Bài 5 PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA các PHÂN THỨC đại số

BÀI 5: PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm vững và vận dụng được các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đại số.
+ Hiểu và vận dụng được khái niệm phân thức nghịch đảo.
+ Hiểu và vận dụng được thứ tự thực hiện các phép tính trong dãy có các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia; có dấu ngoặc.
+ Hiểu và vận dụng được các tính chất của các phép tốn vào giải toán.
 Kĩ năng
+ Thành thạo cộng, trừ, nhân, chia các phân thức.
+ Biết cách tìm phân thức nghịch đảo của một phân thức.
+ Biết cách tìm phân thức chưa biết từ đẳng thức.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phép nhân các phân thức đại số

+) Kết quả của hai phép nhân được gọi là tích.

Muốn nhân hai phân thức đại số ta nhân các tử thức +) Mở rộng
với nhau, các mẫu thức với nhau.
A C A.C
. 
B D B.D

A1 A2 A3 An A1. A2 . A3 ... An
. . ... 
B1 B2 B3 Bn B1.B2 .B3 ...Bn

Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta
vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với
nhau.

Phân thức nghịch đảo
Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu

Cho phân thức

gọi là phân thức nghịch đảo của

tích của chúng bằng 1.

ta nhân

A
.
B

Ví dụ:

Phép chia phân thức
Muốn chia phân thức

A
B
được
 0 , khi đó phân thức
B
A

2
x2  3
A

C
là
.
cho phân thức
khác 0 Phân thức nghịch đảo của 2
x 3
2
D
B

A
C
với phân thức nghịch đảo của
.
D
B
A C A D A.D
:  . 
B D B C B.C

Mở rộng
A
B
A1 A2 A3
A B
: : :...: n  1 . 2 .... n
B1 B2 B3
Bn B1 A2
An

Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta
vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng
sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải.

Trang 1


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
Nhân hai phân thức
A C A.C
.
. 
B D B.D

Phân thức nghịch đảo

B
A

Nhân, chia
phân thức đại

là phân thức nghịch đảo
của

số

A
.
B

Chia hai phân thức
A C A D A.D
:  . 
B D B C B.C
C

  0
D


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Thực hiện phép tính với phân thức
Bài toán 1. Nhân các phân thức
Phương pháp giải
Bước 1. Viết tích của hai phân thức đã cho về dạng:
A C A.C
C A.C
. 
hoặc A. 
B D B.D
D
D

Bước 2. Phân tích các đa thức A, B, C, D thành
nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung ở cả tử và
mẫu của phân thức mới (nếu có thể) rồi tiến hành
rút gọn, tính tốn.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

x3  8
x2  4x
. 2
5 x  20 x  2 x  4

x3  8 x 2  4 x 

x3  8
x2  4x
.

5 x  20 x 2  2 x  4  5 x  20   x 2  2 x  4 

 x  1  x 2  2 x  4  x  x  4 

5  x  4  x2  2x  4


x  x  2
5

.

Chú ý:
- Để xuất hiện nhân tử chung ở tử và mẫu của phân thức mới đôi khi ta phải sử dụng tính chất
A     A .

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau

a)

8x 5 y 2
.
.
15 y 3 x 2

b)

c)

15 x  30 4  2 x
.
.
4x  8 x  2

d)

24 y 5  21x 
. 
.
7 x 2  12 y 3 

3x  6

 y  3

3

. 2 y  6 .

Hướng dẫn giải
Trang 2


a)

8 x 5 y 2 8 x.5 y 2
8
.
. 2 

3
3 2
15 y x
15 y .x
3xy

b)

24 y 5  21x 
24 y 5 .21x
2 y 2 .3
6 y2
.








.


7 x 2  12 y 3 
7 x 2 .12 y 3
x
x

c)

15  x  2 
15 x  30 4  2 x 15 x  30  .  4  2 x  15  x  2  .2  2  x 
15
.



