Bài tập lớn Chủ đề Phương trình đường tròn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ
KHOA TOÁN

TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN
TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
MÔN HỌC: ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TỐN

Sinh viên thực hiện: Trần Thị Bích Thủy
Mã sinh viên: 12S1011155
Lớp: Toán 4T

Huế, tháng 4 năm 2017


TỪ CÂU HỎI TRUYỀN THỐNG ĐẾN TRẮC NGHIỆM
KHÁCH QUAN
CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN
Bài tốn:
,
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho hai đường tròn ( )
( )
cùng đi qua điểm (
). Viết phương trình đường thẳng qua
và cắt hai đường tròn ( ) và ( ) lần lượt tại
sao cho
.
Lời giải
Cách 1:
Đường trịn ( ) có tâm
, suy ra:

(

( ) (

)

là đường thẳng cần tìm và ⃗

Gọi

Đường thẳng

Vì
Ta có:
( )

(

( )

đi qua điểm

(

)

nên (
(

(

)

(

)

)

[

(

; đường trịn ( ) có tâm

), bán kính

)

)

[

(

( ) (

)

(

)

) là vectơ chỉ phương của đường thẳng

(

) nên phương trình tham số của
{

(

).

(

)

(

)

có dạng:

), bán kính


)

(

Suy ra:

Theo đề bài, ta có:

(

)

(

)

[

Với

hay ( )
Với

hay ( )

Nhận xét:

(

(

)

ta chọn ⃗

(

(

)

(

)

(

)

(

)

[
(

)

, ta chọn ⃗

(

)
)

(

(

)

]

), khi đó phương trình của

.

( ) {

(

) khi đó phương trình của

.

)

( ) {

là:

là:

Bài toán này là một tổng hợp nhiều các kiến thức và kỹ năng liên quan đến đường thẳng
và đường trịn. Việc cơ bản học sinh phải làm được đó là phải đọc được các dữ kiện cần thiết khi
cho biết phương trình của hai đường trịn và mơ tả bài tốn bằng hình vẽ.
Tiếp theo, học sinh phải biết cách viết phương trình của một đường thẳng và biết cách
kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng hay khơng. Bên cạnh đó, học sinh cịn phải biết vận
dụng cơng thức tính khoảng cách giữa hai điểm vào bài tốn này.
Cuối cùng, theo yêu cầu của đề bài, học sinh sử dụng các kỹ thuật tính tốn để đưa ra đáp
án cho bài tốn này.
Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng bài toán 1 đang cố gắng để làm nhiều thứ
cùng một lúc. Tuy nhiên, nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu, thì bài tốn 1 khơng thể cho ta
biết điều gì về khả năng của các em về các khía cạnh khác của câu hỏi, chẳng hạn, các em có thể
nêu được phương trình tham số của một đường thẳng và tìm được các giao điểm
của đường
thẳng với đường trịn hay khơng… Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) cho chúng ta cơ hội để tìm
ra những phần nào của bài tốn mà học sinh có thể trả lời được.
Với phương trình của đường trịn như ở bài tốn trên, một câu hỏi có thể được sử dụng để
kiểm tra kiến thức của học sinh như sau:
Câu 1: Cho đường tròn ( )
( ) lần lượt là:
A) (

C) (

)

)

√

√

Phân tích các phương án:

. Tâm và bán kính
B) (

D) (

)

)

của đường trịn

√

√

Ở câu này, nếu học sinh nắm vững kiến thức về phương trình đường trịn và cơng thức tính bán
kính , thì học sinh sẽ chọn nhanh đáp án đúng là C).
Ở đáp án A), học sinh quên cách xác định tâm và nhớ sai công thức tính bán kính của đường
trịn, ở đây, học sinh tính
.
√

Đối với đáp án B), học sinh xác định được tâm nhưng sử dụng cơng thức tính bán kính bị sai như
ở trên.
Đối với đáp án D) thì ngược lại, học sinh quên cách xác định tâm nhưng tính đúng bán kính của

đường trịn.
Bước thứ hai của bài tốn là khả năng gọi ra được phương trình tham số của đường thẳng
và biết cách kiểm tra một điểm có thuộc đường thẳng không. Sau đây là một số câu trắc nghiệm
giúp kiểm tra các kỹ năng này.


Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ
đường thẳng đi qua hai điểm

, cho điểm
là:

(

) và điểm

(

). Phương trình của

B) {

A) {

C) {

D) {

Phân tích các phương án:

Ở câu này, nếu học sinh đã thành thạo việc viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm,
thì học sinh sẽ tính nhanh vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và chọn đáp án đúng là B).
Ở đáp án A), học sinh tính tốn cẩu thả nên bị sai tọa độ VTCP.

