Bai tap toan 8

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
CHƯƠNG 2: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
CHƯƠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Trang 2
Trang 17
Trang 31
Trang 42


CHƯƠNG 1: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
BÀI 1. NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC

LÝ THUYẾT
Chẳng khác gì nhân một số với một tổng:

a ( b+c−d )=ab+ac−ad
A ( B+C−D )=AB+AC−AD
* Quy tắc
Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đ ơn th ức v ới t ừng h ạng t ử c ủa đa th ức r ồi c ộng
các tích với nhau
Ví dụ:

−2xy 2 ( x 3 y−2x 2 y 2 +5xy 3 )

=−2xy 2 . x3 y+2xy2 .2x 2 y 2−2xy 2 .5xy3
4 3
3 4
2 5

¿−2x y +4x y −10x y

BÀI 2. NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
LÝ THUYẾT
Các phép tính với đa thức đều quy về các phép tính với đơn thức
1. Quy tắc

( A−B ) ( C−D )=AC−AD−BC+BD
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng t ử c ủa đa th ức này v ới t ừng h ạng t ử c ủa
đa thức kia rồi cộng các tích với nhau
* Lưu ý
- Thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có) trước khi nhân và sau khi nhân
- Nếu phải nhân nhiều đa thức, mỗi lần chỉ nhân từng hai đa thức
Ví dụ:

( 2x−3y )( 2x +3y )( 3x +4y ) ( 4x−3y )
=( 4x 2 +6xy−6xy−9y 2 )( 12x 2 −9xy +16xy−12y 2 )
¿ ( 4x 2 −9y 2 )( 12x 2 +7xy−12y 2 )
¿ 48x 4 +28x3 y−48x 2 y 2 −108x2 y 2−63xy 3 +108y 4
4
3
2 2
2
4
¿ 48x +28x y−156x y −63xy +108y

2. Nhân hai đa thức đã sắp xếp
Các bước thực hiện:
- Đa thức nọ viết dưới đa thức kia, hai đa thức cùng vi ết theo lũy th ừa gi ảm d ần ho ặc tăng d ần c ủa
biến

- Kết quả của phép nhân mỗi hạng tử của đa thức thứ hai với đa th ức th ứ nh ất đ ược vi ết riêng
trong một dòng
- Các đơn thức đồng dạng được xếp vào cùng một cột
* Lưu ý
- Nếu đa thức có nhiều biến, ta chọn một biến làm biến chính và s ắp xếp các đa th ức theo bi ến
chính đó
- Với đa thức nhiều biến, trừ trường hợp đề bài chỉ định, người ta ít dùng cách nhân này
BÀI TẬP
Bài 1. Cho các đơn thức

3
A=− ax2 y 3
4
;

Tính:
a) A .B .C
Bài 2. Cho các đa thức:
a) B− A+C

2
B=− a3 x
9
;

C=−3y
2 3

b) A .B C

2

A=2y−x; B=3y−2; C=3x −1 . Tính:
2
2
b) 6x A−[ 4x B−2xC]


Bài 3. Thực hiện các phép tính:
a) x ( 1−3x ) ( 4−3x )−( x−4 )( 3x+5 )
b)

( 4x 2 +2x−1 )( 12x 3 −6x 2+3x−3 )
( x 2 y−xy 2 )( x 4 y 2 + x3 y 3 +x 2 y 4 )

c)
Bài 4. Thực hiện phép nhân bằng hai cách:
a)
b)

( 5x 2−3x 3 +4x−1 )(−2x 2 +3−6x )
( 2x 2−3x +2x 4 −5 )(−5x−x 2 −4 +3x 4 )
( x 3 − y 3 −2xy2 )( y 3−2x2 y +x 3 )

c)
Bài 5. Thu gọn rồi tính giá trị các biểu thức sau:
a)

A=( x2 −x +3 ) (−2x 2 +3x +5 ) với

|x|=2

1
1
a= ; b=
2
3
b) B=( 4a −2ab+b ) ( 2a +b ) với
2
2
2
3
4
4
c) C=( x + y )( x y + y )−( x + y ) y với x=1,5; y=−2
2

2

Bài 6. Chứng tỏ các biểu thức sau:
a) Không phụ thuộc vào biến x:
i)

( 3x+7 )( 2x +3 ) −( 3x−5 ) (2x +11 )

