ĐỀ tài NCKH giải số qui luật ứng xử đàn hồi nhớt của huet sayegh và 2s2p1d trong miền thời gian để phân tích ứng xử của kết cấu áo đường mềm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI
HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ
CHÍ MINH

CƠNG TRÌNH NCKH CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT
CỦA HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN
THỜI GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT
CẤU ÁO ĐƯỜNG MỀM

MÃ SỐ: T2020-80TĐ

SKC007302

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 12/2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ
THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT CỦA
HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN THỜI
GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU ÁO
ĐƯỜNG MỀM

Mã số: T2020-80TĐ

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

TP. HCM, 12/2020


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ
MINH KHOA XÂY DỰNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

GIẢI SỐ QUI LUẬT ỨNG XỬ ĐÀN HỒI – NHỚT CỦA
HUET-SAYEGH VÀ 2S2P1D TRONG MIỀN THỜI
GIAN ĐỂ PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA KẾT CẤU ÁO
ĐƯỜNG MỀM

Mã số: T2020-80TĐ

Chủ nhiệm đề tài: TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài
TP. HCM, 12/2020


DANH SÁCH THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
1. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài, Khoa Xây Dựng,

2. Trần Vũ Tự,

3. Nguyễn Duy Liêm,

MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1

Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước

1.2

Tính cấp thiết

1.3

Mục tiêu nghiên cứu

1.4

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.5

Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

1.5.1 Cách tiếp cận

1.5.2 Phương pháp nghiên cứu
1.6

Nội dung nghiên cứu

Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1

Các phương trình cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng đàn h

2.2 Mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D
2.4

Mô-đun dão (relaxation modulus)

2.5

Giải số quan hệ ứng suất – biến dạng

Chương 3: KẾT QUẢ TÍNH TỐN SỐ
3.1

Ví dụ tính tốn số cho các bài tốn có trường ứng suất đồ

3.1.1 Thí nghiệm tự chùng và từ biến
(a) Thí nghiệm tự chùng (relaxation test)
(b) Thí nghiệm từ biến (creep test)
3.1.2 Thí nghiệm mơ-đun động (dynamic modulus test)
3.1.3 Mơ hình chịu tác dụng của tải trọng nhiều bước
3.2

Tính tốn số cho các bài tốn có trường ứng suất khơng đ

3.2.1 Ấn tĩnh một vật thể rắn có đáy phẳng vào bán khơng gian đàn hồi – nhớt
3.2.2 Bài tốn F/HWD
Chương 4: KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

iv


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
AAR

Analytical approximate relaxation

ACB Asphalt concrete of base
ACS

Asphalt concrete of surface

BTN

Bê tông nhựa (asphalt concrete)

err

Error (sai số của kết quả tính tốn)

Err

Error (sai số của kết quả tính tốn độ mềm từ biến)

FWD

Falling weight deflectometer

F/HWD

Falling/Heavy weight deflectometer

HWD

Heavy weight deflectometer

LVE

Linear viscoelastic

NER

Numerical exact relaxation

UGM

Unbound granular material

v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1-1 Minh họa hư hỏng mặt đường kiểu hằn lún vệt bánh xe và kiểu nứt mỏi