Đối với đáp án C), học sinh bị hỏng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng, ở đây,
học sinh để sai vị trí tọa độ của điểm và tọa độ VTCP trong phương trình.
Đối với đáp án D), học sinh cẩu thả nên chọn sai.
Câu 3: Cho đường thẳng

có PTTS sau
{

Trong các điểm sau, điểm nào khơng thuộc đường thẳng ?
A)

(

)

B)

Phân tích các phương án:

(

)

C) (

)

D) (

)

Ở câu này, học sinh nào hiểu được ứng với mỗi t trong phương trình là một điểm duy nhất, thì
em đó sẽ nhanh chóng chọn đáp án đúng ở đây là A).
Đáp án B), điểm

(

Đáp án C), điểm (

Đáp án D), điểm (

) ứng với

) ứng với

) ứng với

.
.
.

Bước thứ ba là kiểm tra kỹ năng xác định giao điểm của đường thẳng với đường tròn.
Một số câu hỏi phù hợp để kiểm tra kỹ năng này của học sinh như sau:
Câu 4: Cho đường tròn ( )
nào sau đây là đúng:
I. ( ) có tâm là (

) và bán kính là

và đường thẳng
;

. Mệnh đề


II. Khoảng cách từ tâm của ( ) đến đường thẳng
III.
cắt ( ) tại hai điểm
có
√ ;

A) Chỉ I

B) Chỉ II

bằng √ ;

C) I và III

D) I và II

Phân tích các phương án:
Ở câu hỏi này, học sinh có thể nhanh chóng thấy mệnh đề I là đúng. Đối với mệnh đề II và III,
học sinh phải nhận ra được cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng là một
cơng cụ hỗ trợ thích hợp. Từ đó, sử dụng các kỹ thuật tính tốn, học sinh sẽ chọn được đáp án
đúng là C).

Đối với đáp án B), học sinh tính cẩu thả hoặc do qn cơng thức.
Đối với đáp án D), học sinh xác định được tâm và bán kính của đường trịn, nhưng cịn gặp khó
khăn trong việc vận dụng vào các bài tập nâng cao.
Câu 5: Cho đường tròn ( ) (
của điểm
( ) sao cho (
A)

(

)

B)

Phân tích các phương án:

(

)

)
(
)
và đường thẳng
) đạt giá trị lớn nhất là:
C)

(

√ )

. Tọa độ
D) (

)

√

Câu hỏi này thuộc mức độ khả năng bậc cao, nên để giải bài tập này, học sinh cần có những suy
luận hợp lý, một số kỹ thuật để tính tốn và đưa ra đáp án đúng là B).
Đối với đáp án A), điểm

trong trường hợp này có (

) đạt giá trị nhỏ nhất.

Các đáp án C) và D) nhằm gây sự chú ý cho một số học sinh không giải được, do đó, các em có
thể lựa chọn các đáp án này.
Ngồi ra, ở bài tốn này, ta có thể xây dựng thêm câu TNKQ để kiểm tra học sinh về kỹ
năng tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ. Câu hỏi như sau:
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ
độ điểm
A)

thuộc

(

√ là:

sao cho

)

B)

Phân tích các phương án:
Câu hỏi này có hai điểm
đúng phải là

, cho đường thẳng

(

yêu cầu của bài.

(

)

và điểm

C)

(

)

D)

(

). Tọa
(

)

thỏa mãn. Tuy nhiên, chỉ có một đáp án đúng là A). Đáp án B) nếu

) Điểm

ở đáp án D) cũng thuộc đường thẳng

nhưng không thỏa mãn


Cách 2:

là đường thẳng cần tìm.

Gọi

Đường trịn ( ) có tâm
, suy ra:

(

( ) (

Trường hợp 1: Hai điểm

Khi đó, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Gọi (

Nếu (

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Suy ra

) có tâm

(

( ) (
Vì

)

(

( ) (

)

nằm cùng phía với điểm
là ảnh của

)

)

( ) và

(

) và bán kính là

qua phép vị tự tâm

.

( ) nên

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

)
( )

( ) nên suy ra

là giao điểm khác

Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của ( ) và (
(

), bán kính

, tỉ số 2.

, tỉ số 2. Vì

thì

(

)

.

) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự tâm

Hơn nữa, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(

; đường trịn ( ) có tâm

), bán kính

)

hay

(

.

)

)

của ( ) và ( ).

(

).


Trường hợp 2: Hai điểm
Khi đó, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Suy ra

Nếu (

) có tâm

(

Hơn nữa, ta có ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Vì

là ảnh của

.

qua phép vị tự tâm

) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự tâm

Gọi (
( ).

(

nằm cùng phía với điểm

(

) (

(

)

)

( ) và

) và bán kính là

, tỉ số

2. Vì

thì

2.
( ) nên

.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

)
(

)

(

) nên suy ra

là giao điểm khác

Đường thẳng cần tìm chính là trục đẳng phương của ( ) và (
(

, tỉ số

)

hay

(

.

