Bài giảng Phương pháp tính

NỘI DUNG MƠN HỌC

PHƢƠNG PHÁP TÍNH

Chương 0: Nhập mơn
Chương 1: Số gần đúng và sai số

Chương 2: Tính giá trị đa thức
Chương 3: Phép nội suy và áp dụng

GV: LÊ THỊ THU

Chương 4: Giải gần đúng phương trình phi tuyến

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

Chương 5: Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính
Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân thường
1

2

Chƣơng 0: Nhập mơn
p

Phƣơng pháp tính là gì?
PPT là một nhánh của ngành Tốn học ứng dụng, nghiên cứu
các phƣơng pháp và giải thuật để giải một cách gần đúng các
phƣơng trình, các bài tốn xấp xỉ và các bài tốn tối ƣu.

CHƯƠNG 0

NHẬP MƠN

3

p

Đặc trƣng của phƣơng pháp tính

Ø

Chính xác

Ø

Thiết thực

Ø

Tốc độ (số vịng lặp)

4


Chƣơng 0: Nhập môn
p

Chƣơng 0: Nhập môn
p

Các lĩnh vực nghiên cứu của mơn học

ü

Tính giá trị các hàm:

ü

Phép nội suy, ngoại suy.

à Hữu hạn

ü

Tính gần đúng đạo hàm, tích phân xác định.

Vi phân

à Đại số

ü

Giải gần đúng phƣơng trình phi tuyến

Phi tuyến

à Tuyến tính

ü

Giải gần đúng hệ phƣơng trình đại số tuyến tính.

Phức tạp

à Đơn giản

ü

Giải gần đúng phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình vi
phân đạo hàm riêng.

Định hƣớng chung của PPT
Bài tốn gốc
Vơ hạn

Bài tốn gần đúng

5

6

Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối

CHƯƠNG 1

p

Ta nói a là số gần đúng của a*, nếu a khơng sai khác a* nhiều.

p

Giả sử một đại lƣợng có giá trị chính xác là a*, giá trị gần đúng
là a. Khi đó:
P Đại lƣợng r:= |a – a*| đƣợc gọi là sai số thật sự của a.

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

Do không biết a* => không biết r.
P Đại lƣợng ra thõa mãn:
đƣợc gọi là sai số tuyệt đối của a => ra càng nhỏ càng tốt
P Sai số tƣơng đối:
7

a=

Da
a
8


Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối
p

Bài 1.2: Sai số thu gọn

Ví dụ 1: Giả sử a* = e (» 2,718281828...); a = 2, 71

p

Một số thp phõn a cú dng tng quỏt:

ã

Nu

ã

Nu

ã

Nu s = +Ơ Þ a là số thập phân vô hạn.

Do 2,71 < a* < 2,72 = 2,71 + 0,01 = a + 0,01 Þ lấy
Mặt khác, 2, 71 < a* < 2, 719 = 2, 71 + 0, 009 = a + 0, 009 Þ lấy
p

F

Nhận xét: Sai số tƣơng đối rất quan trọng vì nó phản ánh độ
chính xác của phép đo, và phép đo này chính xác hơn phép đo
kia hay khơng.
Ví dụ 2: Đo độ dài 2 vật A=1m, B=10m với cùng sai số tuyệt
0,1
0,1
đối là 0,1m; sai số tƣơng đối lần lƣợt là a = = 10%, b = = 1%
1

10

=> phép đo vật B chính xác hơn phép đo vật A 10 lần, mặc dù sai
số tuyệt đối bằng nhau.
9

Quy tắc thu gọn:

ü

Giả sửa =

p

p -1

.10 p -1 +

+

j

.10 j +

+

Ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần bỏ đi là
a=

Trong đó
j

ü

ìï
=í
ïỵ

p

.10 p +

p -1

.10 p -1 +

,

0£

j

+ 1,

0,5.10 j <

Trong trƣờng hợp

+

j

p- s

p

Nếu

chẵn Þ

j

=

ü

Nếu

lẻ Þ

j

+1

=

Ví dụ:
1) a = 1, 23567 » 1, 2357 » 1, 236 » 1, 24 » 1, 2 » 1
2) b = 1, 2354 » 1, 235 » 1, 24 » 1, 2 » 1
3) c = 1, 2452 » 1, 245 » 1, 24 » 1, 2 » 1

. Đặt

.10 j
p

Mọi số Ga thỏa mãn a - a £ Ga đƣợc gọi là sai số thu gọn của a.
Nhận xét: Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên lƣợng bằng Ga

< 10 j

=> Chứng minh????

= 0,5.10 j :

ü

Thu gọn một số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải a để đƣợc
một số mới
ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất.
10

.10 p- s

< 0,5.10 j

j

j

Ví dụ:

a = 12,345 Þ a = 1.101 + 2.100 + 3.10-1 + 4.10-2 + 5.10-3

p

.10 p +

có phần lẻ gồm m chữ số.

