Tài liệu Đồ họa máy tính docx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.17 MB, 174 trang )

Đồ họa máy tính
D
-
ˆ
O
`
HO
.
A M
´
AY T
´
INH I
Pha
.
m Tiˆe
´
n So
.
n
D
-
`a La
.
t, 2005
2

Mu
.
c lu
.
c
L`o
.
i n´oi d¯ˆa
`
u 7
1 C´ac thuˆa
.
t to´an v˜e d¯u
.
`o
.
ng cong trˆen thiˆe
´
t bi
.
raster 9
1.1 D
-
oa
.
n thˇa
˙’
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Thuˆa
.

t to´an sˆo
´
gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Mˆo
.
t sˆo
´
vˆa
´
n d¯ˆe
`
liˆen quan d¯ˆe
´
n thuˆa
.
t to´an v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng . . . . . . . . 18
1.1.4 C´ac thuˆo
.
c t´ınh cu

˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 D
-
u
.
`o
.
ng tr`on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 D
-
ˆo
´
i x´u
.
ng t´am d¯iˆe
˙’
m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a v˜e d¯u
.

`o
.
ng tr`on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 D
-
u
.
`o
.
ng cong ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Ellipse c´o da
.
ng ch´ınh tˇa
´
c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2 Ellipse trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p tˆo
˙’
ng qu´at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 H`ınh ho
.
c cu
˙’
a c´ac d¯u

.
`o
.
ng cong v`a mˇa
.
t cong 47
2.1 Mo
.
˙’
d¯ˆa
`
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3
2.2 D
-
u
.
`o
.
ng cong Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Thuˆa
.
t to´an de Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 D
-
a th´u
.
c Bernstein v`a d¯u
.
`o

.
ng cong Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 C´ac t´ınh chˆa
´
t cu
˙’
a d¯u
.
`o
.
ng cong Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.1 D
-
iˆe
`
u khiˆe
˙’
n d¯i
.
a phu
.
o
.
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 D
-
a th´u
.
c t`u
.

ng kh´uc v`a c´ac h`am spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.1 Su
.
˙’
du
.
ng c´ac h`am spline nhu
.
c´ac h`am trˆo
.
n . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4.2 Xˆay du
.
.
ng c´ac h`am trˆo
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.3 D
-
u
.
`o
.
ng cong spline v`a c´ac h`am co
.
so
.
˙’
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.4 C´ac h`am B-spline co

.
so
.
˙’
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.5 Su
.
˙’
du
.
ng c´ac knot bˆo
.
i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.6 Vector knot chuˆa
˙’
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.5 C´ac t´ınh chˆa
´
t cu
˙’
a d¯u
.
`o
.
ng cong B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Nˆo
.
i suy c´ac d¯iˆe
˙’
m d¯iˆe

`
u khiˆe
˙’
n bˇa
`
ng d¯u
.
`o
.
ng cong B-spline . . . . . . . . . . . . 77
2.7 Thiˆe
´
t kˆe
´
c´ac mˇa
.
t Bezier v`a B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.1 Patch Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7.2 D´an c´ac patch Bezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7.3 Patch spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Giao cu
˙’
a c´ac d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng 83

3.1 Mo
.
˙’
d¯ˆa
`
u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Giao cu
˙’
a hai d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.1 Phˆan t´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4
3.2.2 Thuˆa
.
t to´an x´ac d¯i
.
nh giao hai d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 D
-
oa
.
n thˇa
˙’

ng v`a h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.1 T`ım giao bˇa
`
ng c´ach gia
˙’
i hˆe
.
c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.2 Thuˆa
.
t to´an chia nhi
.
phˆan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3.3 Thuˆa
.
t to´an Cohen-Sutherland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3.4 Thuˆa
.
t to´an Liang-Barsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4 Giao cu
˙’
a d¯oa

.
n thˇa
˙’
ng v`a d¯a gi´ac lˆo
`
i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4.1 Vi
.
tr´ı tu
.
o
.
ng d¯ˆo
´
i cu
˙’
a mˆo
.
t d¯iˆe
˙’
m v´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng . . . . . . . . . . . . 100
3.4.2 Thuˆa

.
t to´an t`ım giao cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v`a d¯a gi´ac lˆo
`
i . . . . . . . . . . 102
3.5 Giao hai d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5.1 Thuˆa
.
t to´an Sutherland-Hodgman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.5.2 Thuˆa
.
t to´an Weiler-Atherton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5.3 C´ac ph´ep to´an tˆa
.
p ho
.
.
p trˆen c´ac d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6 Ray tracing hai chiˆe
`
u: pha
˙’
n xa
.
trong buˆo

`
ng k´ın . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.1 Vector pha
˙’
n xa
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.2 Giao cu
˙’
a tia s´ang v`a d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6.3 Giao cu
˙’
a tia s´ang v´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng tr`on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.6.4 Xˆay du
.
.
ng v´ı du
.

ray tracing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6.5 Buˆo
`
ng k´ın l`a ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4 Tˆo m`au v`ung 127
4.1 C´ac d¯i
.
nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.1 V`ung d¯i
.
nh ngh˜ıa bo
.
˙’
i pixel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5
4.1.2 V`ung d¯i
.
nh ngh˜ıa bo
.
˙’
i d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 Thuˆa
.
t to´an tˆo m`au theo vˆe
´
t dˆa
`
u loang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.3 Thuˆa
.

t to´an tˆo m`au theo con cha
.
y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.4 Thuˆa
.
t to´an tˆo m`au theo biˆen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.5 So s´anh c´ac thuˆa
.
t to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.6 Tˆo m`au c´ac h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.7 Thuˆa
.
t to´an tˆo m`au d¯a gi´ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.7.1 C´ac d`ong qu´et ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7.2 C´ac ma
˙’
nh vu
.
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.7.3 Liˆen kˆe
´
t ca
.
nh v`a thuˆa
.
t to´an tr`an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.7.4 Tˆo m`au c´ac d¯a gi´ac chˆo
`
ng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.8 Tˆo m`au theo mˆa
˜
u tˆo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Phˆa
`
n phu
.
lu
.
c: Thu
.
viˆe
.
n graph2D.h 163
T`ai liˆe
.
u tham kha
˙’
o 171
6
L`o
.
i n´oi d¯ˆa
`
u
D
-

ˆo
`
ho
.
a m´ay t´ınh l`a mˆo
.
t l˜ınh vu
.
.
c hˆa
´
p dˆa
˜
n cu
˙’
a khoa ho
.
c m´ay t´ınh. Ch´ung ta su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆo
`
ho
.
a
m´ay t´ınh nhu
.
mˆo

.
t cˆong cu
.
d¯ˆe
˙’
quan s´at thˆong tin trong nhiˆe
`
u l˜ınh vu
.
.
c kh´ac nhau, bao gˆo
`
m
khoa ho
.
c v`a cˆong nghˆe
.
, ho´a ho
.
c, kiˆe
´
n tr´uc v`a gia
˙’
i tr´ı. C´ac chu
.
o
.
ng tr`ınh d¯ˆo
`
ho

.
a tu
.
o
.
ng t´ac
cho ph´ep ngu
.
`o
.
i su
.
˙’
du
.
ng l`am viˆe
.
c theo c´ach tu
.
.
nhiˆen nhˆa
´
t: ngu
.
`o
.
i su
.
˙’
du

.
ng cung cˆa
´
p thˆong
tin cho tr`ınh ´u
.
ng du
.
ng thˆong qua c´ac hoa
.
t d¯ˆo
.
ng bˆen ngo`ai cu
˙’
a ho
.
v`a s˜e nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c thˆong
tin tro
.
˙’
la
.
i bˇa

`
ng h`ınh a
˙’
nh. D
-
ˆo
`
ho
.
a m´ay t´ınh d¯ang gi´up con ngu
.
`o
.
i thay d¯ˆo
˙’
i vˆe
`
quan niˆe
.
m v`a
c´ach th´u
.
c su
.
˙’
du
.
ng m´ay t´ınh.
Gi´ao tr`ınh D
-

