Luận án Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích

2








LỜI CAM ĐOAN




Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết
quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
công trình nào khác.

Tác giả Luận án

Phan Anh

3


MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU
5

1.1
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Toán học với đời sống thực tiễn của con người
12
12
1.2
Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế 16
1.3
Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề toán học
hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông
21
1.4
Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ thông 31
1.5
Tiềm năng của đại số và giải tích trong việc phát triển năng lực toán

học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông
49
1.6
Kết luận Chương 1 50
Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM GÓP PHẦN
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG
THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
QUA DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

2.1

Các định hướng cho việc xác định các biện pháp sư phạm 51
2.2

Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực toán
học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh
54

2.2.1
. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong của hoạt động toán học hóa
tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích
54

2.
2.2
. Biện pháp 2.

Chú trọng rèn luyện cho học sinh cả về ngôn ngữ
tự nhiên và ngôn ngữ toán học trong dạy học Toán theo tinh thần
chuẩn bị cho việc mô tả tình huống thực tiễn một cách chuẩn xác

60

2.2.3. Biện pháp 3. Rèn luyện cho học sinh quen dần với việc tự đặt ra
các bài toán để giải quyết một số tình huống đơn giản trong thực tiễn
75

2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng xây dựng mô hình
toán học cho các tình huống thực tiễn
92

2.2.5
Biện pháp 5.

Tổ chức cho học sinh khai thác các chức năng của
mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học
112


4


2.2.
6
.
Biện pháp 6. Làm rõ quá trình vận dụng các phương pháp xác suất
và thống kê vào thực tiễn đời sống trong dạy học Toán; trên cơ sở đó, bồi
dưỡng các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn
131

2.2.7

.
Biện pháp 7. Cung cấp cho giáo viên thông tin về PISA và bổ
sung các bài toán có nội dung thực tiễn trong các chủ đề Đại số - Giải
tích theo tư tưởng của PISA làm tư liệu trong dạy học nhằm góp phần
phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học
140
2.3
Kết luận Chương 2 149
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1
Mục đích thực nghiệm 150
3.2
Tổ chức và nội dung thực nghiệm 150
3.3
Đánh giá thực nghiệm 170
3.4
Kết luận thực nghiệm 181
KẾT LUẬN
182
CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
183
TÀI LIỆU THAM KHẢO
184
PHỤ LỤC
194


5

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Chúng ta biết rằng, toán học có vai trò to lớn đối với các ngành khoa học
khác và thực tiễn đời sống. Thực tiễn là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm
nghiệm tính chân lý của mọi khoa học nói chung và toán học nói riêng. Toán học
phát triển được là nhờ có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn, thông qua đó để bộc lộ
sức mạnh lý thuyết vốn có của nó. Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có tính
chất phổ dụng, toàn bộ và nhiều tầng. Do đó, nhiều tình huống trong đời sống ta
không thể vận dụng trực tiếp các tri thức toán học mà phải qua một bước trung gian
quan trọng là toán học hóa. Chẳng hạn, các bài toán giải quyết vấn đề về kinh tế, xã
hội,… có sử dụng tri thức toán thường diễn ra qua bốn bước. Bước thứ nhất là xây
dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế; vấn đề mấu chốt ở đây là phải xác định
các yếu tố có ý nghĩa nhất. Bước thứ hai là xây dựng mô hình toán học cho mô hình
định tính, tức là diễn tả mô hình định tính bằng ngôn ngữ toán học; công việc quan
trọng nhất là xây dựng hàm mục tiêu và diễn tả các điều kiện kinh tế, kỹ thuật bằng
các phương trình, bất phương trình,… Bước thứ ba là giải bài toán trong bước thứ
hai, đồng thời chọn phương pháp giải tối ưu, viết chương trình cho thuật toán và
chạy trên máy tính, in ra kết quả. Bước thứ tư là kiểm tra kết quả, đối chiếu với thực
tế để điều chỉnh cả quy trình [103, tr.7]. Do đó, trong dạy học Toán ở bậc phổ
thông, để “ làm rõ mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn”, việc bồi dưỡng năng lực
toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh là một vấn đề cần thiết.
1.2. Học sinh Trung học phổ thông là những người đang trưởng thành, chuẩn
bị tham gia trực tiếp vào lao động sản xuất, phát triển xã hội; tương lai các em phải
đối mặt với cuộc sống hiện đại đa chiều, đầy biến động. Bởi vậy, việc trang bị cho
người học những năng lực thích ứng với cuộc sống nói chung, năng lực toán học
hóa tình huống thực tiễn nói riêng khi còn ngồi trên ghế nhà trường là một vấn đề
cần được đặc biệt quan tâm.

6

1.3. Hầu hết các nước trên thế giới, trong giảng dạy Toán đều chủ trương giản
lược lý thuyết hàn lâm, tăng cường thực hành và không ngừng vận dụng. Nhiều
nước đã dùng các bài toán có nội dung thực tiễn vào trong các kì thi ở bậc phổ
thông, điển hình là Pháp, Nga, Đức,… Đặc biệt, trong những năm đầu của thế kỷ
XXI, các nước trong tổ chức OECD (Organization for Economic Cooperation and
Development) đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA (Programme for
International Student Assessment) cho học sinh phổ thông ở lứa tuổi 15. PISA
không kiểm tra nội dung cụ thể chương trình học trong nhà trường phổ thông, mà
tập trung đánh giá năng lực vận dụng tri thức vào việc giải quyết các tình huống đặt
ra trong thực tiễn. Theo PISA, một quá trình cơ bản mà học sinh vận dụng toán học
để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập đến là “toán học hóa”. Việt Nam đang
trên con đường hội nhập với các quốc gia khác trên thế giới, giáo dục nước nhà
cũng nằm trong xu hướng sẽ tham dự PISA vào năm 2012. Do đó, quan tâm đến
việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh phổ thông là
một vấn đề cấp thiết, có tính thời sự.
1.4. Chương trình sách giáo khoa bộ môn Toán ở trường Trung học phổ thông
hiện hành kế thừa và phát huy truyền thống dạy học Toán ở Việt Nam, tiếp cận trình
độ giáo dục toán học phổ thông của các nước phát triển trong khu vực và trên thế
giới. Nội dung được biên soạn theo tinh thần lựa chọn những kiến thức toán học cơ
bản, thiết thực, có hệ thống, trình bày tinh giản; thể hiện tính liên môn và tích hợp
các nội dung dạy học; thể hiện vai trò công cụ của môn Toán, đồng thời tăng cường
thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học gắn liền với thực tiễn. Đặc biệt, đại số và
giải tích tạo điều kiện rất lớn trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống
thực tiễn cho học sinh, điều đó được được thể hiện qua các khía cạnh sau:
- Khái niệm hàm số là sợi chỉ đỏ xuyên suốt cấp học trong chương trình đại số
và giải tích, là công cụ để mô tả tình huống một cách sinh động và đa dạng. Tính
sinh động thể hiện ở việc hàm số có thể mô tả sự vật, hiện tượng trong trạng thái