Hình 1-2 Minh họa mơ hình lưu biến của Huet-Sayegh (a) và 2S2P1D (b)
Hình 2-1. Xấp xỉ mơ-đun dão AAR sử dụng phương pháp sắp đặt
Hình 2-2. Xấp xỉ mô-đun dão AAR và NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiệt
độ tham chiếu. (a) Hỗn hợp bê tông nhựa. (b) Nhựa đường.
Hình 2-3. Xấp xỉ mơ-đun dão NER bằng tổng các hàm số mũ ở nhiều nhiệt
độ khác nhau. (a) Hỗn hợp bê tông nhựa 3. (b) Nhựa đường 4.
Hình 3-1. Thí nghiệm tự chùng. (a) So sánh giá trị mơ-đun dão tính tốn với
giá trị mơ-đun dão đưa vào trong tính tốn. (b) Sai khác tương đối giữa các
giá trị của mơ-đun dão AAR và NER.
Hình 3-2. Thí nghiệm từ biến. (a) Độ mềm từ biến tính toán được. (b) Sai
khác tương đối giữa các giá trị độ mềm từ biến tính tốn được trên cơ sử
dữ liệu đầu vào là mô-đun dão AAR và mô-đun dão NER.
Hình 3-3. Kết quả tính tốn số của mơ-đun động thay đổi theo tần số góc
của hỗn hợp bê tơng nhựa (a) và nhựa đường (b) sử dụng dữ liệu đầu vào
là mơ-đun dão AAR và NER.
Hình 3-4. Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của hỗn hợp bê tông nhựa tính
tốn dựa trên số liệu đầu vào là mơ-đun dão AAR và NER.
Hình 3-5. Biểu đồ Cole-Cole (a) và Black (b) của nhựa đường tính tốn dựa
trên số liệu đầu vào là mơ-đun dão AAR và NER.
Hình 3-6. Mơ hình chịu tác dụng của tải trọng nhiều bước. (a) Ứng suất tác
dụng. (b) Biến dạng đáp ứng của hỗn hợp bê tông nhựa 3 ở các nhiệt độ
khác nhau. Kết quả tính tốn khơng được thể hiện hết tất cả các giá trị ở
các bước tính tốn nhằm mục đích làm rõ hình vẽ.
Hình 3-7. Mơ hình đàn hồi – nhớt ba phần tử.
Hình 3-8. Định nghĩa bài tồn ấn một vật thể rắn vào một bán không gian
đàn hồi – nhớt.

vi


Hình 3-9. Kết quả tính tốn số. (a) Lực ấn thay đổi theo thời gian. (b) Sự
phân bố của ứng suất tiếp xúc.
Hình 3-10. Định nghĩa bài tốn F/HWD. Các vị trị đo chuyển vị bằng cảm
biến (geophone) G1, G2, đến G9
Hình 3-11. Chuyển vị tại các cảm biến G 1, G5 và G9 trong phân tích giả tĩnh. (a) Chuyển
vị thay đổi theo thời gian. (b) Giá trị của chậu lún ở thời điểm t=0.01, 0.019 và 0.025s.

Hình 3-12. Chuyển vị tại các cảm biến G1, G5 và G9 trong phân tích động lực
học. (a) Chuyển vị thay đổi theo thời gian. (b) Giá trị của chậu lún tại các
thời điểm t=0.01, 0.019 và 0.025s.
Hình 3-13. Chậu lún ứng với chuyển vị lớn nhất (a) và thời gian tới tương ứng với
chuyển vị lớn nhất (b) thu được trong phân tích giả tĩnh và phân tích động lực học.

vii


DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2-1. Các thông số của mơ hình Huet-Sayegh và
2S2P1D Bảng 2-2. Các thơng số chính của q trình xấp xỉ

Bảng 3-1. Kết quả phân tích của bài tốn F/HWD trong phân tích giả tĩnh
và phân tích động

viii


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN VỊ: KHOA XÂY DỰNG
Tp. HCM, ngày 12 tháng 12 năm 2020

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1.

Thông tin chung:

- Tên đề tài: Giải số qui luật ứng xử đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và
2S2P1D trong miền thời gian để phân tích ứng xử của kết cấu áo đường mềm

-

Mã số: T2020-80TĐ

-

Chủ nhiệm: Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

-

Cơ quan chủ trì: Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp.HCM

-

Thời gian thực hiện: 12 tháng, từ 1/2020 – 12/2020

2.

Mục tiêu:

Giải số mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D trong miền thời gian để
tích hợp vào trong chương trình tính tốn bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Kết
quả nghiên cứu giúp cải thiện độ chính xác của kết quả phân tích kết cấu áo đường.

