CĐ1 hàm số vấn đề 5 ĐƯỜNG TIỆM cận của đồ THỊ hàm số

Chuyên đề 1: “Hàm số”

Cao Văn Tuấn – 0975306275

VẤN ĐỀ 5: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Biên soạn: CAO VĂN TUẤN
SĐT: 0975306275

/>1. Phương pháp
Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  .
1. Tiệm cận đứng
Đường thẳng x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị  C  nếu ít nhất một trong 4 điều kiện sau được thỏa
mãn:
lim f  x   
lim f  x   
lim f  x   
lim f  x   
x  x0

x  x0

x  x0

x  x0

2. Tiệm cận ngang
Đường thẳng y  y0 là tiệm cận ngang của đồ thị  C  nếu lim f  x   y0 hoặc lim f  x   y0 .
x 

x 

3. Tiệm cận xiên
Đường thẳng y  ax  b ,  a  0  là tiệm cận xiên của đồ thị  C  nếu lim  f  x    ax  b   0 hoặc
x 

lim  f  x    ax  b   0 .
Chú ý: Cách xác định các hệ số a, b trong phương trình tiệm cận xiên:
f  x
f  x


a  xlim
a  xlim


x
x
hoặc 

b  lim  f  x   ax 
b  lim  f  x   ax 


x  
x  


Khi a = 0 thì tiệm cận xiên suy biến thành tiệm cận ngang.
x 

2. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
2x 1
2  4x
a) y 
b) y 
x 1
1 x
Giải:
a) TXĐ: D = \ 1

c) y  2 x  1 

1
x2

d) y 

x2
1 x

2x 1
2x 1
 2,
lim
2
x  x  1
x  x  1
Suy ra đường thẳng y  2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x   và
x   ).
2x 1

2x 1
lim 
  ,
lim 
  .

x  1 x  1
x  1 x  1


lim

Suy ra đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x   1 và


x   1 ).


b) TXĐ: D =


lim

x 

\ 1
2  4x
 4,
1 x

/>
lim

x 

2  4x
 4.
1 x

1


Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Suy ra đường thẳng y  4 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x   và
x   ).
2  4x
2  4x
 lim
lim
  ,
  .
x 1 1  x
x 1 1  x
Suy ra đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x  1 và x  1 ).
c) TXĐ: D = \ 2


1 


lim   2 x  1 
   ,
x  2  
x2

1 

lim   2 x  1 
  
x  2  
x2

Suy ra đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x   2 



và x   2  ).




1
lim  y   2 x  1  lim
0,
x  x  2

x 

1
lim  y   2 x  1  lim

0.
x  x  2

x 

Suy ra đường thẳng y  2 x  1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi x   và
x   ).
d) TXĐ: D = \ 1

x2
1
Ta có: y 
.
 x 1
1 x
1 x
1 
1 


 lim   x  1 
lim   x  1 
   ,
  
x 1 
x

1
1 x 
1 x 


Suy ra đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x  1 và x  1 ).
1
1
 lim  y    x  1   lim
 0 , lim  y    x  1   lim
0.
x 
x 
x  1  x
x  1  x
Suy ra đường thẳng y   x  1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi x   và
x   ).
4x 1
Ví dụ 2: Gọi  C  là đồ thị hàm số y 
.
3 x
a) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M tùy ý trên  C  đến 2 đường tiệm cận của
nó là một hằng số.
b) Tìm các điểm thuộc  C  sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến 2 đường tiệm cận của  C 
nhỏ nhất.
Giải:
 4x 1 
Lấy M   C   M  x0 ; 0 
3  x0 

a)
 Đường thẳng 1 : x  3  0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x  3 và x  3 ).

 khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d M,1   x0  3

 Đường thẳng  2 : 4  0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (khi x   và x   ).

 khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là: d M,2  
Suy ra: d M,1  .d M,2   x0  3 .