động; tính đa dạng của nó thể hiện qua việc biểu diễn dưới nhiều hình thức khác
nhau: biểu thức giải tích, bảng hoặc bằng biểu đồ, đồ thị, Chính hình thức thể hiện


7

đa dạng phong phú của khái niệm hàm số giúp cho người học có nhiều cách thức
mô tả hiện tượng, hình thành nhiều phương án ứng phó với các tình huống. Trong
giáo trình Đại số và Giải tích, có không ít các tình huống mà sách giáo khoa dùng
hàm số để mô tả. Chẳng hạn, sách giáo khoa Đại số 10 dùng hàm bậc nhất hai biến
mô tả bài toán quy hoạch sản xuất (bài đọc thêm); Đại số và Giải tích 11 dùng hàm
số tuần hoàn, mô tả các hiện tượng có chu trình hoạt động lặp đi lặp lại như chuyển
động của các hành tinh trong hệ Mặt Trời, chuyển động của guồng nước quay,
chuyển động của quả lắc đồng hồ, sự biến thiên của cường độ dòng điện, ; Giải tích
lớp 12 dùng hàm số mũ để mô tả sự tăng trưởng của một số hiện tượng trong tự
nhiên, xã hội. Không những thế, tương quan hàm còn cho phép chúng ta xây dựng
phương pháp tọa độ, là cơ sở của toán học hiện đại và là công cụ để đại số hóa hình
học.
- Lĩnh vực phương trình, bất phương trình được trình bày một cách có hệ
thống, không những có tác dụng bồi dưỡng tư duy logic mà còn phát triển cả ngôn
ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học cho học sinh; tạo điều kiện cho người học biểu
diễn các tình huống thực tiễn dưới dạng biểu thức chứa biến. Chủ đề phương trình
còn là cơ hội tốt để học sinh giải các bài toán có nội dung thực tiễn. Các tác giả
trong [58] cho rằng: việc biểu diễn tình huống bằng biểu thức chứa biến là một vấn
đề vô cùng quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực
tiễn cho người học.
- Chương trình đại số và giải tích còn vận dụng phương pháp mô hình hóa để
xây dựng một số khái niệm có tính khái quát cao. Chẳng hạn, khái niệm đạo hàm
được xây dựng bằng cách khái quát hóa các biểu thức toán học của các đại lượng
vật lý có liên quan như: cường độ dòng điện tức thời, vận tốc tức thời của chuyển

động, Khái niệm tích phân được xây dựng bằng cách khái quát hóa các biểu thức
toán học về diện tích hình thang cong, công của dòng điện, Thông qua dạy học,
những đơn vị kiến thức này có thể hình thành cho học sinh phương pháp mô hình
hóa, một yếu tố quan trọng cho việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống
thực tiễn.


8

- Toán ứng dụng, nhất là các lĩnh vực xác suất và thống kê, rất quan trọng đối
với thực tiễn cuộc sống của con người, được đưa vào trong chương trình dạy học.
Cho đến thời điểm hiện nay, các tri thức này được trình bày trong chương trình
Trung học phổ thông một cách có hệ thống. Cụ thể là, thống kê toán học được trình
bày hẳn trong Chương V- Đại số 10; xác suất được trình bày trong Chương 2 - Đại
số và Giải tích lớp 11. Điều đặc biệt ở đây là: "quá trình vận dụng các phương pháp
của thống kê toán vào thực tiễn cũng bao hàm những đặc trưng của các phương
pháp vận dụng toán học vào giải quyết các bài toán của thực tiễn" [58, tr.242]. Vấn
đề cực trị được đưa vào chương trình lớp 12, chiếm vị trí trung tâm, liên quan đến
nhiều lĩnh vực trong đời sống của con người. Sự sắp xếp như trên đã làm cho hệ
thống các tri thức toán học này lập thành mạch toán ứng dụng, vì thế giáo viên có
cơ hội rèn luyện khả năng vận dụng toán học vào đời sống, cũng như phát triển
năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh.
- Các tác giả của sách giáo khoa Toán Trung học phổ thông cho rằng: “Trước
đây, có xu hướng chỉ coi trọng rèn luyện tư duy (tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư
duy biện chứng,…) và trí tưởng tượng không gian. Tuy nhiên, nhiều công trình
nghiên cứu đã chứng tỏ rằng phát triển tư duy cho học sinh không thể tách rời việc
rèn luyện các kỹ năng của khoa học thực nghiệm” [38, tr.15] nên sách giáo khoa
Đại số và Giải tích rất chú ý đến các hoạt động kiểm nghiệm và dự đoán. Bởi vậy,
thông qua giảng dạy Toán, có thể lồng ghép các hoạt động thực nghiệm vào dự
đoán quy luật của tình huống thực tiễn.

- Sự thay đổi, cơ cấu lại các đơn vị kiến thức trong sách giáo khoa nói chung,
Đại số và Giải tích ở bậc Trung học phổ thông nói riêng, theo hướng tích hợp liên
môn, tạo điều kiện cho toán học xâm nhập vào các khoa học tự nhiên và đi sâu vào
thực tiễn cuộc sống.
- Sách giáo khoa đã có sự thay đổi rất lớn về cách trình bày, tăng cường các
hoạt động của người học thông qua các tình huống, cho học sinh dự đoán ước tính
để phát hiện ra vấn đề. Điều đó được thể hiện qua việc thiết kế các tình huống, đưa
người học vào trong cuộc và ủy thác nhiệm vụ cho họ dưới dạng mở. Mặt khác,


