Bài 2 chương II hình học 10

TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

LỚP

10
HÌNH HỌC 10
Chương 2: TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

Bài 2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
1

ĐỊNH NGHĨA

2

CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG

3

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG

4

ỨNG DỤNG


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

Cơng sinh ra bởi một lực có độ lớn F tác dụng lên một
 s
vật di chuyển một đoạn từ điểm A đến
B,
 AB điểm
. ABcông
.cos  thức a
được tính Fbởi
, với
là góc giữa
giá của lực và đường thẳng mà vật chuyển động



1) Hãy nêu các đại lượng vectơ trong công thức trên?
2) Viết lại công thức trên theo các vectơ đã chỉ ra?
3) Hãy biểu diễn
theo góc giữa hai vectơ và viết lại công
thức trên?


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1) Các đại lượng vectơ:
2) Cơng thức trên được viết theo các vectơ:
3) Ta có viết lại cơng thức

Tích vơ hướng của hai vectơ và


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. Định nghĩa

Cho hai vectơ khác vectơ . Tích vơ hướng của và là một
số, kí hiệu , được xác định bởi cơng thức sau:

Quy ước:
Nếu ít nhất một trong hai vectơ

và bằng thì .


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. Định nghĩa
Chú ý:
* Với và khác ta có .
* Khi tích vơ hướng được kí hiệu là và số này được gọi là
bình phương vơ hướng của vectơ . Ta có
* Liên hệ giữa dấu tích vơ hướng và góc giữa hai vectơ
+Nếu thì .
+Nếu thì .


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. Định nghĩa

Ví dụ 1

Cho tam giác đều có cạnh bằng và có chiều cao .
Tính các tích vô hướng sau:, , .
Giải


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

2. Các tính chất của tích vơ hướng

Với ba véc tơ bất kì và mọi số thực ta ln có:
(tính chất giao hốn);
(tính chất phân phối);
;
.
Nhận
xét:
+
+.


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai vectơ
a) Biểu diễn vectơ và theo hai vectơ
b) Tính tích vơ hướng

a
b)

và ?


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Trên mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ và .
Khi đó tích vơ hướng là:

Nhận xét:
Hai vectơ đều khác vectơ vng góc với nhau
khi và chỉ khi: .


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng

Ví dụ 2

Cho tam giác đều có cạnh .
a. Tính các tích vơ hướng sau:, .
b. Chứng tỏ tam giác vng tại .

Giải

a. Ta có:

b. Vì nên tam giác vng tại


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

4. ỨNG DỤNG
Độ dài của
a)
vectơ
Cơng thức
Độ dài của vectơ được tính theo cơng thức:

Chứng minh
Ta có:


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

4. ỨNG DỤNG
Độ dài của
a)
vectơ
Ví dụ 3

Tính độ dài của các vectơ sau:
a)
b)

Giải
a)
b)


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

4. ỨNG DỤNG
Độ dài của
a)
vectơ
Ví dụ

4 mặt phẳng tọa độ , cho hai vectơ và .
Trong
Tìm để và có độ dài bằng nhau.

A

B

Giải
;
Ta có:

C
C

D


TỐN

THPT

4. ỨNG DỤNG
Góc giữa
b)
vectơ
Cơng thức

HÌNH HỌC 10

hai

N và khác thì ta có:


TỐN

THPT

4. ỨNG DỤNG
Góc giữa
b)
vectơ
Ví dụ 5

HÌNH HỌC 10

hai

C, . Tính góc giữa hai vectơ và

Giải


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

4. ỨNG DỤNG
Độ dài của
a)
vectơ
Ví dụ
6
Trong
mặt phẳng tọa độ , cho tam giác có , , .
Tính số đo góc của tam giác đã cho.

A
Giải

B

C

D
D


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

4. ỨNG DỤNG
c) Khoảng cách
điểm

Cơng thức

giữa

hai

Khoảng cách giữa hai điểm và được tính theo cơng thức:

Chứng minh

Ta có:
nên


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

4. ỨNG DỤNG
c) Khoảng cách giữa hai
điểm
Ví dụ
7
Trong mặt phẳng tọa độ , tính khoảng cách giữa hai điểm , .

A

B

Giải

C

D
D


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

4. ỨNG DỤNG
c) Khoảng cách giữa hai
điểm
Ví dụ 8 Trong mặt phẳng , cho ba điểm , , .

a. Chứng minh tam giác vng.
b. Tính diện tích tam giác .
Giải

Ta có:
a.
b.
(đvdt)


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

+ Tích vơ hướng: .
+ Với và khác ta có .
+ Bình phương vơ hướng bằng bình phương độ dài:
+ Cho và ta có
+ Độ dài của vectơ

là

+ Góc giữa hai
vectơ:
+ Độ dài đoạn thẳng:


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

LUYỆN TẬP
1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1/Tr45
Cho tam giác vng cân có . Tính các tích vơ hướng và

Giải

Ta có


gược lại, nếu ABCD

TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 3/45

Cho nửa đường trịn tâm có đường kính . Gọi là
hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung và cắt
nhau tại .
a) Chứng minh . .

và . .

b) Hãy dùng kết quả câu a để tính .
Giải
a) Ta có .

theo

Vì (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên

đó đó

Tương tự


gược lại, nếu ABCD

TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 3/45

Cho nửa đường trịn tâm có đường kính . Gọi là
hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung và cắt
nhau tại .
a) Chứng minh . .

và . .

b) Hãy dùng kết quả câu a để tính .
Giải

b)

theo


gược lại, nếu ABCD

TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 4/45

Trong mặt phẳng cho hai điểm

a) Tìm tọa độ điểm triên trục sao cho .
b) Tính chu vi tam giác .
c) Chứng tỏ vng góc từ đó tính diện tích tam giác

Giải

a) Do ⇒

Suy ra


TỐN

THPT

HÌNH HỌC 10

1. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA

Bài 4/45

Trong mặt phẳng cho hai điểm

a) Tìm tọa độ điểm triên trục sao cho .
b) Tính chu vi tam giác .
c) Chứng tỏ vng góc từ đó tính diện tích tam giác

Giải

b)

;
;

là