chuyên đề căn thức bậc hai lớp 9 ( đạng bài tập có lời giải chi tiết)

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

DẠNG 4.
RÚT GỌN + TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
I. PHƯƠNG PHÁP
+ Tìm điều kiện xác định nếu cần
+ Rút gọn biểu thức
+ Biến đổi biểu thức về 1 trong 2 dạng sau:
Dạng 1.
Dạng 2.

Ma

b
b
Ma
f (x)  c hoạc
f (x)  c , c  0

M  f (x) 

m
, f (x)  0, m  0
f (x)

+ Đối chiếu điều kiện của biến + Kết luận
II. VÍ DỤ

x 1
x
1

B

 
x

x

1
x
x

1
x

1
Ví dụ 1. Cho hai biểu thức
và
với x �0,  x �1 .
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 .
A
C
B.
2) Rút gọn biểu thức
3) Tìm các giá trị của x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất.
A

Lời giải
1) Thay x  4 ( thỏa mãn điều kiện) vào A ta được:
3
A

7.
Vậy khi x  4 thì
2) Với x �0,  x �1 , ta có:
C

A

4 1
3

4  4 1 7 .

A
x 1 � x
1 �

:�

�
B x  x  1 �x x  1
x 1 �


x 1
:
x  x 1



x 1

x  x 1

3) Với x �0,  x �1 , ta có:

C



:

x  2 x 1


x  1  x 
 x  1


x  1

x 1 x  x  1
2



x 1
x 1 .

x 1
2
 1

�1
x 1
x 1

( vì x  1 �1 với mọi x �0,  x �1 , do đó
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x  0 (thỏa mãn).
Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 1 khi x  0 .
1

2
�2
x 1
)


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

4 �
� 1
x
B= �
+
.( x  3)
�
x  3 và
� x +3 x 9�
với x �0 , x �9.

A=
Ví dụ 2. Cho hai biểu thức

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.

x +1
.
x +3

B=
b) Chứng minh

c) Cho P  A : B . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4.
Thay x  4 (thỏa mãn) vào A ta được

A



4
2
2


4 3 23 5

2
Vậy A = 5 tại x  4

B=

x +1
x +3

b) Chứng minh
�
1
B =�
+
� x 3
�
=





với x �0 và x �9
�
�
4
x 3 + 4
�
.( x  3) = �
� x +3
x 3
x 3 �
x 3
�
�



x 1
x +3



x 3



.



x 3



=







�
�

. x 3
�
�



x +1
x +3 (đpcm)

c) Cho P  A : B . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P .
Ta có:
P  A : B

P

x
x +1
x
x +3
x
:

.


x  3 x +3
x  3 x +1
x +1
x �0

Với x �0 thì
۳

x +1 1

1
1
1 � 1
�0
x +1
x +1

Dấu  xảy ra � x  0
� x  0 (thỏa mãn)

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x  0 .
Cách 2:

P

x  1 1
1
 1
x +1
x +1

x
�0 x �0
x +1

Ta có:
Do đó P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x  0 .
2

P 0




CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Ví dụ 3. Cho

A

� 6 x 6
x 2� 1
1
B�

�:
x 1 � x  3
x  3 và
�x  2 x  3
với x �0, x �9

1) Tính biểu thức A khi x  25
2) Rút gọn biểu thức B
3) Đặt P  A.B ,Tìm x nguyên để P đạt giá trị lớn nhất
Lời giải

1) Thay x  25 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta được
A

1
1 1


25  3 5  3 2

�
�
x 2� 1
� 6 x 6
x 2� 1 � 6 x 6

:
B�

�:
� x 1 x  3
� x 3
x

1
x 1 � x  3 �
�x  2 x  3
�
2)







�
�
�
6 x  6  (x  5 x  6) � 1
x  x
�

:
�
�
� x  3 � x 1 x  3
x 1 x  3
�
�
�



3)

P  A.B 

Vì












�
�: 1
� x 3
 x
�

1
x
3
.  x 
 1
x 3
x 3
x 3





x  3 �3 với mọi x

3

x 3

1
với mọi x

� P  A.B  1 

3
�0
x 3
với mọi x � Max P  0

Dấu "  " xảy ra khi x  0
Ví dụ 4. Cho biểu thức

A

� 2 x
x � x
x 2
B�

�:
x 3� x 3
1  x và
�x  x  6
với x  0, x �9.

1) Tính giá trị của biểu thức
2) Rút gọn biểu thức B .

A khi x  36.

3) Với x ��, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  AB .
Lời giải
1) Thay x  36 ( thỏa mãn điều kiện ) vào A ta được

3

A

36  2 6  2 8


1  36 1  6 7 .