9

ngôn ngữ diễn đạt của sách giáo khoa đang hướng tới chuẩn mực quốc tế hiện hành,
thuận lợi cho sự giao lưu hội nhập. Kênh hình trong sách giáo khoa Đại số và Giải
tích cũng được chú ý hơn và đó là: " một phương tiện truyền tải trực quan nội
dung kiến thức và là cầu nối giữa sách giáo khoa và thực tiễn đời sống" [88, tr.12].
1.5. Đã có một vài công trình nghiên cứu về mạch ứng dụng toán học trong
dạy học Toán ở trường phổ thông. Điển hình là công trình “Ứng dụng phép tính vi
phân (phần đạo hàm) để giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế
trong dạy học toán lớp 12 Trung học phổ thông” của tác giả Nguyễn Ngọc Anh hay
“Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng
cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh Trung học cơ sở” của
tác giả Bùi Huy Ngọc. Tuy nhiên, chưa có công trình nào nghiên cứu phát triển
năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho Luận án
là: “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học
sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích của Luận án là nghiên cứu xác định những thành tố đặc trưng của
năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn với đối tượng là học sinh Trung học phổ

thông; trên cơ sở đó, đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng
lực này ở người học qua dạy học Đại số và Giải tích.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Phân tích và tổng hợp một số quan điểm của các nhà khoa học về việc vận
dụng toán học vào trong đời sống thực tiễn, đặc biệt là vấn đề toán học hóa tình
huống thực tiễn trong dạy học Toán.
- Đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh,
đề xuất những căn cứ làm cơ sở cho việc xác định các thành tố của năng lực này.
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực toán học
hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông qua dạy học Đại số và
Giải tích.


10
4. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường Trung học
phổ thông.
- Đối tượng nghiên cứu: Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học
sinh và các vấn đề liên quan cùng cách thức rèn luyện năng lực này trong dạy học
môn Toán.
5. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn có thể xác định được một số thành tố chủ
yếu của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ
thông. Trên cơ sở đó, nếu xây dựng và thực hiện được một số biện pháp sư phạm
thích hợp trong dạy học Đại số và Giải tích thì có thể phát triển năng lực này cho
người học, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học Toán.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công
trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của
đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của

học sinh Trung học phổ thông và việc rèn luyện năng lực này trong dạy học Toán.
- Phương pháp điều tra: Điều tra hoạt động dạy của giáo viên, hoạt động học
tập của học sinh bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn
luyện năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho người học.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về phạm vi nghiên
cứu của đề tài.
- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm
nghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất.
7. NHỮNG LUẬN ĐIỂM ĐƯA RA BẢO VỆ
- Quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phổ
thông; các thành tố của năng lực này của học sinh Trung học phổ thông (đã được
trình bày trong Luận án).


11
- Các biện pháp đã đề xuất trong Luận án nhằm góp phần phát triển năng lực
toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông.
- Có thể làm sáng tỏ quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số byaxyxf


),( trên một miền đa giác lồi nhằm hoàn thiện công cụ giải quyết
một lớp các bài toán thường gặp trong cuộc sống, đảm bảo tính logic, tính chặt chẽ,
tính sư phạm.
8. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN
8.1. Về mặt lí luận
- Đưa ra quan niệm về năng lực toán học hóa tình huống của học sinh phổ
thông, trên cơ sở phân tích hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn. Luận án
cũng đã mô tả hoạt động này đối với học sinh Trung học phổ thông trong dạy học
Toán, đồng thời xác định các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực

tiễn làm cơ sở cho việc hình thành và phát triển năng lực này ở người học.
- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực
toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh qua dạy học Đại số và Giải tích.
8.2. Về mặt thực tiễn
- Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp giáo viên phổ thông nhận thức và
hành động trong thực tiễn giảng dạy theo hướng tăng cường vận dụng toán học vào trong
thực tiễn.
- Hệ thống các bài tập, ví dụ trong Luận án là tư liệu tốt cho giáo viên phổ
thông tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học.


12
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Toán học với đời sống thực tiễn của con người
1.1.1. Toán học với đời sống thường nhật của con người
Hằng ngày, con người phải đối mặt với cuộc sống, họ phải mua bán, tính toán
thiệt hơn, trong đầu luôn thường trực một vấn đề là làm sao có lợi cho bản thân
mình nhất. Đặc biệt, trước khi quyết định một công việc quan trọng gì đó, họ đều
đưa ra những phán đoán. Trong cuộc sống hiện đại ngày nay, một cuộc sống đa
chiều đầy biến động, con người lại càng phải tính toán; có thể nói: chỉ có khi đi ngủ
mới không để phép tính ở trong đầu.
Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt gặp
những “hình ảnh” của toán học: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; những đóa
hoa hướng dương hình tròn, có số cánh được bố trí theo các số hạng của dãy Fi-bô-
na-xi; những con ong xây tổ theo những hình lục giác đều,… Galilê nói: “Thiên
nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình
tam giác và các hình toán học khác” (dẫn theo [78]). Thiên nhiên quả là hấp dẫn con
người, lôi kéo họ vào khám phá và cải tạo thế giới. Trong lao động tạo ra của cải

cho xã hội, con người đã phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất.
Bởi vậy, họ phải tính toán đến chất lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu, những vấn
đề đó đều liên quan đến toán học.
Khác với các động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã
hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách
vở, trong đó có tri thức toán học. Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát
triển vốn tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào
đời sống thực tiễn cho bản thân mình. Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng
và phong phú: học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ Tổ quốc. Không phải
khi nào cũng cho phép chúng ta ngồi trong một phòng học đầy đủ các phương tiện
để giải quyết các vấn đề được đặt ra. Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một tòa
nhà mà không có dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa vị trí của ta và mục


13
tiêu của địch,… Gặp những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo,
sử dụng phương pháp toán học, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ.
Tóm lại, đối với người bình thường, cho dù họ là ai, ở cương vị nào trong xã
hội thì trong cuộc sống hằng ngày cũng đụng chạm đến các tri thức toán học.
1.1.2. Toán học và các khoa học khác
Chúng ta không thể xác định chính xác các ngành khoa học xuất hiện từ thời
điểm nào trong lịch sử phát triển xã hội loài người. Tuy nhiên, buổi đầu sơ khai của
tất cả các khoa học là quá trình tích luỹ thông tin về các đối tượng mà nó nghiên
cứu. Đồng thời với quá trình đó là sự sắp xếp và phân loại thông tin. Hai quá trình
trên có tác động tương hỗ thông qua quá trình đồng nhất hoá. Một đối tượng thu
thập được xem xét kỹ lưỡng: nó thuộc nhóm nào đã có hay cần bổ sung thêm nhóm
mới hoặc cuối cùng tuỳ theo mức độ thu thập thông tin mà xây dựng lại hệ thống
phân loại. Điều này cũng gần giống như một con người cụ thể trong việc xây dựng
cấu trúc nhận thức cho bản thân mình. Quá trình thứ ba trong sự phát triển của khoa
học là việc xác định mối liên hệ và quan hệ (định tính và định lượng) giữa các đối

