Tiem can cua do thi ham so

CHƯƠNG 1
CHUYÊN ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.




lim f(x) y 0
lim f(x) y0
Nếu x  
hoặc x   
thì đường
thẳng y = y0 là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị
hàm số.

lim f(x) 
lim f(x) 
Nếu x  x0
hoặc x  x0
thì đường
thẳng x = x0 là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị
hàm số.

2. Một số chú ý


Ta có thể tính giới hạn bằng cách sử dụng máy
tính.
0.75001






lim
x 2

x

x 2
X X 2
x 2
X 2
Nhập

CALC 2 + 10-9

Đồ thị hàm số đa thức khơng có tiệm cận.

x2
y
Giá trị x0 là giá trị mà tại đó hàm số khơng xác
x  1 có TCĐ: x = 1, TCN: y = 1
Đồ thị hàm số
định.
Đồ thị hàm số

y

ax  b
cx  d ln có tiệm cận khi và Hàm số y  4  x 2 có TXĐ D = [-2;2] khơng chứa
 nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

c 0

chỉ khi: ad  bc 0 .


Khi đó TCĐ là


x 

d
a
;
y .
c TCN là
c

Hàm số xác định trên khoảng, đoạn khơng chứa
 thì đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số
1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số
lần lượt là:

y

2x  3
x  1 . Đồ thị của hàm số trên có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

A. x = 1 và y = -3.

B. x = 2 và y = 1

C. x = 1 và y = 2.

D. x = -1 và y = 2
Hướng dẫn

Cách 1: Tập xác định:
Ta có:

lim

x 1

Ta lại có:

D  \  1 .

2x  3
2x  3
 
lim


x 1
và x  1 x  1
, nên đồ thị hàm số có TXĐ là x = 1.
lim

x  

2x  3
2
x 1
, nên đồ thị hàm số có TCN là y = 2.

Cách 2: Sử dụng máy tính fx 570VNPLUS
2x  3
Nhập biểu thực x  1
999999998
9

Ấn CALC x 1  10  được kết quả bằng
-999999998

9

Ấn CALC x 1  10  được kết quả bằng

lim

2x  3
 

x 1

lim

2x  3

x 1

nên

x 1

nên

x  1

 Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1.
10

Ấn CALC x 10  được kết quả bằng

2

2x  3
2
nên x   x  1
lim

 Đồ thị hàm số có TCN là y = 2.
 Chọn C.

Ví dụ 2: Đồ thị hàm số

y

2x  3
x  3x  2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
2

A. x = 1, x = 2 và y = 0

B. x = 1, x = 2 và y = 2

C. x = 1 và y = 0

C. x = 1, x = 2 và y = -3
Hướng dẫn

2
Ta có x  3x  2 (x  1)(x  2) , nên hàm số không xác định tại x = 1 và x = 2

Sử dụng máy tính, ta tính được

lim y 

x  1

và

lim y   lim y 
lim y  

; x 2
và x  2

x  1

Suy ra đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1 và x = 2.


lim 

Tương tự, ta tính được

x  

2x  3
0
x  3x  2
, nên đồ thị hàm số có TCN là y = 0.
2

 Chọn A
Ví dụ 3: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. 4

B. 3

C. 2

y

x
x
x  3x  4
là:
2

D. 5
Hướng dẫn

2

Ta có x  3x  4 (x  1)(x  4) , nên hàm số không xác định tại x = -1 và x = 4
Sử dụng máy tính, ta tính được

lim y 

x  (  1)

và

lim y   lim y 
lim y  
; x 4
và x  4

x  (  1)

Suy ra đồ thị hàm số có TCĐ là x = -1 và x = 4.
lim 

Tương tự, ta tính được

x  

x
 x 
x  3x  4
, nên đồ thị hàm số khơng có TCN.
2

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2
 Chọn C
Ví dụ 4: Đồ thị như hình vẽ là của hàm số nào sau đây:
A.
C.

y

x 1
x 1

y

x2
x 1

B.
D.

y

3 x
x 1

y

x 2
x 1
Hướng dẫn

Từ đồ thị ta thấy:
Đồ thị hàm số có TCĐ là x = 1, nên loại đáp án A
Đồ thị hàm số có TCN là y = 1, nên loại đáp án B.
Ta thấy điểm (0;-2) thuộc đồ thị hàm số, nên loại đáp án D
 Chọn C
Ví dụ 5: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?
A.

y

3x  1
x2  1

B.

y

1
x

C.

y

x 3
x2

D.

y

1
x  2x  1
2

Hướng dẫn
Đáp án A: Hàm số xác định trên  , nên đồ thị hàm số khơng có TCĐ.
Đáp án B: Hàm số có TCĐ là x = 0.
Đáp án C: Hàm số có TCĐ là x = -2.
Đáp án D: Hàm số có TCĐ là x = 1.
 Chọn A
2. Bài tập tự luyện
1  3x
y
x  2 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là:
Câu 1. Đồ thị hàm số


A. x = -2 và y = -3

B. x = -2 và y = 1

C. x = -2 và y = 3

D. x = 2 và y =1

Câu 2. Đồ thì hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?
1  2x
y
1 x
A.

