Tài liệu Một số vấn đề về ước và bội pptx

Ước và bội là hai trong số những khái niệm cơ bản nhất của số học. Tuy nhiên sự cơ bản
luôn luôn có sự thú vị riêng của nó. Những người học số học luôn cần phải năm vững vấn
đề này, không chỉ vì sự ứng dụng rộng rãi của nó mà nó còn là nền tảng xây dựng nên
những vấn đề phức tạp và đa dạng hơn.
Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số khái niệm cơ bản.
A. Một số khái niệm cơ bản.
i) Ước số.
Một số nguyên
d
được gọi là ước số của một số nguyên
a
khi và chỉ khi tồn tại một số
nguyên
b
sao cho
abd
=
.
ii)Ước số chung.
Một số nguyên dương d được gọi là ước số chung của hai số nguyên dương a và b khi và
chỉ khi d là ước số của a và d cũng là ước số của b.
Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung của
n
số nguyên dương
12
,, ,
n
aaa

iii)Ước chung lớn nhất.
Một tính chất cơ bản của ước mà các bạn cũng có thể nhận ra là: nếu d là ước của a thì
d
a
≤
, do đó tập hợp các ước số của một số là hữu hạn. Trong một tập hữu hạn thì luôn
tồn tại phần tử bé nhất, nhỏ nhất. Do đó khái niệm về ước chung lớn nhất được hình
thành( ước chung nhỏ nhất là đối của ước chung lớn nhất , dó đó ta chỉ cần xét ước chung
lớn nhất là đủ).
Số nguyên dương d được gọi là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a và b nếu d
là ước số chung của a và b và với mọi số nguyên dương
'
d
là ước chung của a và b thì
'
dd
≥
.
Kí hiệu:
(,).
dab
=

Tương tự ta cũng có định nghĩa uớc số chung lớn nhất của
n
số nguyên dương
12
,, ,
n
aaa

, kí hiệu
(
)
12
,, ,
n
aaa

iv)Nguyên tố cùng nhau.
Hai số nguyên
,
ab
được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi
(
)
,1.
ab
=

Tương tự ta định nghĩa các số
12
,, ,
n
aaa
được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ
khi
(
)
12
,, ,1.

n
aaa
=

v)Bội số.
Một số nguyên k được gọi là bội số của một số nguyên a khi và chỉ khi tồn tại một số
nguyên
b
sao cho
.
kab
=

vi)Bội số chung
Một số nguyên dương k được gọi là bội chung của hai số nguyên dương
a
và
b
nếu k là
bội số của a và k cũng là bội số của b.
Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung của
n
số nguyên dương
12
,, ,
n
aaa

vii)Bội chung nhỏ nhất.
Số nguyên k được gọi là bội chung lớn nhất của hai số nguyên a và b nếu k là bội số

chung của a và b và với mọi số nguyên
'
k
là bội số chung của a và b thì
'
kk
≤
.
Kí hiệu:
[
]
,.
qab
=
Tương tự ta cũng có định nghĩa bội số chung nhỏ nhất của
n
số nguyên dương
12
,, ,
n
aaa
, kí hiệu
[
]
12
,, ,
n
aaa

B. Một số tính chất của ước và bội.
Cho
,,,
abcd
là các số nguyên dương,khi đó.

i)
(,)(,)
acbccab
=
.
ii)Cho
c
là ước chung dương của
a
và
b
. Khi đó:
(,)
,.
abab
ccc

=



Từ đây suy ra
(,),1.
ab

dab
dd

=⇔=



iii)Tồn tại các số nguyên
,
xy
sao cho
(
)
,.
abaxby
=+


iv)
(,)1
ab
=
và
acb

thì
.
cb


v)
(,)1
ab
=
,
(,)1
ac
=
thì
(,)1.
abc
=

vi)
(,,)((,),)(,(,))((,),)
abcabcabcacb
===

vii)
[]
()
,
,
ab
ab
ab
= .
viii)Cho
k
là bội số chung của a và b.