tượng mà nó nghiên cứu. Thời kỳ “mô tả” của các khoa học được đặc trưng bởi ba
quá trình nói trên. Thời kỳ này kéo dài hàng nghìn năm và chấm dứt khi đã có sự
“tích luỹ đủ về lượng”, chuẩn bị cho “bước nhảy” về “chất”. Khi đó, lượng thông
tin và các mối quan hệ cho phép căn cứ vào một số đối tượng nhất định có thể xác
định đối tượng khác bằng con đường suy diễn (dẫn theo [30]). Chẳng hạn, bảng Hệ
thống tuần hoàn các nguyên tố hoá học của Đ. I. Menđêlêep cho phép các nhà khoa
học xác định được một số nguyên tố hoá học, ngay cả khi chưa tìm được chúng
trong tự nhiên. Trong quá trình phát triển, một số ngành khoa học có bước tiến vượt
bậc, có các phương tiện cho phép đoán trước được kết quả của các quá trình mà nó
nghiên cứu với độ chính xác tương đối lớn, trong một khoảng thời gian tương đối
dài. Những ngành khoa học đó được gọi là khoa học chính xác, các khoa học còn lại
tuỳ theo mức độ được gọi là khoa học mô tả. Thuật ngữ “khoa học chính xác” do
các nhà vật lý ngày xưa đưa ra, họ quan niệm rằng: các phát minh mà họ tìm được
có tính chính xác tuyệt đối. Theo A. A. Dorođnhixưn thì sự phân loại như trên chỉ


14
có tính chất tương đối, ông cho rằng: “Mọi ngành khoa học ở một giai đoạn nào đó
đã từng là khoa học mô tả, thậm chí kể cả toán học. Lấy hình học làm ví dụ, thời
xưa nó chỉ là một “bộ sưu tập các quy tắc”, đôi khi các quy tắc đó chỉ được thiết lập
qua thực nghiệm” [30, tr.11].
Toán học là một khoa học suy diễn, nó cũng như các khoa học khác có nguồn
gốc từ thực tiễn. Các nhà toán học I. I. Blekman và A. D. Mưskix cho rằng: “Loại
bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ
xương, không có tí thịt dây thần kinh hoặc mạch máu nào” (dẫn theo [107,tr. 33]).
Đánh giá tầm quan trọng của toán học đối với các hiện tượng vật lý, hiện tượng tự
nhiên của môi trường sống xung quanh, Herbert Fremont cho rằng: “Hãy tưởng
tượng xem làm sao có thể miêu tả và làm việc với các liên hệ vật lý mà không có
ngôn ngữ đặc trưng của đại số, làm sao ta có thể điều tra, khai thác các cấu trúc
thiên nhiên cũng như những đồ vật do con người tạo ra mà không có những khái

niệm hình học…” [129, tr.3]. Một đặc trưng của toán học là tính trừu tượng hoá cao
độ, chính đặc điểm này đã khiến cho nó đi vào mọi lĩnh vực của cuộc sống, “càng
trừu tượng càng có nhiều khả năng ứng dụng cụ thể, làm cho toán học càng ngày
càng xâm nhập vào nhiều lĩnh vực hoạt động của con người, tạo nên xu thế “toán
học hoá” của khoa học kỹ thuật, công nghệ hiện đại, biến toán học trở thành nữ
hoàng của các khoa học” [115, tr.131]. V. Upenski đã chỉ rõ: “toán học nêu ra
những mô hình khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn xung quanh ta.
Đây chính là ưu điểm và sức mạnh của toán học so với các khoa học khác. Mô hình
toán học là điểm xuất phát và là yếu tố quan trọng của việc toán học hóa tình huống
thực tiễn” (dẫn theo [1, tr.77]). Toán học không chỉ cung cấp những con số, những
công thức, những hình hình học mà đặc biệt quan trọng là nó cung cấp “phương
pháp toán học” cho các ngành khoa học, thể hiện qua việc mô hình hoá các lớp đối
tượng mà nó nghiên cứu. Điều này đã làm cho các ngành khoa học có sử dụng toán
học phát triển như vũ bão, đang dần từng bước chuyển từ khoa học mô tả sang khoa
học chính xác. Trong lịch sử phát triển của các ngành khoa học tự nhiên, ta bắt gặp
vô vàn các thành quả ghi nhận có sự đóng góp của toán học. Chẳng hạn, ở lĩnh vực


15
vật lý, có các mô hình cơ học của Newton, các mô hình vật lý ngẫu nhiên: mô hình
Maxwell-Bolzman (M-B); mô hình Bore- Einstein (B-E); mô hình Femi-Drac (F-D)
(dẫn theo [113]); ở lĩnh vực hóa học, người ta dùng toán học xác định lượng các
chất tạo thành sau phản ứng hay tìm ra công thức hóa học của các vật liệu nhân tạo
(theo dụng ý của con người) trước khi sản xuất ra chúng [116, tr.89]. Không chỉ có
lĩnh vực khoa học tự nhiên, ngay cả trong các lĩnh vực kinh tế - xã hội và tư duy con
người, toán học cũng xâm nhập vào và thể hiện được vai trò quan trọng của nó. Ở
lĩnh vực kinh tế, tư tưởng tối ưu hóa đã được con người toán học hóa và trở thành
công cụ phục vụ cho quy hoạch sản xuất, quản lý kinh tế mang lại lợi nhuận cao.
Điển hình trong lĩnh vực này là các mô hình tăng trưởng kinh tế của Karl Marx, các
mô hình tăng trưởng kinh tế của trường phái Keynes (dẫn theo [27]),… Trong xã