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

2) Điều kiện:

�x �0
�
�x �9

.

� 2 x
x � x
B�

�:
x

x

6
x

3
�
� x 3
�
2 x
�

� x 3
x 2
�





3)

P  AB 



x





 

x 4

x 3



x



x 2





x 3



x 3
x 

.



�
x 3
�
.
x 2 � x
�

x 2



x 4
x 2 .

x 2 x 4
x 4
3
.

 1
1 x x  2
x 1

x 1 .
3
x  1 đạt giá trị lớn nhất.

Để P đạt giá trị lớn nhất thì
Vì x �� và

x  1  0 với mọi x �0 và x �9 nên

3
x  1 lớn nhất khi

x  1  1 � x  0 .( TMĐK)

MaxP  4 � x  0

Vậy

3 x

.

2 � x 2
� 1
B�

�: x  1
x

1

x

x
�
�
Ví dụ 5. Cho
và
với x  0; x �1
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 .
A





x 1

x 3



b) Rút gọn biểu thức B .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.B .
Lời giải
a) Thay x  4 (tmđk) vào biểu thức A ta có :
A
A



3. 4



4 1

4 3





6
5

6
5 khi x  4 .

Vậy
x

0;
x
�1 ta có :
b) Với

2
� 1
B�


� x 1 x  x

�
�
1
2
�: x  2
� x 2  �

� x 1
�: x  1
x x  1 � x 1
�
�
�



4




CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI



A.B 
c)





x

x 2



x 1


.

3 x



x 1

x 3



.



x 1



x 1

x 2

x 1
x 

x 1
x .



3
x 3 .

Với x  0; x �1 thì A.B  1 .
Do đó khơng có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.B .
Ví dụ 6. Cho hai biểu thức:

A

2 x
x
4x  2 x  4
x 3



B
x4
2 x 2 x
2 x x
và

(với x  0; x �4; x �9 )

1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25
2) Đặt P  A : B , rút gọn P
3) Với x  9 , tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Lời giải
1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 25
Thay x  25 (TM ĐKXĐ) vào B , ta có:
25  3
53
2
2
B


 .
15
2 25  25 2.5  25 15
2
B .
x  25 thì
15
Vậy
2) Rút gọn biểu thức P

2 x
x
4x  2 x  4
A


 x  0; x �4 
x4
2 x 2 x

A

2 x
x
4x  2 x  4


4x
2 x 2 x

2 x
A
A

A

2





x. 2  x

  4x  2

x 4
4x

2 x
2 x
4  4 x  x  2 x  x  4x  2 x  4

 2  x  . 2  x 



4x  8 x



2 x . 2 x



 

4 x



x 2



4 x
2  x . 2  x  2  x  x  0; x �4 


5




CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

P  A:B 



4 x
x 3
4 x
x 3
x 2 x
4 x
:

:


.
2 x 2 x x 2 x
x 2 x
2 x
x 3







4x
 x  0; x �4; x �9 
x 3

P

3) Với x > 9, tìm giá trị nhỏ nhất của P .





4x
36
36
 4 x  12 
 4 x 3 
 24

x 3
x 3
x 3
Do x  9 � x  3  0 . Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có:
36
36
4 x 3 
�2. 4 x  3 .
x 3
x 3
36
4 x 3 
�2.12
x 3
36
4 x 3 
 24 �48
x 3
P �48
Dấu “ ” xảy ra
P

















� x  3  3
�x  0
�
x  0  KTM 
2
36
� x 3  9 � �
��
��
x  36  TM 
x 3
�
�x  3  3
�x  6
Vậy P đạt GTNN bằng 48 khi x  36 .
�4





x 3 





III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Câu 1. Cho

�x  3 x  2
1 � x 3
x 3
B�

.
�
x

9
x

3
x  3 và
�
� x  1 với x �0; x �9

A

1) Tính giá trị của A khi x  16 .
2) Rút gọn biểu thức B .

A
P
B . Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
3) Cho
Lời giải
A

16  3 19

16  3 7 .