ˆo
`
ho
.
a m´ay t´ınh I cung cˆa
´
p mˆo
.
t sˆo
´
k˜y thuˆa
.
t co
.
ba
˙’
n cu
˙’
a d¯ˆo
`
ho
.
a m´ay t´ınh
hai chiˆe
`
u. (D
-
ˆo
`
ho

.
a m´ay t´ınh ba chiˆe
`
u, mˆo
.
t phˆa
`
n quan tro
.
ng khˆong thˆe
˙’
thiˆe
´
u d¯u
.
o
.
.
c s˜e d¯u
.
o
.
.
c
d¯ˆe
`
cˆa
.
p trong mˆo
.

t gi´ao tr`ınh kh´ac). D
-
ˆe
˙’
c´o mˆo
.
t khung ca
˙’
nh to`an diˆe
.
n v`a sˆau sˇa
´
c vˆe
`
nh˜u
.
ng
nguyˆen l´y v`a thu
.
.
c h`anh cu
˙’
a d¯ˆo
`
ho
.
a m´ay t´ınh, xem c´ac t`ai liˆe
.
u dˆa
˜

n [9] v`a [11]. C´ac phu
.
o
.
ng
ph´ap phˆan t´ıch v`a thiˆe
´
t kˆe
´
c´ac thuˆa
.
t to´an trong gi´ao tr`ınh cho ph´ep sinh viˆen c´o thˆe
˙’
viˆe
´
t
dˆe
˜
d`ang c´ac chu
.
o
.
ng tr`ınh minh ho
.
a. Gi´ao tr`ınh d¯u
.
o
.
.
c biˆen soa

.
n cho c´ac d¯ˆo
´
i tu
.
o
.
.
ng l`a sinh
viˆen To´an-Tin v`a Tin ho
.
c.
Gi´ao tr`ınh su
.
˙’
du
.
ng ngˆon ng˜u
.
C d¯ˆe
˙’
minh ho
.
a, tuy nhiˆen c´o thˆe
˙’
dˆe
˜
d`ang chuyˆe
˙’
n d¯ˆo

˙’
i
sang c´ac ngˆon ng˜u
.
kh´ac; v`a do d¯´o, sinh viˆen cˆa
`
n c´o mˆo
.
t sˆo
´
kiˆe
´
n th´u
.
c vˆe
`
ngˆon ng˜u
.
C. Ngo`ai
ra, hˆa
`
u hˆe
´
t c´ac chu
.
o
.
ng tr`ınh thao t´ac trˆen cˆa
´
u tr´uc d˜u

.
liˆe
.
u nhu
.
danh s´ach liˆen kˆe
´
t, nˆen d¯`oi
ho
˙’
i sinh viˆen pha
˙’
i c´o nh˜u
.
ng k˜y nˇang lˆa
.
p tr`ınh tˆo
´
t.
Sinh viˆen c˜ung cˆa
`
n c´o co
.
so
.
˙’
to´an ho
.
c cu
˙’

a nh˜u
.
ng nˇam d¯ˆa
`
u d¯a
.
i ho
.
c: hiˆe
˙’
u biˆe
´
t vˆe
`
d¯a
.
i sˆo
´
tuyˆe
´
n t´ınh v`a h`ınh ho
.
c gia
˙’
i t´ıch, ph´ep t´ınh vi t´ıch phˆan.
Mu
.
c d¯´ıch cu
˙’
a gi´ao tr`ınh l`a, o

.
˙’
m´u
.
c d¯ˆo
.
n`ao d¯´o, cho thˆa
´
y c´ac tr`ınh ´u
.
ng du
.
ng d¯ˆo
`
ho
.
a
d¯u
.
o
.
.
c ta
.
o ra nhu
.
thˆe
´
n`ao: Ch´ung ta cˆa
`

n viˆe
´
t v`a cha
.
y thu
.
˙’
c´ac chu
.
o
.
ng tr`ınh. Mˆo
.
t trong
nh˜u
.
ng mu
.
c d¯´ıch ch´ınh cu
˙’
a gi´ao tr`ınh l`a gi´up sinh viˆen nˇa
´
m v˜u
.
ng c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap, tru
.

´o
.
c
hˆe
´
t to´an ho
.
c ho´a c´ac kh´ac niˆe
.
m h`ınh ho
.
c v`a sau d¯´o chuyˆe
˙’
n ta
˙’
i th`anh c´ac d¯oa
.
n m˜a chu
.
o
.
ng
tr`ınh.
7
Gi´ao tr`ınh bao gˆo
`
m bˆo
´
n chu
.

o
.
ng v`a mˆo
.
t phˆa
`
n phu
.
lu
.
c v´o
.
i nh˜u
.
ng nˆo
.
i dung ch´ınh nhu
.
sau:
• Chu
.
o
.
ng th´u
.
nhˆa
´
t d¯ˆe
`
cˆa

.
p d¯ˆe
´
n c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap v˜e c´ac “nguyˆen so
.
” cu
˙’
a d¯ˆo
`
ho
.
a m´ay
t´ınh: d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng, d¯u
.
`o
.
ng tr`on v`a ellipse.
• Phˆan t´ıch v`a thiˆe
´
t kˆe
´
bˇa

`
ng h`ınh ho
.
c l`a nˆo
.
i dung ch´ınh cu
˙’
a Chu
.
o
.
ng 2. Hˆa
`
u hˆe
´
t c´ac
phˆa
`
n mˆe
`
m d¯ˆo
`
ho
.
a d¯ˆe
`
u c´o nh˜u
.
ng ch´u
.

c nˇang ta
.
o ra c´ac d¯u
.
`o
.
ng cong du
.
.
a trˆen c´ac d¯iˆe
˙’
m
m`a ngu
.
`o
.
i su
.
˙’
du
.
ng lu
.
.
a cho
.
n. Chu
.
o
.

ng n`ay cung cˆa
´
p nh˜u
.
ng nguyˆen l´y v`a c´ach tiˆe
´
p cˆa
.
n
thu
.
.
c h`anh m`a c´ac tr`ınh ´u
.
ng du
.
ng d¯ˆo
`
ho
.
a ´ap du
.
ng.
• Chu
.
o
.
ng 3 gia
˙’
i quyˆe

´
t b`ai to´an x´ac d¯i
.
nh giao cu
˙’
a nh˜u
.
ng nguyˆen so
.
d¯ˆo
`
ho
.
a: Giao hai
d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng, giao cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v`a d¯a gi´ac lˆo
`
i (bao h`am c´ac h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.

t) v`a giao
cu
˙’
a hai d¯a gi´ac. Cuˆo
´
i chu
.
o
.
ng l`a mˆo
.
t v´ı du
.
cu
˙’
a k˜y thuˆa
.
t “ray tracing” hai chiˆe
`
u:
Chuyˆe
˙’
n d¯ˆo
.
ng cu
˙’
a tia s´ang trong buˆo
`
ng k´ın c´o ch´u
.

a c´ac “chu
.
´o
.
ng nga
.
i vˆa
.
t”.
• Chu
.
o
.
ng 4 d¯ˆe
`
cˆa
.
p d¯ˆe
´
n nh˜u
.
ng thuˆa
.
t to´an tˆo m`au v`ung bˆa
´
t k`y: V`ung d¯i
.
nh ngh˜ıa bo
.
˙’

i
phˆa
`
n trong, bo
.
˙’
i d¯u
.
`o
.
ng biˆen v`a v`ung l`a d¯a gi´ac.
• Phˆa
`
n phu
.
lu
.
c l`a thu
.
viˆe
.
n c´ac cˆa
´
u tr´uc d˜u
.
liˆe
.
u v`a c´ac h`am cˆa
`
n thiˆe