Bài 1.2: Sai số thu gọn

Bài 1.2: Sai số thu gọn
p

là số nguyên.

j

11

12


Bài 1.3: Chữ số chắc (chữ số đáng tin)

Bài 1.3: Chữ số chắc

13

Bài 1.3: Chữ số chắc

14

Bài 1.4: Sai số tính tốn
p

15

Trong tính tốn ta thƣờng gặp 4 loại sai số sau:
P Sai số giả thiết: Do lí tƣởng hóa, mơ hình hóa bài tốn thực tế.
Sai số này khơng trừ đƣợc.
P Sai số phương pháp: Do các phƣơng pháp giải gần đúng nên
trong tính tốn ln có các sai số do phƣơng pháp đem lại. Mỗi
phƣơng pháp có các sai số đặc trƣng của nó.
P Sai số do số liệu: xuất hiện do đo đạc và việc cung cấp giá trị
đầu vào khơng chính xác.
P Sai số tính tốn: xuất hiện do làm trịn các thơng số trong q
trình tính tốn.
16


Bài 1.4: Sai số tính tốn

Bài 1.4: Sai số tính tốn

p

Bài tốn thuận về sai số: là bài tốn tìm sai số của kết quả khi
biết sai số của các số liệu ban đầu.

p

Giả sử cần tìm hàm y = f ( x1 , x2 ,..., xn ). Gọi xi* , yi* và xi , yi , i = 1, n là
các giá trị đúng và gần đúng của đối số và số. Giả sử hàm f khả
vi liên tục. Khi đó
n

y - y * = f ( x1 ,..., xn ) - f ( x1* ,..., xn* ) = å f i ' xi - xi*
i =1

Ø

Ø

Sai số tuyệt đối:
Sai số tƣơng đối:

n

Dy = å
i =1

y=

¶f
Dxi
¶xi

Dy n ¶
ln f Dxi
=å

y i =1 ¶xi

17

Bài 1.4: Sai số tính tốn

18

Bài 1.4: Sai số tính tốn

19

20


BÀI TẬP CHƢƠNG I

CHƯƠNG 2

TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC

21

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng
p

22

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức

p

Phương pháp: Phân tích P(x) dƣới dạng

Bài tốn: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát
P( x) = a0 x n + a1x n-1 +

+ an-1x + an (a0 ¹ 0)

Tính giá trị đa thức tại x = c, tức là cần tính P(c), với c là giá
trị cho trƣớc.

23

24


Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng
p

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

Ví dụ 1: Cho P( x) = x 6 - 5 x 4 + 2 x3 - x - 1. Áp dụng sơ đồ

Horner

Horner, tính P(-2)

Input ai, c, n

Giải: Lập sơ đồ Horner:

P=0
i = 0,1,2,...,n
P = P*c + ai

p

Ví dụ 2: Cho

Print P

. Tính P(-2)

Đ/s: P(-2) = -23

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng
p

Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát
+ an-1x + an (a0 ¹ 0)

ü

Xác định bn:

ü

Xác định bn-1

Ta có

(*)

Xác định P(y+c), với y là biến mới, c là giá trị cho trƣớc.

Trong đó, Pn-1(x) là đa thức bậc n-1.

Phương pháp: Giả sử

Mặt khác P( y + c) = y(b0 y n-1 + b1 y n- 2 +

P( y + c) = b0 y n + b1 y n-1 +

26

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

Sơ đồ Horner tổng quát
P( x) = a0 x n + a1x n-1 +

End

25

+ bn-1 y + bn (b0 ¹ 0)

+ bn-2 y + bn-1 ) + bn

Đặt x = y + c Þ P( x) = ( x - c)(b0 y n-1 + b1 y n-2 +

=> Ta cần xác định các hệ số bi , i = 0, n

+ bn-2 y + bn-1 ) + bn (2*)

Từ (*) và (2*) ta suy ra P1 ( x) = P1 ( y + c) = b0 y n-1 + b1 y n-2 +
27

. Tƣơng tự, bn-i = Pi (c)

+ bn-2 y + bn-1
28


Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng
p

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

Sơ đồ Horner tổng quát

p

Đạo hàm đến cấp n tại điểm x=c:
P( y + c) = b0 y n + b1 y n -1 +

+ bn -1 y + bn

Þ P( x) = b0 ( x - c) n + b1 ( x - c) n -1 +

n

+ bn -1 ( x - c ) + bn = å bn -i ( x - c )i
i =0

Theo cơng thức Taylor:
n

P( x) = å
i =0

Þ

P ( i ) (c )
( x - c )i
i!

P ( i ) (c)
= bn -i Û
i!

P (i ) (c) = i !bn-i

29

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng
p

30

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

6
5
2
Ví dụ 3: Cho P( x) = 2 x + 4 x - x + x + 2 . Xác định P( y - 1)

p

Giải: Ta có c = -1. Lập sơ đồ Horner tổng quát:

Tỷ sai phân:

Xét hàm y=f(x) trên [a, b] và cho trƣớc bảng giá trị xi , yi , i = 0, n
­ Tỷ sai phân cấp 1 của hàm f:
f xi , xi -1 =

D.hàm:

­ Tỷ sai phân cấp 2 của hàm f:

P (-1) = -2;
P '( -1) = 1!*11 = 11;
P ''( -1) = 2!*( -11) = -22;
P '''( -1) = 3!* 0 = 0;
(5)

P (-1) = 5!*(-8);

P (-1) = 6!* 2.

f xi +1 , xi , xi -1 =

f xi +1 , xi - f xi , xi -1
, i = 1, n - 1
xi +1 - xi -1

­ Tỷ sai phân cấp n của hàm f:

P (4) (-1) = 4!*10;
(6)

f ( xi ) - f ( xi -1 )
, i = 1, n
xi - xi -1

31

f xn , xn -1 ,..., x1 , x0 =

f xn , xn-1 ,..., x1 - f xn-1 ,..., x1 , x0
xn - x0

32


Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

p

Các tính chất của tỷ sai phân:
­ Tính chất tuyến tính
f + g xk ,..., x0 =

f xk ,..., x0 + g xk ,..., x0

­ Tính chất đối xứng
f xi , xi -1 = f xi -1 , xi
f xi +1 , xi , xi -1 = f xi -1 , xi , xi +1

­ Tỷ sai phân của hằng số = 0.