1) Thay x  16 (thỏa ĐKXĐ) vào A ta có:
�x  3 x  2
1 � x 3
B�

.
�
x

9
x

3
�
� x  1 với x �0; x �9
2)
�
�
x3 x 2

x 3
x 3
�
�


.
� x 3
x 3
x 3
x  3 � x 1
�
�





 



6




CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI



x  2 x 1



x 3

x 3

.
x 1
x 3










 x  1  2 

x 3
2

A
x3
x 1 x  3

P 
:

B
x

3
x

3
x 1
3)
4
 x 1
2
x 1



x 1

2

.

x 3
x 1 


x  1  4

x 3

x 1

x  1  0;

4
0
x 1

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số
4
4
P  x 1
 2 �2
x 1 .
2 2
x 1
x 1
4
Min P  2 � x  1 
� x 1
x 1
(thỏa đkxđ).
�
x

1
Vậy GTNN của P bằng 2
.





� x
x ��2
2x �
P�


�: �
�
� x  1 x  1 ��x x( x  1) �
�
�
��
Câu 2. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tìm giá trị của x để P  4 .
Với x  1 hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P .
Lời giải
� x  1 �0
�
�x �1
�x  1 �0
��
�
�x  0
�x �0

�
Điều kiện xác định: �x �0
� x
x ��2
2x �
P�


�: �
�
� x  1 x  1 ��x x( x  1) �
�
�
��
1)



x









x 1



2) P  4



x 1  x

.

 

x 1 2

x 2 x



x 1
�

x

x
x 1



x 1
4

.

x





x 1



x 1  2  x





x 1

x 2 x 

x
x 1 .

� 4 x  4  x � x 4 x  4  0

7

x 1
x 3 .


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

�



x2



2

0

� x  4 ( thỏa mãn).
x
1
1
P
� P  x 1
 x 1
2
x

1
x


1
x

1
3)
� x 1  0
�
�� 1
0
�
x

1
�
Vì x  1
1
x  1 và

Áp dụng BĐT Cô si cho hai số dương
x 1

1
x 1

� x 1 

�2

1

x 1

Dấu ''  '' xảy ra





x 1

x  1 ta có:

1
x 1

 2 �4

� x 1 

1
x 1

�





2

x 1  1

� x  1  1 � x  4 ( thỏa mãn).

x x 1 x x 1 4
x 1


Q
x x x x
x và
x 1
Câu 3. Cho biểu thức
a) Tính giá trị biểu thức Q khi x  25 .
b) Rút gọn biểu thức P .
P

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  P.Q 

x

Lời giải
a) Tính giá trị biểu thức Q khi x  25 .
Điều kiện xác định: x �0

Khi x  25 (thỏa mãn điều kiện). Thay vào biểu thức Q ta có:

25  1

Q



25  1
b) Rút gọn biểu thức P .

5 1 4 2
 
5 1 6 3

�
x 0
�
x �1
Điều kiện xác định: �

x x 1 x x 1 4
( x)3  1
( x)3  1
4
P





x x x x
x
x( x  1)
x( x  1)

x






x

 

x 1 x  x  1



x 1



x  x  1

x 1 x  x 1

8

4
x


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

 x




   x



x 1

x 1

4

x

x

x

x  x 1 x  x 1 4
x

2x  2



x

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  P.Q 
Ta có: M  P.Q 




2  x  1
x
2



x 1

.



x 1

x 1

x



 x

2





x 1

x

.


x  x  1
x 1



x 1

x

2

x

 2 x4

 x 

2

x

2x 4 x  2
x

 x  x

2
x

 x
4

Với mọi x thuộc điều kiện xác định thì

x  0;

2
x

0
2

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm x và x , ta có:
x

2
x

� x

�2

x.

2
x

2

� x

x

�2 2

2

 4 �2 2  4
۳ M 2 2 4
x
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
2
x
x � x  2 (thỏa mãn)
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là 2 2  4 khi x  2 .
�
x  3 �� x
x9�
P�x

:

�
�
��
�
1

x
x

1
x

1
�
��
�
Câu 4. Cho biểu thức
, với x �0,x �1,x �9.

P

x 1

x3
1) Chứng minh rằng
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

.

Lời giải
1) Chứng minh:

9


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

x

P







x 1  x 3 � x
:�

�
x 1
� x 1
�

x x  x 3
x 1
x3



:


x3 
.
x 1 
x 1






 x  1 .

x.

:

�
�
�
x 1 �
�

x 9





x 1 .



x 1  x  9



x 1

x x  x  9

  x  1
x  1 . x  1

x  3 . 3  x 



x 1 .

x3
x 1

.





x 1



x 1

x 9

x 1
x3

2) Tìm giá trị nhỏ nhất:

4

P  1

x3

Ta có

 x
 0
x 3 3.
Với điều kiện x �0��
4

4
4
1
� �
1
3
x3 3
x3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

x  0  TM 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là



.

