Chuyên đề phương trình đường tròn OXY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (583.37 KB, 25 trang )
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
M
0
'
R
I
Chuyờn
:
PHNG TR
èNH NG TRềN
I- Lí THUY
T
:
1. Phng trỡnh ng trũn:
Dng 1:
Ph
ng trỡnh
ng
trũn
C
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
0R !
:
2 2
2
x a y b R
D
ng
2:
Ph
ng tr
ỡnh t
ng
qu
ỏt:
2 2
2 2 0x y ax by c
(*)
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
2 2
R a b c
Lu ý:
i
u
ki
n
(*) l ph
ng trỡnh c
a
m
t
ng
trũn l:
2 2
0a b c !
THUT TON
L
p phng trỡnh ng trũn
Bc 1
: Xỏc
nh
tõm
( ; )I a b
c
a
C
.
Bc 2:
Xỏc
nh
bỏn kớnh
0
R !
.
Kt lun:
Ph
ng trỡnh
ng
trũn
C
cú tõm
( ; )I a b
, bỏn kớnh
0R !
:
2 2
2
x a y b R
Nh
n xột
: Ph
ng tr
ỡnh (*)
hon ton xỏc
nh
n
u
bi
t
c
ỏc h
s
, ,
a b c
. Nh
v
y
chỳng ta c
n
3 gi thit
xỏc
nh
, , a b c
.
2. Tip tuyn ca n
g trũn
:
2 2
2 2 0x y ax by c
a.
Ti
p tuyn ca
C
ti
0 0 0
( ; )M x y
(
0
M
:
ti
p im
)
Ti
p
tuy
n
c
a
C
t
i
0 0 0
( ; )M x y
cú ph
ng trỡnh:
0 0 0 0
( ) ( ) 0
xx yy a x x b y y c
(
CT phõn ụi to
)
Nhn xột:
0 0 0 0 0 0
( ; ) ( ; )Rõ ràng tiếp tuyến đi qua và có 1 vectơ pháp M x y IM x a y b
0 0 0 0
: ( ) ( )( ) 0 a x x x b y y y
b.
iu kin tip xỳc:
ng thng
: 0ax by c'
l tip tuyn ca
;
C d I R '
Lu ý:
ti
n
trong vi
c
tỡm ph
ng trỡnh ti
p
tuy
n
c
a
C
, chỳng ta khụng nờn xột
ph
ng trỡnh
ng
th
ng
d
ng
y kx m
(
tn ti h s gúc
k
). V
ỡ nh
th
d
n
n
sút
tr
ng
h
p
ti
p
tuy
n
th
ng ng
x C
(
khụng cú h
s gúc
)
.
Nhc:
* Đờng thẳng có hệ số góc .
* Đờng thẳng (vuông góc ) không có hệ số góc.
y kx m k
x C Ox
0 0
( ; )
0
Do đó, trong quá trình viết pt tiếp tuyế
n với (C) từ 1 điểm M (ngoài (C)) ta có thể
thực hiện bằng 2 p.pháp:
x y
* Phơng pháp 1:
0 0
( ; )
0
Gọi đờng thẳng bất kì qua M và có h.s.g
k: x y
0 0
( )
y y k x x
R
I
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
0
áp dụng đk tiếp xúc, giải đợc k.
* Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tơng ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong.
* Nếu giải đợc 1 h.g.góc k, thì xét
đờng thẳng (đây là tiếp tuyến thứ hai)x x .
* Phơng pháp 2:
2 2
0 0
( ; ) 0 ( ; )
0
Gọi là 1 v.t pháp của đ.thẳng đi qua Mn a b a b x y
0 0
( ) ( 0 ) a x x b y y
, .
áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta đợc 1 phơng trình đẳng cấp bậc hai theo a b
Nhn xột:
Phơng pháp 2 tỏ ra hiệu quả và khoa học hơn.
3. V trớ tng i ca hai ng trũn
-
S tip tuyn chung:
Cho hai
ng
trũn
1
C
cú tõm
1
I
, bỏn kớnh
1
R
v
2
C
cú tõm
2
I
, bỏn kớnh
2
R
.
Tr
ng hp
Kt lun
S tip tuyn chung
R
2
R
1
I
2
I
1
1 2 1 2
R R I I
1
C
kh
ụng c
t
2
C
(ngoi nhau)
4
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2
R R I I
1
C
ti
p xỳc ngoi
v
i
2
C
3
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2 1 2
R R I I R R ! !
1
C
c
t
2
C
t
i
hai
i
m
phõn bi
t
2
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2
R R I I
1
C
ti
p xỳc trong
v
i
2
C
1
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
I
1
I
2
R
1
R
2
1 2 1 2
R R I I
1
C
kh
ụng c
t
2
C
(
l
ng
v
o nhau)
0
V
N
1:
Nhn dng 1 phng trỡnh bc hai l phng trỡnh ng trũn.
Tỡm tõm v bỏn kớnh ng trũn.
Phng
phỏp:
Cỏch 1:
a ph
ng trỡnh v
d
ng
2 2
2 2 0x y ax by c
(1)
Ki
m
tra, n
u bi
u
th
c
:
2 2
0a b c !
thỡ (1) l ph
ng trỡnh
ng
trũn
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
2 2
Tâm ( ; )I a b
R a b c
Cỏch 2:
a ph
ng trỡnh v
d
ng
:
2 2
( ) ( )x a y b m
v k
t
lu
n
.
LUYN TP:
Bi tp 1:
Trong cỏc ph
ng trỡnh sau, ph
ng trỡnh no bi
u
di
n
ng
trũn. Tỡm tõm v
bỏn hớnh n
u
cú:
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0
) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0
) 4 0 ) 2 4 8 1 0
) 2 4 5 0
a x y x y b x y x y
c x y x y d x y x y
e x y y f x y x y
g x y xy y
Bi t
p
2:
Cho ph
ng trỡnh
2 2
2 4 6 1 0x y mx my m
(1)
a. V
i
gi
ỏ tr
n
o c
a
m
thỡ pt(1) l ph
ng tr
ỡnh c
a
ng
tr
ũn?
b. N
u
(1) l ph
ng trỡnh
ng
trũn, hóy tỡm to
tõm v tớnh bỏn kớnh
ng
trũn
ú
theo
m
.
Bi tp
3
:
Cho ph
ng trình :
2 2 2
6 2( 1) 11 2 4 0x y mx m y m m
.
a. Tìm
i
u ki
n c
a
m
pt trên l l phơng trình
ng tròn.
b. Tìm qu
tích tâm
ng tròn.
Bi tp
4:
Cho ph
ng trỡnh:
2 2
1) 2(sin 1) 2 02(cosx y x yB B
.
;1
0
a. Với giá trị nào của thì phơng trình
trên là p.trình của một đờng tròn.
b. Tìm giá trị để đờng tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất.
c. Tìm quỹ tích tâm đờng tròn, khi thay đổi trên đoạn 0
B
B
B
0
80 .
Bi tp
5
:
Cho ph
ng trình
( )
m
C
:
2 2
2( 1) 2( 3) 2 0x y m x m y
.
a. Tìm
m
( )
m
C
l ph
ng trình c
a m
t
ng tròn.
b. Tìm
m
( )
m
C
l
ng tròn tâm
(1; 3).I
Vi
t ph
ng trình
ng tròn.
c. Tìm
m
( )
m
C
l
ng tròn có bán kính
5 2.R
Vi
t ph
ng trình
ng tròn.
d. Tìm t
p h
p tâm các
ng tròn
( )
m
C
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
VN 2:
VIT PHNG TRÌNH ĐNG TRÒN
Phng
pháp:
Cách 1: Tìm tâm
( ; )
I a b
, b
án kính
! 0R
. Suy ra
2 2
2
( ) :C x a y b R
Cách 2:
G
i
ph
ng trình
đng
tròn:
2 2
2 2 0x y ax by c
- T
đ
i
u
ki
n
c
a
đ
b
ài
đ
a
đ
n
h
ph
ng tr
ình v
i
n
s
, ,
a b c
.
- Gi
i
h
ph
ng trình tìm
, , a b c
.
LUY
N TP:
Bài tp 1:
L
p
p
h
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn (C) trong các tr
ng
h
p
sau:
a. (C) có tâm
( 1;2)I
và
tip x
úc v
i
đng
th
ng
: 2 7 0x y'
.
b. (C) có
đ
ng
k
ính là AB v
i
(1;1), (7;5)
A B
Bài tp
2:
Vi
t
ph
ng trình
đng
tròn
đ
i qua ba
đ
i
m
v
i
(1;4), ( 7;4), (2; 5)A B C
.
Bài tp
3
:
Cho 3
đ
i
m
(1;2), (5;2), (1; 3)
A B C
.
a. L
p
ph
ng trình
đng
tròn (C) ngo
i
ti
p
tam giác ABC.
b. Xác
đ
nh
t
âm và bán kính c
a
(C).