34

33

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực
p

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

Sai phân

Giả sử hàm f : R ® R là hàm cho trƣớc và các điểm cách đều nhau
khoảng h, tức xi +1 = xi + h . Khi đó:
­ Sai phân cấp 1 của hàm f:
Df ( xi ) = f ( xi +1 ) - f ( xi ) = f ( xi + h) - f ( xi )

­ Sai phân cấp 2 của hàm f:
D 2 f ( xi ) = D Df ( xi ) = Df ( xi +1 ) - Df ( xi ) = Df ( xi + h) - Df ( xi )

­ Sai phân cấp n của hàm f:
D n f ( xi ) = D éëD n-1 f ( xi ) ùû = D n-1 f ( xi +1 ) - D n-1 f ( xi )

Quy ước:

35

36


Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực
p

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

Các tính chất của sai phân:

p

­ Tính chất tuyến tính
D( f + g ) = Df + Dg

f xi , xi -1 =

­ Nếu c = const ÞDc = 0
­ Giả sử Pn(x) là đa thức bậc n. Khi đó:
D n Pn ( x0 ) = D n Pn ( x1 ) =

Liên hệ giữa tỷ sai phân và sai phân trong trƣờng hợp các
điểm cách đều nhau khoảng h:
f ( xi ) - f ( xi -1 ) Df ( xi -1 ) Df ( xi -1 )
=
=
xi - xi -1
h
1!h

f xi +1 , xi , xi -1 =

= const

D m Pn ( x) = 0 "m > n

f xi +1 , xi - f xi , xi -1
Df ( xi ) - Df ( xi -1 ) D 2 f ( xi -1 )
=
=
xi +1 - xi -1
2h 2
2!h 2

f xk , xk -1 ,..., x1 , x0 =

D k f ( x0 )
k !h k

37

38

BÀI TẬP CHƢƠNG II

Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực
p

Ứng dụng sai phân tính giá trị đa thức

p

Bài 1: Cho P( x) = 2 x5 + 4 x3 - x 2 + 2 . Xác định:

p

Bài 2: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị:
x
y=f(x)

-4
45

-1
33

0
5

2

9

Lập bảng tỷ sai phân các cấp của f
p

Bài 3: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị:
x
y=f(x)

39

1
12

2
8

Lập bảng sai phân các cấp của f

3
5

4
10

5
25
40

Phép nội suy
p

Bài toán: Xét hàm y = f ( x) trên [a, b] và giả sử đã biết n+1
mốc xi Ỵ a, b , yi = f ( xi ), i = 0, n.

CHƯƠNG 3

Cần tính f(c) với c bất kỳ

thuộc [a,b].

PHÉP NỘI SUY VÀ ÁP DỤNG

Ø

Ta xây dựng đa thức Pn(x) có bậc khơng q n sao cho:

Pn ( xi ) = yi = f ( xi ), i = 0, n
Ø

Khi đó ta có thể coi Pn ( x) » f ( x) "x Ỵ a, b , x ¹ xi .

42

41

Phép nội suy
Ø

Bài tốn xây dựng hàm Pn(x) đƣợc gọi là bài toán nội suy.

Ø

Hàm Pn(x) đƣợc gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b].

Ø

Các điểm xi , i = 0, n đƣợc gọi là các mốc nội suy.

Ý nghĩa hình học

·

f(c)
Pn(c)

f(x)

Rn(c)
·

·
·
·

p

Định lý: Đa thức nội suy Pn(x) của hàm f(x) đƣợc xây dựng từ

Pn(x)

các mốc nội suy trên (nếu có) là duy nhất.
x0
43

c

x1

x2

xn

Xấp xỉ đƣờng cong f(x) bởi đa thức Pn(x) (với Pn(xi)=f(xi)). Ƣớc
lƣợng f(c) bởi Pn(c): f(c) » Pn(c) với sai số Rn(c)

44


Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

p

Cho trƣớc n+1 điểm mốc: (x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn)

p

Đa thức nội suy Lagrange là đa thức Pn (x) có bậc khơng q n

Ví dụ 3.1: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm y=sin(px)
rồi tính gần đúng sin(p/5) với các mốc nội suy cho trong bảng:

và nhận các giá trị y0, y1, y2, …,yn theo công thức

( x - x0 )( x - x1 )...( x - xi -1 )( x - xi +1 )...( x - xn )
( xi - x0 )( xi - x1 )...( xi - xi -1 )( xi - xi +1 )...( xi - xn )

n

Pn ( x) = å yi
i =0

p

p

( x - x1 )( x - x2 )
( x - x0 )( x - x2 )
( x - x0 )( x - x1 )
+ y1
+ y2
( x0 - x1 )( x0 - x2 )
( x1 - x0 )( x1 - x2 )
( x2 - x0 )( x2 - x451 )

i =0

=

0

1/2

1

P2(1/5)=0,58
46

p

Ví dụ 3.3: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số
liệu sau:
x
0
2
3
y

Tính gần đúng f(0,2)?