´
t v`a thu
.
`o
.
ng xuyˆen
su
.
˙’
du
.
ng trong gi´ao tr`ınh.
Trong lˆa
`
n xuˆa
´
t ba
˙’
n th´u
.
hai n`ay, ch´ung tˆoi d¯u
.
a thˆem c´ac v´ı du
.
t´ınh to´an nhˇa
`
m minh
ho
.
a cho phˆa

`
n l´y thuyˆe
´
t c˜ung nhu
.
gi´up sinh viˆen nˇa
´
m v˜u
.
ng kiˆe
´
n th´u
.
c d¯˜a ho
.
c. Ngo`ai ra, c´ac
lˆo
˜
i trong xuˆa
´
t ba
˙’
n lˆa
`
n tru
.
´o
.
c c˜ung d¯˜a d¯u
.

o
.
.
c chı
˙’
nh l´y; mˇa
.
c d`u vˆa
.
y, t´ac gia
˙’
vˆa
˜
n mong c´o nh˜u
.
ng
d¯´ong g´op t`u
.
ba
.
n d¯o
.
c.
Tˆoi xin ca
˙’
m o
.
n nh˜u
.
ng gi´up d¯˜o

.
d¯˜a nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`u
.
nhiˆe
`
u ngu
.
`o
.
i m`a khˆong thˆe
˙’
liˆe
.
t kˆe
hˆe
´
t, d¯ˇa
.
c biˆe
.
t l`a c´ac ba
.
n sinh viˆen, trong qu´a tr`ınh biˆen soa

.
n gi´ao tr`ınh n`ay.
D
-
`a La
.
t, ng`ay 10 th´ang 1 nˇam 2005
PHA
.
M Tiˆe
´
n So
.
n
8
Chu
.
o
.
ng 1
C´ac thuˆa
.
t to´an v˜e d¯u
.
`o
.
ng cong trˆen
thiˆe
´
t bi

.
raster
Chu
.
o
.
ng n`ay tr`ınh b`ay c´ac thuˆa
.
t to´an v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng, d¯u
.
`o
.
ng tr`on v`a ellipse trˆen lattice
nguyˆen Z
2
. C´ac thuˆa
.
t to´an chı
˙’
thao t´ac trˆen nh˜u
.
ng sˆo
´
nguyˆen v`a trong c´ac v`ong lˇa
.
p chı

˙’
su
.
˙’
du
.
ng ph´ep to´an cˆo
.
ng nˆen rˆa
´
t hiˆe
.
u qua
˙’
.
1.1 D
-
oa
.
n thˇa
˙’
ng
Thuˆa
.
t to´an v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng x´ac d¯i
.

nh to
.
a d¯ˆo
.
cu
˙’
a c´ac pixel nˇa
`
m trˆen hoˇa
.
c gˆa
`
n v´o
.
i d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng
thu
.
.
c tˆe
´
nhˆa
´
t. Vˆe
`
nguyˆen tˇa
´

c, ch´ung ta muˆo
´
n cho
.
n d˜ay c´ac pixel gˆa
`
n v´o
.
i d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng thu
.
.
c tˆe
´
nhˆa
´
t v`a thˇa
˙’
ng nhˆa
´
t. X´et d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng thu
.
.

c tˆe
´
d¯u
.
o
.
.
c xˆa
´
p xı
˙’
v´o
.
i mˆa
.
t d¯ˆo
.
mˆo
.
t pixel; ta cˆa
`
n c´o
nh˜u
.
ng t´ınh chˆa
´
t g`ı? V´o
.
i c´ac d¯oa
.

n thˇa
˙’
ng c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc thuˆo
.
c d¯oa
.
n [−1, 1], c´o d¯´ung mˆo
.
t pixel
d¯u
.
o
.
.
c v˜e lˆen trˆen mˆo
˜
i cˆo
.
t; v´o
.
i c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng m`a hˆe
.

sˆo
´
g´oc nˇa
`
m ngo`ai d¯oa
.
n n`ay, c´o d¯´ung
mˆo
.
t pixel d¯u
.
o
.
.
c v˜e trˆen mˆo
˜
i h`ang. Tˆa
´
t ca
˙’
c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c v˜e v´o

.
i c`ung mˆo
.
t d¯ˆo
.
s´ang,
khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao d¯ˆo
.
d`ai v`a hu
.
´o
.
ng, v`a nhanh nhˆa
´
t c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c. Thuˆa
.
t to´an v˜e d¯oa
.
n

thˇa
˙’
ng c˜ung cˆa
`
n ch´u ´y d¯ˆe
´
n c´ac thuˆo
.
c t´ınh cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng nhu
.
d¯ˆo
.
rˆo
.
ng, kiˆe
˙’
u v˜e Thˆa
.
m ch´ı
ch´ung ta muˆo
´
n cu
.
.

c tiˆe
˙’
u ho´a m´u
.
c d¯ˆo
.
rˇang cu
.
a do tiˆe
´
n tr`ınh r`o
.
i ra
.
c ho´a d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng thu
.
.
c
tˆe
´
nh`o
.
su
.

˙’
du
.
ng k˜y thuˆa
.
t antialiasing (xem [9], [11]) bˇa
`
ng c´ach ´ap du
.
ng kha
˙’
nˇang d¯ˇa
.
t cu
.
`o
.
ng
d¯ˆo
.
cu
˙’
a mˆo
˜
i pixel trˆen c´ac thiˆe
´
t bi
.
hiˆe
˙’

n thi
.
m`a mˆo
.
t pixel tu
.
o
.
ng ´u
.
ng nhiˆe
`
u bit.
Tru
.
´o
.
c hˆe
´
t ch´ung ta chı
˙’
d¯ˆe
`
cˆa
.
p d¯ˆe
´
n c´ac d¯oa
.
n thˇa

˙’
ng d¯ˆo
.
rˆo
.
ng mˆo
.
t pixel v`a c´o d¯´ung mˆo
.
t
pixel trˆen mˆo
˜
i cˆo
.
t (hoˇa
.
c h`ang d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng dˆo
´
c). Phˆa
`
n cuˆo
´

i chu
.
o
.
ng s˜e d¯ˆe
`
cˆa
.
p
9
d¯ˆe
´
n d¯ˆo
.
rˆo
.
ng c´ac nguyˆen so
.
v`a c´ac mˆa
˜
u v˜e.
Mˆo
.
t c´ach h`ınh ho
.
c, ch´ung ta biˆe
˙’
u diˆe
˜
n mˆo

.
t pixel nhu
.
mˆo
.
t chˆa
´
m tr`on v´o
.
i tˆam ta
.
i vi
.
tr´ı (x, y) cu
˙’
a pixel trˆen lu
.
´o
.
i c´ac to
.
a d¯ˆo
.
nguyˆen Z
2
. Biˆe
˙’
u diˆe
˜
n n`ay l`a mˆo

.
t xˆa
´
p xı
˙’
th´ıch ho
.
.
p
nh´at cˇa
´
t ngang trong mˆo
.
t chu k`y cu
˙’
a ch`um tia electron cu
˙’
a CRT; xˆa
´
p xı
˙’
n`ay phu
.
thuˆo
.
c v`ao
khoa
˙’
ng c´ach (tu`y thuˆo
.

c v`ao hˆe
.
thˆo
´
ng) gi˜u
.
a c´ac vˆe
´
t trˆen m`an h`ınh hiˆe
˙’
n thi
.
. Trong mˆo
.
t sˆo
´
hˆe
.
thˆo
´
ng, c´ac chˆa
´
m kˆe
`
nhau phu
˙’
lˆa
´
p mˆo
.

t phˆa
`
n lˆen nhau; v´o
.
i nh˜u
.
ng hˆe
.
thˆo
´
ng kh´ac c´o nh˜u
.
ng
khoa
˙’
ng c´ach gi˜u
.
a c´ac pixel d¯´u
.
ng kˆe
`
nhau; trong hˆa
`
u hˆe
´
t c´ac hˆe
.
thˆo
´
ng, khoa