Bài tp
4:
Vit ph
ng trình
đng
tròn ngo
i
ti
p
tam giác ABC v
i
(1;5), (4; 1),A B
( 4; 5)
C
Bài tp
5:
L
p
ph
ng trình
đng
tròn (C), có tâm
(2;3)I
trong các tr
ng
h
p
sau:
a. (C) có bkính là 5 b. (C) qua
đ
i
m
(1;5)A
.
c. (C) ti
p
xúc v
i
tr
c
Ox d. (C) ti
p
xúc v
i
tr
c
Oy
e. (C) ti
p
xúc v
i
đng
th
ng
: 4 3 12 0x y'
Bài tp
6
:
L
p
ph
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn (C)
đ
i qua hai
đ
i
m
( 1;2), ( 2;3)
A B
v
à có tâm
tr
ên
đng
th
ng
: 3 10 0x y'
.
G
i ý:
Cách 1:
Gi
( ;3 10) I a a Î
. Do (C) qua A, B nên
IA IB R
Cách 2:
Bc 1:
Lp phng trình đng trung trc
d
c
a đon AB.
B
c 2:
Tâm I ca (C) là giao đim ca
d
và
.
Bài tp
7:
L
p
ph
ng trình c
a
đng
tròn (C)
đ
i qua 2
đ
i
m
(1;2), (3;4)
A B
v
à ti
p
xúc v
i
đng
th
ng
: 3 3 0x y'
.
G
i ý:
Cách 1:
Gi
( ; )I a b
là tâm đng tròn.
Theo gi thit:
;
IA IB
d I IA
ì
ï
Þ
í
ï
î
gi
i ra I.
Cách 2:
Bc 1:
Lp phng trình đng trung trc
d
ca đon AB.
Bc 2:
Gi tâm ca (C) là
I dÎ
(
ta đ 1 n
).
Do
ti
p xúc vi (C) nên
;d I IA Þ
gi
i ra I.
Bài tp
8:
L
p
ph
ng trình
đng
tròn (C)
đ
i
đ
i
m
(4;2)M
và
tip x
úc v
i
các tr
c
to
đ
.
Gi ý:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
Gi
( ; )I a b
là tâm ca (C). Do (C) tip xúc vi Ox, Oy nên
a b R
.
TH 1:
( ; ), a b I a a R a Þ
Phng trình (C):
2 2
2
x a y a a
Do
2 2
2 2
2
(4;2) 4 2 12 20 0
10
é
Î Û Û Û
ê
ë
a
M C a a a a a
a
V
y có 2 đng tròn:
2 2
1
: 2 2 4 C x y
và
2 2
2
: 10 10 100 C x y
.
TH 2:
( ; ),
a b I a a R a Þ
Phng tr
ình (C):
2 2
2
x a y a a
Do
2 2
2 2
(4;2) 4 2 4 20 0 v« nghiÖm
Î Û Û M C a a a a a
Bài tp
9:
Cho 3
đng
th
ng
:
1 2
: 3 4 1 0, : 4 3 8 0, : 2 1 0' ' x y x y d x y
. L
p
ph
ng trình
đng
tròn (C) có tâm I n
m
trên
đng
th
ng
d và (C) ti
p
xúc v
i
1 2
, ' '
.
G
i ý:
Cách 1:
G
i
( ;1 2 )
I a a d Î
là tâm c
a đng tròn (C).
Do
1 2
, ' '
là các ti
p tuyn ca (C) nên suy ra:
1 2
; ;' ' Þd I d I
gii ra I.
Cách 2:
Bc 1:
Lp phng trình các đng phân giác ca góc to bi hai đng thng
1
'
và
2
'
.
2 2 2 2
3 4 1 4 3 8
3 4 1 4 3 8
3 4 4 3
Û
x y x y
x y x y
1
2
3 4 1 4 3 8
: 7 0
3 4 1 4 3 8
: 7 7 9 0
é
é
Û Û
ê
ê
ë
ë
x y x y
T x y
x y x y
T x y
Bc 2:
Tâm I ca đng tròn tng ng là giao đim ca
d
và
1 2
, . T T
Bài tp
10
:
L
p
ph
ng tr
ình
đ
n
g
tròn
đ
i qua hai
đ
i
m
(0;1), (2; 3)
A B
v
à có bán kính
5
R
.
Gi ý:
Cách 1:
Gi
( ; )I a b
là tâm đng tròn (C). Theo gi thit
5
IA IB
IA R
ì
í
î
Cách 2:
B
c 1: Lp phng trình đng trung trc
d
ca AB.
Bc 2: Gi
I dÎ
(ta đ 1 n). Theo gi thit
5
IA Þ
gi
i ra I.
Bài
tp
11:
L
p
ph
ng trình
đng
tròn (C) có tâm
(1;1)
I
, bi
t
đng
th
ng
: 3 4 3 0
x y
c
t
(C) theo d
ây cung AB v
i
2.AB
Gi ý:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
D thy
2
2
;
4
AB
R d I é ù
ë û
Bài tp 1
2:
(
H A
-2007) Cho tam giác ABC có
(0;2), ( 2; 2)A B
và
(4; 2)C
. G
i
H là
ch
ân
đ
ng
cao k
t
B
; M, N l
n
l
t
l
à trung
đ
i
m
c
a
AB v
à BC. Vi
t
ph
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn qua các
đ
i
m
H, M, N.
Gi ý:
Bc 1:
Xác đnh ta đ M, N.
Bc 2:
Lp phng trình đng trung trc
d
ca MN.
D
thy tâm I ca (C) thuc
d
.
Bc 3:
Tâm I ca (C) là giao đim ca BH và
d
. Suy ra
IM R
.
Bài tp 1
3
:
Vi
t ph
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn
đ
i qua
đ
i
m
(1;1)
A
v
à có bán kính
10
R
, t
âm
(C) n
m
tr
ên Ox.
Gi ý:
Gi
( ;0)I a OxÎ
là tâm ca (C). Theo gi thit,
10IA
, t đây gii ra I.
Bài tp 1
4
:
Vi
t ph
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn
đ
i qua
đ
i
m
(2;3)
M
v
à ti
p
x
úc
đ
ng
th
i
v
i hai
đng
th
ng
1 2
: 3 4 1 0, : 4 3 7 0. x y x y
Gi ý:
Gi
( ; )I a b
là tâm ca (C). Theo gi thit
1
1 2
;
; ;
IM d I R
d I d I
ì
ï
Þ
í
ï
î
gii ra I.
Bài t
p 1
5:
Vit ph
ng trình
đng
tròn
đ
i qua g
c
to
đ
, bán kính
5R
và ti
p
xúc v
i
đng
th
ng
: 5 0 2x y
.
Gi ý:
G
i
( ; )
I a b
là tâm c
a (C). Theo gi thit
5
; 5
OI R
d I
ì
ï
Þ
í
ï
î
gi
i ra I.
Bài tp 1
6:
Cho
đng
th
ng
: 3 0 d x y
và
đng
tròn
2 2
( ) : 7 0.
C x y x y
Ch
n
g minh r
ng
d
c
t
( )C
. Hãy vi
t
ph
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn
( ')C
đ
i qua
( 3;0)M
và các
giao
đ
i
m
c
a
d
v
à
( )C
.
G
i ý:
Xét h phng trình:
2 2 2 2
3 0 3
7 0 7 0
(1)
(2)
x y y x
x y x y x y x y
Thay (1) vào (2)
:
2
1 2 (1; 2)
7 6 0
6 3 (0; 3)
x y A
x x
x y B
Þ
é
Û
ê
Þ
ë
Bài toán tr thành, lp phng trình đng tròn qua ba đim
(1; 2), (0; 3) A B
và
( 3;0)
M
.
(
Dùng k
nng: Gi phng trình
2 2
2 2 0x y ax by c
và thay t
a đ)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Bi tp 17
:
Cho
ng
th
ng
: 3 0 d x y
v
ng
trũn
2 2
( ) : 7 0. C x y x y
Ch
n
g minh r
ng
d
c
t
( )C
t
i
hai
i
m
phõn bi
t
, A B
. Hóy vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
( ')
C
i qua
, A B
v cú bỏn kớnh
3R
.
Gi ý:
Xỏc nh cỏc giao im A, B ca
d
v (C).
G
i
( ; )I a b
l tõm ca
( ')C
. Theo gi thit:
3
IA IB
IA
ỡ
ớ
ợ
.
Bi t
p 1
8:
Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn (C)
i qua hai
i
m
(1; 1), (3;1) P Q
v ti
p
xỳc v
i
ng
tr
ũn
2 2
( ') : 4 C x y
.
G
i ý:
2 2
( ') : 4 C x y
cú tõm
(0;0), 1 O R
.
Lp phng trỡnh ng trung trc
ca PQ. Gi
I ẻ
(ta 1 n) l tõm ca (C)
Xột 2 trng hp:
TH 1:
(C) v (C) ti
p xỳc ngoi, tc l
1 2
1OI R R OI IA ị
gi
i ra I.