P3 ( x) = å yi lin =

y=sin(px)

Thay x=1/5 vào P2(x) tìm được , ta có sin( /5)

đƣợc cho nhƣ trong bảng

n

1/2

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

Ví dụ 3.2: Tìm đa thức nội suy Lagrange đối với hàm y=f(x)

ĐS

1/6

1
1
1
1
( x - )( x - )
( x - 0)( x - )
( x - 0)( x - )
1
6
2
6 = -3x 2 + 7 x
2
P2 ( x) = 0 ´
+ ´
+ 1´
1
1

1
1 1
1
1 1
2
2
(0 - )(0 - )
( - 0)( - )
( - 0)( - )
6
2
6
6 2
2
2 6

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange
§

0

Giải: Đa thức nội suy Lagrange:

Với n=1 (có 2 mốc nội suy)
x - x1
x - x0
+ y1
P1 ( x) = y0
x0 - x1
x1 - x0

Với n=2
P2 ( x) = y0

x

1

3

2

Đs:

125 3
91
x - 30 x 2 + x - 0,5
3
12

p

Ta có: f(0,2) » P3(0,2)=0,15

Ví dụ 3.4: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số
liệu sau:
x
0
2
3
5

y
1
3
2
5

=> Nhận xét???
47

48


Bài 3.2 Đa thức nội suy Newton

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

Hạn chế của đa thức nội suy Lagrange:
FNhược điểm của đa thức nội suy Lagrange:
Khi thêm vào một mốc nội suy, ta phải tính lại từ đầu!!!

n

Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại tồn bộ đa thức

n

Đa thức nội suy Newton khắc phục hạn chế này

50

49

3.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc
bất kỳ
Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần a = x0 < x1 <
và tỷ sai phân các cấp của hàm f(x)

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

< xn = b

Nhận xét:

Đa thức nội suy Newton cũng chính là đa thức nội suy
Lagrange chỉ khác về cách trình bày.
q

Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 là:

Pn ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x - x0 )( x - x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ]

p

+ ... + ( x - x0 )( x - x1 )...( x - xn-1 ) f [ x0 , x1 ,..., xn ]

Nếu thêm một mốc (xn+1,yn+1), đa thức nội suy Pn+1(x) trên tập
điểm mốc mới đƣợc tính theo Pn(x) nhƣ sau:

Pn+1 ( x) = Pn ( x) + ( x - x0 )( x - x1 )...( x - xn ) f [ x0 , x1 ,..., xn+1 ]

Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn là:
Pn ( x) = f ( xn ) + ( x - xn ) f [ xn , xn -1 ] + ( x - xn )( x - xn -1 ) f [ xn , xn -1 , xn -2 ]
+ ... + ( x - xn )( x - xn-1 )...( x - x1 ) f [ xn , xn -1 ,..., x0 ]
51

52


Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
§

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

Ví dụ 3.5: Xây dựng đa thức nội suy theo phƣơng pháp newton
cho hàm y=sin(px) với các mốc nội suy cho trong bảng:
x

0

1/6

1/2

y=sin(px)

0

1/2

1

Giải: Lập bảng tỷ hiệu

P2 ( x)

f ( x0 )
0

3x

(x

xi
yi
0
0
1/ 6 1/ 2
1/ 2 1

x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x

(-3) x( x -1/ 6)

- 3x2

Đs:

TSPC1

TSPC 2

f [ x0 , x1 ] 3
f [ x1 , x2 ] 3 / 2

x0 )( x

f [ x0 , x1 , x2 ]

Ví dụ 3.7: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu
sau:
x
0
2
3
5
y
1
3
2
5

3

x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ]

7
x
2

xi+1-xi = h (hằng số) Þ xi = x0 + ih

x1

x2

xi+1

xi

Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều
Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần, cách đều
nhau khoảng h và sai phân các cấp của hàm f(x)
Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 với các mốc cách
đều là:

…

h

54

53

3.2.2 Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều

x0

Ví dụ 3.6: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu
sau:
x
0

2
3
y
1
3
2

h

Pn ( x)

2h

f ( x0 )

y0
(x
1!.h

x0 )

2

y0
(x
2!.h 2

x0 )( x

x1 ) ...

n

y0
(x
n !.h n

x0 )( x

x1 )...( x

xn 1 )

Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn với các mốc
cách đều là:

ih

Pn ( x)
55

f ( xn )
...

2
yn 1
yn 2
( x xn )
( x xn )( x
1!.h

2!.h 2
n
y0
( x xn )( x xn 1 )...( x x1 )
n !.hn

xn 1 )
56


3.2.3. Sai số của đa thức nội suy

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Ví dụ 3.8: Cho hàm y=f(x) xác định bởi bảng:

p

Giả sử Pn (x) là đa thức nội suy của hàm f(x) với các mốc nội suy
(x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn).

Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton
Giải: Nhận thấy các mốc nội suy cách đều nhau khoảng h=1

Khi đó, hiệu R( x) = f ( x) - Pn ( x) gọi là sai số của phép nội suy.

Bảng sai phân

Để đánh giá sai số này, giả sử hàm f(x) khả vi đến cấp n+1 trên [a,b]

x

1
2
3

y
2
7
14

r2y

ry

Gọi M = Max f ( n+1) x
a £ x £b

5
7

2

R( x) £

=> Đa thức nội suy Newton:
P2 ( x) = 2 +

. Khi đó, cơng thức đánh giá sai số:

5
2

( x - 1) +
( x - 1)( x - 2) = x 2 + 2 x - 1 Þ f ổ 4 ử ằ 31
ỗ3ữ 9
1!.1
2!.12
ố ứ

Vi

n +1

M
(n + 1)!