1
3 tại x=0

x 3
x 7
x  3 2 x 1
B


x

3

x

5
x

6
2

x
x  3 với x �0; x �4, x �9 .
Câu 5. Cho
và
8
x
3 5 .
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
b) Rút gọn biểu thức B .
A

B
c) Tìm GTNN của A .

a)

x



Lời giải



8 3 5
8

 2 3 5  62 5 
95
3 5
Thay

x







5 1







5 1

2

2

(tmđk) vào biểu thức A ta được :

10


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI




A


5  1

2

5 1  3
2

5 1 3
54


5 1 3
52



3



54



52

54



 5  6 5  8  13  6 5

B




x 7
x  3 2 x 1


x 5 x 6 2 x
x  3 với x �0; x �4, x �9



b)

B:A 

x 2



x 3





x  3 2 x 1

x 2
x 3


 x  2   x  3 
x 7




x  2 
x 3

   2 x  1 
x  3  x  2  

x 3

x 2
x 3





x  7  x  9  2x  3 x  2





x 7





x 2



x2 x
x 2



x 3

x
x 3
:

x 3 x 3

x 3


 

x

x 3



x



x 2

x 2





x 3





x
x 3

.

x  33
3
 1
x 3
x 3

x �0��
x ��
0 ��
x 3 3

3
x 3

1

Vì
Dấu “=” xảy ra khi x  0
B
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 0 khi x  0 .
x � x
x  3 B  �1 
 x  0
�
�:
A
x
x  1 �x  x
x

1
�
Câu 6. Cho
và
a) Tính giá trị của A khi x  25 .

x  x 1
x
b) Chứng minh
.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B .
B

Lời giải
a) Thay x  25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có:

25  3 5  3 1


25  1 5  1 3
1
A
3.
Vậy x  25 thì
b) Với x  0 thì
A

11

1

3
x 3

0


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

�1
x � x 
B� 
�:
x  1 �x  x
�x

Vậy với x  0 thì
1
B x 
1
x
c) Ta có

B

x 1 x
x





x 1

x

.



  x

x 1
x

x 1

x

x  x 1
x

1
�2
x
Áp dụng Bất đăng thức cô si cho 2 số dương ta có:
.
Suy ra B �2  1  3 � Giá trị nhỏ nhất của B là 3 khi và chỉ khi x  1 .
x

Câu 7. Với x �0, x �4 và x �9 , cho hai biểu thức
x
1
1
B


x 4
x 2
x  2 và
1) Tính giá trị của B khi x  36 .
A

2) Chứng minh

A

x 2
x 3 .

x
x 2 .

P  B�
 A  1 đạt giá trị lớn nhất.
3) Tìm số tự nhiên x �� để
Lời giải
1) Thay x  36 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được

36  2 6  2 4


36  3 6  3 3 .
2) Điều kiện: x �0 , x �4 , x �9 .
B

A

x
1
1
x x 2 x 2




x4

x 2
x 2
x 2
x 2









x2 x
x 2



x 2





3) Ta có
P  B. A  1 


�
x 2 � x

.�
 1�
x 3 � x 2 �

x 2 � x  x 2�
.�
�
x 3 � x 2 �

Với 0 �x  9 và x �4 thì

x 2
2
.

x 3 x 2

2
x 3

x 3 0 � P  0 .

Với x  9 thì x  3  0 � P  0 .
Có x  9 mà x ��� x �10
�

x � 10 � x  3 � 10  3


ۣ

12

2
x 3

2
 P
10  3

6 2 10
.

x
x 2


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI
Dấu "  " xảy ra � x  10 (thỏa mãn).

P  B.  A  1
Vậy với x �� thì giá trị lớn nhất của biểu thức
là 6  2 10 khi
x  10.
A

x 9
B
x  3 và

3
2
x 5 x 3


x 9
x 3
x 3
với x �0; x �9 .

Câu 8. Cho hai biểu thức
1) Khi x  81 hãy tính giá trị của biểu thức A

2) Rút gọn biểu thức B
3) Với x  9 tìm giá trị nhỏ nhất B của biểu thức P  A.B
Lời giải:
1) Giá trị x  81 thỏa mãn điều kiện x �0; x �9 ,thay vào biểu thức A ta được:
81  9
72
72


 12
81  3 9  3 6

A

Vậy khi x  81 thì A  12

2) Với x �0; x �9 ta có






:
Vậy

3) Ta có:

3

3





x 3

x 3





x 3

2



 



x 3

x 3

  x  3  x  5
 x  3  x  3

x 3 2





x 3



x 5 x 3

 

x 3



x 3



x 3





x 3 9

x 3

3 x 9 2 x 6 x 5 x 3





x 3



x

x 3

P



x 3

x 3







x
x 9

x

x  9 Với x �0; x �9

P  A.B 
 x  3

vì



3
2
x 5 x 3



x 9
x 3
x 3

B

x 9
x
.

x 3 x 9

x
x 9 9


x 3
x 3

9
9
 x 3
6
x 3
x 3

x  9 � x  3 � x  3  0 vµ

9
0
x 3
.

Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si với 2 số khơng âm ta có:
13

x 3




CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI





9
9
�2
x 3 .
6
x 3
x 3
9
� x 3
 6 �12
x 3

hay P �12
x 3

. Dấu "=" xảy ra khi
x 3 =

9
�
x 3

�x  3  3
�x  6 �
2
x  36
x 3  9 � �
��
��
x0
� x  3  3 � x  0 �





Đối chiếu với điện ta thấy x  36 thỏa mãn điều kiện
Vậy Min P  12 � x=36

A

Câu 9. Cho biểu thức:

với x  0 ; x �1 .

� x
1 �� 1
2 �
x 1
B�


�: �
�
x và
� x  1 x  x �� x  1 x  1 �

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 .
b) Chứng minh rằng

B

x 1
x .

c) Tìm x nguyên để P  A : B đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
a) Ta thấy x  16 thỏa mãn điều kiện xác định
Thay x  16 vào biểu thức A , ta được:

A

Vậy khi x  16 thì giá trị của biểu thức là

b) Với x  0 ; x �1 . Ta có:

16  1 4  1 5


4
4
16

A

5
4.

� x
1 �� 1
2 �
B�


�: �
�
� x  1 x  x �� x  1 x  1 �
�
��
x
1
1
2
�

��


:

� x 1
x x  1 �� x  1
x 1 x 1
�
��
�
��
x
1
x 1
�
��


:

� x x 1
x x  1 �� x  1 x  1
�
��





















 
 x  1  x  1 :
x 1
x 1  2
:

x  x  1  x  1  x  1
x  x  1

14





�
�
�
�
2



x 1

�
�
x 1 �
�



x 1



x 1



x 1


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

x 1
1
:

x
x 1

x  1 x 1 x 1
�

1
x
x
x 1
B
x .
Vậy với x  0 ; x �1 thì
c) Với x  0 ; x �1 . Ta có:


P  A:B 

x 1 x 1
:

x
x

x 1

x
�

x
x 1 x  1







1
x 1

Với x nguyên; x  0 ; x �1 thì P đạt giá trị lớn nhất khi x  1 là số dương nhỏ
nhất � x là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện xác định � x  2 . Khi
đó:

1
 2 1
2 1

P

Vậy x  2 �Z thì biểu thức P  A : B đạt giá trị lớn nhất là P  2  1 .

Câu 10. a) Cho biểu thức:

A

b) Cho biểu thức:
biểu thức B .

x7
x với x  0 . Tính giá trị của biểu thức A khi x  16 .

B

x
2 x  1 2x  x  3


x 9
x 3
x 3
với x  0 ; x �9 . Rút gọn

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

S

1
A
B
.

Lời giải
a) Ta thấy x  16 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay vào biểu thức

A

Vậy x  16 thì
b) Với x  0 ; x �9 . Ta có:

B




A

x7
x  7 16  7 23
A


4 .
x ta được:
x
16

23
4 .

x
2 x  1 2x  x  3


x 9

x 3
x 3

 2 x  1 
 x  3   x  3  x  3 
x



x 3





x 3
x 3



 

x  3 x  2x  6 x  x  3  2x  x  3



x 3



x 3



15

2x  x  3
x 3



x 3




CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI





x 3 x
x 3



x 3



 

x

x 3

c) Với x  0 ; x �9 , ta có:

x 3



B

Vậy với x  0 ; x �9 thì

S





x 3





x

x 3

.

x
x 3
x 3 x 7
x x4
4


 1 x 
x
x
x
x

1
A
B

4
4
4
�2 � x �  4 � S  1  x 
�5
x
x
x

x

Theo bất đẳng thức AM-GM:
4
� x
�x4
x
"

"
Dấu
xảy ra
(thỏa mãn điều kiện xác định)
Vậy giá trị nhỏ nhất S  5 khi x  4

� x 1
x  1 8 x �� x  x  3
1 �
A�


:

��
�
x 1
x  1 x  1 �� x  1
x  1 �  x �0; x �1
�
Câu 11. Cho

với
.
a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A .
Lời giải
a) Điều kiện x �0; x �1
� x 1
x  1 8 x �� x  x  3
1 �
A�


:

��
�
x  1 x  1 �� x  1
x 1 �
� x 1
( với x �0, x �1 )