˙’
ng c´ach theo
chiˆe
`
u ngang nho
˙’
ho
.
n theo chiˆe
`
u d¯´u
.
ng. Mˆo
.
t kh´ac biˆe
.
t n˜u
.
a tu`y theo hˆe
.
thˆo
´
ng trong viˆe
.
c biˆe
˙’
u
diˆe
˜
n hˆe

.
to
.
a d¯ˆo
.
, chˇa
˙’
ng ha
.
n Macintosh xem c´ac pixel d¯u
.
o
.
.
c d¯ˇa
.
t ta
.
i tˆam cu
˙’
a h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t
gi˜u
.
a c´ac d¯u
.
`o

.
ng thˇa
˙’
ng kˆe
`
nhau cu
˙’
a lu
.
´o
.
i d¯iˆe
`
u khiˆe
˙’
n thay cho nˇa
`
m trˆen c´ac d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng cu
˙’
a
lu
.
´o
.

i. Theo c´ach n`ay, c´ac h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t (x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i hai g´oc) gˆo
`
m c´ac pixel thuˆo
.
c phˆa
`
n
trong cu
˙’
a n´o. D
-
i
.
nh ngh˜ıa n`ay cho ph´ep c´ac v`ung d¯ˆo
.
rˆo
.
ng bˇa
`
ng khˆong: H`ınh ch˜u
.

nhˆa
.
t t`u
.
(x, y) d¯ˆe
´
n (x, y) khˆong ch´u
.
a pixel n`ao, trong khi v´o
.
i nh˜u
.
ng hˆe
.
thˆo
´
ng kh´ac, c´o d¯´ung mˆo
.
t
pixel ta
.
i d¯iˆe
˙’
m n`ay. Du
.
´o
.
i d¯ˆay ch ´ung ta s˜e biˆe
˙’
u diˆe

˜
n c´ac pixel nhu
.
c´ac h`ınh tr`on r`o
.
i nhau c´o
tˆam nˇa
`
m trˆen lu
.
´o
.
i.
H`ınh 1.1 l`a ph´ong to cu
˙’
a d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng thu
.
.
c tˆe
´
v`a xˆa
´
p xı
˙’

d¯ˆo
.
rˆo
.
ng mˆo
.
t pixel cu
˙’
a n´o.
C´ac pixel d¯u
.
o
.
.
c v˜e tu
.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac h`ınh tr`on m`au d¯en v`a c´ac pixel khˆong d¯u
.
o
.
.
c v˜e tu
.
o
.
ng ´u

.
ng
h`ınh tr`on khˆong tˆo. Trˆen m`an h`ınh thu
.
.
c tˆe
´
, d¯u
.
`o
.
ng k´ınh cu
˙’
a h`ınh tr`on biˆe
˙’
u diˆe
˜
n pixel l´o
.
n
ho
.
n khoa
˙’
ng c´ach gi˜u
.
a c´ac pixel kˆe
`
nhau, bo
.

˙’
i vˆa
.
y biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bˇa
`
ng k´y hiˆe
.
u cu
˙’
a ch´ung ta l`a
mˆo
.
t ph´ong d¯a
.
i m´u
.
c d¯ˆo
.
r`o
.
i ra
.
c cu
˙’
a c´ac pixel.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
✐ ✐ ✐ ✐ ✐
✐ ✐ ✐ ✐ ✐
✐ ✐ ✐ ✐ ✐
✐ ✐ ✐ ✐ ✐
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
②
② ②
② ②
H`ınh 1.1: D
-
oa
.
n thˇa
˙’
ng xˆa
´
p xı
˙’
d¯u
.
o
.
.
c biˆe
˙’
u diˆe
˜
n bo
.
˙’

i c´ac h`ınh tr`on d¯en.
V`ı c´ac nguyˆen so
.
trong hˆe
.
thˆo
´
ng ch´ung ta x´ac d¯i
.
nh trˆen lu
.
´o
.
i d¯iˆe
`
u khiˆe
˙’
n nguyˆen nˆen
c´ac to
.
a d¯ˆo
.
d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i cu
˙’
a d¯oa
.

n thˇa
˙’
ng l`a nguyˆen. Thˆa
.
t ra, nˆe
´
u ch´ung ta cˇa
´
t d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v´o
.
i
h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t tru
.
´o
.
c khi hiˆe
˙’
n thi
.
n´o th`ı to
.
a d¯ˆo

.
c´ac d¯iˆe
˙’
m d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
khˆong nguyˆen. (Ch´ung ta s˜e tha
˙’
o luˆa
.
n c´ac giao d¯iˆe
˙’
m khˆong nguyˆen trong Phˆa
`
n 1.1.3). Gia
˙’
10
su
.
˙’
d¯oa

.
n thˇa
˙’
ng c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc |m| ≤ 1; c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p kh´ac d¯u
.
o
.
.
c xu
.
˙’
l´y tu
.
o
.
ng tu
.
.
. Ho

.
n n˜u
.
a
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng ngang, d¯´u
.
ng hoˇa
.
c c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc ±1 l`a tˆa
`
m thu
.
`o
.
ng v`ı ch´ung chı

˙’
d¯i qua c´ac pixel trˆen lu
.
´o
.
i.
1.1.1 Thuˆa
.
t to´an sˆo
´
gia
X´et hai pixel A = (x
A
, y
A
) v`a B = (x
B
, y
B
) (t´uc c´ac phˆa
`
n tu
.
˙’
cu
˙’
a lattice nguyˆen Z
2
). Phu
.

o
.
ng
tr`ınh d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng AB c´o da
.
ng y = mx +t, trong d¯´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc m = dy/dx v`a t = y
A
−mx
A
.
C´ach d¯o
.
n gia
˙’
n nhˆa
´
t d¯ˆe
˙’
v˜e d¯oa
.

n thˇa
˙’
ng AB l`a:
1. T´ınh hˆe
.
sˆo
´
g´oc m;
2. Tˇang x mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
(kho
.
˙’
i d¯ˆa
`
u t`u
.
d¯iˆe
˙’
m bˆen tr´ai nhˆa
´
t), v´o
.
i mˆo
˜
i x

i
t´ınh y
i
= mx
i
+ t v`a
sau d¯´o v˜e pixel ta
.
i (x
i
, y
i
+ 0.5)
1
.
Theo c´ach n`ay ta cho
.
n pixel tˆo
´
t nhˆa
´
t, t´u
.
c l`a pixel m`a khoa
˙’
ng c´ach d¯ˆe
´
n d¯u
.
`o

.
ng thˇa
˙’
ng thu
.
.
c
tˆe
´
nho
˙’
nhˆa
´
t. Phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay khˆong hiˆe
.
u qua
˙’
do mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c lˇa
.
p cˆa

`
n t´ınh mˆo
.
t ph´ep nhˆan,
mˆo
.
t ph´ep cˆo
.
ng v`a mˆo
.
t ph´ep to´an l`am tr`on. Ta c´o thˆe
˙’
khu
.
˙’
ph´ep nhˆan bˇa
`
ng c´ach ch´u ´y rˇa
`
ng
y
i+1
= mx
i+1
+ t
= m(x
i
+ ∆x) + t
= y
i

+ m∆x,
v`a nˆe
´
u bu
.
´o
.
c tˇang ∆x = 1 th`ı y
i+1
= y
i
+ m.
Do d¯´o nˆe
´
u x tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
th`ı y tˇang m d¯o
.
n vi
.
. V´o
.
i mo
.
i d¯iˆe
˙’

m (x
i
, y
i
) trˆen d¯oa
.
n
thˇa
˙’
ng ta biˆe
´
t rˇa
`
ng nˆe
´
u x
i+1
= x
i
+ 1 th`ı y
i+1
= y
i
+ m; t´u
.
c l`a, c´ac gi´a tri
.
x v`a y d¯u
.
o

.
.
c t´ınh
theo c´ac gi´a tri
.
tru
.
´o
.
c d¯´o cu
˙’
a n´o (xem H`ınh 1.2). D
-
ˆay ch´ınh l`a “thuˆa
.
t to´an sˆo
´
gia”: v´o
.
i mˆo
˜
i
bu
.
´o
.
c lˇa
.
p ta thu
.