TH 2:
(C) v (C) ti
p xỳc trong, tc l
1 2
1OI R R OI IA ị
gii ra I.
Bi tp 19
:
Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn cú bỏn kớnh
2R
,
i qua
(2;0)M
v ti
p
xỳc v
i
ng
tr
ũn
2 2
( ') : 1. C x y
Gi ý:
G
i
( ; )I a b
l tõm ca
( )C
. Theo gi thit:
1
IM R
IO R
ỡ
ớ
ợ
. T õy, gii ra I.
Bi tp 20
:
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh
ng
tr
ũn cú bỏn kớnh
2R
, v ti
p
x
ỳc v
i
ng
tr
ũn
2 2
( ') : 1 0
và đờng thẳng C x y y
.
Gi ý:
Gi
( ; )I a b
l tõm ca
( )C
.
Ta cú, (C) ti
p xỳc vi Ox nờn
2
2
2
b
R b b
b
ộ
ờ
ở
TH 1:
2 ( ;2)
b I a ị
. Theo gi thit
1 2
'IO R R
. T õy, gii ra I.
TH 2:
2 ( ; 2)b I a ị
. Theo gi
thit
1 2
'IO R R
. T õy, gii ra I.
Bi tp 21
:
Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn ti
p
xỳc v
i
ng
th
ng
: 2 0 d y
t
i
i
m
(4;2)M
v ti
p
xỳc v
i
ng
trũn
2 2
( ') : ( 2) 4.
C x y
G
i ý:
Qua M d
ng ng thng
vuụng gúc v
i
d
.
Lỳc ú, tõm
I ẻ
(ta 1 n). D thy
R IM
TH 1:
' ' ' 'II R R II IM R
. T
õy, gii ra I.
TH 2:
' ' ' '
II R R II IM R
. T õy, gii ra I.
Bi tp 22
:
Cho
ng
trũn
2 2
( ') : 8 C x y
. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
( )C
ti
p
xỳc
v
i
ng
th
ng
: 3 0 x
v
ng
tr
ũn (C) t
i
i
m
(2;2)
M
.
Gi ý:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
Lp phng trình đng thng
'I M
.
Tâm
'I I MÎ
(t
a đ 1 n).
Ta có:
' ' ' , 3 'II IM I M II d I x I M Û
. T đây, gii ra I.
Bài tp 23
:
(
d b 2003
) Cho
đ
ng
th
ng
: 7 10 0
d x y
. Vi
t
ph
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn có tâm thu
c
đng
th
ng
: 2 0x y'
và ti
p
xúc v
i
đng
th
ng
d
t
i
đ
i
m
(4;2)A
.
G
i ý:
Tâm
I Î
(ta đ 1 n). Theo gi thit
,IA d I d
. T đây, gii ra I.
V
N 3:
VIT PHNG TRÌNH
TI
P
TUY
N
C
A
ĐNG TRÒN
Bài tp 1
:
Cho
đng
tròn (C):
2 2
2 1 25x y
. Vi
t
ph
ng trình ti
p
tuy
n
c
a
(C)
trong các tr
ng
h
p
sau:
a. T
i
đ
i
m
(5; 3)M
b. Bi
t
ti
p
tuy
n
song song
: 5 12 2 0x y'
c. Bi
t
ti
p
tuy
n
vu
ông góc
: 3 4 2 0
x y'
d. Bi
t
ti
p
tuy
n
đ
i qua
(3;6)A
.
Bài tp 2
:
Vi
t
ph
ng trình ti
p
tuy
n
v
i
(C):
2 2
4 2 0x y x y
t
i
giao
đ
i
m
c
a
(C) và
đng
th
ng
: 0
x y'
.
Bài t
p 3
:
Vi
t ph
ng tr
ình ti
p
tuy
n
c
a
(C):
2 2
4 2 0x y x y
xu
t
ph
át t
(3; 2)
A
.
Gi ý:
(C) có tâm
(2;1)I
và
5R
.
Cách 1:
G
i
2 2
; 0n a b a b !
là mt vect pháp ca tip tuyn cn tìm:
: ( 3) ( 2) 0 3 2 0
a x b y ax by a b' Û
.
'
là tip tuyn ca (C)
2 2
2 2
2 3 2
; 5 3 5
a b a b
d I R b a a b
a b
Û ' Û Û
2 2 2 2 2 2
2 2
9 6 5 2 3 2 0
1 1
2 2
b
b a
a
b ab a a b b ab a
b
b a
a
é
Û
ê
Û Û Û
ê
ê
Û
ê
ë
TH 1:
2b a
.
Lúc đó:
: ( 3) 2 ( 2) 0 3 2( 2) 0 2 1 0a x a y x y x y' Û Û
(do
0a ¹
)
TH 2:
1
2
b a
Lúc đó:
1 1
: ( 3) ( 2) 0 3 ( 2) 0 2 8 0
2 2
a x a y x y x y' Û Û
(do
0a ¹
)
Kt lun:
Vy có 2 tip tuyn ca (C) xut phát t A.
1
: 2 1 0x y'
,
2
: 2 8 0x y'
.
Cách
2:
Xác đ nh ta đ các tip đim.
G
i
0 0 0
;M x y
là tip đim ca tip tuyn xut phát t A và đng tròng (C).
Suy ra:
2 2
0 0 0 0
0
0 0
0 0
4 2 0
( )
. 0
x y x y
M C
M A M I
M A M I
ì
Î
ì
ï
Û
í í
A
î
ï
î
T đây, gii ra hai tip đim…
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
Bài tp 4
:
Cho
đng
tròn (C):
2 2
6 2 6 0x y x y
và
đ
i
m
(1;3)A
.
a. Ch
ng
t
A n
m
ngoài
đng
tròn (C).
b. L
p
ph
ng tr
ình ti
p tuy
n
v
i
(C) xu
t
ph
át t
A.
Bài tp 5
:
Cho
đng
tròn (C):
2 2
1 2 9x y
và
đ
i
m
(2; 1)M
.
a. Ch
ng
t
qua M ta v
đc
hai ti
p
tuy
n
1
'
và
2
'
v
i
(C). Hãy
vit ph
ng trình
c
a
1
'
và
2
'
.
b. G
i
1
M
và
2
M
l
n
l
t
là hai ti
p
đ
i
m
c
a
1
'
và
2
'
v
i
(C), hãy
vit ph
ng trình
1 2
M M
.
Gi ý:
(C) có tâm
( 1;2)
I
và
3R
.
a. Ta có
(3; 3) 3 2 3IM IM R Þ !
nên M nm ngoài (C).
Vy t M tn ti 2 tip tuyn vi (C).
Cách 1:
Gi
2 2
; 0n a b a b !
là m
t vect pháp ca tip tuyn cn tìm (Nh câu trên)
Cách 2:
G
i
0 0 0
;M x y
là ti
p đim.
Lúc đó, tip tuyn ca (C) ti
0
M
có dng
:'
0 0
1 1 2 2 9x x y y
.
M
t khác do
'
qua
(2; 1)M
nên:
0 0 0 0
2 1 1 1 2 2 9 0x y x y Û
(1)
Do
2 2
0 0 0 0 0
; ( ) 1 2 9 (2)M x y C x yÎ Û
T (1) và (2), gii h:
0 0
0 0
2 2
0 0
0 0
0
1, 1
2, 2
1 2 9
x y
x y
x y
x y
ì
é
ï
Û
í
ê
ë
ï
î
Suy ra hai ti
p đim
1 2
( 1; 1), ( 2; 2)M M
TH 1:
Tip tuyn
1
'
qua
(2; 1)M
và
1
( 1; 1)
M
có phng trình:
1y
.
TH 2:
Tip tuyn
2
'
qua
(2; 1)M
và
2
( 2; 2)M
có phng trình:
2 1
4 6 0
2 2 2 1
x y
x y
Û
.
b) Theo trên, hai tip đim là
1 2
( 1; 1), ( 2; 2)M M
.
Cách 1:
Phng trìn
h
1 2
2 2
: 0
1 2 1 2
x y
M M x y
Û
.
Cách
2:
(
Không c
n xác đnh ta đ
1 2
, M M
)
G
i
1 1 1 2 2 2
; , ;
M x y M x y
.
Tip tuyn ca (C) ti
1
M
:
1 1
1 1 2 2 9
x x y y
.
Mt khác do
'
qua
(2; 1)
M
nên:
1 1 1 1
2 1 1 1 2 2 9 0
x y x y Û
(3)
Tng t, tip tuyn ca (C) ti
1
M
:
2 2
1 1 2 2 9x x y y
.
M
t khác do
'
qua
(2; 1)
M
nên:
2 2 2 2
2 1 1 1 2 2 9 0x y x y Û
(4)
T
(
3
), (4)
d
thy:
1 2
, : 0M M x yÎ '
hay đng thng
1 2
: 0M M x y
.
