Loi giai Tap de thi HSG Toan 8

LOI GIAI - HUONG DAN
DE 01
Cau 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử (với hệ số là các số nguyên):
xˆ+2xy
+ 7x + 7y +y “+ 10

b/A =(a+l)(a+3)(a+5)(a+7)+15

Giải
a/ X + 2xy + 7x + 7y + y + 10 = (x? + 2xy +y )+(7x + 7y) + 10

=(x+y} +7(x+y) + 10=(x+y+2)(x+y
+5).

b/A =(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15 = [(a+1)(a+7)|Ì(a+3)(a+5)|+15
A ={Ía?+8a+7)(a? +8a+15)+15 =(a? +8a+7)|(a° +8a+7)+8]+15
A=(a’ +8a+ 7) +8Ía” +8a+7)+15
2

A=((a’ +8a+7)

+8(a? + 8a +.7)+ 6|—]

A =(a? +8a+11]} —I=(a? +8a+12)(a? +8a +10)
A =(a+2)(a+6)(a’
+8a +10)
Cau 2.

a/ Giai phuong trinh sau: x —
b/ Tìm x; y biết: x”- y”+ 2x - 4y - 10 =0 với x, y ngun dương.

Giải
a/ x—

mem.

x

34+x

2

4

©2x-—+

1

=6ư-—+

2
6-x

2

> 24x—-6x+9+3x=

72-6+l12—-2x

©23x=ó9b/xˆ—y” +2x—4y—10=0 ©(*? +2x +1)—(y? +4y+4)=7

(x +1)
=

(1)

<= (II)

—(y +2) =7©(x—y—I)(x+y+3)=7=7.1=1.7

x-y-l=1
x+y+3=7
x-y—-l=7

x+y+3=I

-©
-©

2x =6
x+y=4
2x =6

x+y=-2

x=3

S

y=l
S

(vì x, y nguyên dương)

(tmdk)

x=3

y=-—35 (loạn)

Vậy nghiệm của phương trình là (x, y) = (3; 1)

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đúc Thọ, Hà Tĩnh.


a

Câu 3: Cho abc = 2. Rút gọn biểu thức: 4=

+

b

ab+a+2

+

2c

bc+b+l

ac+2c+2

Giải
=
=
Aa

a
ab+a+2

a
ab+at+2
atab+2

+

+

b
bet+b+l

ab

+

abt+at+2

+

2c

ac+2c+2

4
2a+4+2ab

=

a

=

abt+a+2
a

abt+a+2

+

+

ab

+s

abc+ab+a

ab
ab+a+2

+

2abc
a“bc+2abc+2ab

2
ab+a+2

_|

ab+a+2

Cầu 4:
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biêu thức: M = x? + y?—xy—x+ y+l
b/ Biết xy = L1 và x'y + xy“+ x +y = 2010. Hãy tính x” + y'
Giải
a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức:
=>

M=x’?4+y —xy—x+ty+1<
4M =4x’ +4y’ —4xy —4x+4y+4

4M =(2x—y—1) +(3y? +2y +3)

12M =3(2x—y—1) +9y? +6y +9

12M =3(2x—y—1) +(3y +1) +8 =M>>
=> GTNN của biểu thức M = : đạt được khi.

~

2x—-y—1=0
y

Ss

X=—

3

3y+1=0
Cau 5:

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên BC lấy M bat ki sao cho BM < CM. Tir
M vẽ các đường thăng song song với AC cắt AB tại E và song song với AB cắt
AC tại F. Gọi N là điểm đơi xứng của M qua EF.
a/ Tính chu vi tứ giác AEME. biết AB = 7cm.
b/ Chứng minh : AFEN là hình thang cân
c/ Tinh ANB+ACB=?

d/ M 6 vi trí nào để tứ giác AEMEF là hình thoi và cần thêm điều kiện của

AABC dé cho AEMF là hình vng.
a/ Tinh chu vi tt gidac AEMF
Ta co:
AE// MF
AF//ME

=> Tứ giác AEMF là hình bình hành.

