0
2
x
I dx t x tdt xdx x t I
x
Vậy I = 1
28) I =
1
32
22
0
10 3 1 10
11
x x x
dx
xx
11
12
2
2
00
1
10 3 10 3
1
1
x
dx dx I I
x
x
1
2
11
2
0
; 1 2 1
1
x
I dx t x I
x
1
22
2
0
1
; tan
14
I dx x t I
x
Vậy
3
10 2 1
4
I
29) I =
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
e dx
x
2
2
2
cot cot 1
2
4
cot 2cot 3cot 1
.
sin
xx
x x x
e dx
x
2
1
cot
sin
u x du dx
x
2
1
2 1 2
0
2 3 1 ; 1
uu
I u u u e du t u u
3
1
2 1 1
t
dt u du I t e dt
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
3
3
2
1
1
1
1 1
tt
tt
u t du dt
dv e dt v e
I e t e dt e e
30) I =
4
2
0
tanx xdx
=
2
4 4 4
22
0 0 0
11
1.
cos cos 32
x dx x dx xdx J
xx
4
2
0
2
1
.;
1
tan
cos
cos
ux
du dx
J x dx
vx
x
dv dx
x
44
4
4
0
0
00
cos
1
tan tan ln cos ln2
4 cos 4 4 2
dx
J x x xdx x
x
Vậy I =
2
1
ln2
4 2 32
31) I =
1
22
3
4
2tan
cos
x
ex
x x dx
xx
1
2
22
3 3 3
4 4 4
2 tan
cos
x
ex
I dx dx x xdx J M N
xx
4
1
41
3
3
22
31
4
11
;
x
t
e
J dx t dt J e dt e e
x x x dx
2
2
2
3
2
4
33
2
44
2
; tan 2 tan
1
tan
cos
cos
ux
du xdx
x
M dx M x x x xdx
vx
x
dv dx
x
22
99
16 16
M N M N
Vậy I =
41
2
3
9
16
ee
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
32) I =
2
0
2 cos4
x
xdx
Đặt
2 .ln2.
2
1
cos4
sin4
4
x
x
du dx
u
dv xdx
vx
22
2
0
00
1 1 ln 2
.2 .sin 4 .ln2 2 sin4 . 2 sin4
4 4 4
x x x
I x xdx xdx
Đặt
2 , 2 ln2
sin4
1
cos4
4
xx
u du dx
dv xdx
vx
2
2
0
0
ln2 1 ln 2 1
.2 .cos4 . .ln2. 2 .cos4
4 4 4 4
xx
I x xdx
2
22
2
2 1 .ln2
ln2 ln 2 ln 2
2 1 . 1
16 16 16 16
I I I
2
2
2 1 .ln2
16 ln 2
I
33)
3
2
2
1
ln
1
xx
I dx
x
2
2
2
1
ln
1
1
21
ux
du dx
x
x
dv dx
v
x
x
22
33
3
1
2 2 2
11
1
1 1 ln3 1
.ln
2 20 2
2 1 1 1
xx
dx
I x dx
x x x x x
3
3
2
1
1
ln3 1 1
ln
20 2 2 1
x
x dx
x
2
3
3
2
2
1
1
1
ln3 ln3 1 9ln3 1
ln 1
20 2 4 1 20 4
dx
x
x
9ln3 ln5 9ln3 5ln5
20 4 20
34) I =
2
3
1
ln 1 ln
e
x
dx
x
Đặt t = lnx => dt =
1
dx
x
, đổi cận
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
1
2
0
1
ln 1
3
I t dt
2
2
2
ln 1
1
t
ut
du dt
t
dv dt
vt
1
2
1
2
2
0
0
1 2 1 2
.ln 1 ln2
3 3 1 3 3
t
I t t dt J
t
Tính J =
11
2
22
00
11
1
11
t dt
dt
tt
Đặt t = tanu => dt = ( 1 + tan
2
u)du, đổi cận
2
4
2
0
tan 1
11
tan 1 4
u
J du
u
Vậy
2 ln2 2
6
I
35) I =
1
2
2
0
1
.
1
x
x
e dx
x
1 1 1
2
2 2 2 2
0 0 0
1 2 2 . .
: 1 2
1 1 1 1
xx
xx
x x x e x e
Do I e dx e dx dx
x x x x
12eJ
Tính
1
2
0
.