3. Tính mới và sáng tạo:
Các tác giả đã đề xuất một phương pháp giải số cho qui luật ứng xử đàn
hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D, trong đó độ chính xác cũng như
thời gian tính tốn được cải thiện một cách đáng kể.
4.

Kết quả nghiên cứu:

Sai số tại mọi điểm của xấp xỉ mô-đun đàn hồi dão bằng tổng các hàm số mũ
sử

dụng các hệ số có giá trị thực là rất nhỏ, nhỏ hơn 1.5 10

4

đối với hỗn

hợp bê tông nhựa và 7.5 10 4 đối với nhựa đường.
- Nghiệm số khớp với nghiệm giải tích. Điều đó xác thực tính đúng đắn của các giá trị
mơ-đun dão cũng như phương pháp xấp xỉ mô-đun dão bằng tổng của các hàm số mũ.

ix


- Khi so sánh với phương pháp giải trực tiếp (ví dụ phương pháp của Heck),
thời gian tính tốn với phương pháp đề xuất thấp hơn một cách đáng kể
(khoảng 1000 lần) trong khi mức độ sai số tương đối 10 3 vẫn có thể đạt được.

5.

Sản phẩm:

01 bài báo SCIE, Q1 (vượt yêu cầu so với đăng ký đề tài được duyệt là Q2)

01 bài báo hội nghị được đăng trong kỷ yếu nằm trong danh mục Scopus
(sản phẩm vượt đăng ký)
/>=trmp20

/>6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:
Kết quả nghiên cứu cung cấp thơng tin hữu ích cho các kỹ sư xây dựng và các nhà
khoa học trong việc phân tích ứng xử thực tế của kết cấu áo đường mềm, giúp
đánh giá chính xác hơn tuổi thọ của cơng trình để từ đó có phương án lựa chọn
loại vật liệu phù hợp nhằm nâng cao độ bền cho công trình. Kết quả nghiên cứu
cũng có thể chuyển giao thành tài liệu đào tạo cao học, nghiên cứu sinh.

Trưởng Đơn vị Chủ nhiệm đề tài (ký, họ và tên)

TS. Nguyễn Huỳnh Tấn Tài

x

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS
1. General information:
Project title: Numerical resolution of Huet-Sayegh and 2S2P1D models
for analysis of asphalt pavement structures in time domain.
Code number: T2020-80TD
Coordinator: Nguyen Huynh Tan Tai
Implementing institution: Ho Chi Minh City University of Technology and Education

Duration: from 01/2020 to 12/2020
2. Objective(s):
To implement the Huet-Sayegh and 2S2P1D viscoelastic model in time
domain in an existing finite element programme. The results of this work
help to improve the exactness of flexible pavement analysis.
3. Creativeness and innovativeness:
The authors have proposed a method for finite element implementation of
Huet-Sayegh and 2S2P1D viscoelastic model in time domain, in which the
accuracy as well as computing time is significantly improved.
4.

Research results:

The error of the approximation by sum of exponential functions using real
valued

decay rates and coefficients is very small, lower than 1.5 10
data point for asphalt mixtures and 7.5 10

4

4

at every

for binder.

- The numerical solutions agree with the exact solutions, which verify the
accuracy of the AAR and NER moduli as well as its approximation by
sum of exponential functions.
- When comparing to the direct method (e.g. method of Heck), the CPU time for
the proposed formulation to complete the calculation is significantly lower

(approximately 1000 times) while small relative error of the order of 10

3

can be obtained.
5. Products:
01 SCIE and Q1 paper (01 SCIE, Q2 paper was proposed in the project).
xi


01 book chapter indexed by Scopus (added product)
/>=trmp20

/>6. Effects, transfer alternatives of research results and applicability:
The research results provide useful information for civil engineers and researchers who
would like to analyse the behaviour of flexible pavements. The method proposed helps
to improve the exactness of pavement analysis and design. As a result, appropriate
materials could be chosen to increase the service life of pavement structures. The study

results can also be used for postgraduate training and research.