= AE = ME

= AF = ME (
Do do: Chu vi
2(AE + AF) =
= 2AB = 2.7 =

FC)
EB)
tt giac AEMF bang:
2(AE + EB)
14 (cm)

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đúc Thọ, Hà Tĩnh.


b/ Chứng mình AFEN là hình thang cân.
Xét ANHE và A AKF có.

NHE = AKF
= 90°
NE = AF (= ME)

= ANHE = AAKF (ch - gn)

NEH = AFK (= MEF)

=NH
= AK"

Ta c6: NH // AK (1 EF)”

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác AKHN là hình bình hành.
= AN // EF (// HK)

= Tu gidc AFEN 1a hinh thang ©.

Ta có: NEE
= AFE

(= MEF)

đ)

Vậy từ (3) và (4) suy ra tứ giác AFEN là hình thang cân.
d/ Tim vi tri của M và điều kiện A ABC để tứ giác AFEN là hình thoi,
hình vng.
- Khi M trung điểm của cạnh BC thì tứ giác AEME là hình thoi.
- Khi tam giác ABC vuông cân tại A và M trung điểm cạnh BC thì tứ giác
AEMF là hình vng.

DE 02
Cau 2. Giai phuong trinh sau:
a/

x-17

+

1990
]

c/

a+b—x

x-21

1986

+

x+4l

1004

1

1

a

bx

-i,1,1

=4

b/ 4*— 12.2* + 32 =0

(x là ân số)

Giai

—2

x-17

Xx-2]

x+l_y

1990

1986

1004

—2

—2

1986

1004

œX-1!

X=4l

1990

1986

—=—........ 9 3 (x 2007)

1990

1
1990

|

Xt! 49
1004
1

1

1986

1004

+——+

=0

©x—2007=0b/ 4'—12.2'+32=0

> 2?* 12.2% +32=0 = (2*—4)(2*-8)=0
>

2'—4=0
anon

>

[=
x=3

Cau 3:

a/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008
cho đa thức x7 +10x+21.
b/ Tìm các sơ ngun a và b đê biêu thtre A(x) = x*-3x°+ax+b

cho biểu thức Ø(x) =x?—3x+4
Giải
Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đúc Thọ, Hà Tĩnh.

chia hét


a/ Tim sé du trong phép chia

(x +2)(x+4)(x
+6)(x +8) +2008

=[(x +2)(x +8)]|(x +4)(x +6)] +2008

(x°x

+10x +16)(x’ +10x +24) +2008

&X

+10x +21), —2(x? +10x +21) +1993 chia cho x? +10x +21 du 1993.

lVay (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008 chia cho x*+10x+21 du 1993.
b/ Tim a, b nguyén dé A(x) = x‘ —3x° +.ax+b chia hét cho B(x) =x? —3x+4.
X 4 _ = 3x3 taxtb
X

=>

b+16
2 4, (a —|2 )x+b+

- 3x+4

a—12=0

- 3x+4

a=12

&

Piece

X

hoe

Cau 4:

al Cho ~424221
abe

va 442420.
x

yp

Z

2

Chứng minh răng: 74%
a

b

2

4521,
ec

b/ Tìm các giá trị của x để biểu thức P = (x - 1)(x +2)(x+3)(x +6) có giá

trị nhỏ nhât. Tìm giá trị nhỏ nhật đó?

Giải
x

a/ Chieng minh rang: 7
Từ 3+ 2+
XYy

7

oz 2

yp

tas =|.

®

RP

=0 @ayz-+bxz-+rexy =0

Ta có: Kyte
tiie (E4242)
=|
a
boc
a
boc

2

x?

y

z7

2

oa > +> + > +2
b*

ab

yZ

I-

+—+
be

ca

1

yŸ
7
XY
YZ

©-=+~z+--=l-À.
+ —+—
a
ob
=
bc
“
x
y
z7
cxy +ayz+bzx
©—>+—+—=l-2.|—————
a
ob
abc
©

x

2

2

+
av

2

y
Z

—+—_-—l-2.0=]
b
c7
x?

y

z?