2
2
2
2 2
ii) ( 3x −2x +1 )( x +2x+3 )−4x ( x −1 )−3x ( x +2 )

b) Không phụ thuộc vào biến x, y:
2
2
i) ( x−1 ) ( x + y )−( x − y ) ( x−2 ) −x ( x+2y )+3 ( y −5 )
3
3
2
2
ii) 6 ( x y +x−3 ) −6x ( 2xy +1 )−3x y ( 2x−4y )
c) Không phụ thuộc vào biến y:

( x 2 +2xy +4y 2 ) ( x−2y )−6 1 − 4 y 3

(2

3

)

Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
3
2
a) acx +bc=ax ( dx−c )−bx ( cx−d ) + ( ax+b ) ( cx −dx +c )
2
2
2
3
3
3
b) ( a+b +c ) ( a +b +c −ab−bc−ca )=a +b +c −3abc

3

3
3
3
c) ( a+b +c ) =a +b +c +3 ( a+b ) ( b+c ) ( c +a )
Bài 8. Tìm x:

a) 4 ( x +3 )( 3x−2 )−3 ( x−1 )( 4x−1 )=−27
b)

( x+1 ) ( 3x 2 −x+1 ) +x 2 ( 4−3x ) =

5
2

c) 2 ( x −2 )( x +2 ) +4 ( x−2 ) ( x +1 ) + ( x +2 ) ( 8−5x )=0
d)
Bài 9.

( 2x+1 )( 5x−1 )=20x 2 −16x−1

2
2
e) 4x ( 2x −1 ) +27=( 4x +6x+9 ) ( 2x+3 )

A=x ( 2x−3 )−2x ( x+1 ) . Chứng minh rằng A luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên x
b) Cho B=( 3x−4 ) ( 4y−3 )−( 4x−3 )( 3y−4 ) . Chứng minh rằng B chia hết cho 7 với mọi s ố nguyên x,
a) Cho

y
Bài 10.
a) Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp. Biết rằng tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số cuối là 38


b) Cho a, b là hai số tự nhiên. Biết a chia cho 3 d ư 1, b chia cho 3 d ư 2. Ch ứng minh r ằng: a.b chia cho
3 dư 2
c) Cho hai số a và b, biết:
a=999 .. . 91 (có 2005 chữ số mà 2004 chữ số đầu đều bằng 9)
b=222. .. 22 (có 2005 chữ số đều bằng 2)
Chứng minh rằng: ab – 5 chia hết cho 3
Bài 11. Tính (với n∈N
a) A=2x ( 3x

n−1

¿

):

+1 ) +6xn ( x 2 −1 )

n−2 n+1
n+2
n+2
n−2
n−2
b) B=3x ( x − y ) + y ( 3x − y )
n+1

n−1

n−1

c) C= y ( 2x − y ) +2x
Bài 12. Tính giá trị của biểu thức:
a)
b)
c)
d)

n−1

( x n+1− y n+1 )

3
3
2
2
A=b + c +ab +ac −abc , biết a+b +c=0
5
4
3
2
B=x −5x +5x −5x +5x−1 với x=4
7
6
5
4

C=x −80x +80x −80x +. ..+ 80x+15 với x=79
1
1
2002 4
5
4
D=
.3
−4
.
−
+
2003 2005
2003 2005 2003 . 2005 401
1
1
1110 1112
5
1
E=3
.4
−1
.5
−
−
1111 1113 1111 1113 1113 101

e)
Bài 13. So sánh A và B, biết:
A=2219. 2221. 2226−2218. 2223 . 2225

B=3004 . 2999 .2997−3003 .2996 . 3001
BÀI 3, 4, 5. NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
LÝ THUYẾT
I. Các hằng đẳng thức đáng nhớ
1) Bình phương của một tổng:

( A +B )2 =A 2 +2AB+ B 2

2) Bình phương của một hiệu:

( A−B )2 = A2 −2AB+B2

3) Hiệu hai bình phương:
2

2

A −B = ( A−B ) ( A +B )
4) Lập phương của một tổng:

( A +B )3 =A 3 +3A2 B +3AB2 +B3

5) Lập phương của một hiệu:

( A−B )3 = A 3−3A 2 B+3AB2−B3

6) Tổng hai lập phương:

A 3 +B3 =( A+ B ) ( A 2−AB+B2 )
7) Hiệu hai lập phương:

A 3 −B3 =( A−B ) ( A2 +AB+B2 )
8) Bình phương một tổng 3 hạng tử:

( A + B−C )2 =A 2 +B2 + C2 + 2AB+2BC+2CA
( A−B−C )2 = A2 +B 2 +C 2−2AB+2BC−2CA

II. Một số dạng thường ứng dụng
1)

A 2 +B2 =( A+B )2 −. .. .. . .. ..=( A−B )2 +.. .. . .. .. .