Bài t
p 6
:
L
p
ph
ng tr
ình ti
p
tuy
n
chung c
a
hai
đ
ng
tr
òn:
a)
2 2
1
( ) : 6 5 0C x y x
và
2 2
2
( ) : 12 6 44 0C x y x y
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
b)
2 2
1
( ) : 2 3 0C x y x
v
2 2
2
( ) : 8 8 28 0C x y x y
c)
2 2
1
( ) : 2 2 3 0
C x y x y
v
2 2
2
( ) : 4 4 16 20 21 0
C x y x y
d)
2 2
1
( ) : 1
C x y
v
2 2
2
( ) : 4 5 0
C x y y
Gi ý:
6b)
2 2
1
( ) : 2 3 0C x y x
v
2 2
2
( ) : 8 8 28 0C x y x y
Ta cú
1
C
cú
1
1
1;0
2
I
R
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Tâm
Bán kính
v
2
C
cú
2
2
4;4
2
I
R
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Tâm
Bán kính
Ta cú:
1 2 1 2 1 2
(3;4) 5 4I I I I R R ị !
. Vy
1
C
v
1
C
ngoi nhau nờn tn ti 4 tip
tuyn chung cn tỡ
m.
Gi
2 2
: 0 0ax by c a b' !
l tip tuyn chung ca
1
C
v
2
C
.
Lỳc ú, theo gi
thit:
2 2
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2
2
;
;
4 4
4 4 2
2
a c
a c a b
d I R
a b
d I R
a b c
a b c a b
a b
ỡ
ù
ỡ
ỡ
'
ù ù ù
ớ ớ ớ
'
ù
ù ù
ợ
ợ
ù
ợ
(1)
(2)
T
(1) v (2) suy ra:
3 4 0
4 4
4 4
5 4
4 4
2
a b
a c a b c
a c a b c
a b
a c a b c
c
ộ
ộ
ờ
ờ
ờ
ở
ở
TH 1:
4
3 4 0
3
a b a b
.
Lỳc ú, (1) tr thnh:
2 2
14
4 16 4 10
2
3
3 9 3 3
2
c b
b
c b b b c b
c b
ộ
ờ
ờ
ở
* Vi
14 4
,
3 3
c b a b
ti
p tuyn
1
4 14
: 0 4 3 14 0
3 3
bx by b x y'
.
* V
i
4
2 ,
3
c b a b
tip tuyn
2
4
: 2 0 4 3 6 0
3
bx by b x y'
.
TH 2:
5 4
2
a b
c
.
Lỳc ú, (1) tr thn
h:
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
5 4
2 3 4 4 3 4 4
2
0 2
9 24 16 16 16 7 24 0
24 74
7 7
a b
a a b a b a b a b a b
a c b
a ab b a b a a b
a b c b
ị
ộ
ờ
ờ
ị
ở
* V
i
2 , 0c b a
tip tuyn
3
: 2 0 2 0by b y'
.
* V
i
74 24
,
7 7
c b a b
tip tuyn
4
24 74
: 0 24 7 74 0
7 7
bx by b x y'
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Kt lun: Vy tn ti 4 tip tuyn tha món yờu cu bi toỏn:
1
: 4 3 14 0
x y'
,
2
: 4 3 6 0
x y'
,
3
: 2 0
y'
,
4
: 24 7 74 0
x y'
Bi tp 7
:
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh ti
p
tuy
n
c
a
ng
tr
ũn
2 2
( ) : 25 C x y
, bi
t
r
ng
ti
p
tuy
n
ú
h
p
v
i
ng
th
ng
: 2 1 0
2
một góc mà cos =
5
x y
B B
.
Gi ý:
(C) cú tõm
(0;0)O
v
5R
.
Gi
2 2
; 0
d
n a b a b !
l m
t vect phỏp ca ng thng
d
c
n tỡm.
ng thng
'
cú mt vect phỏp l
(1;2)
n
'
.
Do gúc gia ng thng
d
v
'
l
D
vi
2
5
cosB
nờn suy ra:
2 2
2 2
.
2
2
cos 2 2
.
5
5
d
d
n n
a b
a b a b
n n
a b
D
'
'
2 2 2 2
0
4 4 4 (4 3 ) 0
3
4
a
a ab b a b a b a
b a
ộ
ờ
ờ
ở
TH 1:
0 (0; ) 0
d
a n b b
ị ạ
, ch
n
(0;1) : 0
d
n d y mị
.
Mt khỏc,
d
ti
p xỳc vi (C) nờn:
5
; 5
5
1
m
m
d O d R
m
ộ
ờ
ở
V
y trng hp ny cú 2 tip tuyn:
1 2
: 5 0, : 5 0d y d y
.
TH 2:
3 3
; 0
4 4
d
b a n a a a
ổ ử
ị ạ
ỗ ữ
ố ứ
, chn
(4;3) :4 3 0
d
n d x y n
ị
.
Mt khỏc,
d
ti
p xỳc vi (C) nờn:
25
; 5
25
5
n
n
d O d R
n
ộ
ờ
ở
V
y trng hp ny cú 2 tip tuyn:
3 4
: 4 3 25 0, : 4 3 25 0d x y d x y
.
MT S THI I HC
1)
(
H A
-
2002) Cho tam giỏc ABC vuụng t
i
A, ph
ng tr
ỡnh
ng
th
ng
BC
l:
3 3 0x y
, cỏc
nh
A v B thu
c
tr
c
honh v bỏn kớnh
ng
trũn n
i
ti
p
b
ng
2.
Tỡm to
tr
ng
tõm G c
a
tam giỏc ABC.
Gi ý:
(1;0). ( ;0) 3 3
; 3 3 .
1
2 1 3( 1)
3
;
1
3 3
3
ầ ị
ỡ
ù
ổ ử
ù
ỗ ữ
ớ
ố ứ
ù
ù
ợ
A C C
G A B C
G A B C
BC Ox B x a A a x a y a
C a a
x x x x
a a
G
y y y y
Ta có Đặt ta có: và
Vậy
Từ công thức Ta có
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Cỏch 1:
1 , 3 1 , 2 1 AB a AC a BC aTa có:
2
2
1 3
. 1 .
2 2
1
3 1
2
2.
3 1 3 1 3 1
1 2 3 2
ABC
S AB AC a
a
a
S
r
AB AB BC
a a
a
Do đó:
Ta có:
Vậy
TH 1:
1 1
7 4 3 6 2 3
2 3 3 ;
3 3
ổ ử
ị
ỗ ữ
ố ứ
a G
TH 1:
2 2
1 4 3 6 2 3
2 3 3 ;
3 3
ổ ử
ị
ỗ ữ
ố ứ
a G
Cỏch 2:
2 2. ị
I
r y
Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC. Vì
0
1
tan 30 . 1 1 2 3
3
ị
I
x
y x xPhơng trình BI:
TH 1:
1 2 3. ; 2
I
x d I ACNếu A và O khác phía đối với B thì Từ
1
7 4 3 6 2 3
2 3 2 3 ;
3 3
ổ ử
ị ị
ỗ ữ
ố ứ
I
a x G
TH 2:
1 2 3. ; 2
I
x d I ACNếu A và O cùng phía đối với B thì Từ
2
1 4 3 6 2 3
2 1 2 3 ;
3 3
ổ ử
ị ị
ỗ ữ
ố ứ
I
a x G
2)
(
H B
-2002) Cho hỡnh ch
nh
t
ABCD cú tõm
1
;0
2
I
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
, ph
ng trỡnh
ng
th
ng
AB l:
2 2 0x y
v AB= 2AD. Tỡm to
cỏc
nh
A, B, C, D bi
t
nh
A cú honh
õm.
G
i ý:
5
5
2 2
5
2
2
ị
AD IA IB
R
x
5
Khoảng cách từ I đến đờng thẳng AB bằng và
Do đó A, B là các giao điểm của đờng th
ẳng AB với đờng tròn tâm I và bán kính .
Vậy tọa độ A, B là nghiệm của hệ phơng trình:
2 2
2
2 0
( 2;0), (2;2) 0)
1 5
2 2
(3;0), ( 1; 2).
ỡ
ù
ớ
ổ ử ổ ử
ỗ ữ ỗ ữ
ù
ố ứ ố ứ
ợ
ị
A
y
A B x
x y
C D
. Giải hệ đợc (vì
Lu
ý:
y
x
I
B
A
C
O
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Hoàn toàn có thể xác định tọa độ H là hình chiếu của I trên đờng thẳng AB.
Sau đó tìm A, B là giao điểm của đờng tròn tâm H bán kính HA với đờng thẳng AB.
3) (
d b 2002
)
Cho hai
ng
trũn:
2 2 2 2
1 2
: 10 0, : 4 2 20 0C x y x C x y x y
a. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
i qua giao
i
m
c
a
1 2
, C C
v cú tõm n
m
trờn
ng
th
ng
6 6 0x y
.
b.