( x) = ( x - x0 )( x - x1 )

n +1

( x)

( x - xn )

57

58

S nS32 Sn n
D

3.2.4 Ứng dụng cơng thức nội suy Newton

tính tổng

3.2.3. Sai số của đa thức nội suy

Xét ví dụ: Tính tổng

Ví dụ 3.9: Cho hàm y=sin(px), dùng đa thức nội suy Lagrange
tính gần đúng sin(p/5), đánh giá sai số. Biết các mốc nội suy:
x

0
0

y=sin(px)

1/6
1/2

Giải: Ta có

sin( / 5)

Sai số:
M
R3 ( x)

P2 (1/ 5)

R3 ( x)

M
(x
3!

max sin (3) ( x)
3

6

| x( x

1
)( x
6

x0 )( x

max
1
)|
2

7 1
.
2 5

x1 )( x
3

R3 (1/ 5)

1 1
(
6 5 5

2

D 3 S n = D 2 S n +1 - D 2 S n = 2( n + 1) + 3 - (2n + 1) = 2 = const

Lập bảng sai phân

2

1
1
2
5
4
3
14
9
5
Áp dụng công thức nội suy Newton tiến với t=n-1

x2 )

3

2

D 2 S n = DS n +1 - DS n = n + 2 - n + 1 = 2n + 3

0,58

cos( x)

DS n = S n -1 - S n = n + 1

+ n2
2

1/2
1

Giải: Đa thức nội suy Lagrange tìm đƣợc: P2 ( x) = -3x 2 + 7 x
1
3.( ) 2
5

Sn = 12 + 22 +

3

Sn = 1 + 4(n - 1) +
1 1
)(
6 5

1
)

2

0, 010335

59

2

5
2
( n - 1)(n - 2) + ( n - 1)(n - 2)(n - 3) =
2!
3!

1
= n(n - 1)(2n + 1)
6

60


Bài 3.3 Chọn mốc nội suy tối ƣu
p

Chọn mốc nội suy tối ƣu
Đa thức Chebyshev:

Với công thức đánh giá sai số
R( x) = f ( x) - Pn ( x) £

n
M
M
( x - xi ) =
( x)
Õ
(n + 1)! i =0
(n + 1)!

Cần chọn các xi Ỵ[a;b] để max

xỴ[ a ;b ]

Nhận xét:

Với phép biến đổi

t=

Tn(x) = cos(n.arccosx) với |x| Ê1, nẻN*
Tớnh cht:

( x) đ min

Tn+1(x) = 2x.Tn(x)-Tn-1(x)

1
[2 x - (a + b)]
b-a

Tn(x) là đa thức bậc n, hệ số cao nhất là 2n-1
Nhận xét:

Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1]

Tn(x) có đúng n nghiệm:

Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về
các mốc nội suy trên [-1;1]
61

Chọn mốc nội suy tối ƣu

2i + 1
) , i = 0,1,2,..., n - 1
2n

Mọi nghiệm của Tn(x) đều thuộc [-1;1]

max Tn ( x) |= 1

xỴ[ -1;1]

khi x=xi= cos(

i
), i = 0,1,2,..., n
n

62

Chọn mốc nội suy tối ƣu

Trường hợp 1: Các các mốc nội trong [-1, 1], khi đó các mốc nội
suy đƣợc chọn là nghiệm của Tn+1(x) :
xi = cos

xi = cos(

(2i + 1)
, i = 0,1,.., n
2(n + 1)

Trường hợp 2: Trƣờng hợp các mốc nội suy đƣợc chọn trong
[a, b] bất kỳ. Đặt:
(2 x - a - b)
t=
Þ -1 £ t £ 1
(b - a)
Chọn các mốc ti theo trƣờng hợp 1, suy ra các mốc xi

Khi đó

( x) =
R ( x) Ê

ử
1ổ
2i + 1
xi = ỗ (b - a )cos

+ (b - a) ÷ , i = 0, n
2è
2(n + 1)
ø

1
1
Tn +1 ( x) £ n
n
2
2

M
M
( x) = n
(n + 1)!
2 (n + 1)!

Khi đó, ƣớc lƣợng tốt nhất của phép nội suy:
R ( x) = f ( x) - P ( x) £
63

M
M (b - a )n +1
( x) £
(n + 1)!
(n + 1)! 22 n+1

64

Đặt vấn đề

TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

p

Trong tốn học, đã có phƣơng pháp tính đạo hàm và tính
phân xác định

p

Thực tế, thƣờng gặp các trƣờng hợp :
n

Hàm y=f(x) chỉ đƣợc cho ở dạng bảng, công thức tƣờng
minh của y là chƣa biết.

n

Hàm f(x) đã biết, nhƣng phức tạp

n

Hoặc viết chƣơng trình máy tính để tính tích phân xác
định.