Vay Yat—+—+—=1
ta

(dpcm
(đpcm)

b/ Tìm các giá trị của x để P = (x - l)(x + 2)(x + 3)(x + 6) nhỏ nhất.
P

(x—1)(x+2)(x+3)(x+6)

P

I(x —1)(x +6)]|(x +2)(x +3)] = (x? +5x —6)(x? +5x +6)

P

(x? +5x) —36 >—36
Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đúc Thọ, Hà Tĩnh.

Biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất bằng -36 khi.
v'

5x0

x=0

©x[x+8)=0|

x=—5

Vậy khi x = 0 hoặc x = - 5 thì biếu thức P = -36 nhỏ nhất.

ĐÈ 03
Bài 2:

a/ Giải phương trình: —

3y

-lI0y+3

=

oy

9y*-1

__—2

l-3y

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ; A=È +19 +2)
X

Giải

a/ Giúi phương trình:
2

3y
>

I

2

=

-

-l0y+3
=

3y*—10y+3

9y

6y5

9y?-1

sy

—-I

+

+

:

1—3y

ĐKXĐ:x+Ì;x

3

=3

2

1-3y

1
Ĩy
2(3y +1)
_
=
3y°—10y+3_ (3y-I)(3y+l) (3y—-1)(3y +1)

eos

1

=

3v

2

—2

—

-l0y+3

9y

2

—]

©3y`-4y+I=0
1

#ly~0|y=s|=0
y = 1 (tmdk)
1

(loai
y= =— doan)
Vậy tập nghiệm của pt là S = {1}

b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A

_ (x+l6)\(x+9)_ xế+25x+144 © :
X

X

144
X

+25

Theo BBT Cosi véi x > O ta cé:
xt

X

Do đó:

50),

= 24

X

a=[x+4]
X

4252

24 +25 =49

Đạt được khi x— TỶ @ x? =144>x=12

X

Vậy GTNN của A = 49 đạt được khhi x = 12.

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đúc Thọ, Hà Tĩnh.


ĐÈ 04
Bài 1:

b/ Tìm giá trị nguyên củax để A : B biếtA = 10x”— 7x— 5 và
d/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

B=2x-— 3

4xˆ—2x+]
Xx

2

Giải

b/ Tìm giá trị ngun của
x để A : B
2

10x

—ÍX CS

vi.

7

2x—3

=2x—3€Ư,„
*2x-3=1

2x—3

={+h

+7}

<€x=2

*2x—=3=-l€x_—l
*2x-3=7

۩x=5

*2x-3=-7©x=-2

Vay khi x = {—2; 1; 2; 5} thi A=

10x?
— 7x — 5 chia hết cho B =2x—3.

d/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A

¬ Ax* —2x+1
X

¬ 3x” +(x

2

—2x+
X

2

(1)
A=3+^—_—>3khi
x= I.
X

Vậy GTNN của biểu thức A = 3 đạt được khi x = l.

DE 05

Bai 2
b/ Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau:
Ox? + y? + 2z7 — 18x + 4z - 6y +20 =0.
Giải

Ta có:
Ox? +y* +277 —18x +4z—6y
+20 =0

© (9x? —18x +9)+(y? —6y +9) +(227 +42+2)=0
9(x—1) +(y—3) +2(z+1) =0
x—-1=0

x=l

=>‡Y-3=-O©‡y=3
z+1=0

z=-1

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đúc Thọ, Hà Tĩnh.


as

`

¬

kK,

5

DE 07
2

r

Bai 3: Tim gia tri lon nhat của biêu thức:

M =

2x+1

>
x7 +

Giải
Ta có:
M

2x +1

(x? +2)—(x?

xt 42

Mm=i_-È

—2x +1)

x+2

_1ÝŸ

Ì <1 đạt được khi x =L

x +2
Vay GTLN cua M = 1 đạt được khi x = 1.

Bai 4: Tim nghiém nguyén duwong (Suwa khong Gm) cua phuong trinh sau:
yx +yxty=l.

Giải
Ta c6: yx’ +yx+y=

Ley(x? +x+]) =]

y=l
car

"

x =—1

(loai)

Vậy nghiệm của pt là (x, y) = (0; 1)

Lời giải - Nguyễn Văn Đại - Đức An, Đúc Thọ, Hà Tĩnh.