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh ti
p
tuy
n
chung c
a
hai
ng
tr
ũn
1 2
, C C
.
4) (
d b 2002
)
Cho hai
ng
trũn:
2 2 2 2
1 2
: 4 5 0, : 6 8 16 0C x y y C x y x y
Vi
t
ph
ng tr
ỡnh ti
p
tuy
n
chung c
a
hai
ng
tr
ũn
1 2
,
C C
.
5) (
d b 2002
)
Cho
ng
th
ng
: 1 0d x y
v
ng
trũn
2 2
: 2 4 0C x y x y
. Tỡm to
i
m
M thu
c
d
m qua
ú
ta k
c
hai
ng
th
ng
ti
p
xỳc v
i
ng
trũn
C
t
i
A v
B sao cho gúc AMB b
ng
0
60
.
6) (
H B
-2003) Cho tam giỏc ABC vuụng t
i
A v AB= AC. Bi
t
(1; 1)M
l trung
i
m
c
nh
BC v
2
;0
3
G
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
l tr
ng
tõm tam giỏc ABC. Tỡm to
cỏc
nh
A, B, C.
7) (
d b 2003
) Cho
ng
th
ng
: 7 10 0d x y
. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn cú tõm
thu
c
ng
th
ng
: 2 0
x y'
v
ti
p
x
ỳc v
i
ng
th
ng
d
t
i
i
m
(4;2)
A
.
8) (
H D
-
2003) Cho
ng
th
ng
: 1 0d x y
v
ng
tr
ũn
2 2
: 1 2 4C x y
.
Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn
/
C
i
x
ng
v
i
ng
trũn
C
qua
ng
th
ng
d
. T
ỡm to
giao
i
m
c
a
/
C
v
C
.
G
i ý:
2 2
1 2 4 (1;2) 2.
(1; 1).
1 2
(1;2) 3 0.
1 1
x y I R
d n
x y
I d x y
Từ (C): suy ra (C) có tâm và bán kính
Đờng thẳng có vectơ pháp tuyến Do đó đờng thẳng đi qua
và vuông góc với có phơng trình:
Tọa độ
1 0 2
(2;1)
3 0 1
(1;2) .
2 3
(3;0)
2 0
ỡ ỡ
ị
ớ ớ
ợ ợ
ỡ
ị
ớ
ợ
J H I
J H I
d
x y x
H
x y y
J I d
x x x
J
y y y
giao điểm H của và là nghiệm của hệ phơng trình:
Gọi là điểm đối xứng với qua Khi đó:
Vì (C') đối xứng v (3;0) 2. d J Rới (C) qua nên (C') có tâm là và bán kính
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
2 2
2
2
2
2
2
*
1 0
1 2 4
1
1, 0
3, 2
2 8 6 0
3 4
3 4
ỡ
ỡ
ỡ
ộ
ù ù
ớ ớ ớ
ờ
ở
ù
ợ
ù
ợ
ợ
x y
x y
y x
x y
x y
x x
x y
x y
Tọa độ các giao điểm của (C) và (C') là nghiệm của hệ phơng trình:
Vậy tọa độ giao điểm của (C) và (C') là (1;0), (3;2).A B
9) (
H A
-2004) Cho hai
i
m
(0;2), ( 3; 1)A B
. Tỡm to
tr
c
tõm v to
tõm c
a
ng
tr
ũn ngo
i
ti
p
c
a
tam gi
ỏc OAB.
G
i ý:
( 3;3) 3 0.
(0;2) 1.
( 3;1)
x y
y
+ Đờng thẳng qua O, vuông góc với BA có phơng trình 3
Đờng thẳng qua B, vuông góc với OA có phơng trình
Đờng thẳng qua A, vuông góc với BO có phơng trình
3 2 0
; 1).
1.
2 0.
x y
y
x y
Giải hệ hai (trong ba) phơng trình trên ta đợc trực tâm H( 3
Đờng trung trực cạnh OA có phơng trình
Đờng trung trực cạnh OB có phơng tr
ình 3
Đờng trung trực cạnh AB
0
;1).
x ycó phơng trình 3 3
Giải hệ hai (trong ba) phơng trình trên
ta đợc tâm đờng tròn ngoại tiếp
OAB là I( 3
10) (
H A
-
2005) Cho hai
ng
th
ng
1 2
: 0, : 2 1 0d x y d x y
. T
ỡm to
c
ỏc
nh
c
a
hỡnh vuụng ABCD bi
t
r
ng
nh
A thu
c
1
d
,
nh
C thu
c
2
d
v cỏc
n
h B, D thu
c
tr
c
honh.
Gi ý:
; .
( ; ).
2 1 0 1. (1;1), (1; 1).
1
(1;0).
1
ẻ ị
ẻ
ẻ
ỡ
ớ
ợ
ẻ
A t t
C t t
t t t A C
IB IA
I
ID IA
B O
1
2
Vì A d
Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D Ox nên
Vì C d nên Vậy
Trung điểm AC là Vì I là tâm của hình vuông nên:
Mặt khác:
1 1
( ;0) 0, 2
( ;0) 0, 2
1 1
(0;0) (2;0) (2;0) (0;0).
(1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)
(1;
ỡ
ỡ ỡ ỡ
ù
ị
ớ ớ ớ ớ
ẻ
ợ ợ ợ
ù
ợ
b
x B b b d
D Ox D d d d
d
B D B D
A B C D
A
Suy ra, và hoặc và
Vậy bốn đỉnh của hình vuông là:
hoặc
1), (2;0), (1; 1), (0;0)B C D
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chun
đ
PHNG TRÌNH NG TRỊN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Tốn Trng THPT Phong in
11) (
H B
-
2005) Cho hai
đ
i
m
(2;0), (6;4)
A B
. Vi
t
ph
ng tr
ình
đ
ng
tr
òn
C
ti
p
x
úc
v
i
tr
c
hồnh t
i
A và kho
ng
cách t
tâm c
a
C
đn
đ
i
m
B b
ng
5.
Gi ý:
2 2
2
2 2
( ; )
.
1
5 6 2 4 25 8 7 0
7
* 2, 1 : 2 1 1
* 2, 7
Þ
é
Û Û Û
ê
ë
I a b
R
b
IB b b b
b
a b x y
a b
1
Gäi t©m cđa (C) lµ vµ b¸n kÝnh cđa (C)
lµ R.
Ta cã: (C) tiÕp xóc víi Ox t¹i A a=2 vµ b
Víi ta cã ®êng trßn C
Víi ta cã
2 2
: 2 7 49 x y
1
®êng trßn C
12) (
d b
2005) Cho
đng
tròn
2 2
: 12 4 36 0C x y x y
. Vi
t
ph
ng trình
đng
tròn
1
C
ti
p
xúc hai tr
c
to
đ
Ox, Oy
đng
th
i
ti
p
ngồi v
i
(C).
Gi ý:
2 2
2 2
12 4 36 0 6 2 4C x y x y x Û
Vậy (C) có tâm
I 6,2
và R=2
Vì đư ờng tròn
1
C
tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm
1
I
nằm trên 2 đường thẳng
y x
±
vàvì (C) có tâm
I 6,2
,R = 2
nên tâm
1
( ; )
I x x±
với x > 0.
TH 1: Tâm
1
I Ỵ
đường thẳng y = x
Þ
,I x x
, bán kính
1
R x
1
C
tiếp xúc ngoài với (C)
Û
1 1
I I R R
2 2
6 2 2x x xÛ
2 2
2 2
6 2 4 4 16 4 36 0x x x x x x xÛ Û
2
2
20 36 0
18
x
x x
x
é
Û Û
ê
ë
.Ứng vơ ùi
1 2
2 hay 18
R R
Có 2 đường tròn là:
2 2
2 2 4x y
;
2 2
18 18 18x y
TH 2: Tâm
1
I
Ỵ
đường thẳng
,
y x I x x Þ
;
1
R x
Tương tự như trên, ta có x= 6
Có 1 đường tròn là
2 2
6 6 36x y
Kt lun:
Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:
2 2 2 2 2 2
2 2 4; 18 18 18; 6 6 36x y x y x y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chun
đ
PHNG TRÌNH NG TRỊN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Tốn Trng THPT Phong in
13) (
d b 200
5
)
Cho hai
đng
tròn
2 2 2 2
1 2
: 9, : 2 2 23 0C x y C x y x y
. Vi
t
ph
ng trình
tr
c
đng
ph
ng
d
c
a
1
C
v
à
2
C
. Ch
ng
minh r
ng
n
u
K thu
c
d
thì kho
ng
cách t
K
đn
t
âm c
a
1
C
nh
h
n kho
ng
c
ách t
K
đ
n
t
âm c
a
2
C
.