xii


Chương 1: MỞ ĐẦU
1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngồi nước
Bê tơng nhựa được sử dụng rộng rải trong kết cấu áo đường nhờ vào các ưu điểm
tuyệt vời của nó như tính dễ cơng tác, dễ sửa chữa và tính êm thuận trong lưu thơng
của các phương tiện. Tuy nhiên, bê tông nhựa lại dễ bị hư hỏng dưới các tác dụng
của tải trọng cũng như các tác động từ mơi trường, trong đó hằn lún vệt bánh xe và
nứt mỏi là hai dạng hư hỏng phổ biến nhất. Ở nước ta, hằn lún vệt bánh xe được xác
định là dạng hư hỏng phổ biến nhất do khí hậu nóng và tình trạng khai thác q tải
diễn ra phổ biến [1]. Vì hằn lún vệt bánh xe thường xuất hiện rất sớm sau khi thông xe,
dạng hư hỏng này thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà quản lý, các kỹ sư và
nhà khoa học hơn là dạng hư hỏng kiểu nứt mỏi.

Hình 1-1 Minh họa hư hỏng mặt đường kiểu hằn lún vệt bánh xe và kiểu nứt mỏi
Từ góc độ của thiết kế kết cấu, hư hỏng dạng nứt là thực sự nghiêm trọng. Một khi kết cấu
áo đường được thiết kế đủ cứng để kháng được hằn lún vệt bánh xe, mặt đường sẽ có
nhiều khả năng bị nứt dưới tác dụng của tải trọng trong dài hạn. Rủi ro xuất hiện hư hỏng
nứt tăng lên đáng kể khi mà kết cấu áo đường mỏng với chiều dày từ 12-15 cm được sử
dụng rất phổ biến ở trong nước vì lý do kinh tế [2]. Để có thế giảm thiểu được hư hỏng
kiểu nứt, ứng xử của kết cấu áo đường phải được phân tích một cách chính xác và “gần”
nhất có thể so với sự làm việc thực tế của nó, đồng thời chiều dày của kết cấu áo đường
phải được tính tốn kỹ dựa vào các mơ hình dự tính hư hỏng thích hợp.

Đàn hồi – nhớt tuyến tính (LVE), tính phi tuyến, mỏi, và hằn lún vệt bánh xe là bốn
dạng ứng xử chính của hỗn hợp bê tông nhựa, được xác định căn cứ vào biên độ của

1


biến dạng và số chu kỳ tải trọng tác dụng vào vật liệu [3-5]. Đối với việc phân tích và thiết
kế kết cấu áo đường, ứng xử đàn hồi – nhớt tuyến tính là loại ứng xử phù hợp hơn cả.
Thật vậy, các mơ hình đàn hồi – nhớt tuyến tính đã được sử dụng từ rất lâu trong việc
phân tích ứng xứ của nhựa đường và hỗn hợp bê tơng nhựa bao gồm các mơ hình lưu
biến [6-16], và mơ hình tốn học [17-18]. Trong số các mơ hình kể trên, mơ hình ứng xử
Huet-Sayegh và phiên bản mở rộng của nó là mơ hình 2S2P1D đã được chứng minh tính
hữu hiệu trong việc dự báo ứng xử đàn hồi – nhớt của vật liệu nhựa đường và hỗn hợp bê
tông nhựa trong khi số lượng tham số của mơ hình là tương đối ít [11-14,19-22]. Tuy nhiên,
các mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D thường gặp khó khăn trong việc tích hợp vào trong
một chương trình tính tốn bằng phương pháp phần tử hữu hạn trong miền thời gian do
không tồn tại hàm mơ-đun dão ở dạng giải tích.