 .
4x  8 x  2
4  x  2  x  2 
2  x  2
2
 4 x  8 x  2 

d)

3x  6

 y  3

3

. 2 y  6 

 3x  6  .  2 y  6   6  x  2  y  3  6  x  2  .
3
3
2
 y  3
 y  3
 y  3

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau
a)

18 x 2 9  x 2
.
.
x  3 6 x3

b)

x 2  16 3
.
.
3x  16 4  x

c)

x  3 8  12 x  6 x 2  x3
.
.
x2  4
7 x  21

d)

2
x3  1
x2 1
.
. 2
. 2
x 1 x  2x  1 2x  2x  2

Hướng dẫn giải
2
2
2
18 x 2 9  x 2 18 x .  9  x  18 x  3  x  3  x  3  3  x 
a)
.
.



x  3 6 x3
x

 x  3 .6 x3
 x  3 6 x 3

x 2  16  .3

3  x  4  x  4   x  4  x  4 
x 2  16 3
x4
b)
.
.




3x  16 4  x  3x  6  .  4  x  3  x  2  4  x    x  4  x  2 
x2
3
2
3
x  3 2  x 

x  3 8  12 x  6 x 2  x3  x  3 8  12 x  6 x  x 
c) 2
.


x 4
7 x  21
7  x  3 x  2  x  2 

 x2  4  7 x  21

 x  2

7  x  2  x  2 
3

 x  2 .
7  x  2
2



2.  x3  1 x 2  1
2
x3  1
x2 1
d)
.
.

x  1 x 2  2 x  1 2 x 2  2 x  2  x  1  x 2  2 x  1 2 x 2  2 x  2 


2  x  1  x 2  x  1  x  1 x  1
2  x  1 x  1  x 2  x  1
2

1.

Bài toán 2. Chia phân thức đại số
Phương pháp giải
Bước 1. Viết thương của hai phân thức đã cho về
dạng:

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

5 x  15 3  x  3
:
.
2
 x  4 x  4

Trang 3


A C A D
C
A
A 1
với
với
:  .
 0 hoặc
:C  .
B D B C
D
B
B C

5 x  15 3  x  3 5 x  15 x  4
:

.
2
2
 x  4  x  4  x  4  3  x  3

C  0.

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện phép



 5 x  15  .  x  4 
2
 x  4  .3  x  3



5  x  3
3  x  4  x  3



5
.
3 x  4

tính.

Chú ý: Ưu tiên tính tốn biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính sau

 40 x   4 x3 
a)   2  :  
.
 9y   5y 
c)

3x  6
:  5 x  10  .
x2  5

e)

x  1 x  3 2x 1
.
:
:
x  2 2 x  4 5 x  15

1  9x2 2  6 x
b)
.
:
2 x2  8x
x
d)  x 2  25 :

4 x  20
.
3x  1

Hướng dẫn giải

 40 x   4 x3 
40 x  5 y  40 x.5 y
50
a)   2  :  
   2 .  3   2 3  2 .
9 y  4 x  9 y .4 x
9x y
 9y   5y 
b)

1  3x 1  3x  .x  1  3x .
1  9 x2 2  6 x 1  9 x2
x
:
 2
.

2
2 x  8x
x
2 x  8x 2  6 x 2 x  x  4  .2 1  3x  4  x  4 

c)

3  x  2  .1
3x  6
3x  6
1
3
:  5 x  10   2
.
 2

.
2
2
x 5
x  5 5 x  10  x  5  .5  x  2  5  x  5 

d)  x 2  25 :

 3x  1   x  5 x  5 3x  1   x  53x  1 .
4 x  20
  x 2  25 .
3x  1
4 x  20
4  x  5
4

e)

x  1 x  3 2x 1
:

:
x  2 2 x  4 5 x  15



x  1 2 x  4 5 x  15  x  1 .2  x  2  .5  x  3 10  x  1
.
.
.


x  2 x  3 2x 1
2x 1
 x  2  x  3 2 x  1

Bài tốn 3. Tính tốn sử dụng kết hợp các quy tắc đã học
Phương pháp giải
Sử dụng hợp lý bốn quy tắc đã học: Quy tắc cộng,
quy tắc trừ, quy tắc nhân và quy tắc chia để tính
tốn.

Ví dụ: Rút gọn biểu thức:

x 1 2
x3 
x

x

1




2x 
x 1

Hướng dẫn giải
Trang 4


Cách 1

Cách 1

Bước 1. Thực hiện tính tốn đối với biểu thức trong

x 1 2
x3 
x

x

1



2x 
x 1

dấu ngoặc trước (nếu có).