hội nhiều sự kiện, hiện tượng tưởng chừng như “mông lung lắm”, vậy mà nhờ vào
các phương pháp thống kê xã hội, con người vẫn nắm bắt được quy luật của nó.
Chẳng hạn, nhờ vào thống kê dư luận, người ta xử lý số liệu, cho phép dự đoán sự
thay đổi hệ thống chính trị một quốc gia trong thời gian tới… Càng xâm nhập sâu
vào các lĩnh vực của cuộc sống, toán học càng sắc sảo làm thay đổi tư duy của con
người và trở thành công cụ nhận thức cho mọi khoa học. Có thể thấy rằng toán học
góp phần giúp cho con người thấy được vũ trụ như là một cái toàn thể không thể
tách rời, “ Phát hiện ra cấu trúc toán học chính là đi sâu một bước vào tính thống
nhất của thế giới về mặt quan hệ số lượng” [116, tr.93]. Những kết quả của toán
học và các khoa học khác cho phép các nhà khoa học nhìn nhận lại cách tư duy của
mình, từ chỗ nghiên cứu phân tích bằng vi mô, các luật chi phối quan hệ giữa các bộ
phận sang kiểu tư duy hệ thống. Bước đột phá đầu tiên được thực hiện vào những
năm 60, 70 của thế kỷ XX, khi Lorenz dùng mô hình toán học làm đơn giản hóa
hiện tượng đối lưu của chất lỏng và phương pháp mô phỏng bằng máy tính đã phát
hiện ra hành vi hỗn độn nghiệm của một hệ động lực phi tuyến. Từ đó, cho ra đời
một lý thuyết mới là lý thuyết hỗn độn. Lý thuyết này cho phép biết được các kiểu
hành vi của các hệ phi tuyến, có ổn định, có bất định, có trật tự, có hỗn độn và có
khả năng chuyển hóa giữa các trạng thái đó. Lý thuyết hỗn độn và các lý thuyết


16
khác là nền tảng cho sự ra đời một lý thuyết chung nghiên cứu các mô hình phổ
quát mang tên các hệ thống thích nghi phức tạp, có nhiều ứng dụng trong tự nhiên,
sinh vật, trong các hệ sinh thái và trong kinh tế, chính trị xã hội [114, tr.174]…
Khó có thể mà kể hết được vai trò của toán học trong các khoa học, rõ ràng toán học
là công cụ, là đòn bẩy của phát minh, luôn đồng hành với mọi khoa học. Đúng như
Karl Marx đã khẳng định: “Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử
dụng toán học”.
1.2. Hoạt động toán học hoá các vấn đề thực tế
Mục 1.1 trên cho thấy toán học đã xâm nhập vào trong cuộc sống đời thường,

trong lao động sản xuất và nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là quá trình toán
học hoá các vấn đề thực tế. Theo Hans Freudenthal: "Toán học hóa dẫn thế giới của
cuộc sống về thế giới của các ký hiệu…" [128, tr.41]. Ông cho rằng: “Tiên đề hóa,
công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của sự ra đời thuật ngữ “toán học
hóa”; trong đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong các ngữ cảnh
của toán học”. Thuật ngữ “toán học hoá” thường được dùng trong các cuộc thảo
luận của các nhà khoa học trước khi đưa vào trong các văn bản chính thức [128,
tr.30]. Bởi vậy, thuật ngữ này ra đời một cách tự nhiên và đi vào đời sống; do đó,
khó xác định được ai đã sử dụng nó lần đầu tiên và xuất hiện từ thời điểm nào.
Trong [30], [116], [127], tuy không giải nghĩa thuật ngữ này một cách tường minh
nhưng khi bàn đến quá trình toán học hóa thì trọng tâm mà các tác giả đề cập đến là
việc xây dựng mô hình toán cho các tình huống thực tế. Trong [1,tr.97], tác giả cho
rằng: “Khả năng xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế, được coi là
cơ sở của việc “toán học hóa các tình huống thực tế”. Theo
http//www.merriamwebster.com/dictionary, thuật ngữ “toán học hóa” được giải
nghĩa là: đưa về dạng toán học (Mathematization: reduction to Mathematical form).
Từ đó, có thể hiểu quá trình toán học hoá vấn đề thực tế là quá trình đưa vấn đề đó
về dạng toán học (xây dựng mô hình toán cho vấn đề thực tế). Do vậy, để có thể
thực hiện được hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế, con người cần được trang
bị phương pháp mô hình hóa.


17
1.2.1. Phương pháp mô hình hóa
Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người
dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng.
1.2.1.1. Quan niệm về mô hình
Về mô hình, có nhiều quan niệm khác nhau, có thể dẫn ra đây một vài ví dụ.
- Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với một hệ thống S các đặc
trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc được chọn để bắt chước A theo những đặc

trưng đó (dẫn theo [1, tr.107]).
- Mô hình là một "vật" hay "hệ thống vật" đóng vai trò đại diện hoặc vật thay
thế cho "vật" hay "hệ thống vật" mà ta quan tâm nghiên cứu [121, tr.175].
- Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng
vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu [69, tr.347].
Nói tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc)
mà con người quan tâm tới.
1.2.1.2. Các đặc trưng của mô hình
- Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu nên nó phải bảo lưu
được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan
niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu
(đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất
những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây
dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Iu. M. Xviregiev cho rằng: “Mô hình bao
giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả” và ông khẳng định rằng: “Mô hình
có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của
thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới” [127, tr.28]. Tuy nhiên, không phải
bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học
kỹ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu,
nên nó có thể phức tạp hơn vật gốc.
- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời
nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu


18
tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những
thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa.
Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra
trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp
mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xây dựng

mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực [121, tr. 177].
- Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. Một mô hình chỉ phản ánh
đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật
hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên, việc
lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải
là một việc đơn giản.
- Thực tiễn cuộc sống luôn luôn vận động và biến đổi; bởi vậy, mô hình không
phải là cái bất biến. Phát triển từ mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi
phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ
thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước
đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có
vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn.
Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để
mô tả các hiện thực khách quan; chính điều này đã làm cho nó ưu việt hơn các mô
hình của các khoa học khác. Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cũng cho rằng: “Mô hình
toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính
về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác diễn tả đúng những quan hệ số
lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác” [116, tr.98]. Vì “chất liệu”
của mô hình toán là ngôn ngữ toán học nên chúng rất đa dạng và phong phú: có thể
là biểu thức giải tích, phương trình, bảng, biểu đồ, đồ thị, hình vẽ,… Từ đó, ta có
các nhận xét sau đây:
- Mô hình toán học cũng là một loại mô hình (mô hình ký hiệu) nó cũng chỉ
phản ánh một khía cạnh nào đó của thực tiễn.
- Cùng một sự vật, hiện tượng có thể có nhiều mô hình toán học mô tả; bởi
vậy, trong lớp các mô hình đó, có mô hình “tốt” hơn theo nghĩa đơn giản về mặt


19
toán học và mô tả sát thực hơn đối tượng của nó. Tuy nhiên, mô hình càng đơn giản
về mặt toán học thì càng “ xa” thực tiễn, càng phức tạp về mặt toán học thì càng

