HSG Toan 9 tinh Binh Dinh nam 20162017

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TÍNH LỚP 9 THCS
BÌNH ĐỊNH
KHỐ NGÀY 18 - 3 - 2017
Đề chính thức

Mén thi:

TỐN

Thời gian:
Ngàythi:

150 phút (không kê thời gian phát đề)
18/3/2017

Bài 1 (6,0 điểm).

1. Cho biểu thức: P— 22 +Vi6m +6, jm—2._
m+2/m—-3

Vm—-1

3

-

Jm+3

2

a) Rut gọn P.

b) Tìm giá tri tự nhiên của m để P là số tự nhiên.

2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(e + a) — abe với a, b, e là các số nguyên.
Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.

Bài 2 (5,0 điểm).
„

.

Ỳ

rẻ

-

ok

^

,

|

ot

4

XxX

y

xX +

a) Chứng minh răng: với mọi sơ thực x, y dương, ta ln có: — + — >

y

b) Cho phuong trinh: 2x? + 3mx — V2 =0 (m 1a tham s6). Cé hai nghiém x, va x, .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = (x,- x) + |

l+x
x

14+ x5 ]
%*;

Bài 3 (2,0 điểm)
Cho x, y. z là ba số dương. Chứng minh rằng:
1

1

vty ye
Bài 4 (7,0 điểm).

1

I[

I1

1

1

Fey “2g *s*z)

_

1. Cho tam giác đêu ABC nội tiêp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điêm di
động trên cung nhỏ BC của đường trịn đó.
a) Chứng minh MB + MC = MA
b)_

Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Goi

S, S’ lan lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động
ta ln có đăng thức:

MH +MI+ MK =22-23)
2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên
đoạn FD, lấy N trên tỉa DE sao cho MAN = BAC. Chứng minh MA là tia phân
giác của góc NME

Lbinhpn thcsphuochoa


DAP AN

Bai 1 (6,0 diém).

dc+ Ì (với m >0,m
1a) Rút gọn được P = vin
1b)

P=

z 1)

Vm +1 _
2
= 1+
Vm -1
Jim— 1

Ta có: Pc N © TCm— EN ©

im — 1 là ước dương của 2 = m e {4:9} (TMĐK)

Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.

2)atb+c:4
(a,b,c € Z)
Đặta+b+ec=4k (ke Z)=a+b=4k-c;b+c=4k-a;a+c=4k-b
Ta co: P= (a+ b)(b + c)(c + a) — abc = (4k — c)(4k — a)(4k — b) — abc

= (16k? — 4ak — ack + ac)(4k — b) — abe

= 64k — 16bk” — 16ak” + 4abc — 16ck” + 4bck + 4ack — abc — abc

= 4(16k* — 4bk? — 4ak? + abk — 4ck? + bek + ack)— 2abc_
Gia str a, b, c déu chia 2 du 1 > atb+cchia2du1
Ma:a+b+c:4—>a+b+c: 2 (theo giả thiết)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn

Điều giả sử là sai

(*)

(1)
(2)

=> Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2
=—=2abc: 4 (**)

Từ(*)và(**)=P:4

Bài 2 (5,0 điểm).

a) x

y

42s

xt+y

684"

s 4a+b 6 (040) > 4ab 6 (a —b) > 0 (ding)
ab

b) PT có a, c trái dấu nên ln có hai nghiệm phân biệt x, va x,
Ta cÓ: x, +% = =

Va x,.%) = 2

M= (x my+[ 28 aod ¬
2

22

x,

X5

_ (x, +x) - ts]

(x,- x) 1 +(os

(1, }

= [9+

lmề v85

+ z5

4(ost

(x,

và

Dấu “=” xảy ra khi m = 0

Vậy GTNN của
M là 84/2 +8 khi m=0

Bài 3 (2,0 điểm)

Áp dụng BĐT Cô sỉ cho các số dương +7 và y2, ta có:
+ + YZ > 2x? yz = 2x

yz

=>

1

x +yz

<

l

xyz

1
1

——
2 Xa) yz

Lbinhpn thcsphuochoa

}


„

Tương tự. ta có:
Suy

7

1

ra:

xX + yz

Ta có:

y

!

Úc

<—

+ xy

L_

_—

1

1

—

Z

1

1

<=.

xy

z

2

+xy

1

1

xứ:
YZ +4

(1)

|

„3
+ vxz + vy

(2)

XYZ

(3)


+ Jp

+ Úc

z

Và

XZ

1

+

XZ

`

YN

2

+ XZ

y`+#⁄z

—)

1

<.

1

+

Xl yz

Tà có:

1

—

That vay: (*) <= 2,/yz + 2A|xz + 2\|xy < 2x+2y+2z

<> (Vx - fy) +(Vz- vx) +(Jy - Vx) 20 (BDT đúng)
=y =z
Dấu “=” xảy ra khix
Từ (2) và (3) suy ra:

Tu (1) va (4) suy ra:

!

Ss

Xa] YZ

=

xX +yz

extytZ

1
XZ

es

y+XzZ

XYZ

l

Ye

AZ

XY

4%)


—

+

+ “1

l

-t,4,1

Zt+txYy

2J2(XY

yz

wx

Bai 4 (7,0 diém).

1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB

Ta có: ABEM là tam giác đều = BE = BM = EM

A

ABMA = ABEC = MA=EC

Do dé: MB + MC = MA

Cách 2:

0

Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB
Ta có: ABEM là tam giác đều

= BE=BM=EM

B

AMBC = AEBA (c.g.c) > MC= AE
Do đó: MB + MC = MA

so

LE xZZ c

ụ

ụ

1.b) Kẻ AN vng góc với BC tại N
Vì A ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác
=> A,O,N thang hang >AN=

2Đ

Ta có: AN = AB.sinABN

= Ag=_—

1
= S ABM
Ta có: —MH.AB
2

MH

1

= S

ACM

1
= S
—MI.BC
2

BCM

—MK.AC
2

Do do: MH + MK

=

=>

2—

sinABN

= 2p: 3 - R2
2

25
“°ABM
AB

“AM

— 2SRV3

~““ACM
- 25
MK
AC

25
— “~ACM
RV3
cu
= 25m5

<©> MI = 25BC8%
25"

+ MI = RE

_ 25'

= —=

RB

2

Tan

ai

2

=

2%'

RB

aS!

spy + Sicy) — nh

(S + 2S’)
23

(s+#)=——————

Lbinhpn thcsphuochoa

3R

2

+ a

Sime


2. Qua M kẻ đường thắng song song với BC cat DE tai K
Tứ giác AEDB nội tiếp — CDE = BAC

Ma: MKD = CDE

(vì MK //BC).

Do dé: MKD = MAN

=> Tứ giác AMKN nội tiếp

=> AMN = AKN

Ta có: D = D, (= BAC )=> D,=D,
ADMK có DA là phân giác vừa là đường cao nên cân tai D
= DM=DK
AAMD = AAKD (c.g.c) = AMD = AKD

Nén: AMF = AKN. Tacé: AMF = AMN (- AKN)
Vay: MA la phan giác của g6c NMF

Lbinhpn thcsphuochoa