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân
thức đại số để rút gọn biểu thức.

2
3
x  1   x  1  x  x  1  x 




2x 
x 1





x  1  x3  1  x3 


2x  x 1 



x  1 2 x3  1
.
2x x 1

2 x3  1
.


2x
Cách 2

Cách 2
Bước 1. Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép cộng:

x 1 2
x3 
x

x

1



2x 
x 1

A C E  A C A E
   .  .
BD F  B D B F



x 1 2
x  1 x3
.  x  x  1 

.
2x
2x x 1

Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân, chia kết hợp với quy



x3  1 x 2

2x
2



x3  1  x3
2x



2 x3  1
.
2x

tắc cộng, trừ các phân thức đại số để tính tốn.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:

x3  1  1

x 1 
a) A 
 2

.
2x  4  x 1 x  x  1 
x2  y 2  x  y 
y2
x2
b) B 
.
.

:
x y
x2
x  y  x  y 2
2

Hướng dẫn giải
a) A 

x3  1  1
x 1 
 2


2x  4  x 1 x  x  1 

2

x3  1  x  x  1   x  1 x  1 



2 x  4   x  1  x 2  x  1 



Trang 5




2
2
x3  1  x  x  1   x  1 



2x  4 
x3  1





x3  1  x 2  x  1  x 2  1 


2x  4 

x3  1




x3  1 x  2
.
2 x  4 x3  1

x

3

 1  x  2 



2  x  2   x3  1



1
.
2

x2  y 2  x  y 
y2
x2
b) B 
.


:
x y
x2
x  y  x  y 2
2

 x  y


2

 x2  y 2
y2 



x y
 x y

 x  y


2

x2
.
x y

x2

x2

x  y  .x 2

 2
x . x  y 
2

 x  y

x y

2

.

Ví dụ 2. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

 x2  y 2  x  y
 1 .
a) A   2
với x  2018, y  2019 .
2
x y
 2y
 x 2 y 2 
x y
1 


b) B     2
 với x  25, y  5 .
2
x   x  xy  y
x y
 y
Hướng dẫn giải
2 y2  x  y 
 x2  y 2  x2  y 2  x  y
2 y2 x  y
y
.

.


a) A  

2
2
2
2
x y
x  y 2y
 x  y  x  y  .2 y x  y

 2y

Với x  2018, y  2019 thì biểu thức A có giá trị là A 

2019
 2019 .
2018  2019

 x3  y 3    x  y  x  y   x 2  xy  y 2   x3  y 3  x 2  y 2  x 2  xy  y 2 

b) B  



x3  y 3
 x  y   x2  xy  y 2    xy 
 xy  


Trang 6




x3  y 3 2 x 2  xy
. 3
xy
x  y3

x


3

 y 3  .x  2 x  y 
xy.  x  y
3

3





2x  y
y

Với x  25, y  5 thì biểu thức B có giá trị là B 

2.25  5
 9 .
5

Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Thực hiện các phép tính sau
a)

x2  x
8x  8
.
:
2
5 x  10 x  5 15 x  15

b)

x2  5x  6 x2  6 x  9
.
:
x 2  7 x  12 x 2  4 x

y 2  x2
x4
.
d)
.
2
x2
 x  y

x 4  8 xy 3 x3  2 x 2 y  4 xy 2
c)
.
:
2 xy  5 y 2
2x  5 y

Câu 2: Tính giá trị các biểu thức sau tại x  3

x3  2
x3 
. x  x  1 
a) A 


x 1 
x 1 


3x 2   x

:
 1 .
b) B  1 
2  
 4 x   x2 

Câu 3: Rút gọn biểu thức
a)

x2 1 x
x2 1 1  x
.
.

.
x  10 x  2 x  10 x  2

1  x
 1

c) 
.
:
 x2 2 x  x2

b)

x3  2 x 2  x  2  1
2
1 
.


.
3x  15
 x 1 x  1 x  2 

d)

x y
3x  y x  y
.
 2
:
2
xy  y
x  xy y  x

Bài tập nâng cao
Câu 4: Thực hiện phép tính
a)

x  3 x2  7 x  8
.