“xích lại gần” thực tiễn. Bởi vậy, con người cần có sự đánh giá vào điều chỉnh mô
hình trong hoạt động của mình.
1.2.1.3. Quá trình mô hình hóa
Quá trình mô hình hóa một sự kiện nào đó thường xảy ra ba giai đoạn chính:
- Giai đoạn 1 là giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật” đại diện;
thông thường cần sự liên tưởng đến những vấn đề tương tự. Trong giai đoạn này,
vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng. Nhờ trí tưởng tượng và trực
giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu, thay nó
bằng một “hình mẫu” chỉ mang những tính chất, những mối quan hệ chủ yếu. “Hình
mẫu” chỉ có trong trí óc và căn cứ vào đó, người ta xây dựng mô hình thật (nếu như
người đó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên tưởng tới những mô hình đã sẵn có.
- Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình. Trong giai đoạn này, mô
hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp lý
thuyết và thực nghiệm khác nhau.
- Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lý kết quả và điều chỉnh mô hình. Trong giai
đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu để
đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.
1.2.2. Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế
Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế là hoạt động chuyển vấn đề thực tế
về vấn đề trong nội tại bản thân toán học nhằm sử dụng vai trò công cụ của khoa
học này để nghiên cứu giải quyết. Hoạt động này có thể phân chia thành hai dạng:
dạng thứ nhất là hoạt động của các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt động của
những người có học vấn phổ thông.
- Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của tự
nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiết thực
trong khoa học và đời sống. Quá trình xây dựng mô hình toán học cho các vấn đề
thực tế vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễn cuộc sống muôn hình muôn vẻ.


20

Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể mô tả một lớp rộng rãi các đối
tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phân chia thành nhiều lớp các mô hình
riêng biệt và chúng có nhiều mức độ khác nhau, đơn giản nhất là mô hình của các
quá trình cụ thể. Trong sự suy diễn ở trên là đi từ mô hình tổng quát đến mô hình
riêng biệt, cụ thể; tuy nhiên, trên thực tế, việc xây dựng mô hình đi ngược lại. Quá
trình xây dựng mô hình toán học không phải là quá trình hình thức hoá mà nó chứa
đựng những giả định (giai đoạn trực giác), các tính toán dựa trên những giả định và
so sánh với thông tin thu nhận được. Tuy phức tạp nhưng người ta cũng hình dung
ra được các giai đoạn phải thực hiện trong quá trình này. Theo A. A. Dorođnhixưn,
quá trình mô hình hóa của các nhà khoa học có thể phân thành các bước sau: 1)
Nhận biết các dạng liên hệ (người); 2) Xây dựng mô hình toán học (người); 3) Giải
bài toán trên mô hình (máy); 4) So sánh kết quả đã giải với thông tin thu được, xác
định những điều không phù hợp (máy); 5) Phân tích các nguyên nhân có thể gây
nên sự không phù hợp (người); 6) Xây dựng mô hình toán học mới. Sau đó quá
trình lặp lại từ 2 đến 6, số lần lặp lại tuỳ thuộc vào tư duy sắc bén của con người.
Nếu kết quả phù hợp thì có thể chấp nhận mô hình, ngược lại thì phải quay về bước
1 [30, tr.24].
- Đối với người có học vấn bậc phổ thông, hoạt động toán học hóa các vấn đề
thực tế xảy ra khi họ đối mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc
sống cá nhân. Họ phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ
thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Khác với
dạng hoạt động thứ nhất là hoạt động nghiên cứu, hoạt động dạng thứ hai lại thiên
về việc vận dụng toán học vào trong các tình huống đơn giản, phổ biến thường xảy
ra trong cuộc sống. Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mang tính chất gián tiếp. Cụ thể
là, trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, họ phải liên tưởng tới những tri thức
toán học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa
mãn nhu cầu của mình. Không những thế, người lao động còn biết nhìn lại quá trình
giải quyết một cách nghiêm túc, tìm ra được lược đồ tối ưu để bổ sung vào vốn kinh
nghiệm, phục vụ cho các hoạt động thực tiễn của mình.

21
Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế rất quan trọng, cần thiết đối với mọi
người lao động. Hoạt động dạng thứ hai vừa mô tả ở trên mang tính chất phổ biến
cho những người có học vấn phổ thông, giúp cho họ năng động thích ứng với thực
tiễn đời sống. Luận án quan tâm đến việc phát triển năng lực toán học hóa tình
huống thực tiễn cho học sinh Trung học phổ thông nhằm góp phần đáp ứng các điều
kiện cho hoạt động này trong tương lai của người học.
1.3. Vấn đề ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và vấn đề toán
học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Toán ở trường phổ thông
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, tuy nhiên có tính trừu tượng cao độ, chính
nhờ có đặc điểm này mà toán học có tính độc lập tương đối. Tính trừu tượng cao độ
của toán học chỉ che lấp chứ không làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của nó, đồng
thời càng tăng thêm sức mạnh ứng dụng của nó trong đời sống thực. Sự hình thành
và phát triển của toán học được thể hiện qua hai xu hướng chính: toán học lý thuyết
(toán học thuần túy) và toán học ứng dụng. Sự phân chia đó cũng chỉ có tính chất
tương đối, vì suy cho cùng, mọi lý thuyết của nó dù xa hay gần, cuối cùng cũng trở
về phản ánh, ứng dụng vào trong thực tiễn. Lý thuyết càng trừu tượng thì ứng dụng
của nó càng lớn, Newton cho rằng: “không có gì gần thực tiễn hơn là một lí thuyết
đẹp” (dẫn theo [52, tr.291]). Dạy học Toán nói chung, dạy học Toán ở bậc phổ
thông nói riêng, theo một nghĩa nào đó là phản ánh sự hình thành và phát triển của
khoa học toán học nên trong cơ cấu chương trình không thể bỏ qua một trong hai
nội dung các xu hướng nói trên.
1.3.1. Thực trạng của việc ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và
vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn của giáo dục toán học phổ thông trên
thế giới và trong khu vực
Các trào lưu dạy học trên thế giới hầu hết phụ thuộc rất nhiều vào một số quốc
gia có nền kinh tế xã hội phát triển, có đông đảo các nhà khoa học tầm cỡ. Những
quốc gia khác chịu ảnh hưởng, tùy theo thể chế chính trị hay các mối quan hệ khác.
Nhìn trên một bình diện chung, giáo dục toán học từ thuở xa xưa, tư tưởng coi tri

thức về lý thuyết là trí tuệ; những kỹ năng thực hành ứng dụng chỉ là những thao tác