3

3
3
2) A +B =( A+B ) −3AB ( . .. . .. .. ..+.. .. .. . ... )
3

3
3
3) A −B =( A−B ) +3AB ( ....... ...−.......... )

2

2

4
4

2
2
2
2
4) A +B =( A +B ) −. . .... . .. .=( A −B ) +. .. . .. .. ..

III. Một số ứng dụng

2

2
2
2
1) Tính nhẩm: 99 =( 100−1 ) =100 −2 .100 . 1+1 =9801

2

2

3

3

A=25a +4b −20ab; B=8x +27y
2
2
=( 5a )2 −2. 5a . 2b+ ( 2b )2 =( 5a−2b )2
* A=25a +4b −20ab
3
3

3
3
2
2
2
2
* B=8x +27y =( 2x ) + ( 3y ) =( 2x+3y ) [ ( 2x ) −2x .3y + ( 3y ) ]= ( 2x+3y ) ( 4x −6xy+ 9y )

2) Viết biểu thức sau dưới dạng tích 2 biểu thức:

2

A=x + 4x+ 5

3) Chứng minh:
∀ x ∈R
*

ln có giá trị dương và

2

B=−2x +12x−20

ln có giá trị âm

A=x 2 +2. x . 2+22 +1= ( x+2 )2 +1
∀ x ∈R, ( x +2 )2 ≥0 ⇒ A=( x+2 )2 +1≥1>0 (đpcm)

2

2
2
2
2
* B=−2 ( x −6x+10 ) =−2 [ x −2 . x .3+3 +1 ] =−2 [ ( x −3 ) +1 ] =−2 ( x −3 ) −2

2

2

2

∀ x ∈R, ( x−3 ) ≥0⇒−2 ( x−3 ) ≤0⇒ B=−2 ( x−3 ) −2≤−2<0 (đpcm)
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của

2

M =x +2x−8

2

N=−4x +4x +3

và tìm giá trị lớn nhất của

M=x 2 +2x−8=x 2 +2 . x .1+12 −9=( x+1 )2−9

*

∀ x∈R, ( x +1 )2≥0⇒ M =( x +1 )2−9≥−9

M =−9 ⇔ ( x +1 )2 =0⇔ x+1=0 ⇔ x=−1

{

Vậy GTNN của M là −9 khi x=−1 (hoặc minM=−9 ⇔ x=−1 )
2
2
2
2
2
2
* N=−4x +4x +3=−( 4x −4x−3 ) =−[ ( 2x ) −2. 2x . 1+ 1 −4 ]=−[ ( 2x−1 ) −4 ] =−( 2x−1 ) + 4
∀ x∈ R, −( 2x+1 )2 ≤0 ⇒ N =−( 2x +1 )2 + 4≤4
1
2
N =4 ⇔−( 2x +1 ) =0 ⇔2x+1=0 ⇔ x=−
2

{

x=−

1
2

Vậy GTLN của N là 4 khi
(hoặc
BÀI TẬP
Bài 14. Dùng hẳng đẳng thức để khai triển và thu gọn:

1
6x +
3

maxN=4 ⇔ x=−

2

b)

(

d)

( 2x 2 y−3y 3 x )

e)

( 5x−3 ) ( 5x+3 )

g)

(−4xy−5 )( 5−4xy )

h)

( a 2 b+ab 2 )( ab2 −a 2 b )

a) ( 3x+5 )

2

2

2

2

1
2 )

)

c) ( 5x−4y )

2

( 6x+5y ) ( 6x−5y )
2
2
i) ( 3x−4 ) +2 ( 3x−4 ) ( 4−x ) + ( 4−x )
f)

2

2
2
2
2
2

4
4
j) ( 3a−1 ) +2 ( 9a −1 ) + ( 3a+1 )
k) ( a +ab+b )( a −ab+b )−( a +b )
Bài 15. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:
2
2
2
a) x +2x+ 1
b) 1−4x+ 4x
c) a +9−6a
2