1
x
xe
J dx
x
2
.
1
1
1
1
x
x
u x e
du e x dx
dx
dv
v
x
x
1
1
0
0
.
1
12
x
x
x e e
J e dx e
x
Vậy I = 1
36)
4
2
2
0
.log 9I x x dx
2
2
2
22
4
4
2
2
2
0
0
2
9 ln2
log 9
99
2 2 2
9 1 25ln5 9ln3 8
.log 9
2 ln2 ln 2
x
du dx
x
ux
dv xdx
xx
v
x
I x xdx
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
* Cách khác: t = x
2
+ 9
=> I =
25 25
25
9
99
1 25ln5 9ln3 8
ln .ln
2ln2 2ln2 2ln2 ln2
tt
tdt t dt
37) I =
1
3
3
4
1
3
2014x x x
dx
x
=
11
3
3
12
43
11
33
2014
x x dx
dx I I
xx
3
11
3
3
2
1
43
11
33
1
1
xx
x
I dx dx
xx
Đặt
32
3
2 2 3
1 1 3
11
2
dx
t t t dt
x x x
,đổi
cận =>
1
6I
1
1
2
32
1
1
3
3
1
2014 2014. 8056
2
dx
I
xx
hoctoan capba.com
Vậy I =
6 8056 8062I
38) I =
1
1
1
2
1
1
x
x
x e dx
x
=
11
11
11
22
1
xx
xx
e dx x e dx J K
x
1
1
1
2
x
x
J e dx
1
1
2
1
1
x
x
x
x
du e dx
ue
x
dv dx
vx
1
5
1
1
1
2
2
1
1
2
2
1
.
2
x
x
x
x
e
J x e x e dx e K
x
Vậy
5
2
2
2
2
22
ee
e
I J K e
39) I =
ln6
0
3 3 2 7
x
xx
e
dx
ee
Đặt t =
2
33
xx
e t e
,
2
x
tdt e dx
,đổi cận
3 3 3
2
2
2 2 2
2 1 1
2
22
2 3 1 2 1 . 1
3 2 3 7
tt
tt
I dt dt dt
t t t t
tt
33
22
80
2ln 1 ln 2 1 ln
63
tt
40) I =
1
42
1
3
ln 3 2lnx x x dx
Do: ln( x
4
+ x
2
) -2lnx = ln [ x
2
.( 3x
2
+1 )] – lnx
2
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
= ln( 3x
2
+ 1 ), nên I =
1
2
1
3
ln 3 1x dx
Đặt:
2
2
6
ln 3 1
31
xdx
ux
du
x
dv dx
vx
1
2
1
2
1
2
1
3
3
6 4ln2 ln3
.ln 3 1
3 1 3
x
I x x dx J
x
1 1 1
2
1
1
2
22
3
1 1 1
3 3 3
6 2 1 4
2 2 2 2
3 1 3 1 3
31
x
J dx dx x dx K
xx
x
Với K =
1
2
1
3
1
31
dx
x
Đặt
2
3 tan 3 1 tanx t dx t dt
2
3
2
6
1 1 tan 4
1 tan 3
3 6 3 3 3
t
K dt J
t
Vậy
12ln2 3ln3 12 3
9
I
41) I =
1
2
2
0
.
2
x
xe
dx
x
Đặt
2
2
.2
.
1
2
2
x
x
xx
u x e
du dx
e
dx
dv
v
x
x
1
1
2
0
0
.1
.
2
x
x
xe
I x e dx J
xe
Với
1
0
.
x
J x e dx
Đặt
xx
u x du dx
dv e dx v e
1
11
00
0
12
.1
x x x
J x e e dx e
ee
Vậy I =
3 e
e
42)
22
2
2
1
2 1 2ln ln
ln
e
x x x x
dx
x x x
2 2 2 2
22
2
22
1 1 1
(ln 2 ln ) 1
ln ln
e e e
x x x x x x x x
dx dx dx A B
x
x x x x x x
hoctoancapba.com
GV: PHẠM NĂNG KHÁNH THPT NGUYỄN SIÊU-KHOÁI CHÂU-HƯNG YÊN
2
1
1
1 1 1
e
e
e
A dx
x x e
22
11
1
1
1
ln 1
1
ln 1
ln ln 1
e
ee
dx
e
x
B dx
x x e
x x x
Vậy I =
2
21
1
e
I
ee