22
thể hiện vẫn tồn tại trong dạy học, thậm chí nhiều khi còn thái quá dẫn đến hậu quả
không lường trước được. Chẳng hạn, trường phái Bourbaki (tập thể các nhà toán
học Pháp) vào thập kỷ 80 của thế kỷ XX đã chủ trương hiện đại hóa chương trình
toán học phổ thông, theo tinh thần "tập hợp, cấu trúc, ánh xạ", không chú trọng các
tri thức thực hành ứng dụng; kết quả sản phẩm mà họ đào tạo ra là những học sinh
mắc bệnh hình thức nặng (dẫn theo [116]). Xu thế chung của dạy học Toán ở bậc
phổ thông hiện nay là chú trọng phát triển tư duy, coi trọng tính hệ thống của tri
thức và gắn chặt tri thức truyền thụ với đời sống thực tiễn. Điều khẳng định của các
tác giả R. Courant và H. Robbins: “ Việc thiết lập lại mối liên hệ giữa tri thức thuần
túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và
tính cụ thể phong phú là nhiệm vụ của toán học trong một tương lai gần” [16, tr.10],
đang dần trở thành hiện thực. Sau sự thất bại của nhóm Bourbaki, giáo dục toán học
thế giới đã cảnh tỉnh và đã có những sự điều chỉnh nhất định. Ở Anh, năm 1989, bộ
môn Toán trong chương trình quốc gia xác định 14 lĩnh vực kiến thức, trong lần sửa
đổi năm 1991, giảm xuống còn 5 lĩnh vực: 1) Ứng dụng toán học; 2) Số; 3) Đại số;
4) Hình học; 5) Xử lí số liệu. Tuy nhiên, môn Toán hiện nay xác định lại chỉ còn 4
lĩnh vực kiến thức: 1) Ứng dụng toán học; 2) Số và Đại số; 3) Hình học và đo
lường; 4) Xử lý số liệu. Riêng đối với lĩnh vực ứng dụng toán học, có ý kiến cho
rằng: nếu không được tách riêng và đánh giá như các lĩnh vực khác thì giáo viên
không dạy đầy đủ tuyến kiến thức quan trọng này (dẫn theo [23]). Các quốc gia
khác như Cộng hòa dân chủ Đức, Liên Xô (cũ) trước đó cũng có xu hướng hiện đại
hóa chương trình nhưng đến giữa thập kỷ 80, các nước đó đã điều chỉnh lại (dẫn
theo [8, tr.2]).
Trong những năm đầu của thế kỷ XXI (chính xác hơn là bắt đầu từ năm 1997),
các nước trong tổ chức OECD đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA cho
học sinh phổ thông ở lứa tuổi 15. Ý tưởng của PISA là tìm câu trả lời cho câu hỏi:

Cái gì có thể coi là đầu ra – kết quả cuối cùng trong nhà trường của một xã hội hiện
đại? (What Should be the final outcomes of Schooling in modern Society?). Phạm
vi đánh giá năng lực học sinh của PISA có liên quan đến khả năng phân tích, suy


23
luận kết nối ý tưởng một cách có hiệu quả khi học sinh đặt câu hỏi, lập công thức,
giải quyết vấn đề trong các tình huống. Đánh giá của PISA tập trung vào vấn đề
thực tế, chuyển những tình huống dạng này về vấn đề điển hình có thể gặp phải
trong lớp học; chẳng hạn, khi mua bán, tham gia giao thông, khi giải quyết những
công việc liên quan đến chính trị, xã hội,… mà ở đó trình độ toán học nhất định sẽ
tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết vấn đề. Khi bàn đến năng lực toán học phổ
thông, PISA cho rằng: “Năng lực toán học phổ thông là khả năng cá nhân có thể
nhận dạng và hiểu vai trò của toán học trong thế giới để đưa ra những lời xét đoán,
để sử dụng và đưa vào toán học trên cái cách mà thấy được sự cần thiết của cuộc
sống cá nhân đó như một công dân biết suy nghĩ, biết xem xét”[132]. Rõ ràng trong
cách định nghĩa về năng lực toán học phổ thông của PISA, không thấy bàn đến các
kiến thức cơ bản và các kỹ năng cần thiết, nhưng để sử dụng toán học trong nhiều
tình huống khác nhau nhất thiết phải cần các yếu tố đó. Thuật ngữ “thế giới” trong
định nghĩa của PISA được hiểu bao gồm: thiên nhiên, xã hội và văn hóa mà con
người sống trong đó. Cụm từ “để sử dụng và đưa vào…” được hiểu bao gồm cách
giải quyết vấn đề toán học và cũng muốn nói đến sự liên quan rộng hơn đến con
người qua kết nối, liên hệ,… thậm chí cả thưởng thức toán học. Do đó, cách hiểu về
năng lực toán học của PISA bao gồm cách ứng dụng vào thực tiễn của toán học theo
nghĩa hẹp cũng như việc học tập sau này và các yếu tố mĩ học và giải trí của toán
học. Quan điểm của PISA rất chú trọng việc vận dụng toán học vào đời sống thực
tiễn khi xét về năng lực toán học của học sinh phổ thông. PISA cho rằng: quá trình
học sinh sử dụng toán học để giải quyết vấn đề thế giới thực được nhắc đến như sự
“toán học hóa” và mô tả quá trình đó bằng sơ đồ 1.1.

24










Trong đó:
1. Bắt đầu với tình huống đặt trong thực tế;
2. Tổ chức tình huống thực tế dựa theo các khái niệm toán học và phát hiện
phần toán học có liên quan;
3. Từng bước một, đưa ra khỏi thực tế thông qua các quá trình như đặt giả
thiết, khái quát hóa và chính thức hóa. Những quá trình như vậy làm chuyển đổi
vấn đề thực tế thành vấn đề toán học; có được sự chuyển đổi đó, vấn đề toán học
đại diện cho tình huống một cách chân thực;
4. Giải quyết vấn đề toán học;
5. Hiểu và nắm chắc cách giải quyết tình huống thực tế bằng toán học bao
gồm cả việc phát hiện ra các hạn chế của giải pháp đó [132].
Quan sát sơ đồ trên, có thể thấy được rằng, quá trình “toán học hóa” của học
sinh phổ thông theo quan điểm của PISA thực chất là đơn giản hóa và cụ thể hóa
quá trình xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tế theo quan điểm của
A.A. Dorođnhixưn mà chúng tôi đã trình bày ở phần 1.2. Sự quan tâm của PISA về
vấn đề “toán học hóa” được xem như là mấu chốt phát triển năng lực toán học cho
học sinh phổ thông.
Một số nước như Singapore, Malaysia, giáo dục toán học phổ thông cũng có

xu hướng phát triển như trên đã trình bày. Theo tác giả Vũ Kim Thủy [109], sách
Sơ đồ 1.1
Lời giải thực tế
(Real Solution)

Lời giải toán học
(Mathematical Solution)
Vấn đề toán học
(Mathematical problem)

Vấn đề thực tế
(Real world problem)
.