Gi ý:
Đường tròn
1
C
có tâm
O 0,0
bán kính
1
R 3
Đường tròn
2
C
có tâm
I 1,1
, bán kính
2
R 5
Phương trình trục đẳng phư ơng của 2 đươ øng tròn
1
C
,
2
C
là
2 2 2 2
9 2 2 23 0x y x y x y
7 0x
(d)
Gọi
, 7
k k k k
K x y d y xỴ Û
2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 7 2 14 49
k k k k k k k k
OK x y x y x x x x
2 2 2 2
2 2
1 1 1 8 2 14 65
k k k k k k
IK x y x x x x
Ta xét
2 2 2 2
2 14 65 2 14 49 16 0
k k k k
IK OK x x x x
!
Vậy
2 2
(đpcm)IK OK IK OK! Û !
(
d b 2005
)
Trong mt phng vi h ta đ
Oxy cho (C): x
2
+ y
2
4 6 12 0x y
. Tìm ta
đ đim M thuc đng thng d :
2 3 0x y
s
ao cho MI = 2R , trong đó I là tâm và R là bán
kính c
a đng tròn (C).
Gi ý:
ng tròn (C) có tâm
I 2,3
, R=5
M M M M M M
M x ,y d 2x y 3 0 y 2x 3Ỵ Û Û
2 2
M M
IM x 2 y 3 10
2 2
2
M M M M
M M
M M
x 2 2x 3 3 10 5x 4x 96 0
x 4 y 5 M 4, 5
24 63 24 63
x y M ,
5 5 5 5
Û Û
Þ Þ
é
ê
Û
ỉ ư
ê
Þ Þ
ç ÷
ê
è ø
ë
(
d b 2005) Trong mt phng vi h ta đ Oxy cho 2 đim A(0;5), B(2; 3) . Vit phng
trình đng tròn đi qua hai đim A, B và có bán kính
10 R
.
Gi ý:
Gi
I a,b
là tâm ca đng tròn (C)
Pt (
C), tâm I, bán kính
R 10
là
2 2
x a y b 10
2 2
2 2
A C 0 a 5 b 10 a b 10b 15 0Ỵ Û Û
(1)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
ẻ
2 2
2 2
B C 2 a 3 b 10 a b 4a 6b 3 0
(2)
(1) v ( 2)
ỡ
ỡ ỡ
ù
ớ ớ ớ
ù
ợ ợ
ợ
2 2
a 1 a 3
a b 10b 15 0
hay
b 2 b 6
4a 4b 12 0
Vy ta cú 2 ng trũn tha ycbt l
2 2
2 2
x 1 y 2 10
x 3 y 6 10
14) (
H D
-
2006) Cho
ng
t
rũn
2 2
: 2 2 1 0C x y x y
v
ng
th
ng
: 3 0d x y
. Tỡm to
i
m
M trờn
d
sao cho
ng
trũn tõm M, cú bỏn kớnh g
p
ụ
i
bỏn kớnh
ng
trũn
C
, ti
p
xỳc ngoi v
i
ng
trũn
C
.
Gi ý:
2
2
1
(1;1) 1.
( ; 3).
1
2 1 2 9
2
(1;4), ( 2;1
I R
M d M x x
x
MI R R x x
x
M M
ẻ
ộ
ờ
ở
Đờng tròn (C) có tâm và bán kính
Vì nên
Yêu cầu của bài toán tơng đơng với:
Vậy, có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ).
15) (
d b 2006
) Cho
ng
th
ng
: 1 2 0d x y
v
i
m
( 1;1)A
. Vi
t
ph
ng
trỡnh
ng
trũn
C
i qua A, g
c
to
O v ti
p
xỳc v
i
ng
th
ng
d
.
Gi ý:
2 2
2 2
2
Vì (C) qua O nên phơng trình (C): 2 2 0
Mặt khác, do ( 1;1) (C): 2 2 2 0 1.
Lúc đó, phơng trình (C), viết lại: 2 2( 1
) 0
(C) có tâm ( ;1 ) và bán kính 2 2 1
Do (C) ti
ẻ
ị
x y ax by
A a b b a
x y ax a y
I a a R a a
2
2
2 2 2 2
1 2
ếp xúc với đờng thẳng : 1 2 0 nên ;
(1 ) 1 2
2
2 2 1 1.
2 2
0
2 2 0 .
1
Vậy có hai đờng tròn thỏa y.c.b.t là (C ) : 2 0, (C ) : 2 0,
ộ
ờ
ở
d x y R d I d
a a
a a
a
a a
a
x y y x y x
16)
(
H B
-2006) Cho
ng
trũn
2 2
: 2 6 6 0
C x y x y
v
i
m
( 3;1)M
. G
i
1 2
, T T
l cỏc ti
p
i
m
c
a
cỏc ti
p
tuy
n
k
t
M
n
C
. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
th
ng
1 2
TT
.
Gi ý:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
0
2, 2 5
;
( ) ( )
. 0
R MI R
y
T C T C
MT IT MT IT
MT
!
ẻ ẻ
ỡ ỡ
ù ù
ị
ớ ớ
A
ù ù
ợ ợ
0
Đờng tròn (C) có tâm I(1;3) và bán kính
nên M nằm ngoài (C).
Nếu T x là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) thì:
Ta có:
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
0 0
2 2
0 0 0 0
1 2
3; 1 , 1; 3 .
2 6 6 0
2 3 0
2 4 0
x y IT x y
x y x y
x y
x y x y
T T
ỡ
ù
ị
ớ
ù
ợ
Do đó, ta có:
(1)
Vậy, tọa độ các tiếp điểm và của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) đều thỏa mãn đẳng
t
1 2
: 2 3 0.T T x y hức (1). Do đó, phơng trình đờng thẳng
17)
(
H A
-
2007) Cho tam giỏc ABC cú
(0;2), ( 2; 2)
A B
v
(4; 2)
C
. G
i
H l
chõn
ng
cao k
t
B; M, N l
n
l
t
l trung
i
m
c
a
AB v BC. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
trũn qua cỏc
i
m
H, M, N.
G
i ý:
Ta có Giả sử , ta có:
Giả sử phơng trình đờng tròn cần tìm l
à: (1)
Thay
2 2
( 1;0), (1; 2), (4; 4). ( ; )
4( 2) 4( 2) 0 1
(1;1)
4 4( 2) 0 1
2 2 0
M N AC H x y
x y x
BH AC
H
x y y
H AC
x y ax by c
ỡ
ỡ ỡ
A
ù
ị
ớ ớ ớ
ẻ
ù
ợ ợ
ợ
tọa độ của M, N, H vào phơng trình (1) ta có hệ phơng trình:
Vậy phơng trình đờng tròn cần tìm là:
2 2
1
2
2 1
1
2 4 5
2
2 2 2
2
2 0.
a
a c
a b c b
a b c
c
x y x y
ỡ
ù
ỡ
ù
ù ù
ớ ớ
ù ù
ợ
ù
ù
ợ
18) (
H D
-2007) Cho
ng
trũn
2 2
: 1 2 9C x y
v
ng
th
ng
: 3 4 0d x y m
. Tỡm
m
trờn
d
c
ú duy nh
t
m
t
i
m
P m t
P cú th
k
c
hai ti
p
tuyờn PA, PB (A, B l cỏc ti
p
i
m
) sao cho tam giỏc PAB
u
.
Gi ý:
(1; 2) 3 2 2 6
' 6.
R IP IA R
R
'
(C) có tâm I và bán kính . Ta có PAB đều nên P thuộc
đờng tròn (C') tâm I bán kính
Nhn xột:
im P l im chung ca (C) v
d.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
19
; 6
41
m
d I d
m
ộ
ờ
ở
Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C') tại P
19) (
d b 2007
)
Trong mt phng Oxy cho ng trũn (C)
:
2 2
1x y
. ng trũn (C')
tõm I (2,2) ct (C) ti cỏc im A, B sao cho
AB 2
. Vit phng trỡnh ng thng AB.
Gi ý:
Cỏch 1:
ng thng OI ni 2 tõm ca 2 ng trũn (C), (C') l ng phõn giỏc
y x
. Do
ú, ng AB
A
ng
y x
ị
h
s gúc ca ng thng AB bng
1
.
Vỡ AB
2
ị
A, B phi l giao im ca (C) vi O
x, Oy.
Suy ra
A(0,1); B(1,0)
A'( 1,0); B'(0, 1)
ộ
ờ
ở
Suy ra phng trỡnh AB
:
1y x
hoc
1y x
.
Cỏch 2:
Phng tr
ỡnh AB cú dng:
y x m
Pt honh giao im ca AB l
:
2 2 2 2
1 2 2 1 0 (2)( )x x m x mx m
(2) cú
/ 2
2
m'
, g
i
1 2
,
x x
l nghim ca (2) ta cú :
2 2 2
1 2 1 2
2 2( ) 2 ( ) 1AB x x x x
/
2
2
1
4
1 2 1
1
m
m
m
a
ộ
'
ờ
ở
Vy phng trỡnh AB :
1y x
hoc
1y x
.