.
c hiˆe
.
n c´ac ph´ep to´an sˆo
´
gia du
.
.
a trˆen bu
.
´o
.
c tru
.
´o
.
c.
Kho
.
˙’
i ta
.
o ta g´an (x
0
, y
0
) l`a to
.
a d¯ˆo
.

nguyˆen cu
˙’
a d¯iˆe
˙’
m xuˆa
´
t ph´at, chˇa
˙’
ng ha
.
n A. Ch´u ´y
rˇa
`
ng trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p |m| > 1 nˆe
´
u x tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
th`ı y tˇang ho
.

n mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
. Do d¯´o
cˆa
`
n ho´an d¯ˆo
˙’
i vai tr`o cu
˙’
a x v`a y bˇa
`
ng c´ach g´an bu
.
´o
.
c tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
cho y v`a tˇang x mˆo
.
t
lu
.

o
.
.
ng ∆x =
∆y
m
=
1
m
.
1
K´y hiˆe
.
u [x], x v`a x tu
.
o
.
ng ´u
.
ng l`a phˆa
`
n nguyˆen, l`am tr`on xuˆo
´
ng v`a l`am tr`on lˆen cu
˙’
a x.
11
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

(x
i
, y
i
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(x
i
, y
i
)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

(x
i
+ 1, y
i
+ m)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(x
i
+ 1, y
i
+ m)
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
D
-
u
.
`o
.
ng thˇa
˙’

ng
thu
.
.
c tˆe
´
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
✇
✇ ✇
✇
H`ınh 1.2: T´ınh to´an sˆo
´
gia cu
˙’
a (x
i
, y
i
).
V´ı du
.
1.1.1 Gia
˙’
su
.
˙’
A(2, 0), B(9, 3). Khi d¯´o d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng qua hai d¯iˆe

˙’
m A v`a B c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc m =
3
7
∈ (0, 1).
´
Ap du
.
ng thuˆa
.
t to´an sˆo
´
gia ta d¯u
.
o
.
.
c d˜ay c´ac d¯iˆe
˙’
m v˜e tˆo
´
t nhˆa
´
t nhu
.
trong

ba
˙’
ng du
.
´o
.
i:
i x
i
y
i
y
i
+ 0.5
0 2 0 0
1 3
3
7
0
2 4
6
7
1
3 5
9
7
1
4 6
12
7

2
5 7
15
7
2
6 8
18
7
3
7 9
21
7
3
Thu
˙’
tu
.
c Line() du
.
´o
.
i d¯ˆay minh ho
.
a thuˆa
.
t to´an v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng t`u

.
(x
0
, y
0
) d¯ˆe
´
n (x
1
, y
1
)
v´o
.
i gi´a tri
.
m`au V alue. D
-
iˆe
˙’
m kho
.
˙’
i d¯ˆa
`
u l`a d¯iˆe
˙’
m bˆen tr´ai nhˆa
´
t. Ngo`ai ra ta chı

˙’
x´et tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p
−1 ≤ m ≤ 1 v`ı c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p kh´ac c´o thˆe
˙’
thu
.
.
c hiˆe
.
n do t´ınh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng. Ho
.
n n˜u

.
a, ch´ung ta
c˜ung bo
˙’
qua viˆe
.
c kiˆe
˙’
m tra c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯ˇa
.
c biˆe
.
t: d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng nˇa
`
m ngang, d¯´u
.
ng, xiˆen

mˆo
.
t g´oc ±45
0
. Ch´u ´y rˇa
`
ng, trong ngˆon ng˜u
.
C, (int)y bˇa
`
ng y + 0.5.
void Line(int x_A, int y_A, int x_B, int y_B, int Value)
{
12
int x;
int dx, dy;
float y, m;
dx = x_B - x_A;
dy = y_B - y_A;
m = dy/(float)dx;
y = y0;
for (x = x_A; x <= x_B; x ++)
{
putpixel(x, (int)(y), Value);
y += m;
}
}
1.1.2 Thuˆa
.
t to´an d¯iˆe

˙’
m gi˜u
.
a
Thu
˙’
tu
.
c Line() thao t´ac trˆen c´ac sˆo
´
thu
.
.
c y v`a m. Bresenham d¯˜a xˆay du
.
.
ng thuˆa
.
t to´an [2] v˜e
d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng chı
˙’
su
.
˙’
du
.

ng c´ac ph´ep to´an trˆen sˆo
´
nguyˆen do d¯´o tr´anh go
.
i h`am l`am tr`on v`a cho
ph´ep x´ac d¯i
.
nh (x
i+1
, y
i+1
) theo sˆo
´
gia du
.
.
a trˆen nh˜u
.
ng gi´a tri
.
o
.
˙’
bu
.
´o
.
c tru
.
´o

.
c (x
i
, y
i
). Thuˆa
.
t
to´an n`ay c´o thˆe
˙’
mo
.
˙’
rˆo
.
ng da
.
ng dˆa
´
u chˆa
´
m d¯ˆo
.
ng d¯ˆo
´
i v´o
.
i c´ac to
.
a d¯ˆo

.
thu
.
.
c. Ho
.
n n˜u
.
a, phu
.
o
.
ng
ph´ap cu
˙’
a Bresenham c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c ´ap du
.
ng t´ınh to´an trˆen sˆo
´
nguyˆen v˜e d¯u
.
`o
.

ng tr`on mˇa
.
c d`u
n´o khˆong dˆe
˜
d`ang mo
.
˙’
rˆo
.
ng cho conic tu`y ´y. V`ı vˆa
.
y ch´ung ta su
.
˙’
du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap tu
.
o
.
ng
d¯ˆo
´
i kh´ac, thuˆa
.

t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a, d¯u
.
o
.
.
c cˆong bˆo
´
lˆa
`
n d¯ˆa
`
u tiˆen bo
.
˙’
i Pitteway [16], [17] v`a d¯u
.
o
.
.
c
ca
˙’
i tiˆe
´
n bo
.

˙’
i Van Aken [26] v`a mˆo
.
t sˆo
´
t´ac gia
˙’
kh´ac [28], [29]. Van Aken d¯˜a chı
˙’
ra [26] d¯ˆo
´
i v´o
.
i
c´ac d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng v`a d¯u
.
`o
.
ng tr`on v´o
.
i d˜u
.
liˆe
.

u nguyˆen, cˆong th´u
.
c d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a suy ra cˆong th´u
.
c
cu
˙’
a Bresenham v`a do d¯´o sinh ra c`ung d˜ay c´ac pixel.
Khˆong mˆa
´
t t´ınh tˆo
˙’
ng qu´at, gia
˙’
su
.
˙’
hˆe
.
sˆo
´
g´oc m cu
˙’
a d¯u
.
`o

.
ng thˇa
˙’
ng thuˆo
.
c khoa
˙’
ng (0, 1)
(c´ac tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p kh´ac c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c xu
.
˙’
l´y bo
.
˙’
i c´ac ph´ep lˆa
´

y d¯ˆo
´
i x´u
.
ng mˆo
.
t c´ach th´ıch ho
.
.
p qua
c´ac tru
.
c to
.
a d¯ˆo
.
). Ta c˜ung k´y hiˆe
.
u d¯iˆe
˙’
m xuˆa
´
t ph´at l`a (x
A
, y
A
) v`a d¯iˆe
˙’
m kˆe
´

t th´uc l`a (x
B
, y
B
).
D
-
ˇa
.
t dy := y
B
− y
A
, dx = x
B
− x
A
. Phu
.
o
.
ng tr`ınh d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l qua hai d¯iˆe
˙’
m A v`a B x´ac

d¯i
.
nh bo
.
˙’
i
y =
dy
dx
x + t;
13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

