De thi chon HSG

phòng Gd & đt

kì thi khảo sát chất lợng học sinh mũi nhọn

Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài 120 phút
Đề thi này có 5 câu

Đề thi chính thức
Số báo danh:
.......................

x
3 3x
x4
2
3
Câu 1(4.0 điểm) : Cho biÓu thøc A = x 1 x  x  1 x 1

a) Rót gän biĨu thøc A
b) Chøng minh rằng giá trị của A luôn dơng với mọi x - 1
Câu 2(4.0 điểm): Giải phơng trình:
a)

x 2 3x  2  x  1 0
2

2

2

1
1 
1 
1
2



8  x    4  x 2  2   4  x 2  2   x    x  4 
x 
x
x


b) x

Câu 3(3.0 điểm) : Cho xy 0 vµ x + y = 1.
2  xy  2 
x
y
 3
 2 2
Chøng minh r»ng: y  1 x  1 x y  3 = 0
3

C©u 4(3.0 ®iĨm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x  Q th× giá trị của đa thức :
x 2 x  4   x  6   x 8 16
M=

là bình phơng của một số hữu tỉ.

Câu 5 (6.0 điểm) : Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H
BC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt
AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn
BE theo m AB .
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và
BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cđa gãc AHM
GB
HD

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: BC AH HC .

Hớng dẫn chấm toán 8

Câu

Nội dung

Điểm


1

a

x x 2  x  1   x  1  3  3 x   x  4



x
3  3x
x4
 2
 3
- Rót gän: A = x 1 x  x  1 x 1 =



 x  1  x 2 






x 1




2
x3  2 x 2  2 x  1  x  1 x  x  1
x 2  x 1


 x 1 x 2  x 1  x 1 x 2  x 1 x 2  x 1



=



1®iĨm

1®iĨm

2

b

1 3

x  
2 4

2
x2  x 1  x  1   3


2
Víi mäi x ≠ - 1 th× A = x  x  1 =  2  4
2

1®iĨm

1®iĨm

2

1 3
1 3


 x     0;  x     0, x  1  A  0, x  1
2 4

V×  2  4

2
* Víi x 1 (*)  x - 1  0 

x  1 x  1

ta cã ph¬ng trình

1điểm

2

x2 -3x + 2 + x-1 = 0
điều kiện *)
a

x 2  2 x  1 0   x  1 0  x 1

* Víi x< 1 (**)  x - 1  0 
x2 -3x + 2 + 1 - x = 0

x  1 1 x

( Thoả mÃn

ta có phơng trình

x 2 4 x  3 0   x  1  x  3 0

+ x - 1 = 0 x 1 ( Không thỏa mÃn điều kiện **)
+ x - 3 = 0  x 3 ( Kh«ng thoả mÃn điều kiện **)
Vậy nghiệm của phơng trình là : x = 1
* §iỊu kiƯn x ≠ 0 (1)
2

1
1


8  x    4  x2  2
x
x

* pt  

b

  2 1 
  x  2  
x 
  

1

x 
x


1
1  
1 



8  x2  2  2   4  x2  2    x2  2  
x
x   
x 


 

2


2
  x  4 


1


x 
x


2


2
  x  4 


1®iĨm

0.5®iĨ
m

1®iĨm

2

 16  x  4   x  x  8  0 x 0 hoặc x = -8

So sánh với điều kiện (1) , suy ra nghiệm của phơng trình lµ x = - 8
3


Ta cã
 y-1 0 vµ x-1  0

y 3  1  y  1 y 2  y  1  x  y 2  y  1



v× xy  0  x, y  0  x, y  0

0.5®iĨ
m
1®iĨm

x
1
 2
y  1 y  y 1
3

x 3  1  x  1  x 2  x  1  y  x 2  x  1 

y
1
 2
x  1 x  x 1
3

1®iĨm




x
y

1
1
 3
 2
 2
y  1 x  1 y  y 1 x  x 1
3

1®iĨm
2
 x2  x 1  y 2  y 1 


x  y   2 xy   x  y   2

  
  2

2
2
 x 2 y 2   x  y   2 xy  xy  x  y   xy   x  y   1 
  x  x  1  y  y  1 




2  xy  2 
4  2 xy
x
y

 2 2
 3
 3
 2 2
0
x y 3
y  1 x  1 x y 3



Ta có: M =
Đặt a = x2 - 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a2 + 8a + 16 = ( a+ 4)2
M = x2 - 10x + 20 )2 ( ®pcm)
x 2  10 x  16 x 2 10 x 24 16

4

1điểm
1điểm
1điểm

5

1.5điể
m
+ Hai tam giác ADC vµ BEC cã:
Gãc C chung.
a

CD CA


CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

1điểm

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
0


Suy ra: BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả
thiết).
0

Nên AEB 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:

b

c

BE  AB 2 m 2
BM 1 BE 1 AD
 
 
Ta cã: BC 2 BC 2 AC (do BEC ADC )
mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)

1.5điể
m

BM 1 AD 1 AH 2

BH
BH




AB 2 BE (do ABH CBA )
nªn BC 2 AC 2 AC
0
0



Do ®ã BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135  AHM 45

1điểm

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.

1điểm

GB AB
AB ED
AH
HD


ABC DEC    ED // AH  
HC
HC

Suy ra: GC AC , mà AC DC
GB HD
GB
HD
GB
HD





Do đó: GC HC GB  GC HD  HC BC AH  HC