4 x0  1
13
4 
3  x0
3  x0

13
 13  (đpcm).
3  x0

 4x 1 
b) Tổng các khoảng cách từ điểm M  x0 ; 0    C  đến 2 đường tiệm cận của  C  là:
3  x0 

13 Cauchy
13
S  d M,1   d M,2   x0  3 
 2 x0  3 .
 2 13
3  x0
3  x0
/>
2

Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Vậy tổng các khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận của  C  đạt GTNN là 2 13 , xảy ra

x0  3 

 x0  3  13
 x0  3  13
13
2
  x0  3  13  

3  x0
 x0  3   13
 x0  3  13



Với x  3  13 thì M  3  13; 13  4  .
Vậy các điểm cần tìm là: M  3  13;  13  4  ; M  3 
Với x0  3  13 thì M1 3  13;  13  4 .
0

2

1

2

13; 13  4



x2
có đồ thị  C  . Tìm tất cả các điểm M thuộc  C  sao cho:
x 3
a) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
1
b) Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng
lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
5
ĐS:
a) M1  2;0  và M 2 8; 2  .

Ví dụ 3: Cho hàm số y 

b) M1  2; 4  và M 2  4;6  .
3x  1
có đồ thị  C  .
x2
a) Tìm những điểm nằm trên  C  cách đều hai trục tọa độ.

Ví dụ 4: Cho hàm số y 

b) Tìm hai điểm A, B nằm về hai nhánh của  C  sao cho AB nhỏ nhất.
c) Tìm điểm M thuộc  C  sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng  : 3x  4 y  1  0 bằng

12
5

Giải:

 3x  1 
Gọi M  x0 ; 0    C  là điểm cần tìm.
x0  2 

a) Điểm M cách đều hai trục tọa độ
 3x0  1

5  21
2
 x  2  x0
 x0 

x

5
x

1

0
3x0  1
0
0
0
2
 xM  yM  x0 

 2


 3x0  1
x0  2

 x0  x0  1  0
1  5
 x  2   x0
 x0 

2
 0
 5  21 5  21 
3x  1 5  21
5  21
 Với x0 
 0

 M1 
;
 .
2
2
2
x0  2
2


 5  21 5  21 
3x  1 5  21
5  21

 Với x0 
 0

 M 2 
;
 .
2
x0  2
2
2
2


 1  5 1  5 
3x  1 1  5
1  5
 Với x0 
 0

 M3 
;

2
x0  2
2
2
2 

 1  5 1  5 
3x  1 1  5

1  5
 Với x0 
 0

 M 4 
;

2
x0  2
2
2
2 

 5  21 5  21 
 5  21 5  21 
Vậy có 4 điểm M cần tìm là: M1 
;
M 2 
;
 ;
 ;
2
2
2
2




 1  5 1  5 

 1  5 1  5 
M3 
;
M 4 
;
 ;
 .
2
2
2
2




/>
3


Chuyên đề 1: “Hàm số”

Cao Văn Tuấn – 0975306275
5

b) Tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng x  2 . Do đó, hai điểm A  2  a;3   và
a

5

B  2  b;3   (với a, b  0 ) là hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị  C  .

b

2

25 
2
 5 5
Ta có: AB   a  b        a  b  1  2 2 
a b
 ab 
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có:
 a  b 2  4ab


25 
25
10
1  2 2   2 1. 2 2 
ab
ab
 a b 
25 
10
2
 AB2   a  b  1  2 2   4ab.  40
ab
 ab 
a  b
a  b


25


2
AB nhỏ nhất  AB nhỏ nhất  1  2 2  a 2b 2  25  a  b  5
 ab
a  0, b  0

a  0, b  0
2

2









Vậy hai điểm A 2  5;3  5 và B 2  5;3  5 là hai điểm cần tìm.
3x0  4

c) d M,  

3x0  1
1
x0  2

32   4 

2



12

5

3x02  17 x0  2
x0  2
5



12
5

3x02  17 x0  2  12  x0  2 
 3 x  17 x0  2  12 x0  2   2
3x0  17 x0  2  12  x0  2 
2
0

  x0

 x
3x02  29 x0  26  0
  0

 2

3x0  5 x0  22  0
  x0

  x0


1
26
3
 2



11
3
7
 26 15 

 11 
Vậy có 4 điểm M1 1; 2  ; M 2  ;  ; M3  2;  ; M 4  ;6 
4
 3 4

3 


Ví dụ 5: Lấy bất kỳ điểm M   C  : y 
tiệm cận của  C  luôn không đổi.