 

� x 1 2
A�

� x 1
�



x 1

2

x 1

�
8 x �� x  x  3
x 1 �

:�

�
x  1 �� x  1
x 1 �
�

A

x  2 x 1 x  2 x 1  8 x
x  x  3  x 1
:
x 1
x 1

A

4 x x  1
4 x
.

x  1 x  4 x  4

Vậy

A

4 x
x  4 với x �0; x �1

4 x
x4 x 4
A
1
 1
x

4
x

4
b) Ta có



x 2
x4



2

�1

( vì

Vậy giá trị lớn nhất của A  1 � x  2 � x  4 .
Câu 12. Cho hai biểu thức:
16

x  4  0;



x 2



2

�0

)


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

x 3
x 7
x  3 2 x 1
B


x  3 và
x 5 x 6 2 x
x  3 , với x �0 , x �4 , x �9
8
x
3 5
a) Tính giá trị của biểu thức A khi
b) Rút gọn biểu thức B
B
c) Tìm GTNN của A
Lời giải
A

a) Viết lại

x





� x

A



8 3 5
8

 62 5 
3 5
95



5 1

2





5 1

2

 5 1

x 3
5 1 3
54



 13  6 5
x 3
5  3 1
5 2

Vậy với

x

8
3  5 thì A  13  6 5

b) Với x �0 , x �4 , x �9 thì:

x 7
x  3 2 x 1 
B


x 5 x 6 2 x
x 3
x 7



x 3





 



x 2



x  3  2 x 1

x 2



x 3





x 2

x 3



x  7  x  9  2x  4 x  x  2







x 7





Vậy

B

A
c) Ta có

x 2

x2 x
x 2

B



x 3

x 3



 



x



x 2

x 2





x 3





x
x 3

x

x  3 với x �0 , x �4 , x �9

x
x 3
:

x 3 x 3

B
x


A
x 3
Vì



x
x 3
.

x 3 x 3

x
x 3

x 33
3
 1

x 3
x 3

x �0 � x  3 �3 � 

3
�1
x 3
17





x  3 2 x 1

x 2
x 3


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

3
�0
x 3

� 1

B
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 0 khi x  0

Câu 13. Cho hai biểu thức:
x  x  1

1
2 x
1


x  x x  1 x  x (với x  0 , x �1 ).
và
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 .
A

2





B

x 1

b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  A.B với x  1 .
Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  4 .
Điều kiện xác định: x  0 , x �1
x  4 (thỏa mãn điều kiện)

A

Thay x  4 vào A ta có:
Vậy A  5 khi x  4 .

4.  4  1
2.





4 1



2.5
5
2.1

b) Rút gọn biểu thức B.

B

1
2 x
1



x  x x 1 x  x

B

B

B

x





1

2 x



 

x 1





x 1

x  1  2 x. x 
x

x







x 1

2x  2



x 1





x 1



x



1



x 1



x 1



x 1



x 1



2  x  1

x  x  1



2
x

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  A.B với x  1 .
P  A.B 

x  x  1

2





x 1

.

2
x 1
2

 x 1

x
x 1
x 1

� x 1  0
�
� 2
0
�

Vì x  1 nên � x  1
Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có:
18





x 1 

2
2
x 1


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Dấu “=” xảy ra





2
x 1

x 1 .

2
 2 �2 2  2

۳ P
x 1

� x 1 

�



2
�2
x 1

x 1

2 22

2
x 1

� x 1 

�x  2 1
� x 1  2
��
��
x 1  2
� x 1   2
� x  1  2  0 (loai)



2

� x  3  2 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy MinP  2 2  2 � x  3  2 2 .
Câu 14. 1) Cho x  25 . Hãy tính giá trị của biểu thức

Q

x4
x  1 với x �0 .

5 x
3 x
6x


x 2
x  2 4  x với x �0; x �4 .
2) Rút gọn biểu thức
3) Tìm x để biểu thức M  P.Q đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
P

1) Giá trị x  25 thỏa mãn điều kiện x �0 � x  5 , thay vào biểu thức Q ta được:
Q

x  4 25  4 21 7




6 2.
x 1 5 1

Vậy khi x  25 thì

7
2.

P

5 x
3 x
6x


x 2
x 2 4x .

P

5 x
3 x
6x


x 2
x 2 x4

2) Với x �0; x �4 ta có:

 3  x   x  2 
 x  2  x  2  x  2  x  2 
5 x.  x  2    3  x   x  2   6x

 x  2  x  2




5 x.