)

)

của ( ) và (

).

Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu đề bài là:

Nhận xét:
Khác với cách tiếp cận bài toán theo cách 1, ở đây, bài tốn được nhìn nhận theo khía
cạnh các phép biến hình, mà cụ thể là phép vị tự tâm với tỉ số vị tự .
Có thể học sinh một số trường không được giới thiệu về khái niệm trục đẳng phương.
Tuy nhiên, nếu học sinh đã nhìn nhận được bài tốn theo hướng đi này, thì các em vẫn có thể suy
ra được phương trình của đường thẳng cần tìm mà không cần biết đến khái niệm này.
Tương tự như cách 1, việc cơ bản học sinh phải làm được đó là phải đọc được các dữ
kiện cần thiết khi cho biết phương trình của hai đường trịn, cụ thể là xác định được tâm, bán
kính và mơ tả bài tốn bằng hình vẽ. Từ đó, học sinh nhận thấy được có hai trường hợp như trên.
Tiếp theo, với giả thiết
, ứng với mỗi trường hợp, học sinh phải đưa được về
dạng biểu thức vectơ . Để nhìn nhận được bài tốn này khía cạnh phép vị tự, học sinh phải hiểu


được thế nào là phép vị tự tâm
cơ bản.

, tỉ số , một số tính chất của nó và đã thực hành một số bài tập

Cuối cùng, một kỹ năng nữa mà học sinh phải có đó là xác định được tọa độ giao điểm
của hai đường trịn.
Được phân tích theo cách này, ta thấy rõ ràng bài toán đang cố gắng để làm nhiều thứ

cùng một lúc. Tuy nhiên, nếu học sinh thất bại ngay ở bước đầu, thì bài tốn khơng thể cho ta
biết được nhận thức của học sinh như thế nào về các phép biến hình, đặc biệt là phép vị tự. Trắc
nghiệm khách quan (TNKQ) cho chúng ta cơ hội để tìm ra những phần nào của bài tốn mà học
sinh có thể trả lời được.
Việc xây dựng các câu hỏi để kiểm tra kiến thức của học sinh về phương trình đường trịn
đã ở trên.
Để kiểm tra kiến thức của học sinh về các phép biến hình, ta có thể sử dụng một số câu
hỏi sau:
Câu 1: Trong các phép biến hình sau, phép nào khơng phải là phép dời hình?
A) Phép chiếu vng góc lên một đường thẳng;
B) Phép đồng nhất;
C) Phép vị tự tỉ số -1;
D) Phép đối xứng trục.
Phân tích các phương án:
Phép chiếu vng góc lên một đường thẳng khơng phải là phép dời hình. Chọn A).
Câu 2: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
A) Có một phép tịnh tiến biến mọi điểm thành chính nó;
B) Có một phép đối xứng trục biến mọi điểm thành chính nó;
C) Có một phép quay biến mọi điểm thành chính nó;
D) Có một phép vị tự biến mọi điểm thành chính nó.
Phân tích các phương án:
A), C) và D) đúng. Chọn B).


Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đường tròn ( ) (
)
Phương trình của đường trịn ( ) là ảnh của đường tròn ( ) qua phép vị tự
A)

B)

)

D)

và điểm
(
) là:

(

).

Phân tích các phương án:
Ở câu hỏi này, nếu học sinh hiểu được định nghĩa phép vị tự tâm tỉ số , bằng việc xác định
tâm và bán kính của ( ), học sinh nhanh chóng chọn đáp án đúng là A).
Đối với đáp án B), học sinh hiểu được định nghĩa phép vị tự
của đường tròn ( ), cụ thể tâm (
).

(

Đối với đáp án C), học sinh chưa hiểu được định nghĩa phép vị tự
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗
Tương tự đối với đáp án D),

(

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

)

nhưng xác định sai tọa độ tâm

(

),

cụ thể,

(

)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Ngồi ra, học sinh cịn phải biết xác định tọa độ giao điểm của hai đường tròn. Câu hỏi
phù hợp để kiểm tra kỹ năng này là:
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ
( )

A)

(

)

B)

Phân tích các phương án:

(

)

cho các đường tròn ( )
. Tọa độ giao điểm của ( ) và ( ) là:
C)

(

)

D)

(

và
)

Ở câu hỏi này, học sinh chỉ cần hiểu để đưa bài toán về giải hệ hai phương trình hai ẩn và sử
dụng phương pháp đại số. Từ đó, chọn được đáp án đúng là A).
Đối với các đáp án B), C), D), học sinh có thể chưa hiểu cách để xác định tọa độ giao điểm của
hai đường tròn hoặc do giải cẩu thả dẫn đến sai lầm.
- HẾT-