(l
−
)
(l
+
)
M
Q
✇
C
✇
R
✇
D
l
H`ınh 1.3: Lu
.
´o
.
i c´ac pixel v`a vi
.
tr´ı d¯iˆe
˙’
m C, R, D, Q v`a M.
hay tu
.
o
.
ng d¯u
.

o
.
ng
f(x, y) := ax + by + c = 0,
trong d¯´o a = dy, b = − dx, v`a c = b × dx. K´y hiˆe
.
u c´ac nu
.
˙’
a mˇa
.
t phˇa
˙’
ng ngo`ai v`a nu
.
˙’
a mˇa
.
t
phˇa
˙’
ng trong x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i l tu
.
o
.

ng ´u
.
ng bo
.
˙’
i
(l
+
) := {(x, y) ∈ R
2
| f(x, y) > 0},
(l
−
) := {(x, y) ∈ R
2
| f(x, y) < 0}.
´
Y tu
.
o
.
˙’
ng cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.

a l`a xˆay du
.
.
ng mˆo
.
t d˜ay c´ac d¯iˆe
˙’
m v˜e “tˆo
´
t nhˆa
´
t” (x
i
, y
i
)
bˇa
´
t d¯ˆa
`
u t`u
.
d¯iˆe
˙’
m (x
0
, y
0
) = (x
A

, y
A
). Kh´ai niˆe
.
m tˆo
´
t nhˆa
´
t o
.
˙’
d¯ˆay l`a nh˜u
.
ng d¯iˆe
˙’
m (x
i
, y
i
) d¯u
.
o
.
.
c
cho
.
n gˆa
`
n v´o

.
i d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng thu
.
.
c tˆe
´
(da
.
ng liˆen tu
.
c) nhˆa
´
t. Theo gia
˙’
thiˆe
´
t, 0 < m < 1, nˆen khi
x tˇang mˆo
.
t lu
.
o
.
.

ng ∆x th`ı y tˇang khˆong qu´a ∆y = m∆x d¯o
.
n vi
.
.
V`ı vˆa
.
y nˆe
´
u bu
.
´o
.
c th´u
.
i cho
.
n d¯u
.
o
.
.
c d¯iˆe
˙’
m v˜e tˆo
´
t nhˆa
´
t C := (x
i

, y
i
) th`ı o
.
˙’
bu
.
´o
.
c th´u
.
i + 1
ta s˜e cho
.
n d¯iˆe
˙’
m v˜e (x
i+1
, y
i+1
), trong d¯´o x
i+1
= x
i
+ 1 v`a y
i+1
= y
i
hoˇa
.

c y
i+1
= y
i
+ 1.
N´oi c´ach kh´ac, bu
.
´o
.
c th´u
.
i + 1 ch´ung ta s˜e cho
.
n mˆo
.
t trong hai pixel R := (x
i
+ 1, y
i
) hoˇa
.
c
D := (x
i
+ 1, y
i
+ 1) (xem H`ınh 1.3). K´y hiˆe
.
u Q l`a giao d¯iˆe
˙’

m cu
˙’
a hai d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l v`a
x = x
i
+ 1. Theo Bresenham, dˆa
´
u cu
˙’
a biˆe
˙’
u th´u
.
c x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i hiˆe
.
u gi˜u
.
a hai khoa
˙’

ng c´ach t`u
.
R v`a D d¯ˆe
´
n Q cho ph´ep x´ac d¯i
.
nh pixel tˆo
´
t nhˆa
´
t o
.
˙’
bu
.
´o
.
c i + 1. Trong thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a,
ta quan s´at vi
.
tr´ı cu
˙’
a d¯iˆe
˙’

m gi ˜u
.
a M v`a c´ac nu
.
˙’
a mˇa
.
t phˇa
˙’
ng x´ac d¯i
.
nh b o
.
˙’
i d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l. Dˆe
˜
d`ang chı
˙’
ra rˇa
`
ng, nˆe
´
u M ∈ (l
+

) th`ı pixel D gˆa
`
n v´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l ho
.
n; nˆe
´
u M ∈ (l
−
) th`ı
pixel R gˆa
`
n ho
.
n. D
-
u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l c´o thˆe

˙’
d¯i ngang qua M; hoˇa
.
c ca
˙’
hai pixel nˇa
`
m vˆe
`
c`ung
mˆo
.
t nu
.
˙’
a mˇa
.
t phˇa
˙’
ng (l
+
) (hoˇa
.
c (l
−
)) nhu
.
ng trong bˆa
´
t c´u

.
tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ao, ta vˆa
˜
n cho
.
n d¯iˆe
˙’
m
gˆa
`
n v´o
.
i l nhˆa
´
t. Ho
.
n n˜u
.
a, sai sˆo
´
-t´u
.
c l`a khoa

˙’
ng c´ach gi˜u
.
a pixel d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n v`a d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng
thu
.
.
c tˆe
´
l-luˆon luˆon nho
˙’
ho
.
n hoˇa
.
c bˇa
`

ng 1/2.
14
D
-
ˆe
˙’
´ap du
.
ng thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a, chı
˙’
cˆa
`
n t´ınh f (M) = f(x
i
+ 1, y
i
+
1
2
) v`a kiˆe
˙’
m tra
dˆa
´

u cu
˙’
a n´o. Do d¯´o ta d¯i
.
nh ngh˜ıa biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh
d
i
:= f(x
i
+ 1, y
i
+
1
2
)
= a(x
i
+ 1) + b(y
i
+
1
2
) + c.
Khi d¯´o

1. Nˆe
´
u d
i
> 0 cho
.
n pixel D;
2. Nˆe
´
u d
i
< 0 cho
.
n pixel R;
3. Nˆe
´
u d
i
= 0 cho
.
n mˆo
.
t trong hai pixel R hoˇa
.
c D, do d¯´o cho
.
n R.
Kˆe
´
tiˆe

´
p ta cˆa
`
n x´ac d¯i
.
nh to
.
a d¯ˆo
.
d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a M v`a do d¯´o biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh d
i+1
o
.
˙’
bu
.
´o
.
c i + 1;
d˜ı nhiˆen d¯iˆe

`
u n`ay phu
.
thuˆo
.
c v`ao viˆe
.
c cho
.
n pixel R hoˇa
.
c D. Nˆe
´
u cho
.
n R th`ı ho`anh d¯ˆo
.
d¯iˆe
˙’
m
M tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
v`a tung d¯ˆo
.
khˆong d¯ˆo
˙’

i. Do d¯´o
d
i+1
= f(x
i
+ 2, y
i
+
1
2
) = a(x
i
+ 2) + b(y
i
+
1
2
) + c.
Nhu
.
ng
d
i
= a(x
i
+ 1) + b(y
i
+
1
2

) + c.
Suy ra d
i+1
= d
i
+ a.
K´y hiˆe
.
u sˆo
´
gia d¯u
.
o
.
.
c cˆo
.
ng thˆem khi R d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n l`a ∆
R
:= a = dy. N´oi c´ach kh´ac, ta
c´o thˆe
˙’
suy ra biˆe

´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh o
.
˙’
bu
.
´o
.
c kˆe
´
tiˆe
´
p t`u
.
biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh o
.
˙’
bu
.
´o

.
c hiˆe
.
n h`anh bˇa
`
ng
c´ach cˆo
.
ng thˆem sˆo
´
gia ∆
R
m`a khˆong cˆa
`
n pha
˙’
i t´ınh la
.
i gi´a tri
.
f(M).
Nˆe
´
u cho
.
n D th`ı ho`anh d¯ˆo
.
v`a tung d¯ˆo
.
d¯iˆe