2

4

2

d) 36a −60ab+ 25b
e) 4x −4x +1
Bài 16. Viết các biểu thức sau dưới dạng một tích các đa thức:
2

a) 16x −9

2

4

b) 9a −25b

4

6

2 3

f)

9x +16y −24x y

c)

81− y

4


2

2

d) ( 2x+ y ) −1
Bài 17. Tính nhanh:

e) ( x+ y+ z ) −( x− y −z )

2

2

a) 99 +2. 99+1

2

2

2

b) 64 +128 .36+ 36

c) 72 +288 . 14+28

2

3
3
6 6
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
d) ( 12 +1 )( 12 −1 ) −3 .4

e) ( 20 +18 +16 +.. .+4 +2 )−( 19 +17 +15 +. ..+3 +1 )
Bài 18. Dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn:

3

1
2x +
3

( )
1
−3xy
+
( 2x y)
2

a)

4

c)

2

3

2

b)

3

3

e) ( x+1 ) − ( x −1 ) −6 ( x −1 )( x +1 )
2

23

2

2

1
− ab 2−2a 3 b
3

3

d)

(

)

f)

x ( x−1 ) ( x+1 )−( x +1 ) ( x 2 −x +1 )
2

3

2
g) ( x−1 ) −( x+ 2 ) ( x −2x+4 ) +3 ( x+4 )( x−4 )

4

3

( 2x 2 y−3xy )

2

3

2

4

2

h) 3x ( x +1 ) ( x−1 ) + ( x −1 ) −( x −1 )( x +x +1 )

2

2
2
3
k) ( x −3x +9 )( x +3 ) + ( 3−x ) −9x ( x −3 )
l) ( 4x +6y ) ( 4x −6xy +9y ) −54y

Bài 19. Biến đổi các biểu thức sau thành tích các đa thức:
3

a) x +8

b)

1
64x − y 3
8
d)

27−8y

3

c)

3

6

125x −27y
2
2
g) 16x ( 4x− y )−8y ( x + y ) +xy ( 16x+8y )
e)

9

6

y +1
x6 y3
−
f) 125 64

Bài 20. Điền hạng tử thích hợp vào chỗ có dấu * để có hằng đẳng thức:
2

x +4x +¿=( ¿+¿ )
2
2
c) x +x+¿= ( ¿+¿ )
a)

e) 4y

2

2

b)

−¿= ( ¿−3x ) ( ¿+¿ )

3
2
g) 8x +¿=( ¿+2a ) ( 4x −¿+¿ )

1
¿+¿= ¿+ y ( 4x2 −¿+¿ )
2
i)

(

3

3

3

Bài 21. Tìm x, biết:
a)

j) ¿−¿=( 4y−¿ ) ( ¿+ y+¿ )
3
l) 8x −¿+¿−¿=( ¿−3y )

3
2
2
n) ( ¿+¿ ) =¿+108x y +144xy +¿

b) ( 5x+1 ) −( 5x−3 ) ( 5x+3 )=30

2
c) ( x−1 ) ( x +x+1 )−x ( x +2 ) ( x−2 )=5

3

3

2

A=4x +8x+ 5 với x = 49
3
2
c) C=x −9x + 27x−26 với x = 23
2

2

x + y −2x+4y+5=0
2
2
c) 5x +9y −12xy −6x+9=0

3

2

b) B=x +3x +3x +1
d)

Bài 23. Tìm x, y biết:
a)

2

2
d) ( x−2 ) −( x−3 ) ( x +3x +9 ) +6 ( x +1 ) =15

2
e) 6 ( x+1 ) −2 ( x +1 ) +2 ( x−1 ) ( x +x+1 )=1
Bài 22. Tính giá trị của các biểu thức:

a)

3

2

2

x −2x +1=25
2

2

1
¿− =( 3y−¿ ) ( ¿+¿ )
4
f)
3
2
h) ¿−27y =( 4x−¿ ) ( 9y +¿+¿ )

)

64a +¿+¿ +27b =( ¿ +¿ )
3
3
2
m) ( ¿−¿ ) =x −¿+12xy −¿
k)

2

9x −¿+4= ( ¿−¿ )
2
d) ¿−2a+4=( ¿−¿ )

2

với x = 99

D=( 2x−3 ) −( 4x−6 ) ( 2x−5 ) + ( 2x−5 )2 với x = 99
2

2

x +4y +6x−12y+18=0
2
2
d) 2x +2y +2xy−10x−8y +41=0
b)