.
x  1 x2  5x  6

b)

x 2  5 xy  6 y 2 x  1
.
.
x 2  3x  2 x 2  9 y 2

c)

a 4  ab3 a3  a 2b  ab 2
.
:
2ab  b2
2a  b

d)

x 1  x  2 x  3 
:
:
.
x  2  x  3 x 1 

Câu 5: Cho

a
b

c
a2
b2
c2


 1 . Chứng minh rằng:


0
bc ca ab
bc ca ab

ĐÁP ÁN
Câu 1:
a)

x2  x
8x  8
:
2
5 x  10 x  5 15 x  15



x2  x
15 x  15
.
2
5 x  10 x  5 8 x  8



x  x  1 .15  x  1
5  x  2 x  1 .8  x  1

Trang 7




3 x  x  1
8  x  1

2



3x
.
8  x  1

b)

x2  5x  6 x2  6 x  9
:
x 2  7 x  12 x 2  4 x



x2  5x  6 x2  4 x
.
x 2  7 x  12 x 2  6 x  9

x

x

2

2

 2 x  3x  6  x  x  4 

 3x  4 x  12   x  3

2

 x  x  2   3  x  2   x  x  4 

2
 x  x  3  4  x  3   x  3


 x  2  x  3 x  x  4 
2
 x  3 x  4  x  3



x  x  2
.
 x  3 x  3

x 4  8 xy 3 x3  2 x 2 y  4 xy 2
c)
:
2 xy  5 y 2
2x  5 y
x  x3  8 y 3   2 x  5 y 



 2 xy  5 y  x  2 x y  4xy 
x  x  2 y   x  2 xy  4 y   2 x  5 y 

y  2 x  5 y  x  x  2 xy  4 y 
2

3

2

2

2

2

2



x  2y
.
y

d)

y 2  x2
x4
.
2
x2
 x  y



 y  x  x  y  x 4
2
x2  x  y 



2

 x2  x  y 
x y

.

Câu 2:
a) A 

x3  2
x3 
. x  x  1 

x 1 
x 1 

2
3
x3   x  1  x  x  1  x 


.

x 1 
x 1



Trang 8


x3  x3  1  x3 

.


x 1  x 1 



x3 1
.
x 1 x 1
 x3

 x  1

.

2

Vậy giá trị của biểu thức tại x  3 là A 

27
.
4


3x 2   x

:
 1
b) B  1 
2  
 4 x   x2 
 4  x 2  3x 2   x  x  2 


:

2
 4 x
  x2 


4  4x2 2x  2
:
4  x2 x  2

 4  4x . x  2

 4  x . 2x  2
2

2




4 1  x 1  x  x  2 
 2  x  2  x  .2  x  1
2 1  x 
2 x

.

Vậy giá trị của biểu thức tại x  3 là B 

2 1  3
23

 4.

Câu 3:
a)

x2 1 x
x2 1 1  x
.

.
x  10 x  2 x  10 x  2

x2 1  x
1 x 




x  10  x  2 x  2 

x2 1
.

 x  10  x  2 
b)

x3  2 x 2  x  2  1
2
1 
.



3x  15
 x 1 x  1 x  2 

x  2  x  1 x  1   x  1 x  2   2  x  1 x  2   x 2  1 


. 

3  x  5
 x  1 x  1 x  2 





 x  2  x  1 x  1 . 
x5


3  x  5
  x  1 x  1 x  2  

Trang 9

1
 .
3
1  x
 1

c) 
:
 x2 2 x  x2



2 x x2 x2
.
 x  2 2  x  x



2 x  x  2 
  x  2  x  2  x



2
.
x2

d)

x y
3x  y x  y
 2
:
2
xy  y
x  xy y  x



x y
3x  y y  x

.
y  x  y x  x  y x  y



x y
3x  y

y  x  y x  x  y



x  x  y   y  3x  y 
xy  x  y 

 x  y


xy  x  y 
2



x y
.
xy

Bài tập nâng cao
Câu 4:
a)

x  3 x2  7 x  8
.
x  1 x2  5x  6



x  3  x  1 x  8
.
x  1  x  2  x  3



x 8
.
x2

b)

x 2  5 xy  6 y 2 x  1
.
x 2  3x  2 x 2  9 y 2



 x  2 y  x  3 y  .
x 1
 x  1 x  2  x  3 y  x  3 y 



x  2y
.
 x  2  x  3 y 

c)

a 4  ab3 a3  a 2b  ab 2
:
2ab  b2
2a  b
Trang 10





a  a  b   a 2  ab  b 2 
b  2a  b 

.