x 2  3x  1
. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ M đến hai
x2

Giải:

x 2  3x  1
9
 x 5
Ta có: y 
.
x2
x2
9 
9 


 lim  x  5 
  ,
lim  x  5 

  
x 2 
x 2 
x2
x2
Suy ra đường thẳng x  2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (khi x  2 và x  2 ).
1
1

0,
lim  y   x  5   lim
0.
 lim  y   x  5   lim
x 
x  x  5
x 
x  x  5
Suy ra đường thẳng y  x  5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi x   và x   ).
/>
4


Chuyên đề 1: “Hàm số”

9 
Lấy M  x0 ; x0  5 
   C  . Khi đó:
x0  2 


Cao Văn Tuấn – 0975306275

 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của  C  là: d1  x0  2 .
 Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên của  C  là:


9 
x0   x0  5 
5

x0  2 
x0  y0  5
9 2

d2 


2 x0  2
2
2
Tích các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C  là: d1.d 2  x0  2 .

9 2
9 2

  đpcm  .
2 x0  2
2

1
có đồ thị  C  . Gọi M là một điểm bất kì thuộc  C  , qua M vẽ
x2
hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của  C  , hai đường thẳng này tạo với hai
đường tiệm cận một hình bình hành, chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi.
Giải:
TXĐ: D = \ 2

Ví dụ 6: Cho hàm số y  2 x  1 

Đồ thị  C  của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x  2 và tiệm cận xiên là đường thẳng

y  2 x  1.

Gọi MNIP là hình bình hành tạo bởi hai đường tiệm cận của  C  và hai đường thẳng vẽ từ M lần lượt
song song với hai tiệm cận này (I là giao điểm của hai đường tiệm cận.

1 
M   C   M  x0 ; 2 x0  1 

x0  2 


 N  TCX
1
 N  x0 ; 2 x0  1  MN  yM  yN 

x0  2
MN  Ox
Đường thẳng MN qua M và song song với đường tiệm cận đứng nên có phương trình là: x  x0  d
 d I,MN  2  x0  x0  2
Diện tích của hình bình hành MNIP là: SMNIP  MN.  d I,MN  

1
. x0  2  1  (đpcm).
x0  2

Ví dụ 7 [ĐHQG – TpHCM – 1997]: Cho họ đồ thị  Cm  : y 

x 2  mx  1
. Tìm m để tiệm cận xiên của
x 1

 Cm 

tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 8.

Giải:
TXĐ: D =

\ 1

x 2  mx  1
m
 x  m 1
.
x 1
x 1
 Khi m  0 thì hàm số trở thành y  x  1 . Hàm số này có tiệm cận xiên là đường thẳng y  x  1 ,
1
khi đó tam giác tạo ra có diện tích bằng . Do đó m  0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
 Khi m  0 :
m
m
lim  y   x  m  1  lim
0,
lim  y   x  m  1  lim
0.
x  
x  x  1
x  

x  x  1
Suy ra đường thẳng y  x  m  1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (khi x   và x   ).

Ta có: y 

Khi đó, giao điểm của tiệm cân xiên với hai trục Ox, Oy lần lượt là: A  m  1;0  ; B  0; m  1 .
/>
5


Chuyên đề 1: “Hàm số”
Cao Văn Tuấn – 0975306275
Tiệm cận xiên của  Cm  tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích là 8

m  1  4
m  3
1
1
2
.
 SAOB  OA.OB  m  1 . m  1  8   m  1  16  

2
2
 m  1  4
 m  5
Vậy m  3 ; m  5 là những giá trị cần tìm.
mx 2   3  m  x  m2  2
Ví dụ 8: Gọi  C  là đồ thị hàm số y 
, m là tham số. Khi  C  có tiệm cận xiên,

x 1
gọi đường tiệm cận xiên này là  d  . Tìm m để:

a)
b)
c)

 d  đi qua điểm A 1; 4  .
 d  tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6.
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 3 .