Þ Chọn

giải pháp: “Tính gần đúng”

65

Bài 3.5 Tính gần đúng đạo hàm
p

Áp dụng công thức Taylor:
f ( x) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x - x0 ) +

Đặt h = x-x0 Þ x=x0+h:

f ( )
( x - x0 ) 2
2
''

f '' ( ) 2
f ( x0 + h) = f ( x0 ) + f ' ( x0 )h +
h
2
Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h2. Khi đó

f ' ( x0 ) =

f ( x0 + h) - f ( x0 )
h

(1)

Có thể lấy cơng thức (1) để tính gần đúng f’(x0) khi |h|
khá bé

3.5 Tính gần đúng đạo hàm
Sai số:

f '' ( )
M
R( x0 ) =
h£
h Với |f’’(x)|<=M, "x Ỵ[x0,x0+h]
2
2

Ví dụ 1: Cho f(x)=2x4+x-1. Tính f’(1)?
Giải: Chọn h=0.001, ta có:
f ' (1) »

f (1 + 0,001) - f (1) 2,009 - 2
=
= 9,01
0,001
0,001

Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05 "xỴ[1;1,001]
24,05
| R(1) |£
.0,001 = 0,012
2

3.5. Tính gần đúng đạo hàm
p

Áp dụng đa thức nội suy
n

Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc
a=x0
3.5. Tính gần đúng đạo hàm
Ví dụ 2: Cho hàm y=f(x) dƣới dạng bảng
x
y

f ( x) = Pn ( x) + R( x)

Þ f ' ( x) = P ( x) + R' ( x)
n

f’(x) » Pn’(x) với xỴ[a,b]
Sai số:
ỉ f ( n +1) (c)

ư
( x - xi ) ữữ
R ' ( x) = ỗỗ
ế
ứ
ố (n + 1)! i =0

n

Cần tính

'

b

I = ị f ( x)dx

3.6.1 Cơng thức hình thang
p

Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau: a=x0
a

p

3
2

Giải: Áp dụng công thức nội suy Lagrange hoặc công thức nội suy
Newton, ta thu đƣợc đa thức nội suy bảng dữ liệu trên:
2
7
4
7
P2 ( x) = - x 2 + x + 1 Þ f '( x) » P2 '( x) = - x +
3

3
3
3
4
7
Vậy f '(1) » P '(1) = - + = 1
2
3 3

Bài 3.6 Tính gần đúng tích phân
q

2
3

Tính gần đúng f’(1)=?

'
n

n

0
1

f(x)

Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có ngun hàm F(x), cơng
thức Newton – Lepnit:

h=xi+1-xi=1/n

b

p

Trƣờng hợp:

I = ò f ( x)dx = F (b) - F (a)
a

P f(x) chỉ đƣợc cho ở dạng bảng
P Hoặc f(x) đã biết nhƣng tính tốn phức tạp
Þ Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn

x0=a x1 x2

xi Xi+1

b=xn

b

x1

x2

xn

a

x0

x1

xn-1

I = ò f ( x)dx =

ò f ( x)dx + ò f ( x)dx + ... + ò f ( x)dx


3.6.1 Cơng thức hình thang

3.6.1 Cơng thức hình thang

Trên đoạn [xi, xi+1], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P1(x)

Ii = ò

xi+1

f ( x)dx » ò

xi

xi +1

xi

P1 ( x) = ị

xi +1

xi

è Ii gần bằng diện tích hình thang xiABxi+1

( yi + ( x - xi ) f [ xi , xi +1 ])dx

f(x)

Đặt x = xi+th Þ dx = hdt. Vi x ẻ [xi, xi+1] ị t ẻ [0,1]
Ii = ò

xi +1

xi

1
1
f ( x)dx » ò h( yi + t.Dyi )dt = h.( yit + Dyit 2 ) = h( yi + yi +1 )
2
2
0
0

xi+1
h

3.6.1 Cơng thức hình thang

Cơng thức hình thang tổng qt:

Ví dụ: Tính gần đúng các tích phân sau bằng cơng thức hình thang

b

x1

x2

xn

a

x0

x1

xn -1

I = ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx + ... + ò
h
h
= å ( yi + yi +1 ) = y0 + 2 y1 + 2 y2 +
2
i =0 2
n -1

Vậy

ò f ( x) dx »
a

o Sai số tồn phần:

yi+1

xi

3.6.1 Cơng thức hình thang

b

1
f ( x)dx » h( yi + yi +1 )
2

yi

Sai số địa phƣơng

p

B

xi +1

xi

ri(h)

A

1

1

Ii = ò

b-a
y0 + 2 y1 + 2 y2 +
2n
| r (h) |£ n

M = Max|f’’(x)|,xỴ[a,b]

f ( x)dx
a)

+ 2 yn -1 + yn

1

1

dx
2
0 1+ x

1
dx
x

b) I = ò

Với phân hoạch [1,5] thành n=4 phần bằng nhau. Đánh giá sai số

+ 2 yn -1 + yn

3

Mh
M (b - a ) 2
h
=
12
12

I =ò

5

(3)

(2)

Giải: a) Bảng giá trị
x

y

1
1

2
1/2

3
1/3

4
1/4

5
1/5


3.6.1 Cơng thức hình thang

3.6.2 Cơng thức Simpson(Parabol)
Phân hoạch [a,b] thành n=2m đọan con bằng nhau: a=x0
Áp dụng công thức (2) ta tính đƣợc

f(x)