5
.
.
.
.
.
.
1,2,3
.

4

5

Thế giới toán học
(Mathematical World)

Thế giới thực
(Real World)
Th
ế giới thực



25
giáo khoa ở hai nước này chỉ gọi là Toán và có nội dung gắn kết với cuộc sống
thường ngày. Các hoạt động ngoài trời như đo, vẽ, khảo sát, đều được chú trọng
trong dạy học toán; học sinh sau khi ra trường rất tự tin trong cuộc sống .
1.3.2. Thực trạng của việc ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn và
vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn của giáo dục toán học phổ thông
trong nước
Đối với Việt Nam, chương trình giảng dạy sử dụng trước năm 2000 chịu ảnh
hưởng rất lớn bởi cách làm chương trình của một số nước như Liên Xô (cũ), Cộng
hòa dân chủ Đức và Pháp. Theo tác giả Trần Kiều: “Mặc dầu đã xác định đi theo
hướng “ôn hòa” song không thể tránh được những biểu hiện thiên về sự hoàn chỉnh
lí thuyết, quá chú trọng tới tính khoa học chặt chẽ của hệ thống kiến thức,…Các
khâu thực hành, ứng dụng, nhất là ứng dụng vào các tình huống thực tiễn, chưa
được coi trọng đúng mức. Nhiều kỹ năng cần thiết cho cuộc sống ít có cơ hội được
rèn luyện phát triển” [8, tr.2]. Với chương trình và cách thức đào tạo như vậy thì sản
phẩm tạo ra là những con người không có khả năng thích ứng với một cuộc sống đa
chiều, đầy biến động là điều không thể tránh khỏi. Sớm nhìn nhận được điều sai
lệch trong giáo dục toán học, các nhà khoa học giáo dục nước ta đã có những ý kiến
xác đáng. GS. Nguyễn Cảnh Toàn có nhận xét về tình hình dạy học toán hiện nay:
“Dạy và học toán tách rời cuộc sống đời thường”; GS. Hoàng Tụy cho rằng: “kiểu
cách dạy học hiện nay còn mang nặng nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải
những bài tập oái oăm, giả tạo, không phát triển trí tuệ mà xa rời thực tiễn.” (dẫn
theo [70]). Nói đến những yêu cầu đối với toán học trong nhà trường, nhằm phát

triển văn hóa toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học toán trong nhà trường phổ
thông không chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lí, phương pháp thuần túy
mang tính lý thuyết …, cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trình học toán phải đạt
tới là hiểu được nguồn gốc thực tiễn của toán học và nâng cao khả năng ứng dụng,
hình thành thói quen vận dụng toán học vào cuộc sống” (dẫn theo [107, tr.34]).
Trước bối cảnh đó, ngành Giáo dục đã có một cuộc cách mạng là thay chương trình
bậc học phổ thông, bắt đầu triển khai từ năm 2000, với định hướng: giảm nhẹ tính


26
chặt chẽ của lý thuyết, tăng cường ứng dụng thực tiễn, coi trọng hoạt động tự chiếm
lĩnh tri thức của người học. Các nhà khoa học biên soạn sách giáo khoa nói chung,
sách giáo khoa bộ môn Toán nói riêng, đã cụ thể hóa tư tưởng định hướng trên
trong các giáo trình bộ môn. Chẳng hạn, sách giáo khoa bộ môn Toán cấp Trung
học phổ thông đã quán triệt các quan điểm sau: Sát thực, trực quan, nhẹ nhàng và
đổi mới. Các quan điểm đó đã hàm chứa sự thay đổi cả nội dung và phương pháp
trình bày của sách giáo khoa, với hy vọng có thể cải thiện được tình hình dạy học
toán đã trình bày ở trên. Để có thể rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng tốt các
tri thức toán học vào đời sống thực tiễn, các tác giả trong [1], [46], [55], [58],
[70],… cũng đã đề cập đến vấn đề “toán học hóa” trong dạy học Toán ở bậc phổ
thông và xem đây là một yếu tố quan trọng cấu thành vốn văn hóa toán học, một
mắt xích quan trọng trong quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn, rất cần thiết
cho người lao động trong xã hội hiện đại. Trong một số tài liệu khác, kể cả sách
giáo khoa phổ thông cũng dùng mô hình toán học để mô tả các tình huống thực tiễn.
Ngành giáo dục đã cố gắng trong sự chỉ đạo về đường lối, nhưng thực trạng dạy học
Toán ở các trường phổ thông Việt Nam, trong những năm vừa qua vẫn chưa có
những chuyển biến mạnh mẽ. Qua tìm hiểu các cán bộ quản lý giáo dục, các chuyên
gia cho thấy vẫn còn những tồn tại phổ biến:
- Chưa thực sự chú trọng mảng tri thức thực hành ứng dụng trong dạy học
Toán. Nhiều giáo viên còn quan niệm lệch lạc rằng: những tri thức đó chỉ nhằm ôn

tập nội dung phần lý thuyết đã học sau từng bài, từng chương; bởi vậy, dạy học
chưa đúng hướng. Những năng lực, kỹ năng thực hành ứng dụng quan trọng của
người lao động không được chú ý rèn luyện, nhất là năng lực toán học hóa tình
huống thực tiễn. Biểu hiện rõ nhất là phần lớn các thầy cô chưa có ý thức trong
việc bồi dưỡng phương pháp mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học toán.
- Nhiều học sinh tốt nghiệp cấp Trung học phổ thông, ra trường chưa thể hiện
được vốn văn hóa toán học trong các hoạt động thực tiễn của bản thân. Biểu hiện rõ
nhất là hầu như họ không sử dụng tri thức, phương pháp toán học trong các tình
huống cụ thể; sự chênh lệch về hiệu quả công tác của người có học vấn phổ thông và