1.2 Tính cấp thiết
Bởi vì dạng giải tích của hàm mơ-đun dão cho mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D khơng tồn
tại, nhiều phương pháp đã được đề xuất nhằm tích hợp các mơ hình này vào trong các
chương trình tính tốn kết cấu bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp được
sử dụng phổ biến nhất là chuyển đổi bài toán trong tự nhiên được định nghĩa trong miền
thời gian thành một bài tốn tương đương trong miền tần số. Khi đó, quan hệ giữa ứng
suất và biến dạng trở thành một quan hệ tuyến tính đơn giản, ví dụ như phương pháp
được sử dụng trong chương trình Viscoroute [23], Veroad [24-25] và ABAQUS

[26]. Việc chuyển đổi giữa miền thời gian và miền tần số sử dụng phép biến
đổi Fourier là phức tạp và các kỹ thuật phức tạp cần được sử dụng thêm
để đảm bảo độ chính xác của kết quả [27].
Trong miền thời gian, việc giải số quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được thực
hiện bằng cách sử dụng hàm từ biến trong nhánh I của mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D
và tính trực tiếp tích phân xoắn (convolutional integral) như thuật toán được đề xuất bởi

Heck [28] cho mơ hình Huet-Sayegh. Thuật tốn này sau đó được áp dụng vào trong mơđun CVCR của chương trình tính tốn CESAR-LCPC chun dùng để phân tích kết cấu áo
đường [29]. Trong một cách tiếp cận khác, Woldekidan và các cộng sự [30] sử dụng các hệ
số Grunwald để xử lý các đạo hàm phân số nhằm rút ra quan hệ số giữa ứng suất – và
biến dạng. Trong hai phương pháp này, tất cả các giá trị tính tốn trong q khứ đều được
sử dụng trong tính tốn. Vì vậy, chi phí tính tốn bao gồm bộ nhớ lưu trữ và thời gian tính
tốn cho mỗi bước tính tốn gia tăng rất nhanh theo số bước tính tốn. Để có có thể lập
cơng thức phần tử hữu hạn hiệu quả cho mơ hình 2S2P1D, Tiouajni và

2


cộng sự đã đề xuất một thuật toán dùng để xấp xỉ mơ-đun đàn hồi phức của mơ hình
2S2P1D bằng mơ-đun đàn hồi phức của mơ hình Kelvin-Voigt mở rộng trong miền tần
số [31]. Thuật toán xấp xỉ được xây dựng để xác định n giá trị của độ cứng lò xo Ei với
giả thiết rằng tỷ số giữa độ nhớt của cản nhớt i và độ cứng của lò xo Ei , hay còn được
gọi là thời gian đặc trưng i , là biết trước. Thuật toán này tương tự với phương pháp
được gọi “colocation method” phát triển bởi Schapery năm 1961 [32] nhằm xấp xỉ hàm
mô-đun dão bằng chuổi Prony ở chổ một tập các giá trị của thời gian đặc trưng
(characteristic time) được lựa chọn trước. Như được thảo luận ở các phần sau, việc
lựa chọn các giá trị của tốc độ suy giảm (decay rates) để xấp xỉ một cách “sát sao”
trong một khoảng rất rộng của thời gian đánh giá là rất khó khăn.

1.3 Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chung của nghiên cứu này là phát triển một cơng thức giải số nhằm tích hợp mơ
hình Huet-Sayegh và 2S2P1D vào trong các chương trình tính toán bằng phương pháp
phần tử hữu hạn sao cho chi phí tính tốn trong từng bước tính tốn là ổn định trong suốt
q trình tính tốn. Cơng thức số tìm kiếm tương tự công thức số áp dụng cho mô hình
Maxwell mở rộng ở chổ sử dụng tổng các hàm số mũ. Vì vậy, cơng thức giải số cho mơ
hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D có thể được ứng dụng dễ dàng trong các
phần mềm tính tốn phần tử hửu hạn trong miền thời gian sẵn có để phân tích ứng xử của

kết cấu áo đường. Phương pháp giải quyết vấn đề trong báo cáo này gồm 2 bước. Bước
một là xác định hàm mô-đun dão cho mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D và bước hai là xấp
xỉ hàm mô-đun dão bằng tổng của các hàm số mũ với độ chính xác cao để xây dựng cơng
thức quy nạp cho quan hệ ứng suất – biến dạng. Để có thể đạt được mục tiêu nêu trên,
các mục tiêu cụ thể trong nghiên cứu này bao gồm:

Xây dựng hàm mơ-đun dão bằng phương pháp xấp xỉ giải tích (AAR) cho
mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D sử dụng phương pháp của Schapery
và Park [30] và thiết lập thuật toán xác định mơ-đun dão chính xác bằng
phương pháp số (NER) sử dụng thuật toán được đề xuất bởi Heck [28];
Cải tiến phương pháp của Dombi [33] để xác định các tham số của tổng các hàm số
mũ trong phép xấp xỉ các giá trị của mô-đun dão nhằm đảm bảo độ mức độ

chính xác cao cho phép xấp xỉ (sai số tương đối ≤10 3 );
Xây dựng mối quan hệ quy nạp của ứng suất và biến dạng để có thể
giảm chi phí tính tốn trong phép tính tích phân xoắn;
3


Xác thực phương pháp đề xuất thông qua việc so sánh kết quả tính
tốn số thu được với các lời giải giải tích và các lời giải thu được
bằng các phương pháp khác.
1.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mô hình đàn hồi – nhớt tuyến tính của Huet-Sayegh và 2S2P1D.

Hình 1-2 Minh họa mơ hình lưu biến của Huet-Sayegh (a) và 2S2P1D (b)

1.5 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
1.5.1 Cách tiếp cận
Lý thuyết kết hợp với thực nghiệm và mô phỏng bằng phương pháp số.

1.5.2 Phương pháp nghiên cứu
-

Phân tích ứng xử đàn hồi – nhớt của bê tơng nhựa.

-

Mơ hình hóa qui luật ứng xử bằng mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D.

gian.

Xây dựng cơng thức giải số cho mơ hình ứng xử đàn hồi nhớt trong miền thời

1.6 Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu tổng quan về các phương pháp giải số mơ hình đàn hồi –
nhớt Huet-Sayegh và 2S2P1D.
- Xác định các thông số của mô hình ứng xử vật liệu và xấp xỉ các giá trị
của mô-đun dão bằng tổng các hàm số mũ.
gian.

Xây dựng cơng thức giải số cho mơ hình ứng xử đàn hồi nhớt trong miền thời

-

Báo cáo kết quả nghiên cứu và xuất bản

4


Chương 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Các phương trình cơ bản của cơ học vật rắn biến dạng đàn hồi – nhớt
Gọi σ ( x,t) là ten-xơ ứng suất Cauchy, mô tả trạng thái ứng suất tại một điểm x
và tại thời điểm t của một vật rắn bất kỳ ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng
của tải trọng và tác động bên ngồi. Nếu khơng có ghi chú khác, qui ước tổng
của Einstein được áp dụng trong suốt báo cáo này. Phương trình cân bằng
cục bộ tại mọi điểm của vật rắn được biểu thị bằng phương trình (1):

div ( σ ( x ,t))

f 0

0

trong đó 0 là khối lượng riêng của vật rắn, f là lực khối tác dụng lên mọi điểm của vật
rắn, và toán tử div được định nghĩa div(σ) i
dạng, ε

m

( x , t ) là ten-xơ biến dạng do tác động cơ học và ε

th

( x, t ) ten-xơ

biến dạng do tác động của nhiệt độ tại điểm x và thời gian t . Trong khuôn
khổ của giả thiết biến dạng bé, chúng ta có thể viết biến dạng tổng bằng
tổng của biến dạng cơ học và biến dạng do nhiệt:
ε(x,t) ε

m

(x,t) ε

th

( x , t ).