5

dx 5 - 1 ỉ 2 2 2 1 ử 101

I =ũ ằ
ỗ1 + + + + ÷ =
x 2 ´ 4 è 2 3 4 5 ø 60
1

h = xi +1 - xi =

xi = x0 + ih, i = 0,1,..., 2 m

Sai số:

f ''( x) = 2 x -3 Þ M = max f ''( x) = max 2 x -3 = 2
1£ x £5

ÞR =

x0=a x1 x2

1£ x £5

M (b - a ) 2 2 ´ 4 2 2
´1 =
h =
12
12
3

x2

x4

x2 m

a

x0

x2

x2 m-2

I = ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx + ... +

Ii = ò

f(x)

x2 i + 2

x2 i

f ( x)dx » ò

x2 i + 2

x2 i

P2 ( x)dx

Đặt x = x2i + th, dx = hdt; x =x2i

Þ t=0; x = x2i+2 Þ t=2
xi
2

Xi+1

I i » h ò [ yi + t Dyi +
0

ò

f ( x)dx

3.6.2 Công thức Simpson

Trên đoạn [x2i, x2i+2], xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2 P2(x):
P2(x)

b=x2m

b

3.6.2 Công thức Simpson
p

(b - a)
n

Xi+2

t (t - 1) 2
D yi ]dt =
2

t=2
t2
1 t3 t 2
h
= h[ yit + Dyi + ( - )D 2 yi ]
=
( yi + 4 y i +1+ yi + 2 )
t =0
2
2 3 2
3

b

x2

x4

x2 n

a

x0

x2

x2 n - 2

I = ò f ( x)dx » ò f ( x)dx + ò f ( x)dx + ... + ò
=

f ( x)dx

h
h
h
( y0 + 4 y1 + y2 ) + ( y2 + 4 y3 + y4 ) + ... + ( y2 n-2 + 4 y2 n-1 + y2 n )
3
3
3

h
I = [( y0 + y2 n ) + 4( y1 + y3 + ... + y2 n-1 ) + 2( y2 + y4 + .. + y2 n-2 )] (4)
3
Sai số tòan phần:

nMh5 b - a
r ( h) £
M h4
=
180
180

Với M thỏa: M= Max |f(4)(x)|, "xỴ[a,b]

(5)

3.6.3 Cơng thức Newton-Cotes

3.6.2 Cơng thức Simpson
p

b

I = ị f ( x )dx

Giả sử cần tính tích phân

a

x a
Đổi biến t = b-a

b

1

1

0

0

Þ I = ị f ( x) dx = (b - a ) ò f a + (b - a )t dt =(b - a ) ò F (t ) dt
a

trong đó F(t ) = f a + (b - a)t
p

Chia [a,b] thành n phần bằng nhau với khoảng cách
i
xi = a + i h, Þ ti = , i = 0, n
h

3.6.3 Công thức Newton-Cotes
p

Thay

1

1

0

0

I = (b - a) ò F (t ) dt » (b - a ) ị P(t ) dt

trong đó P(t) là đa thức nội suy Lagrange của hàm F(t ) với các mốc
nội suy ti , F(ti )

ìi
ü ìi
ü

= í , f xi ý = ớ , yi ý
ợh
ỵ ợh ỵ

3.6.3 Cụng thc Newton-Cotes
t

1

ổ 1ử
t - 0 ỗt - ữ
ố nứ
Pni := 0
ổi
ửổ i 1 ử
ỗ - 0 ữỗ - ữ
ốn
ứố n n ứ

ũ

ổ i - 1 ửổ i + 1 ử
ỗt ữỗ t ữ t - 1 dt
n ứố
n ứ
ố
ổ i i - 1 ưỉ i i + 1 ư ỉ i
ử
ỗ ữỗ ữ ỗ - 1ữ
n

n
n
n
n
ố
ứố
ứ ố
ứ

ố Cụng thc Newton-Cotes:
b

ị I = ò f ( x)dx » b - a
a

n

åy P
i =0

i

i
n

(6)

h=

b-a

n


3.6.4 Sai số và cách chọn bƣớc

3.6.3 Công thức Newton-Cotes
p

b

Trƣờng hợp n=1:
P10 = P11 =

b

1
1 ư
ỉ y + y1 ư
ỉ1
Þ ũ f ( x )dx ằ b - a ỗ y0 + y1 ữ = b - a ỗ 0
ữ
2
2 ø
è2
è 2 ø
a

Đây chính là cơng thức hình thang (địa phƣơng)
p

Giả sử cần tính tích phân I = ị f ( x )dx với độ chính xác

p

Trƣờng hợp n=2:

Cơng thức đánh giá sai số:

M h3
+ Cơng thức hình thang: | r (h) |£ n
, M = Max|f’’(x)|, " xỴ[a,b]
12
+ Cơng thức Simpson: r ( h) £

b

1
4
b-a
P = P = ; P21 =
Þ ị f ( x)dx »
y0 + 4 y1 + y2
6
6
6
a
0
2

2

2

1

dx
1 x2
0 +

Ví dụ: đánh giá sai số khi dùng CT Simpson tính I = ị

3.6.4 Sai số và cách chọn bƣớc
Tiến hành tính 2 lần để kiểm tra độ chính xác (tính kép):
+Tính tích phân với bƣớc h nào đó, cho kết quả In

3.6.4 Sai số và cách chọn bƣớc
p

Sai số:

+ Cơng thức hình thang: D »

+Tính lại theo cơng thức đó với bƣớc h/2 (tăng n gấp đôi), kết quả I2n

+ Công thức Simpson:

w Nếu I n - I 2 n <

thì lấy

w Nếu I n - I 2 n ³

thì tiếp tục lặp lại với bƣớc h/4

è Bƣớc h đầu tiên thƣờng đƣợc chọn cỡ
hình thang, và m=4 với ct Simpson

m

, trong đó, m=2 với ct

nMh5 ,
M= Max |f(4)(x)|, "xỴ[a,b]
90

è Cần tính Max |f(k)(x)|, xỴ[a,b] è Tính tốn phức tạp!!!