[]
,,1.
kk
kab
ab

=⇔=



ix)
[
]
[
]
,,
cacbcab
=
x)
[
]
[
]
,,,,
abcabc

=


C. Phép chia Euclid.
Trong các phần trên , chúng t
Ta đã thông qua các khái niệm và uớc chung và và một số tính chất về ước số. Thế nhưng
chúng ta vẫn chưa biết cách làm để tìm được ước số chung của ước số. Qua phần này
chúng ta sẽ trả lời câu hỏi thông qua việc tìm hiểu phép chia Euclid.
Để đơn giản chúng ta chỉ đi tìm ước chung của các số nguyên dương, việc các số nguyên
âm là hòan tòan tương tự.Trước hết chúng ta sẽ xem xét ý tưởng của phương pháp này.
Euclid đã bắt đầu với nhận xét sau:
(,)(,)(,),(*).
abbabbabdab
=−=−=≠
. Chứng
minh nhận xét này không khó,xin được dành cho bạn đọc. Giả sử
ab
≥
,khi đó từ đẳng
thức
(,)(,)
ababb
=−
ta đã đi về bài toán tìm ước số chung của hai số nguyên dương nhỏ
hơn là
,
abb
−
. Tiếp tục là bài tóan với hai số nguyên dương nhỏ hơn nữa là
2,
abb
−

(trong trường hợp
abb
−>
) hay là
(,2)
abba
−−
( trong trường hợp
abb
−<
) . Nếu ta
tiếp tục làm như vậy thì các số nguyên dương cần tìm ước số chung sẽ nhỏ đi dần dần,
điều này có thể kéo dài vô tận và các số nguyên dương sẽ nhỏ dần vô hạn chăng ? Câu trả
lời là không vì ít ra các số nguyên dương cũng bị chặn dưới bởi 1. Như vậy tại sao quá
trình này lại không thể kéo dài vô hạn được, chỉ có thể là do
(*)
không đúng nữa, tức là
đến một lúc nào đó ta thu được hai số nguyên dương bằng nhau. Nghía là ta sẽ có:
(,)(,).
abccd
==
Như vậy
cd
=
. Từ đây ta có thuật tóan sau để tìm ước chung lớn nhất
của hai số nguyên
a
và
b
.

Cho
0.
ab
>>

Nếu
abq
=
thì
(
)
,.
abb
=

Nếu
(0)
abqrr
=+≠
thì
(,)(,)
abbr
=
. Phép chia Euclid trong trường hợp này được thực
hiện như sau:

11
112112
12231223
211211

11
(,)(,)
(,)(,)
(,)(,)

(,)(,)
(,)
nnnnnnn
nnnnnn
abqrabbr
brqrbrrr
rrqrrrrr
rrqrrrr
rrqrrr
−−−−−−
−−
=+⇒=
=+⇒=
=+⇒=
=⇒=
=⇒=

Từ đây suy ra
(
)
11223211
(,)(,)(,)(,) ,(,)
nnnnn
abbrrrrrrrrrr
−−−

=======
.
Hay nói cách khác
(,)
ab
là số dư cuối cùng khác
0
trong phép chia Euclid.
Từ phép chia Euclid, ta suy ra được tính iii), một tính chất đẹp và quan trọng trong lý
thuyết số.
Ta có thể dễ dàng chứng minh tính chất trên bằng phương pháp quy nạp lùi theo n trong
phép chia Euclid.
Thật vậy, nếu
abq
=
thì tính chất iii) là hiển nhiên. Nếu
ab
/

thì ta đã có đẳng thức sau:

1
0.1.
nnn
rrr
−
=+.
Giả sử ta đã có:
,11
().

nkkkk
rrrxryr
++
==+ Khi đó:

1111
11
()
()(,)
kkkkkkkkk
kkknkk
rrqryryqxrxryr
yryqxrrrr
−+−+
−−
=+⇒=−++
⇒−−==

Như vậy theo nguyên lý qui nạp lùi, đối với các số
(,)
ab
cũng tồn tại các số nguyên
,
xy

sao cho
(
)
,
n

xaybrab
+== .
Sau khi đã tìm được ước chung lớn nhất thì việc tìm bội chung nhỏ nhất là đơn giản, ta có
thể dung công thức vii)
[]
()
,
,
ab
ab
ab
=
Ta hãy xét qua một số ví dụ nhé:
Bài toán:
a)Hãy tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của
34
và
56

b)Hãy tìm các ước chung lớn nhất có thể có của
21
k
−
và
94
k
+

(
)

kN
∈
Câu a) chỉ là câu áp dụng phép chia Euclid, ta hãy giải quyết nhanh nào:

(34,56)(22,34)(12,22)(10,12)(2,10)2.
=====

Suy ra
[]
34.561904
34,56952.
(34,56)2
===

Câu b) cũng áp dụng phép chia Euclid, tuy nhiên hơi phức tạp một chút vì có chứa ẩn số
k
. Các bạn cũng thực hiện phép chia một cách bình thường, giống như là chia đa thức
vậy:

(21,94)(944(21),21)
(8,21)(212(8),8)
1(178)
(8,17)(8,17)
17(178)
kkkkk
kkkkk
km
kk
km
−+=+−−−

=+−=−−++
≠−

=+−=+=

=−

.
Vậy
(21,94)17
kk
−+=
khi
178.
km
=−

Và
(21,94)1
kk
−+=
khi
178.
km
≠−

Trong bài tóan trên ta còn có thể giải theo cách khác.
Đặt
(21,94)
dkk

=−+
.Ta có:
2(94)9(21)
1
17
17
kkd
d
d
d
+−−
=

⇒⇒

=




Lời giải trên thật ngắn gọn.tuy nhiên nếu làm như vậy thì ta sẽ xác định cụ thể các trường
hợp mà ở đó
1
d
=
và
17
d
=
như thế nào. Trong trường hợp này, bạn phải giải phương

trình nghiệm nguyên sau. Tìm
k
sao cho:
2117,,
klklZ
−=∈
(dạng
210(mod17)
k
−≡
)
( Xem thêm trong phần phương trình nghiệm nguyên) và sẽ đi được kết quả tương tự
như đã nói trong cách 1.
Ta rút ra bài tóan tổng quát sau. Cho
acbdp
−=
là một số nguyên tố. Tìm tất cả các giá
trị có thể có của:
(,)
akcbkd
++
.
Bằng một ý tưởng cách 2. Ta đặt
(,)
makcbkd
=++
. Ta có:
1
()()
m

abkdbakcadbcpm
mp
=

+−+=−=⇒

=

 . Cả hai trường hợp đều có thể xảy ra bởi
lẽ phương trình
0(mod)
akcp
+≡
cho ta nghiệm duy nhất theo
mod
p
. Trong trường
hợp này
(,)
akcbkdp
++=
, trong các trường hợp còn lại ta đều thu được:
(,)1.
akcbkd
++=

Sau đây sẽ là phần bài tập áp dụng dành cho bạn đọc:
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị có thể của:

(65,83),.

kkkN
++∈

Bài 2: Cho
(1)
21,
2
nn
AnB
+
=+=
. Tìm
(,)
AB

D.Ước chung của (a
m
-1,a
n
-1)
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu về ước chung lớn nhất của
1
m
a
−
và
1
n
a
−

trong
đó
2*
,(1)0,,
aZaamnN
∈−≠∈ .
Đặt
(,)
mnd
=
,ta dễ dàng nhận ra rằng:
11,11
mdnd
aaaa
−−−−

Thực vậy, đặt
mdk
=
ta có:
(
)
11()111
mkddkdd
aaaaAa
−=−=−=−−

trong đó:
12
1,.