Giải:
TXĐ: D =

\ 1

mx 2   3  m  x  m2  2
m2  1
 mx  3 
x 1
x 1
Suy ra  C  có tiệm cận xiên  m  0 . Khi đó,  C  có tiệm cận xiên là đường thẳng  d  : y  mx  3

Ta có: y 

a)

 d  đi qua điểm A 1;4  4  m.1  3  m  1 (thỏa mãn

m  0 ).

Vậy m  1 là giá trị cần tìm.

OM   0;3
 3  
b) Giao điểm của  d  với hai trục tọa độ là M  0;3 và N   ;0   
 3 
 m  ON    ;0 
 m 

Vì tam giác OMN vuông tại O nên diện tích tam giác OMN là:
1
1
3
9
3
3
SOMN  OM.ON  .3.   6 
 6  m   m   (thỏa mãn m  0 ).
2
2
m
2m
4
4

3
là giá trị cần tìm.
4
3

c) d O, d   3 
 3  m2  1  3
2
m 1
 m2  1  3  m2  2  m  2 (thỏa mãn m  0 ).
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Vậy m  

1  x2
có đồ thị  C  . Tìm tất cả các điểm M thuộc  C  sao cho: Khoảng cách
x
từ M đến tiệm cận đứng bằng 2 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên.
Giải:
TXĐ: D = \ 0
Ví dụ 9: Cho hàm số y 

1  x2
1
 x 
x
x

1
Gọi M  x0 ;  x0     C  là điểm cần tìm.
x0 

Ta có: y 

Đồ thị  C  của hàm số đã cho có:

 Tiệm cận đứng là đường thẳng  1  : x  0

 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d M,1   x0 .
/>
6


Chuyên đề 1: “Hàm số”
 Tiệm cận xiên là đường thẳng   2  : y   x

 Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: d M,2  

Cao Văn Tuấn – 0975306275

1

.

2 x0

Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng

d M,1   2d M,2 

2 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên
 x0  1
2
2
 x0 
 x0  1  x0  1  

2 x0
 x0  1

 Với x0  1 thì M1 1;0  .
 Với x0  1 thì M1  1;0  .
Vậy M1 1;0  và M2  1;0  là các điểm cần tìm.

mx 2   3m2  2  x  2

có đồ thị  Cm  với m .
x  3m
a) [ĐH, khối A – 2008] Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị  Cm  bằng 450 .

Ví dụ 10: Cho hàm số y 

b) Tìm m để đồ thị  Cm  có tiệm cận xiên cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác AOB có
diện tích bằng 4.
Giải:
TXĐ: D = \ 3m
Ta có: y 

mx 2   3m2  2  x  2
x  3m

 mx  2 

6m  2
x  3m

1


6 m  2  0
m 
Đồ thị  Cm  có hai tiệm cận (có 1 tiệm cận xiên)  

3
m  0
m  0
Khi đó, đồ thị  Cm  có:

 *

.

 Tiệm cận đứng là:  1  : x  3m  x  3m  0 có 1 VTPT là n1  1;0  .
 Tiệm cận xiên là:  2  : y  mx  2  mx  y  2  0 có 1 VTPT là n2   m; 1 .
a) Góc giữa hai tiệm cận của đồ thị  Cm  bằng 450

cos 450  cos  n1 , n2  

n1.n2
n1 . n2



m
2
2



2
2
2
m 1

 2 m2  1  2 m  2  m2  1  4m2  m2  1  m  1 (thỏa mãn * ).
Vậy m  1 là những giá trị cần tìm.

OA   0; 2 
2  
b) Tiệm cận xiên của  Cm  giao với 2 trục tọa độ tại A  0; 2  và B  ;0   
2 
 m  OB   ;0 
m 

1
1
2
1
1
1
SAOB  OA.OB  . 2 .
4
 4  m   m   (thỏa mãn * ).
2
2
m
2m
2
2

Vậy m  

1
là những giá trị cần tìm.
2

/>
7