B.

y

1
4  x2

y

C.

x 3
5x  1

D.

y

x
x  x 9
2

Câu 3. Đồ thị hàm số nào sau đây khơng có tiệm cận ngang?
A.

y

2x  3
x 1

B.

y

3
1
x 2

y

C.

y

3
2
x 1

B. x = 1

x 4  3x 2  7
2x  1

x 3

Câu 4. Tìm tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
A. y = 1

D.

y

x2 1

C. y = 1

D. y = -1

Đáp án:
1-A

2-B

3-D

4-A

Dạng 2: Bài toán chứa tham số

1. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số
A. m = 4

B. m = -4

C. m  4

y

mx  8
x  2 có tiệm cận đứng.

D. m  -4
Hướng dẫn

c 0


Đồ thị hàm số có TCĐ  ad  bc 0

1 0
 m  4

2m  8 0

 Chọn C
Ví dụ 2: Với giá trị nào của m thì đồ thị (C):
A.

m

2
2

B. m = 0

C.

m

y

mx  1
2x  m có tiệm cận đứng đi qua điểm M( t, 2)?

1
2

D. m = 2
Hướng dẫn

2 0
c 0
 2
 m  R

ad  bc 0
m


2

0


Đồ thị hàm số có đường tiệm cận dứng
Khi đó, đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là
Vậy để tiệm cận đứng đi qua điểm M( t, 2) thì

x 


m
2

m
 1  m 2
2

 Chọn D
x 2  x  1  mx
y
x 1
Ví dụ 3: Đồ thị hàm số
có đường tiệm cận đứng khi:
A. m  0

B. m  R

C. m  -1

D. m  1


Hướng dẫn
Xét phương trình

x 2  x  1  mx 0

 Nếu phương trình khơng có nghiệm x = 1 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1.
t 2  1 1  m.1 0  m  1

 Nếu phương trình có nghiệm x = 1, tức là

x2  x  1  x
1
1
lim
lim

2
x 1
x

1
x 1
2
x  x 1  x
Khi đó xét giới hạn:
Do đó, đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng khi m  -1
 Chọn C
2. Bài tập tự luyện
Câu 1. Giá trị của m để đồ thị hàm số
A. m = 0; m =  1
Câu 2. Cho hàm số

y

y

x m
mx  1 khơng có tiệm cận đứng là

B. m = -1

C. m =  1

D. m = 1

mx  9
x  m có đồ thị (C). Kết luận nào sau đây đúng?

A. Khi m = 3 thì (C) khơng có đường tiệm cận đứng
B. Khi m = -3 thì (C) khơng có đường tiệm cận đứng
C. Khi m  3 thì (C) có tiệm cận đứng x = -m, tiệm cận ngang y = m
D. Khi m = 0 thì (C) khơng có tiệm cận ngang
Đáp án:
1–A

2-C

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
A. y = 8

y

8x  1999
4x  6 là:

B. y = 3

Câu 2. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
A. x = 0; x = 3

B. y = 3

C.
y

y

25
8

D. y = 2

x
x  3x

2

C. y = 0

D. x = 3

Câu 3. Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang?
3
2
A. y x  25x  8

4
2
B. y x  8x  99

 3x  1
y 2
x 2
C.

2x 2  1
y
x 2
D.
y

Câu 4. Cho hàm số

x
x 2  9 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 2 đường tiệm cận ngang là y =  1
B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1


C. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1
D. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và khơng có đường tiệm cận ngang
Câu 5. Đồ thị hàm số nào sau đây có hai đường tiệm cận ngang?
A.

y

x 1
2x  3

Câu 6.) Cho hàm số

B.
y

y

x 1
2
x  2x  1

B. y = -1
y

A. 1

x2  2
x 3

3
2
D. y x  3x  1

x2 1
x  1 . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

A. y = 1
Câu 7. Đồ thị hàm số

C.

y

C. y = 1; y = -1

D. x = 1; x = -1

x 1
x  2x  3 có bao nhiêu đường tiệm cận?
2

B. 3

C. 2

D. 0

mx  n
x  1 có đồ thị (C). Biết đường tiệm cận của (C) đi qua điểm A(-1;2) và ta có
Câu 8. Cho hàm số
điểm I(2;1) thuộc (C). Khi đó giá trị của m+n là
y

A. m + n = -1

B. m + n = 1

Câu 9. Giá trị của m để đồ thị hàm số
A. m = 0; m =  1

y

C. m + n = -3

D. m + n = 3

x m
mx  1 khơng có tiệm cận đứng là

B. m = -1

C. m =  1

D. m = 1

Đáp án:
1–D

2–D

3-C

4–A

5–C

6–C

7–B

8–A

9–A