Cỏch
3:
Phng tr
ỡnh AB cú dng:
y x m
G
i H l trung im AB. Suy ra:
2
2 2 2
d ;
4
AB
OI O AB R AH R
T ú gii phng trỡnh
d ;
OI O AB
.
20) (
d b 2007
)
Cho
ng trũn (C):
2 2
8 6 21 0x y x y
v
ng thng d:
01y
x
. Xỏc nh ta cỏc nh hỡnh vuụng ABCD ngoi tip (C) bit A
ẻ d.
Gi ý:
ng trũn (C) cú tõm I(4,
3), bỏn kớnh R = 2
Ta ca I(4,
3) tha phng trỡnh (d):
01yx
.
Vy I
ẻ d
Vy AI l mt ng chộo ca hỡnh vuụng ngoi tip ng trũn, cú bỏn kớnh
R = 2 , x = 2
v
6x
l 2 tip tuyn ca (C
) nờn
-
Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v
2x
ị A(2, 1)
-
Hoc l A l giao im cỏc ng (d) v
6
x
ị
A(6, 5)
- Khi A(2, 1) ị B(2, 5); C(6, 5); D(6, 1)
- Khi A(6, 5) ị B(6, 1); C(2, 1); D(2, 5)
R
H
O
B
A
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
21) (
d b 2007
)
Cho ng trũn (C):
2 2
2 4 2 0x y x y
. Vit phng trỡnh ng
trũn (C'
) tõm M(5, 1) bit (C') ct (C) ti cỏc im A, B sao cho
3AB
.
G
i ý:
Phng tr
ỡnh ng trũn (C):
2 2
2 4 2 0x y x y
cú tõm I(1, 2)
3R
ng trũn (C') tõm M ct ng trũn (C) ti A, B nờn AB
A
IM t
i trung im H ca on
AB. Ta cú
2
3
2
AB
BH
AH
.
Cú 2 v trớ cho AB i xng qua tõm I.
Gi A'B' l v trớ th 2 ca AB
.
G
i H' l trung im ca A'B'
Ta cú:
2
2 2
3 3
' 3
2 2
IH IH IA AH
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
Ta cú:
2 2
5 1 1 2 5MI
v
2
7
2
3
5
HI
MI
MH
3 13
' ' 5
2 2
MH MI H I
Ta cú:
2 2 2 2
1
3 49 52
13
4 4 4
R MA AH MH
43
4
172
4
169
4
3
'
MH
'
H
'
A
'
MA
R
2222
2
V
y cú 2 ng trũn (C') tha ycbt l:
2 2
5 1 13
x y
hay
2 2
5 1 43
x y
.
22) (
H
A
-2009)
Trong m
t phng Oxy cho ng trũn
2 2
: 4 4 6 0C x y x y
v
ng thng
: 2 3 0x my m
. Gi I l tõm ng trũn (C), tỡm
m
c
t (C) ti hai
i
m phõn bit A, B sao cho
IAB
cú din tớch ln nht.
Gi ý:
ng trũn
C
cú
2; 2
2
I
R
ỡ
ù
ớ
ù
ợ
Tâm
Bán kính
.
* Ta cú:
2 3 0 2 3 x my m x my m
thay vo phng trỡnh
C
, ta c:
2
2
2 3 4 2 3 4 6 0 (*)
my m y my m y
v ch
rừ lỳc ú, phng trỡnh
(*)
cú 2 nghim phõn bit.
Hai giao im
2 3;
A A
A my m y
v
2 3;
B B
B my m y
, vi
A
y
,
B
y
l nghim ca
phng trỡnh (*).
* ý rng,
2
1 1
. .sin sin 2sin
2 2
IAB
S IA IB AIB R AIB AIB
Lp lun
0
2sin sin 1 90
IAB
S AIB AIB AIB IA IB A max max
(**)
Ta cú:
2 1; 2 , 2 1; 2
A A B B
IA my m y IB my m y
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
T (**) suy ra:
. 0 2 1 2 1 2 . 2 0
A B A B
IA IB my m my m y y Û
S dng đnh lí Vi
-
et đ
i vi phng trình (*), suy ra kt qu.
23) (
H
B-2009
) Trong mt phng ta đ Oxy, cho đng tròn
2
2
4
: 2
5
C x y
và hai
đng thng
1 2
: 0, : 7 0 x y x y
. Xác đnh tâm K và bán kính ca đng tròn
1
C
,
bit đng tròn
1
C
tip xúc vi
1 2
,
và tâm K thuc đng tròn (C).
Gi ý:
G
i tâm ca
1
C
là
2
2
4
( ; ) 2
5
K a b C a bÎ Û (1)
Theo gi thit, đng tròn
1
C
tip xúc vi
1 2
,
1 2 1
; ;
d K d K RÛ ' '
1
5 5 7
7
5 7
2
5 5 7
2 50
2
a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b b a
a b
é
é
ê
Û Û Û Û
ê
ê
ë
ë
Thay vào (1), gii ra kt qu.
24) (
H
D-2009
) Trong mt phng ta đ Oxy, cho đng tròn
2
2
: 1 1C x y
. Gi I là
tâm ca (C). Xác đnh đim M thuc (C) sao cho
0
30IMO
.
G
i ý:
Cách 1:
G
i
2
2
; : 1 1M x y C x yÎ (1)
Xét tam giác
IAB
:
2 2 2 2 2
2 . . 1 1 2
OM IM OI IM OI MIO x y Û
0
cos cos120
2 2
3x yÛ (2)
Gii h (1) và (2), đa ra kt qu bài toán.
Cách
2:
ý rng, vi các gi thit đã cho ca bài toán, thy đc
0
30MOI
.
Lúc đó, đi
m
M
là giao đim ca 2 đng thng
1
'
,
2
'
qua O và có các h s góc tng ng
0
1
1
tan30
3
k
và
0
1
1
tan150
3
k
.
Ta có
1
'
:
1
3
y x
và
1
'
:
1
3
y x
Kt hp vi gi thit
2
2
; : 1 1
M x y C x yÎ (1)
, gii h và đa ra kt qu.
25) (
H
A
-2010)
Trong m
t phng ta đ Oxy, cho hai đng thng
1
: 3 0d x y
và
2
: 3 0d x y
. Gi (T) là đng tròn tip xúc vi
1
d
ti A, ct
2
d
ti hai đim B, C sao cho
tam giác ABC vuông ti B. Vit phng trình ca (T) bit tam giác ABC có din tích bng
3
2
và đim A có hoành đ dng.
Gi ý:
ý rng:
1 3
.
2 2
ABC
S AB BC
(*)
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyờn
PHNG TRèNH NG TRềN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giỏo viờn:
Lấ B BO
T Toỏn Trng THPT Phong in
Do
1
: 3 0 ; 3ẻ ị A d x y A a a
. M
t khỏc, (T) ct
2
d
ti hai im B, C nờn gi
; 3 , ; 3
B b b C c c
.
Ta cú:
; 3 3AC c a c a
v
1
d
cú 1 vect ch phng
1
1; 3
d
a
.
Do
ABC
'
vuụng ti B nờn tõm I ca
(T) l
trung im AC.
V (T) l ng trũn tip xỳc vi
1
d
ti A nờn suy ra:
1
. 0 3 3 3 0 2
d
AC a c a c a c a
.
Lỳc ú:
2 ; 2 3C a a
.
T
(*) gii ra c ta A, chn honh dng.
XEM LI T!!!!
26) (
H
B
-2010
) Trong m
t phng ta Oxy, cho im
2; 3A
v elip
2 2
: 1
3 2
x y
E
.
Gi
1 2
,
F F
l cỏc tiờu im ca (E) (
1
F
cú honh õm); M l giao im cú tung dng
ca ng thng
1
AF
vi (E), N l im i xng ca
2
F
qua M. Vit phng trỡnh ng
trũn ngoi tip tam giỏc
2
ANF
.
Gi ý:
Nhận thấy và Đờng thẳng có phơng trình:
là giao điểm có tung độ dơng của với (E), suy ra:
Do N là điểm đối xứng của qua M nên
1 2 1
1
2
2 2
1
( 1;0) (1;0).
3
3
2 3 2 3
1;
3 3
,
x y
F F AF
M AF
M MA MF
F MF MN
ổ ử
ị
ỗ ữ
ố ứ
suy ra:
Phơng trình (T):
2
2
2
.
2 3 4
1
3 3
MA MF MN
x y
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
27) (
H
D-2010
) Trong mt phng ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú nh
(3; 7)A
, trc tõm
(3; 1)
H
, tõm ng trũn ngoi tip
( 2;0)I
. Xỏc nh ta nh C bit nh C cú honh
dng.
Gi
ý:
L
y im A i xng vi im A qua I. Gi
/
; : . 0
C x y AC A C
(1)
.