2a  b
a  a  ab  b 2 
2

a b
.
b

d)

x 1  x  2 x  3 
:
:

x  2  x  3 x 1 



x 1  x  2 x 1 
:
.

x2  x3 x3

 x  3

x 1

.
x  2  x  1 x  2 
2

 x  3 .

2
 x  2
2

Câu 5: Cho
Ta có

a
b
c
a2
b2
c2


 1 . Chứng minh rằng:


0
bc ca ab
bc ca ab

a
b
c


 1 . Nhân hai vế của đẳng thức này với a  b  c thì được đẳng thức mới là:
bc ca ab

 a  b  c  

a
b
c 


  abc
bc ca ab



a2  a b  c  b2  b  c  a  c 2  c  a  b 


 abc
bc
ca
ab



a2
b2
c2
a
b
c  abc
bc
ca
ab



a2
b2
c2


 0.
bc ca a b

Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước
Phương pháp giải
Bước 1. Đưa đẳng thức về dạng A. X  B .
Khi đó X 

B
A

 A  0

Bước 2. Tiến hành rút gọn biểu thức
phép chia phân thức.

Ví dụ: Tìm biểu thức X, biết rằng:

a 2  2ab
a 2  4b 2
.X  2
a b
a  ab
2
B
dựa vào (Điều kiện: a  b, a  0, a  2b  0 ).
A
a 2  4b2 a 2  2ab
X 2
:
a  ab
a b



 a  2b  a  2b  . a  b
a  a  b
a  a  2b 



a  2b
.

a2

Trang 11


Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Tìm biểu thức X , biết rằng:
a)

a 2  2ab  b2
a 2  b2
.
X

a 4  b4
a 2  b2

b)

mn
m2  mn
.
.X 
mn
2 m 2  2n 2

c) X :
d)

a3  b3 a 2  2ab  b2

.
 2
a b
a  ab  b2

3a  3
a 1
.
:X  3
a  a 1
a 1
2

Hướng dẫn giải
a) X 



a 2  b2 a 2  2ab  b 2
:
a 2  b2
a 4  b4

a 2  b2
a 4  b4
.
a 2  b2 a 2  2ab  b2

a


a


2

 b 2  a 2  b 2  a 2  b 2 

a

2

2

 b2 

 a  b

 b2   a  b 

2

.

2

2

 a  b  a  b  


2
a  b

 a  b  a  b

2
 a  b
2

2

2

 a  b .
2

b) X 

m2  mn m  n
:
2m 2  2n 2 m  n



m  m  n
mn
.
2  m  n  m  n  m  n



m
.
2  m  n

c) X 

a 2  2ab  b 2 a 3  b3
.
a 2  ab  b 2 a  b

Trang 12


 a  b   a  b   a 2  ab  b 2 

 a 2  ab  b2   a  b 
2

  a  b  a  b 

 a 2  b2 .
d) X 


3a  3
a 1
: 3
a  a 1 a 1
2

2
3  a  1  a  1  a  a  1
.
a2  a  1
a 1

 3  a  1 .

Bài tập tự luyện dạng 2
Câu 1: Tìm phân thức thỏa mãn các đẳng thức sau:
a)

x 1
4x  4
.
.P  2
3
x 1
x  x 1

c) M :

a4
a2  9
.

a 2  3a a 2  4a

b)

x 2  y 2  xy
x3  y 3
.
.
Q

x2  y 2
x 2  y 2  2 xy

d)

4a 2  12a  9
2a  3
.
:X  2
a 1
5a  5

ĐÁP ÁN
Câu 1:
2
4  x  1  x  1  x  x  1
 4  x  1 .
.
a) P  2
x  x 1
x 1

 x  y   x 2  xy  y 2   x  y  x  y   x  y 2

b) Q 

. 2
2
x y
x  y 2  xy
 x  y
c) M 

d)

 a  3 a  3 . a  4
a  a  4
a  a  3

 2a  3 
X
a 1

2

.



a 3
.
a2

5  a  1 a  1

 5  a  1 2a  3  .
2a  3

Trang 13