Đề chọn HSG lớp 9 trường THCS mỹ chánh huyện phù mỹ bình định

PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2016-2017

Đề đề nghị

Mơn : TỐN 9
Thời gian làm bài :150 phút
(Không kể thời gian phát đề )

Bài 1.(4,0 điểm)
a/ Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho n3 + 2015n.
b/ Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn 2x2 + x = 3y2 + y.
Chứng minh x – y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương.
Bài 2. (4,0 điểm)
5
3
1 1 1
1
Chứng minh bất đẳng thức: + − <
a b c abc

a/ Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 =

b/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x 2 − 25 = y ( y + 6)

Bài 3 (4,0 điểm) :
a/ Cho a +b + c = 0 và a, b,c đều khác 0. Rút gọn biểu thức:

ab
bc
ca
+ 2
+ 2
A= 2
2
2
2
2
a +b −c
b +c −a
c + a 2 − b2
b/ Tính giá trị của biểu thức:
P=

x 3 + x 2 + 5x + 3 − 6
x − 2x − 7x + 3
3

2

tại x = 1 +

3

2 + 34.

Bài 4. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a/ Chứng minh rằng:
Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC ;

S AEF
= cos 2 A.
S ABC

b/ Chứng minh rằng : S DEF = ( 1 − cos A − cos B − cos C ) .S ABC
c/ Cho biết AH = k.HD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = k + 1.
2

d/ Chứng minh rằng:

2

2

HA HB HC
+
+
≥ 3.
BC AC AB

Bài 5.(2,0 điểm)
Giải phương trình:

1
5
+
= 4.

x+3
x+4

1


PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ
TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH
BAI
Bài 1
(4,0điểm)

Bài 2
(4,0điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học 2016– 2017 - Mơn : Tốn
NỘI DUNG
ĐIỂM

a/ (2,0điểm)
Giả sử tồn tại số nguyên n thỏa mãn (20172017 +1) chia hết cho
n3 +2015n.
Ta có : n3 + 2015n = (n3 – n) + 2016n = n(n -1)(n +1)+2016n.
Vì n -1, n, n+1 là ba số nguyên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3.
Suy ra n(n-1)(n +1) M
3; mà 2016M
3 nên (n3 + 2015n) M3 (1)
2017

Mặt khác: 2017 + 1 = (2016 + 1)2017 +1 chia cho 3 dư 2
( vì 2016 M3). (2)
Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vơ lý, tức là khơng có số nguyên
nào thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho.
b/ (2,0điểm)
Từ : 2x2 + x = 3y2 + y
(1)
=> 2x2 – 2y2 + x – y = y2
=> (x- y)(2x + 2y + 1) = y2.
(2)
2
2
2
Mặt khác từ (1) ta có: 3x – 3y + x – y = x
 ( x –y)( 3x +3y +1) = x2
=>(x –y)2( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) = x2y2
=> ( 2x + 2y +1)(3x +3y +1) là số chính phương. (3)
Gọi ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = d
=> ( 2x + 2y +1) M
d; (3x +3y +1) M
d
=> (3x +3y +1) - ( 2x + 2y +1) = (x + y) M
d
=> 2(x +y) M
d =>( 2x + 2y +1) - 2(x +y) = 1 Md nên d = 1
=> ( 2x + 2y +1; 3x +3y +1) = 1
(4)
Từ (3) và (4) => 2x + 2y +1 và 3x +3y +1 đều là số chính phương.
Lại có từ (2) =>(x- y)(2x + 2y + 1) là số chính phương
 x- y cũng là số chính phương.

Vậy 2x2 + x = 3y2 + y thì x –y; 2x +2y +1 và 3x + 3y +1đều là các số
chính phương.
a/(2,0điểm)

( a + b − c)

2

≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 2(ac + bc − ab) ≥ 0

⇒ ac + bc − ab ≤
⇒

1 2
1 5
ac + bc − ab
1
(a + b 2 + c 2 ) = × < 1 ⇒
<
(do a, b, c > 0)
2
2 3
abc
abc

1 1 1
1
+ − <
a b c abc

b/ (2,0điểm)
Từ x 2 − 25 = y ( y + 6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16
Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta có
thể hạn chế giải với x là số tự nhiên. Khi đó: y+3+x ≥ y+3-x .
Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn
Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ . Ta lại có tích của
chúng là số chẵn , vậy 2 số 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn .
Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây.

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ
0,25đ
0,25đ

2


- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8) trong đó thừa số đầu bằng giá trị (y+3+x).
Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0.
Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3.
Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6.
Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm ( x,y) =

( ±5, 0 ) ; ( ±5, −6 ) ; ( ±4, −3) .

Bài 3
(4,0điểm)

ab
bc
ca
1
1 1
3
3
+
+
=− −
− = − Vậy A = −
−2ab −2bc −2ca
2
2 2
2

2

b/ (2,0điểm)
Ta có: x ( 3 2 − 1) = ( 1 +

3

2 + 3 4)( 3 2 − 1) = 2 − 1 = 1 .