Liên hệ giữa ten-xơ biến dạng và trường chuyển vị u ( x , t ) được biểu thị
bằng phương trình:
ε

trong đó grad là tốn tử gradient được định nghĩa grad.u

ij

Gọi T ( x , t ) là trường nhiệt độ bên trong vật rắn. Giả thiết rằng vật liệu làm nên vật rắn
có ứng xử đẳng hướng, ten-xơ biến dạng có thể được xác định bằng phương trình:

ε th ( x , t ) . T( x , t ).I
trong đó là hệ số giản nỡ vì nhiệt, T là sự thay đổi nhiệt độ và I
bậc 2. Đối với một trường nhiệt ổn định, có nghĩa là
nguyên lý cộng tác dụng của Boltzmann cho rằng ứng suất tại mọi điểm x và thời điểm 5


t của vật rắn đàn hồi – nhớt gây ra bởi các bước biến dạng nhỏ có tính

chất cộng tác dụng:
N

σ(x,t)

2 ( t i ,T (x )) ε m (x , t i )

N

(t t i ,T (x ))tr ( ε m (x , t i ))I, t N t

(5)

t
i1

i1

trong đó t ti là thời gian tác dụng của ε m ( x , t i ) , và vết của ten-xơ được định
nghĩa

tr(.) (.)ii . Trong phương trình (5),
mơ-đun cắt trượt và
( t , T ( x )) là hằng

( t , T ( x )) là

số Lamé liên hệ với mô-đun dão E (t , T (x)) và hệ số Poisson (giả thiết là
hằng số) bởi phương trình:
(t , T ( x))

Đối với mọi tiến trình biến dạng khả vi, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
được viết dưới dạng tích phân xoắn:

t
0

σ(x,t)

2 (t , T ( x ))

Trong trường hợp vật liệu có ứng xử nhiệt đơn giản, nguyên lý tương đương giữa
thời gian và nhiệt độ có thể được áp dụng để giảm số lượng ẩn số độc lập như sau:

E ( t , T ( x )) E (
trong đó a T (T ( x )) là hệ số dịch chuyển, có nghĩa là ứng xử của vật liệu ở thời gian tác
dụng t và nhiệt độ T tương đương với ứng xử của nó ở thới gian tác dụng t / a T (T ) và

ở nhiệt độ tham chiếu T ref . Như vậy, giá trị t / a

T

(T ) là thời gian tác dụng tương

đương hay còn được gọi là thời gian tác dụng thu gọn tại nhiệt độ tham chiếu khi
vật liệu chịu tác dụng của nhiệt độ T . Phương trình (7) có thể viết lại dưới dạng:

σ(x,t )

t
0

2 (

trong đó (t ) / a (T (x)) là thời gian tác dụng tương đương của
T


độ Tref .

6


Bây giờ chúng ta xem xét một trường nhiệt thay đổi theo thời gian, T T ( x ,
t ) , quan hệ giữa ứng suất – biến dạng có thể được viết dưới dạng:

trong đó

là thời gian tá

t

thời điểm
dụng tương đương cho q trình đó

Thế phương trình (11) vào trong phương trình (10) thu được quan hệ giữa ứng
suất – biến dạng cho vật thể đàn hồi – nhớt chịu tác dụng của q trình nhiệt:
t

σ(x,t )

0

2.2 Mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet-Sayegh và 2S2P1D

Mơ hình đàn hồi – nhớt của Huet và Sayegh [6-7] phù hợp cho việc mô tả
ứng xử đàn hồi – nhớt tuyến tính của bê tơng nhựa. Mơ hình bao gồm một
lị xo liên kết song song với một khối mắc nối tiếp bao gồm một lò xo, hai
cản nhớt phi tuyến như được mơ tả trong Hình 1-1a.
Mơ-đun phức (complex modulus) của mơ hình Huet-Sayegh được cho bởi
phương trình (13) [7,11,14]

trong đó (rad/s) là tần số góc,
và E , E là các giá trị của
0

(T ) là một hằng số có thứ nguyên là thời gian và có giá trị thay đổi theo nhiệt độ. Hằng
số này có thể được mơ hình hóa bằng qui luật nổi tiếng của William-Landel-Ferry:


(T ) (Tref

hoặc bằng qui luật hàm số mũ:

(T ) e

A

0

AT AT
1

2

2

.