˙’
m M c`ung tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
, nˆen
d
i+1
= f(x
i
+ 2, y
i
+
3
2
) = a(x
i
+ 2) + b(y
i
+
3
2
) + c.
V`a do d¯´o
d
i+1
= d
i

+ a + b.
K´y hiˆe
.
u sˆo
´
gia d¯u
.
o
.
.
c cˆo
.
ng v`ao d
i+1
sau khi cho
.
n D l`a ∆
D
:= a + b = dy − dx.
V`ı o
.
˙’
bu
.
´o
.
c d¯ˆa
`
u tiˆen, ta cho
.

n (x
0
, y
0
) = (x
A
, y
A
) nˆen c´o thˆe
˙’
t´ınh tru
.
.
c tiˆe
´
p gi´a tri
.
kho
.
˙’
i
ta
.
o d
0
. Thˆa
.
t vˆa
.
y, d¯iˆe

˙’
m gi˜u
.
a d¯ˆa
`
u tiˆen c´o to
.
a d¯ˆo
.
(x
0
+ 1, y
0
+
1
2
), v`a
f(x
0
+ 1, y
0
+
1
2
) = a(x
0
+ 1) + b(y
0
+
1

2
) + c
= ax
0
+ by
0
+ c + a + b/2
= f(x
0
, y
0
) + a + b/2.
15
Nhu
.
ng (x
0
, y
0
) thuˆo
.
c d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l nˆen f(x
0
, y

0
) = 0; do d¯´o gi´a tri
.
kho
.
˙’
i d¯ˆa
`
u cu
˙’
a biˆe
´
n
quyˆe
´
t d¯i
.
nh l`a d
0
= a + b/2 = dy − dx/2. Su
.
˙’
du
.
ng d
0
ta c´o thˆe
˙’
cho
.

n pixel th´u
.
hai, th´u
.
ba, v.v. D
-
ˆe
˙’
khu
.
˙’
mˆa
˜
u sˆo
´
trong d
0
ta d¯i
.
nh ngh˜ıa la
.
i h`am f bˇa
`
ng c´ach nhˆan n´o cho 2; t´u
.
c l`a
f(x, y) = 2(ax + by + c). N´oi c´ach kh´ac, nhˆan 2 cho c´ac hˇa
`
ng sˆo
´

a, b, c v`a biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh;
m`a d¯iˆe
`
u n`ay khˆong a
˙’
nh hu
.
o
.
˙’
ng d¯ˆe
´
n dˆa
´
u cu
˙’
a biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh.
Tˆo

˙’
ng qu´at ho´a thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng AB (trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p x
A
< x
B
v`a 0 < m < 1) nhu
.
sau:
1. [Kho
.
˙’
i ta
.

o] D
-
ˇa
.
t dx = x
B
− x
A
, dy = y
B
− y
A
, d
0
= 2dy −dx, ∆
R
= 2dy, ∆
D
= 2(dy −
dx), x
0
= x
A
, y
0
= y
A
.
2. Gia
˙’

su
.
˙’
o
.
˙’
bu
.
´o
.
c th´u
.
i ta c´o d¯iˆe
˙’
m v˜e tˆo
´
t nhˆa
´
t (x
i
, y
i
) v`a biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh d
i

.
3. [V˜e pixel hiˆe
.
n h`anh] D
-
ˇa
.
t d¯iˆe
˙’
m v˜e ta
.
i (x
i
, y
i
).
4. [Cˆa
.
p nhˆa
.
t] Nˆe
´
u x
i
= x
B
, thuˆa
.
t to´an d`u
.

ng; ngu
.
o
.
.
c la
.
i, d¯ˇa
.
t
x
i+1
= x
i
+ 1;
y
i+1
=

y
i
nˆe
´
u d
i
≤ 0,
y
i
+ 1 nˆe
´

u ngu
.
o
.
.
c la
.
i;
d
i+1
=

d
i
+ ∆
R
nˆe
´
u d
i
≤ 0,
d
i
+ ∆
D
nˆe
´
u ngu
.
o

.
.
c la
.
i.
5. Thay i bˇa
`
ng (i + 1) v`a lˇa
.
p la
.
i Bu
.
´o
.
c 3.
V´ı du
.
1.1.2 Gia
˙’
su
.
˙’
A(2, 0), B(9, 3). Khi d¯´o d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng qua hai d¯iˆe

˙’
m A v`a B c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc m =
3
7
∈ (0, 1). Dˆe
˜
d`ang kiˆe
˙’
m tra rˇa
`
ng
dx = x
B
− x
A
= 7,
dy = y
B
− y
A
= 3,
d
0
= 2dy − dx = −1,
∆
R

= 2dy = 6,
∆
D
= 2(dy − dx) = −8.
16
´
Ap du
.
ng thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a ta c´o d˜ay c´ac d¯iˆe
˙’
m v˜e tˆo
´
t nhˆa
´
t nhu
.
trong ba
˙’
ng du
.
´o
.
i:
i x

i
y
i
d
i
0 2 0 −1
1 3 0 5
2 4 1 −3
3 5 1 3
4 6 2 −5
5 7 2 1
6 8 3 −7
7 9 3 −1
Hiˆe
˙’
n nhiˆen rˇa
`
ng c´ac kˆe
´
t qua
˙’
n`ay tr`ung v´o
.
i kˆe
´
t qua
˙’
khi su
.
˙’

du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap sˆo
´
gia trong
V´ı du
.
1.1.1.
Ch´u ´y rˇa
`
ng, ph´ep t´ınh cˆa
`
n thiˆe
´
t d¯ˆo
´
i v´o
.
i d
i+1
trong mˆo
˜
i bu
.
´o
.

c lˇa
.
p l`a ph´ep cˆo
.
ng v`a khˆong
c´o ph´ep nhˆan. Ho
.
n n˜u
.
a, v`ong lˇa
.
p ho`an to`an d¯o
.
n gia
˙’
n nhu
.
trong thu
˙’
tu
.
c MidPointLine()
du
.
´o
.
i d¯ˆay:
void MidPointLine(int x_A, int y_A, int x_B, int y_B, int Value)
{
int x, y, d, dx, dy, DeltaR, DeltaD;

dx = x_B - x_A;
dy = y_B - y_A;
d = 2*dy - dx;
DeltaR = 2*dy;
DeltaD = 2*(dy - dx);
y = y_A;
for (x = x_A; x <= x_B; x++)
{
putpixel(x, y, Value);
if (d <= 0) d += DeltaR;
else
{
d += DeltaD;
17
y++;
}
}
}
1.1.3 Mˆo
.
t sˆo
´
vˆa
´
n d¯ˆe
`
liˆen quan d¯ˆe
´
n thuˆa
.

t to´an v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng
Th´u
.
tu
.
.
cu
˙’
a c´ac d¯iˆe
˙’
m d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i. Trong mˆo
.
t ´u
.
ng du
.
ng ta cˆa
`
n d¯`oi ho
˙’
i mˆo
.

t d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng
d¯u
.
o
.
.
c v˜e t`u
.
A d¯ˆe
´
n B ch´u
.
a c`ung tˆa
.
p c´ac pixel nhu
.
d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c v˜e t`u

.
B d¯ˆe
´
n A; n´oi
c´ach kh´ac, d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c v˜e khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao th´u
.
tu
.
.
c´ac d¯iˆe
˙’
m d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i. Su
.