Đây chính là cơng thức Simpson (địa phƣơng)

p

cho trƣớc.

a

D»

1
I n - I2n
3
1

In - I2n
15

Bài tập: Tính gần đúng các tích phân sau bằng cơng thức hình thang với
độ chính xác

a)

= 10-2 , xác định h nhờ cách tính kép
0,3

dx
I=ị
x
0,1

1

dx
1 x2
0 +

b) I = ị


BÀI TẬP CHƢƠNG III

BÀI TẬP CHƢƠNG III
p

Bài 5: Sử dụng cơng thức nội suy Lagrange, tính gần đúng sin
(hàm y=sinx) với các mốc nội suy
x0 = 0, x1 =

6

, x2 =

4

, x3 =

3

, x4 =

2

12

Ƣớc lƣợng sai số.

4

p

Bài 6: Tính gần đúng tích phân I = ị x sin( x + 2) dx với 5 điểm
1

chia là 1; 1,6; 2,2; 3,1; 4 bằng ct hình thang và ct Simpson

1

p

dx
bằng cơng thức hình
2x + 1
0

Bài 7: Tính gần đúng tích phân I = ị

thang và cơng thức simpson với 10 đoạn chia; Đánh giá sai số.

90

89

Bài 4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm
q

CHƯƠNG 4

GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Nghiệm của phƣơng trình:
là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0
v Nếu f( ) = 0 thì
v Ý nghĩa hình học của nghiệm:
- Các nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0 là hoành độ giao

điểm của đƣờng cong (C): y = f(x) với trục hịanh.
y
y=f(x)
M
x

91

a1, a2 là nghiệm của phương trình f(x)=0


4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm
Có thể biến đổi phƣơng trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x).
Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2
đƣờng cong (C1): y=g(x) và (C2): y=h(x)
y

N

M

(C2): y=H(x)

2

f’(x)>0
f(a)<0
f(b)>0

y=f(x)

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

y=f(x)

y

a

f’(x)>0
f(a)<0
f(b)>0

a

a

Khoảng [a,b] nào đó được gọi là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình f(x)=0 nếu nó chứa 1 và chỉ 1 nghiệm
của phương trình đó.

Định lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không
đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một
nghiệm trên (a,b).

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm
y

Khoảng phân ly nghiệm:

Ví dụ 1.1: Trên (-2, -1) phƣơng trình x3-3x+1=0 chỉ có duy 1
nghiệm Þ (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm.

(C1): y=g(x)

1

q

b x

b x

a

Ví dụ 1.2: Xét hàm f(x) = x3-3x+1.
Ta có: f’(x) = 3x2 – 3=0 Û x = -1 hoặc x = 1
Bng xột du f(x)
x
f(x)

y

f(x)<0
f(a)>0
f(b)<0

y=f(x)

a

a

b
x

y

y=f(x)

a

a

f(x)<0
f(a)>0
f(b)<0

-Ơ
+

0

+Ơ

1

-1

-

0

+

f(x)>0, "x ẻ (-2,-1) hn nữa f(-2). f(-1)=(-1).(3)=-3<0
Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm
Tƣơng tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly
nghiệm


Bài 4.2.Phƣơng pháp chia đôi (Bisection)

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm
Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phƣơng trình
5x3 - 19x + 3 = 0
Xét f(x) = 5x3 - 19x + 3
19
19
; x2 = p Tính f’(x) = 15x2 – 19; f’(x) = 0 Û x1 =
15
15
p Bảng biến thiên
X
f’(X)

-¥

+¥

+

0

f(x)

-

0
+

¥

-11,26

Vậy có thể lấy (-3;-2); (0;1); (1,5;2) là các khoảng phân ly nghiệm
của phƣơng trình 5x3 - 19x + 3 = 0.

4.2. Phƣơng pháp chia đơi
§

§
§

f(x)

a

x0 x2
x1

üChọn x0 là điểm giữa [a,b] làm
nghiệm gần đúng.

a

x0

a+b
2

a

x
b

§ Nếu f(x0)=0 ị x0 l nghim ỳng đ Dng.
Đ Nu f(x0) ạ 0 và sai số Dx0£ e thì x0 là nghiệm gần
đúng cần tìm với sai số Dx0 ® Dừng.

4.2. Phƣơng pháp chia đơi

Nếu f(x0) ¹ 0 và sai số Dx0 > e thì xét dấu f(a).f(x0):
Nếu f(a).f(x0) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x0)
Nếu f(a).f(x0) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x0,b)
Lặp lại phƣơng pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới.
Quá trình lặp lần lƣợc cho ta các nghiệm gần đúng x0, x1,…. Và
kết thúc khi tìm đƣợc xn với sai số Dxn≤ e
y

Nội dung của phương pháp:

x0 =

17,26

-¥

Bài tốn: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phƣơng trình
f(x) = 0. Tìm nghiệm thực gần đúng của phƣơng trình trong
(a,b), sai số £ e.
y
f(x)

b

x

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phƣơng trình x3 + 4x2 – 1=0
trên (0,1) theo phƣơng pháp chia đôi với 5 lần lặp.
Giải: Với f(x) = x3 + 4x2 -1, ta có f(0) = -1, f(1) = 4
=> (0,1) là khoảng phân ly nghiệm.
Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phƣơng pháp chia đôi)

Nghiệm gần đúng tìm được là x » 0,46875