Q

x 2





5x  10 x  3 x  6  x  2 x  6x



x 2



x 2



19





6x
x 2



x 2

5 x 6
x 2



x 2



.

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

M  P.Q 
3) Ta có:
vì

5 x 6



x 2



x 2

x �
0��
 x 0



.

x  4 5 x  6 5 x  5 1
1


5

x 1
x 1
x 1
x 1

.

1
1
1�5
�6
x 1
x 1
.

x 1 1

hay M �6 . Dấu "=" xảy ra khi x  0 (thoả mãn điều kiện).
Vậy max M  6 khi x  0 .

x 2
x 1
3 x
25 x
B


x  4 với x �0 ; x �4 .
x  2 và
x 2 2 x

Câu 15. Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị của biểu thức A khi x  25 .
2) Rút gọn biểu thức B .
3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M  A.B khi x �N , x  101 .
A

Lời giải
1) Với x  25 (thỏa mãn điều kiện xác định)
Thay x  25 vào biểu thức A ta có:
3
A
7 khi x  25 .
Vậy
2) Với x �0 ; x �4 ta có:

B
B
B

B

Vậy




x 1
3 x



x 2
x 2

x 1
3 x
25 x 


x4
x 2 2 x


x  2 


x  2 

x 1

x 2

3 x



x 2



x 2

4 x





x 2

B

x 2



x 2







x 2

x 2 



x 2

x  3 x  2  3x  6 x  2  5 x



25  2 3

25  2 7

A







 





x 2



4

x 2



x 2

4 x
x 2

8
x 2

4

2
3

20

M

10

3



x 2

4x  8 x

4 x
x  2 với x �0 ; x �4

2
3

x 2

25 x

3) Với x �0 ; x �4 ta có:
x 2 4 x
4 x
8
M  A.B 
.

 4
x 2 x 2
x 2
x 2
Có x �N ; 0 �x  101 nên 0 �x �100 � x  2 �12
8
� �
x 2

2 5 x





x 2




CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

10
Vậy M có giá trị lớn nhất là 3 khi x  100 .

Câu 16. Cho hai biểu thức:
� 2
x  5 � x 1
2 x 1
B


�
�:
A
x

9
x

3
x  3 và
�

� x  3 ,  x �0; x �1; x �9 
a) Tính giá trị biểu thức A khi x  49 .
b) Rút gọn biểu thức B .
1
M A
x 3.
c) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải

2 49  1 15 3


10
2.
49

3
x

49
a) Khi
suy ra
� 2
x  5 � x 1
B�

�:
� x  3 x  9 � x  3 ,  x �0; x �1; x �9 
b)
�2 x  3  x  5 �

x 3
�
�
�
� x 3
x  3 � x 1
�
�
x 1
1
1

�

x  3 x 1
x 3
1
2 x 1
1
M  A


x 3
x 3
x 3
c) Ta có:
A




 










2 x 3 6
2 x
6

 2
x 3
x 3
x 3
Với điều kiện x �0 :
0
M 0
Ta có: x �۳
Hay M �0 , dấu “  ” xảy ra khi và chỉ khi x  0


Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 0 khi x  0 .
Câu 17. Cho hai biểu thức:

x 2
x
1
1


Q
x4
x  3 với x �0 ; x �4 ; x �9 .
x 2
x  2 và
1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x  64 .
P

2) Chứng minh

P

x
x 2.

K  Q.  P  1
3) Với x ��, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
Lời giải
21


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

1) Tính giá trị của biểu thức Q khi x  64 .
ĐKXĐ: x �0 ; x �4 ; x �9
Thay x  64 (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức Q ta được

64  2 6

64  3 5 .

Q

Q

6
5.

Vậy khi x  64 thì
x
P
x 2 .
2) Chứng minh
Điều kiện: x �0 ; x �4 ; x �9 .
x
1
1
P


x4
x 2
x 2

x
1
1
x x 2 x 2




x 2
x 2
x 2
x 2
x 2
x 2









x2 x



Vậy

x





x2 

x
x 2.

x 2



x 2



P

x
x  2 (điều phải chứng minh).

x 2

 





x 2







K  Q.  P  1
3) Với x ��, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
x
�
0
x
�
9
x
�
4
ĐKXĐ:
;
;
K  Q.  P  1
Ta có
�
x  x 2
x 2 � x
x 2 x  x 2


.�
 1� x  2 .