kkd
Abbbba
−−
=++++=
Hòan tòan tương tự cho
1
n
a
−
. Như vậy
(
)
1,1
mn
aaA
−−=
có dạng
(
)
1
d
Ba
−
. Việc còn
lại là tìm
B
. Ta hãy thử tìm
B
trong các trường hợp cụ thể xem sao:
a 2 3 4

m 2 3 4
n 4 5 6
A 3 2 15
B 1 1 1
Như vậy ta có thể dự đoán, ta mạnh dạn đưa ra giả thuyết
(
)
(,)
1,11.
mnmn
aaAa
−−==−

Ta sẽ cần chứng minh
(
)
,
1
mn
aA
−

và từ đó suy ra
(
)
m,n
a1
A
−=
do

A
đã chia hết cho
(
)
m,n
a1.
−
Ta hãy tạo sự liên kết
(,)
mn
với
,
mn
bằng kết quả tồn tại các số nguyên
x,y

sao cho
(,)
xmynmn
+=
, hay phát biểu ở một dạng khác, tồn tại các số nguyên không âm
,
xy
sao cho
(,)
xmynmn
−=
hay
(,)
xmynmn

−+=
. Ta chỉ xét trường hợp
(,)
xmynmn
−=
, trường hợp kia là hòan tòan tương tự.
()()
(1)
(1)(1)11
ynxmynxmyn
xmynmn
aaaa
aaaCaDA
−
−=−
=−−−=−−−


Mà
(
)
(
)
yn
a,11,1.
nyn
aaA
−=⇒=
Do đó theo tính chất iv) ta suy ra
(,)

11
xmynmn
aaA
−
−=−

. Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
Tóm lại ta thu được kết luận sau:
(
)
(
)
,
1,11
mn
mn
aaa
−−=−
. Đây là một kết quả quan
trọng, các bạn cũng có thể thấy “dáng vẻ” của nó khá giống với định lý Fertmat, Euler
phải không nào. J
Sau đây là phần bài tập dành cho bạn đọc:
Bài 1: Cho
1;,.
mnmnN
≤<∈

a) Chứng minh rằng:
22
(21,21)1.

nm
++=

b) Tìm
(
)
21,21
mn
−−

Bài 2: Cho
(,,)
amn
là các số tự nhiên lẻ.Chứng minh rằng:
(
)
(
)
,
1,11
mn
mn
aaa
++=+
.
Bài 3: Cho là
(
)
,
ab

các số nguyên dương thỏa
(
)
21,211.
ab
++=
Tìm các giá trị có thể
của:
(
)
211211
221,221
aabb++++
++++
.

Kết thúc bài viết sẽ là phần bài tập tổng hợp, một số bài toán là các kết quả đáng nhớ mà
các bạn nên lưu tâm.
E. Bài tập tổng hợp.
Bài 1:Chứng minh rằng:

1
,1(,1)
1
m
a
ama
a

−

−=−

−

trong đó
,1.
am
>

Bài 2:Nếu
,
ab
là các số nguyên dương và
ab
>
thì:

1
,((,),)
nn
n
ab
abnabab
ab
−

−
−=−

−



Bài 3: Chứng minh rằng:

[
]
[
]
1,2,3, ,21,2, ,2
nnnn
=++
Bài 4: Cho
p
là một số nguyên tố. Tìm
(
)
2
22,21
n
n
−−

Bài 5:Chứng minh rằng dãy số
a)
(1)
,
2
n
nn
AnN

+
=∈
chứa những dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
b)
21
n
n
M
=−
chứa dãy vô hạn những số nguyên tố cùng nhau.
Dãy
n
M
được gọi là dãy số
ecxen.
M


Mục chuyên đề về ước số và bội số xin được kết thúc ở đây. Chúc các bạn luôn đạt được
kết quả tốt nhất trong học tập. J
Tài liệu tham khảo
• 351 Bài toán số học chọn lọc Nguyễn Đức Tấn
Đặng Anh Tuấn-Trần Chí Hiếu.
• Bài giảng số học Đặng Hùng Thắng.