De thi chon HSG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1:(2,5 đ) Rút gọn các biểu thức sau:
1. B = (3 √ 2 + √ 6 ) √ 6−3 √ 3
2. B = √3 2+ √5 + √3 2−√ 5
Câu 2: (6,0đ)
x 2−2 ( m−1 ) x−2 m=0 , với m là tham số

1. Cho phương trình

a) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b) Với điều kiện trên, hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1- x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
2.Lớp 9A có 27 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Nhân dịp sinh nhật của bạn X (là một thành
viên trong lớp), các bạn lớp 9A có rất nhiều món q tặng bạn X. Ngồi ra, mỗi bạn nam của lớp
làm 3 tấm thiệp và mỗi bạn nữ, xếp 2 hoặc 5 con hạc để tặng bạn X. Biết số tấm thiệp và số con
hạc bằng nhau, hỏi bạn X là nam hay nữ.
Câu 3: (4,0 đ)
1. Giải phương trình sau:

√ x−5 + √ 7−x = x 2−12 x +38

2. Chứng minh rằng A = 1+

1
1
1
+ +…
√2 √3
√ 2018

không phải là số tự nhiên.

Câu 4: (5,5đ) Cho nửa đường trịn đường kính AB và C là một điểm nằm giữa hai điểm A và B.
Trên nửa mặt phẳng có bờ chứa nửa đường trịn, vẽ hai tia Ax và By tiếp xúc với nửa đường tròn
đã cho. Trên tia Ax lấy điểm I ( với I khác A); đường thẳng vuồn góc với CI tại c cắt By tại K.
Đường trịn đường kính IC cắt tia IK tại E
a)
b)
c)
d)

Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp được đường tròn.
Chứng minh AI.BK = AC.CB.
Chứng minh điểm E nằm trên nửa đường trịn đường kính AB.
Giả sử các điểm A, B, I cố định. Hãy xác định vị trí điểm C sao cho diện tích tứ giác
ABKI lớn nhất.

Câu 5: (2,0 đ) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:
x
2

+

y
2

+

z

√1+ x √ 1+ y √1+ z

2

≤

3
2

--HẾT--