Bài 24. Chứng minh các đa thức sau luôn luôn dương với mọi x, y:

a)

x 2 +2x+ 2

2
b) 4x −12x+11

2

c) x −x +1
d)
Bài 25. Chứng minh các đa thức sau luôn âm với mọi x:
2

2

2

x −2x + y +4y+6

2

a) −x +6x−15

b) −9x +24x−18

c) ( x−3 ) ( 1−x )−2
d) ( x+4 )( 2−x )−10

Bài 26. Với giá trị nào của biến, các đa thức sau có giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
2

2

2
a) 4x −12x+11
b) x −2x + y −4x +7
2
c) x + x+ 1
d) ( x−1 ) ( x +2 ) ( x+3 ) ( x +6 )
Bài 27. Với giá trị nào của biến, các đa thức sau có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó
2
2
a) −x +4x−4
b) −x + x +6

2

c) −x +6x−15
Bài 28. So sánh:
a) A=1997 . 1999

d)
và B=1998

b) C=1994 .1996 . 1998

2

2

2
2

và D=1995 . 1997 .1999

2
4
8
16
c) E= ( 3+1 ) ( 3 +1 )( 3 +1 )( 3 +1 )( 3 +1 )
Bài 29. Chứng minh các đẳng thức sau:

32

và F=3 −1
2

2

2

a) Nếu a + b + c = 2p thì 4p ( p−a )=b +c −a +2bc
b) Nếu x + y = a và xy = b thì
c)

2

−x +2x−4y −4y +5

2

2

2

3

3

3

x + y =a −2b và x + y =a −3ab

( a 2 +b2 ) ( c 2 +d 2 )=( ac +bd )2 + ( ad−bc )2
3

3

3

d) Nếu a + b + c = 0 thì a +b +c =3abc

1 1 1
+ + =0
2
2
4
4

8
8
32
32
64
64
e) Nếu a b c
thì ( a+b ) ( a +b )( a +b )( a + b ) . . . ( a +b )=a −b
3
3
a + b a+ b
=
3
3
a+c
a
+
c
g) Nếu a = b + c thì

Bài 30.

2

2

2

2

a) Áp dụng định lý Pytago. Chứng minh rằng nếu ta có a, b, c > 0 sao cho a=m +n ; b=m −n ;
c=2mn thì các số đó 3 cạnh của một tam giác vng
b) Các cạnh góc vng của một tam giác vng có đ ộ dài a, b và di ện tích b ằng S. Tính các góc c ủa
2

tam giác vng đó nếu biết ( a+b ) =8S
c) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông (v ới a là đ ộ dài c ạnh huy ền)

thì các số x, y, z sau đây cũng là độ dài các cạnh c ủa tam giác vuông: x=9a +4b+8c; y=4a+b+4c ;
z=8a +4b+7c
BÀI 6, 7, 8. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
LÝ THUYẾT
Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức đó dưới dạng tích các đơn thức và đa thức khác
1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Khi các hạng tử của một đa thức có chung một nhân t ử, ta có th ể đ ặt nhân t ử chung đó ra ngồi d ấu
ngoặc dựa vào công thức:

AB−AC+AD= A ( B−C +D )

[A là nhân tử chung]
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3
2 3
2 2 2
2 3
3
2
a) 9x y −18xy z +27x y z =9xy ( x y−2z +3xz )

[nhân tử chung là 9xy2]

3

2

2

b) 25x y ( x− y )−5x y ( x− y ) =5x y ( x− y ) ( 5x−1 )
[nhân tử chung là: 5x2y(x – y)]
* Có khi phải đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x ( x− y ) −( y−x )=2x ( x − y )+ ( x− y )=( x− y )( 2x +1 ) [nhân tử chung là x – y]
2

2

b) 5x ( x−2 ) +3 ( 2−x ) =5x ( x−2 ) +3 ( x−2 ) =( x−2 ) [ 5x+3 ( x−2 ) ] =( x−2 ) ( 8x−6 ) =2 ( x−2 )( 4x−3 )
c)

3x ( x−1 )2 −( 1−x )3 =3x ( 1− x )2 −( 1−x )3 =( 1−x )2 [ 3x−( 1−x ) ] =( 1−x )2 ( 4x−1 )

https://giaidethi24h . net