.

x 3 � x 2 � x 3
x 2
x 3
x 2



+) Trường hợp 1:
+) Trường hợp 2:

0 �x  9
�
�
�x �4

thì

x 3 0



�

2

0
x 3
� K  0 .  1

x 9�
� x 10
x ���
Ta có:
.
x


10 � x  3 � 10  3  0

2
x 3

2

10  3

K

2

10  3

 2

K 6 2 10

1
2
K 6 2 10 với mọi x �0 ; x �4 ; x �9
Từ   và  
Đẳng thức xảy ra khi x  10
Vậy với x  10 thì giá trị lớn nhất của K là 6  2 10 .
Câu 18. Cho hai biểu thức

A

x 5
B
x  3 và
22

x 1 7 x  3

9  x với x  0; x �9
x 3

2
x 3 .


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  16
b) Rút gọn biểu thức B .
A

M
B đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm giá trị của x để biểu thức
Lời giải
x  0; x �9 Ta có: x  16 (thỏa mãn )
a) Điều kiện:
16  5
21
A

 21
1
16

3
x

16
A
Thay
vào ta được:
x

16
Vậy
thì giá trị của A bằng 21.

x 1 7 x  3

9  x với x  0; x �9

x

3
b) Rút gọn biểu thức
x 1
7 x 3
x 1 7 x  3 

B

x 3
x 3
x 3
9x
x 3
ID1-10
x 4 x 37 x 3
x 3 x
B

x 3
x 3
x 3
x 3
B





B

x





x 3















x
x 3
A
M
B đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm giá trị của x để biểu thức

A
x5
x 3 x 5
5
M 
.

 x
B
x 3
x
x
x với x  0; x �9



x 3





x 3 

5
0
x

0;
x

�
9
�
x

0
x
x

0
Với mọi
ta có:
và
5
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho 2 số dương x  0 và x ta được:
5
5
5
x �۳ 2 x.
M 2.
� x
� x  5(TM)
x
x
x
Dấu “=” xảy ra
Vậy M min  2 khi x  5.
� 1
1 � x 1
A �


�:
2
x

x
x

1
�
� ( x  1) (với x  0;x �1 )
Câu 19. Cho biểu thức:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A  9 x
Lời giải
a) Rút gọn biểu thức
�
� 1
1 � x 1
1
1 �( x  1)2
A �

�

.
�
�:
� x 1
x  1 �( x  1)2 �

x(
x

1
)
x

1
�x  x
�
�
23


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

A

x 1
x( x  1)

.

( x  1)2

x 1



x 1

x

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A  9 x

P  A 9 x 
Đặt

9x  x  1
x

x  t  0 � 9t2  (P  1)t  1  0 .

�  �0
�
t t 0
a.c

0
t

0
Do
nên phương trình có nghiệm
khi: �1 2
��
P �5
��
��P �7
�

�P  1

�
(P  1)2  36 �0
�
��
� � 1  P
0
�
9
�

x

Vậy giá trị lớn nhất của P  5 khi

Câu 20. Cho biểu thức

P

5

1
9

1 �
� 1
M�

�:

x 1�
�x  x



x 1



x 1

2

với x  0, x �1 .

a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của x để

M

1
3

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  M  9 x
Lời giải
a) Rút gọn M
1 �
� 1
M�


�:
x 1 �
�x  x
M

1 x
x.





x 1


.

M

x 1





x 1



x 1

2

với x  0, x �1 .

2

x 1 

x 1
x

1
3

b) Tìm giá trị của x để
1
M
3 với x  0, x �1 .

x 1 1

3 �3 x 3 x � 2 x 3
x
3
9
� x �x
2
4 (TM).
�

24


CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI

Vậy để

M

1
9
x
3 thì
4.

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  M  9 x
�1
�
x 1
x  1  9x
 1 �  9 x �

9 x 
P  M 9 x
x
x
�x
�
1

�
0
�
x

0
x
x

0
Vì
.
1
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương 9 x và x ta có:
1
 9 x �2
x

1
.9 x  2.3  6
x
.

�1
�
� 1  �  9 x ��1  6
�x
�
 P 5
ۣ

1
1
�
9 x
�x
x
� 9x  1
9 (TM).
Dấu “=” xảy ra
1
�x
9.
Vậy Max P  5
�
�
� 2 x
1  2 x �� 9 x  4
P�
1

 1�
�:
1
�
�
1

9x
x
�

3
x

1
3
3
x

1
�
��
�với x �0 và
9.
Câu 21. Cho biểu thức



a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính x khi P  x .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi

x

1
9.

Lời giải
1
x�
9 , ta có:

a) Với x �0 và

� 2 x
1 2 x
P�
1

� 3 x  1 1  9x

�
�� 9 x  4
�
�
:

1
�
�
�
��3 3 x  1
�





ID1-10

25