(15)

Sử dụng quan hệ i ei 2 , phương trình (13) có thể được viết thành:
(16)

trong đó A 1
HS

Từ phương trình (16), chúng ta có thể rút ra được mô-đun lưu trữ (storage modulus)

E' ( ) và mô-đun mất mát (loss modulus)
của số phức E* ( ) :
E'() E A
0HS

AHS2 BHS2

Căn cứ vào các tác giả Olard và Di Benedetto [11], mơ hình Huet-Sayegh khơng phù
hợp cho vật liệu nhựa đường tại các giá trị tần số thấp bởi vì ứng xử của mơ hình khi
đó tương đương với ứng xử của cản nhớt phi tuyến thay vì phải tương đương với
ứng xử của cản nhớt tuyến tính. Vì vậy, một dạng tổng qt hơn của mơ hình HuetSayegh đã được đề xuất bằng cách gắn một cản nhớt tuyến tính nối tiếp vào 2 cản
nhớt phi tuyến trong nhánh số I của mơ hình Huet-Sayegh như được minh họa trong
Hình 1-1b. Mơ hình mới này được gọi là mơ hình 2S2P1D tổng qt. Mơ-đun phức của
mơ hình 2S2P1D được cho bởi Olard và Di Bendetto [11]:

Mô-đun lưu trữ và mơ-đun mất mát có thể được rút ra từ phương trình (18):

E'() E


trong đó

A
2S 2P1D


2.4 Mơ-đun dão (relaxation modulus)
Bởi vì dạng giải tích của mơ-đun dão của mơ hình Huet-Sayegh và 2S2P1D khơng
tồn tại, các phương pháp xấp xỉ giải tích và phương pháp số được sử dụng để
tính tốn mơ-đun dão. Các phương pháp phổ biến sẽ được tóm tắt bên dưới.

2.4.1 Hàm mơ-dun dão được xấp xỉ bằng phương pháp giải tích (AAR)
Rất nhiều kỹ thuật đã được đề xuất trong các nghiên cứu trước đây nhằm tính
tốn một cách gần đúng mơ-đun dão căn cứ vào kết quả thí nghiệm mơ-đun động
bao gồm phương pháp chuyển đổi bằng phương pháp số [34-35] và phương pháp
xấp xỉ bằng giải tích [36-37]. Trong nghiên cứu này, phương pháp của Schapery và
Park [37] được dùng để xấp xỉ hàm mô-đun dão. Giả thiết rằng (Tref ) 1 tại nhiệt độ
tham chiếu, mơ-đun dão có thể được xấp xỉ căn cứ vào hàm mô-đun lưu trữ:

E '(Tref )
'

ett

trong đó ( x )

x 1

(Tref )

dt là hàm số Gamma và n là độ dốc cục bộ của đường cong

0

log( E' ( )) đối với log( ) . Cơng thức tính tốn giá trị của n có thể được thiết lập từ
các phương trình (17) và (19) và được biểu thị trong các phương trình (21)-(22):
(21)

A

2

(22)
n

A

2S 2P1D

,B

2S 2P1D


Trong phương trình (22), các hệ số
A, B
thay bởi

AHS , BHS

phải được
hoặc

tùy thuộc vào mơ hình Huet-Sayegh hoặc 2S2P1D được áp dụng.
Phương trình xấp xỉ của hàm mơ-dun dão ở nhiệt độ T khác với nhiệt độ tham chiếu Tref có
thể thu được một cách dễ dàng bằng cách sử dụng biến thời gian tác dụng tương

9