Suy ra x 3 2 = x + 1 ⇒ 2x 3 = (x +1)3 hay x3 = 3x2 + 3x + 1

3x + 3x + 1 + x + 5x + 3 − 6
2

Do đó P =

=

2

3x 2 + 3x + 1 − 2x 2 − 7x + 3

4(x + 1) 2 − 6
(x − 2) 2

=

(vì x = 1 +
Bài 4
(6,0điểm)

2 x +1 − 6
x−2
3

0,25đ
(

0,25đ
0,25đ

a/ (2,0điểm)
Từ a + b + c = 0 suy ra a + b = - c.
Bình phương hai vế ta được a2 + b2 + 2ab = c2 nên a2 + b2 - c2 = - 2ab
Tương tự : b2 + c2 - a2 = - 2bc và c2 + a2 - b2 = - 2ac .
Do đó: A =

0,25đ

=

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ

4 x + 8x + 4 − 6
2

=

x 2 − 4x + 4

2(x + 1) − 6 2x − 4
=
=2
x−2
x−2

2 + 3 4 > 2) . Vậy P =2 tại x = 1 + 3 2 + 3 4

0,5đ

0,5đ
0,25đ

a/(1,5 điểm)
0,25đ

A

0,25đ

E
F

0,5đ
H

0,5đ
B

D

C

b/(1,0 điểm)

AE
SCDE
S BDF
2 Tam
2
giác
ABE
vuông tại E nên cosA =
=
cos
B
,
=
cos
C
.
Tương tự câu a/
AB
S ABC
S ABC

AF
Tam
F nên2 cosA =2
− Sgiác
SCDE vuông tại
SDEF S ABC − S AEF
2
BDF − ACF
=
= 1 − cos A − cos B − cos CAC
Từ đó suy ra
S ABC
S
. ABC
2
2
2
C ) .S ABC
AF
Suy ra S DEF = ( 1 − cos A − cos B − cos AE
⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g .c)
Suy ra
=
AB AC
c/ (1,5 điểm)
* Từ ∆AEF : ∆ABC suy ra

0,5đ
0,5đ

2

S AEF  AE 
2
=
÷ = cos A
S ABC  AB 

3


AD
AD
AD 2
,tanC =
. Suy ra tanB.tanC =
BD
CD
BD.CD
2
2
Vì AH = k.HD ⇒ AD = AH + HD = ( k + 1) .HD nên AD = ( k + 1) .HD 2 (1)

0,25đ

HD 2 ( k + 1)
Do đó tanB.tanC =
BD.CD

0,25đ

Ta có: tanB =

2

Lại có ∆DHB : ∆DCA( g.g ) nên

(2)
DB HD
=
⇒ DB.DC = HD. AD
AD DC

(3)

0,25đ

0,25đ

Từ (1), (2), (3) suy ra:
HD 2 ( k + 1)
HD ( k + 1)
HD ( k + 1)
=
=
= k + 1.
tanB.tanC =
AD.HD
AD
HD ( k + 1)

2

2

2

0,5đ

d/ (2,0 điểm)
HC CE
HC.HB CE.HB S HBC
=
⇒
=
=
AC CF
AC. AB CF . AB S ABC
HB.HA S HAB HA.HC S HAC
=
=
Tương tự:
;
. Do đó:
AC.BC S ABC AB.BC S ABC
HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB
=1
+
+
=
S ABC

AC. AB AC.BC AB.BC
Ta chứng minh được: (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx) (*)

Từ ∆AFC : ∆HEC ⇒

0,5đ
0,25đ

0,5đ

Áp dụng (*) ta có:
2

 HA HB HC 
 HA.HB HB.HC HC.HA 
+
+
+
+

÷ ≥ 3. 
÷ = 3.1 = 3
 BC AC AB 
 BC.BA CA.CB AB. AC 
HA HB HC
+
+
≥ 3.
Suy ra
BC AC AB

0,5đ
0,25đ

Bài 5
Đk: x > - 3. Khi đó phương trình đã cho tương đương với
(2,0điểm) 
1  
5 

 2 −
÷
÷+  2 − x + 4 ÷
÷= 0
x
+
3

 

1
5
4−
4−
4 x + 11
4 x + 11
x+3 +
x+4 =0⇔
+
=0



1
5
1 
5 
2+
2+
( x + 3)  2 +
÷ ( x + 4)  2 +
÷
x+3
x+4
x
+
3
x+4 




Vì x > - 3 nên

1

+

1




1 
5 
( x + 3)  2 +
÷ ( x + 4)  2 +
÷
x+3 
x+4 


11
Do đó 4x + 11 = 0 ⇔ x = −
thỏa mãn điều kiện.
4
 11 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = −  .
 4

0,5đ
0,5đ

>0

0,5đ
0,25đ
0,25đ

*Ghi chú:- Mọi cách giải khác đúng và lập luận chặt chẽ đạt điểm tối đa cho từng nội dung
tương ứng
4

5