ý rng, BHCA l hỡnh bỡnh hnh nờn
IA IC
(2)
T (1) v (2) suy ra, kt lun bi toỏn.
28) (
HDLHV
) Cho
i
m
8; 1
A
v
ng
trũn
2 2
: 6 4 4 0C x y x y
a. Vi
t
c
ỏc ph
ng tr
ỡnh cỏc ti
p
tuy
n
c
a
C
k
t
A.
b. G
i
M, N l
cỏc ti
p
i
m
. T
ớnh
d
i MN.
29
) (
CMGTW3
-2004) Cho
ng
trũn
2 2
: 2 4 0
C x y x y
v
ng
th
ng
: 1 0d x y
a. Vi
t
ph
ng trỡnh
ng
th
ng
vuụng gúc v
i
d
v
ti
p
xỳc
C
.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
b. Vi
t
ph
ng tr
ình
đ
u
ng
th
ng
song song v
i
d
và c
t
đ
ng
tr
òn t
i
hai
đ
i
m
M, N
sao cho
đ
dài MN b
ng
2.
c. Tìm to
đ
đ
i
m
T tr
ên
d
sao cho qua T k
đ
c
hai
đ
ng
th
ng
ti
p
x
úc v
i
C
t
i
hai
đ
i
m
A, Bvà góc ATB b
ng
0
60
.
30) (
CCNHN 2004
)
Cho tam giác ABC, hai c
nh
AB, AC theo th
t
c
ó ph
ng tr
ình
2 0x y
v
à
2 6 3 0
x y
, c
nh
BC c
ó trung
đ
i
m
( 1;1)
M
. Vi
t
ph
ng tr
ình
đ
ng
tròn ngo
i
ti
p
tam giác ABC.
31) (
CCNHN 2005
) Cho tam gi
ác ABC, bi
t
ph
ng tr
ình các c
nh
AB, BC,
CA l
n
l
t
l
à
2 5 0, 2 2 0, 2 9 0x y x y x y
. Tìm to
đ
tâm
đng
tròn n
i
ti
p
tam giác
ABC.
32
)(
CSPQB 2005
) Vi
t ph
ng trình
đng
tròn
C
qua 3
đ
i
m
(2;3), (4;5), (4;1)A B C
Ch
ng
t
đ
i
m
(5; 2)K
thu
c
mi
n
trong c
a
C
. Vi
t
ph
ng trình
đng
th
ng
d
qua
đ
i
m
K sao cho
d
c
t
C
theo dây cung AB nh
n
K làm trung
đ
i
m
.
33) Cho
đng
tròn
2 2
: 2 8 8 0C x y x y
a. Vi
t
ph
ng tr
ình ti
p
tuy
n
c
a
C
đ
i qua
đ
i
m
(4;0)M
.
b. Vi
t
ph
ng tr
ình ti
p
tuy
n
c
a
C
đ
i qua
đ
i
m
(4;6)
N
.
34) Cho
đng
tròn
2 2
: 2 4 9
C x y
và
đ
i
m
(3;4)M
a. Vi
t
ph
ng trình ti
p
tuy
n
c
a
C
đ
i qua
đ
i
m
M
.
b. Vi
t
ph
ng tr
ình ti
p
tuy
n
c
a
C
, bi
t
ti
p
tuy
n
đó
h
p
v
i
chi
u
d
ng c
a
tr
c
Ox m
t
g
óc
0
45
.
35
) (
HGTVT
) Cho
đng
tròn
2 2
: 2 4 4 0C x y x y
và
đ
i
m
(2;2)A
. Vi
t
ph
ng
trình ti
p
tuy
n
c
a
C
đ
i qua
đ
i
m
A
. Gi
s
hai ti
p
đ
i
m
là MN, tính
AMN
S
.
Gi ý:
Cách
1:
Vi
t phng trình tip tuyn
1 2
,' '
ca (C) qua A nh trên.
Xác đ
nh ta đ M, N tng ng là các tip đim ca
1 2
,' '
và (C).
Tính
AMN
S
.
Cách 2:
Dùng
công th
c phân đôi ta đ
, suy ra phng trình MN là:
4 0 x
.
Xét
2
2
: ;IMH MH IM d I MN
é ù
'
ë û
2
2
2
;R d I MN MN MH
é ù
Þ
ë û
T đó suy ra:
1
; .
2
AMN
S d A MN MN
Cách
3:
Dùng công th
c
2
1
. .sin sin
2 2
AMN
R
S MA NA MAN MAN
'
Vi
2MAN MAI
. Tính
MAI
:
sin
IM
MAI
IA
36) Cho hai
đng
tròn
2 2
1
: 4 8 11 0C x y x y
và
2 2
2
: 2 2 2 0C x y x y
''''
2
''''
1
I
A
N
M
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
a. Xét v
trí t
ng
đi
c
a
hai
đng
tròn
b. Vi
t
ph
ng tr
ình ti
p
tuy
n
chung c
a
hai
đ
ng
tr
òn.
37) (
thi đ xut 2010
) Cho
2 2
: 1 3 9
C x y
và đng thng
: 1 0d x y
.
Trên (C) ly đim M và ly đim N trên
d
sao cho O
là trung đim MN. Tìm M, N.
Gi ý:
Gi
( ; 1)N t t d Î
. Do M, N đi xng nhau qua O nên
( ; 1)M t t
.
Mt khác,
2 2
2
1
( ) 1 1 3 9 2 0
2
t
M C t t t t
t
é
Î Û Û Û
ê
ë
Kt lun: Vy có hai cp đim M, N tha yêu cu bài toán
(1;0), ( 1;0) M N
và
( 2; 3), (2;3) M N
38) (
thi đ xut 2010
) Cho
2 2
: 1 1 1
C x y
và đng thng
: 1 0d x y
.
Trên (C) ly đim M và ly đim N trên
d
sao cho M, N đi xng nhau qua Ox. Tìm M, N.
Gi ý:
G
i
( ; 1)N t t d Î
. Do M, N đi xng nhau qua Ox nên
( ; 1)M t t
.
Mt khác,
2 2
2
1
( ) 1 1 1 1 0
0
t
M C t t t t
t
é
Î Û Û Û
ê
ë
Kt lun:
Vy có hai cp đim M, N tha yêu cu bài toán
( 1;2), ( 1; 2)
M N
và
(0;1), (0; 1)
M N
39) (
Toán
hc Tui tr 2010
) Cho tam giác ABC có
(1;0)
A
, hai đng thng tng ng cha
đ
ng cao k t B, C ca tam giác th t có phng trình:
2 1 0x y
và
3 1 0
x y
.
Vit phng trình đng tròn ngoi ti
p tam giác ABC.
Gi ý:
Phng trình
: 3 1 ( 5; 2)
AB x y B Þ
.
Phng trình
: 2 ( 1;4) 2AC x y C Þ
.
S dng k nng gi đng tròn đi qua 3 đim
(1;0)
A
,
( 5; 2)B
và
( 1;4)C
ta tìm
đc
ph
ng trình
2 2
36 10 43
: 0
7 7 7
C x y x y
.
40) (
Toán h
c Tui tr 2010) Cho đng tròn
2 2
3
:
2
C x y
và parabol
2
( ) :P y x
. Tìm
trên (P) đi
m M sao cho t M có th k đc hai tip tuyn vi đng tròn (C) và hai tip
tuyn này to vi nhau mt góc 60
0
.
Gi ý:
Cách
1:
G
i
2
0 0
; ( )
M x x PÎ
và A, B là hai tip đim. D thy yêu cu bài toán khi và ch khi
0
60 2 6.AMB OM OA Û
T đó ta tìm đc
^ `
0
2; 2
x Î
.
V
y có hai đim tha y.c.b.t là
1 2
2; 2 , 2; 2
M M
.
Cách 2:
Tng t cng tính đc
0
60 2 6.AMB OM OA Û
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Chuyên
đ
PHNG TRÌNH NG TRÒN
OXY
Luy
n thi I HC
2011
Giáo viên:
LÊ BÁ BO
T Toán Trng THPT Phong in
Suy ra
/
; 6
M C OÎ º
v
y đim M là giao đim ca hai đng:
/ 2 2
: 6C x y
và
2
( ) :P y x
….
41) (
Toán h
c Tui tr 2010) Cho đng trò
n
2 2
: 6 4 8 0
C x y x y
và đng thng
: 2 6 0d x y
. Tìm ta đ đim M trên (C) sao cho khong cách t M đn đng thng d
có giá tr
nh nht.
Gi ý:
ng tròn (C) có tâm
(3;2)I
, bán kính
5R
. Hai tip tuyn ca (C) song song vi
d là
1
: 2 1 0 x y
và
2
: 2 9 0 x y
.
Xác đ
nh các tip đim
1 2
, M M
tng ng
1
và
2
vi (C). So sánh
1
;
d M d
và
2
;d M d
.
áp s:
1
1;3M
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