.
sai kh´ac
chı
˙’
c´o thˆe
˙’
xa
˙’
y ra ta
.
i nh ˜u
.
ng d¯iˆe
˙’
m v˜e m`a d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng d¯i qua d¯iˆe
˙’
m gi ˜u
.
a v`a biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.

nh
bˇa
`
ng khˆong; trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay, d¯i t`u
.
tr´ai sang pha
˙’
i ch´ung ta cho
.
n d¯iˆe
˙’
m v˜e R. Do t´ınh
d¯ˆo
´
i x´u
.
ng, khi d¯i t`u
.
pha
˙’
i sang tr´ai v`a d = 0 l˜e ra ta cho
.
n d¯iˆe

˙’
m v˜e R, nhu
.
ng cho
.
n lu
.
.
a n`ay s˜e
sai lˆe
.
ch mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
theo th`anh phˆa
`
n y v´o
.
i pixel d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n khi d¯i t`u
.

tr´ai sang pha
˙’
i. Do d¯´o
ch´ung ta cˆa
`
n cho
.
n pixel D khi d¯i t`u
.
pha
˙’
i sang tr´ai trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d = 0. L´y luˆa
.
n tu
.
o
.
ng
tu
.
.
d¯ˆo
´

i v´o
.
i c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc bˆa
´
t k`y.
Phu
.
o
.
ng ph´ap ho´an d¯ˆo
˙’
i c´ac d¯iˆe
˙’
m d¯ˆa
`
u cuˆo
´
i cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa

˙’
ng d¯ˆe
˙’
thuˆa
.
t to´an xu
.
˙’
l´y theo
c`ung hu
.
´o
.
ng khˆong thu
.
.
c hiˆe
.
n ch´ınh x´ac khi ch´ung ta v˜e c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng theo mˆa
˜
u tˆo. C´ac
d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v˜e theo mˆa

˜
u thu
.
`o
.
ng “neo” nh˜u
.
ng dˆa
´
u hiˆe
.
u ta
.
i d¯iˆe
˙’
m xuˆa
´
t ph´at, c´o thˆe
˙’
l`a d¯iˆe
˙’
m
du
.
´o
.
i bˆen tr´ai, khˆong phu
.
thuˆo
.

c v`ao hu
.
´o
.
ng di chuyˆe
˙’
n. D
-
ˇa
.
c biˆe
.
t, v´o
.
i mˆa
˜
u tˆo chˆa
´
m-ga
.
ch,
chˇa
˙’
ng ha
.
n 111100, ch´ung ta muˆo
´
n v˜e mˆa
˜
u n`ay ta

.
i d¯iˆe
˙’
m xuˆa
´
t ph´at m`a khˆong tu
.
.
d¯ˆo
.
ng d¯ˆo
˙’
i
th`anh d¯iˆe
˙’
m du
.
´o
.
i bˆen tr´ai. Ngo`ai ra, nˆe
´
u thuˆa
.
t to´an luˆon luˆon d¯ˇa
.
t la
.
i c´ac d¯iˆe
˙’
m d¯ˆa

`
u cuˆo
´
i
theo th´u
.
tu
.
.
ch´ınh tˇa
´
c, ta cˆa
`
n di chuyˆe
˙’
n t`u
.
tr´ai sang pha
˙’
i v´o
.
i d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng AB v`a t`u
.
pha
˙’
i

sang tr´ai v´o
.
i d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng BA; d¯iˆe
`
u n`ay ta
.
o ra su
.
.
gi´an d¯oa
.
n trong qu´a tr`ınh v˜e, chˇa
˙’
ng ha
.
n
d¯a gi´ac, ta
.
i nh˜u
.
ng d¯ı
˙’
nh chung.
D
-
iˆe

˙’
m xuˆa
´
t ph´at nˇa
`
m trˆen ca
.
nh cu
˙’
a d¯a gi´ac cˇa
´
t. Mˆo
.
t vˆa
´
n d¯ˆe
`
kh´ac ch´ung ta cˆa
`
n
su
.
˙’
a d¯ˆo
˙’
i thuˆa
.
t to´an d¯ˆe
˙’
v˜e c´ac d¯oa

.
n thˇa
˙’
ng sau khi d¯u
.
o
.
.
c cˇa
´
t bo
.
˙’
i mˆo
.
t trong c´ac thuˆa
.
t to´an
trong Phˆa
`
n 3.3. H`ınh 1.4(a) minh ho
.
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.

.
c cˇa
´
t bo
.
˙’
i ca
.
nh bˆen tr´ai, x = x
min
,
cu
˙’
a h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t. Giao d¯iˆe
˙’
m cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v`a ca
.
nh bˆen tr´ai c´o ho`anh d¯ˆo
.
x nguyˆen

nhu
.
ng tung d¯ˆo
.
y thu
.
.
c. Pixel (x
min
, mx
min
+ t + 0.5) trˆen ca
.
nh x = x
min
ch´ınh l`a pixel
d¯u
.
o
.
.
c v˜e ta
.
i ho`anh d¯ˆo
.
x
min
cu
˙’
a d¯oa

.
n thˇa
˙’
ng tru
.
´o
.
c khi cˇa
´
t theo thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a
2
. V´o
.
i
pixel kho
.
˙’
i ta
.
o d¯˜a biˆe
´
t, kˆe
´
tiˆe

´
p ch´ung ta cˆa
`
n kho
.
˙’
i ta
.
o biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh ta
.
i d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a d¯oa
.
n
RD trong cˆo
.
t kˆe
´
bˆen. Cˆa
`
n ch´u ´y rˇa

`
ng, c´ach l`am n`ay ta
.
o ra d˜ay ch´ınh x´ac c´ac pixel, trong
2
Khi mx
min
+ t nˇa
`
m gi˜u
.
a hai d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng ngang kˆe
`
nhau, ch´ung ta cˆa
`
n l`am tr`on xuˆo
´
ng. D
-
ˆay l`a hˆe
.
qua
˙’
cu

˙’
a viˆe
.
c cho
.
n pixel R khi d = 0.
18
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

x = x
min
y = y
min
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
② ✐
R
✐
D
—
M
(x
min
, mx
min
+ t + 0.5)
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(x
min
, mx
min
+ t)

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
(a)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

y = y
min
− 1

x = x
min
y = y
min
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
② ② ② ②② ② ② ②
✐ ✐ ✐ ✐ ② ② ② ② ✐ ✐ ✐
② ② ② ②

y = y
min
−
1
2
•
I
D C
(b)
H`ınh 1.4: D
-
iˆe
˙’
m xuˆa
´
t ph´at nˇa
`
m trˆen biˆen h`ınh ch˜u
.
nhˆa

.
t. (a) Giao v´o
.
i ca
.
nh d¯´u
.
ng. (b) Giao
v´o
.
i ca
.
nh ngang.
19
khi cˇa
´
t d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng theo d¯u
.
`o
.
ng biˆen x
min
v`a sau d¯´o thu
.

.
c hiˆe
.
n v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c cˇa
´
t t`u
.
(x
min
, mx
min
+ t + 0.5) d¯ˆe
´
n (x
B
, y
B
) theo thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’

m gi˜u
.
a s˜e cho d˜ay d¯iˆe
˙’
m v˜e khˆong
ch´ınh x´ac do d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng sau khi cˇa
´
t c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc kh´ac m.
Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ph´u
.
c ta
.
p ho

.
n khi d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng AB giao v´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng nˇa
`
m ngang nhu
.
trong H`ınh 1.4(b). Khi hˆe
.
sˆo
´
g´oc m rˆa
´
t nho
˙’
, c´o nhiˆe
`
u pixel nˇa

`
m trˆen d`ong qu´et y = y
min
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng ca
.
nh bˆen du
.
´o
.
i cu
˙’
a h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t. Ch´ung ta muˆo
´
n bao h`am c´ac pixel n`ay trong
h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t, nhu
.

ng do qu´a tr`ınh t´ınh to´an giao d¯iˆe
˙’
m v´o
.
i d`ong qu´et y = y
min
v`a sau d¯´o
l`am tr`on ho`anh d¯ˆo
.
x ta d¯u
.
o
.
.
c pixel C khˆong pha
˙’
i pixel bˆen tr´ai nhˆa
´
t D trˆen d`ong n`ay. Du
.
.
a
trˆen h`ınh v˜e, ta thˆa
´
y rˇa
`
ng pixel bˆen tr´ai nhˆa
´
t D l`a pixel trˆen bˆen pha
˙’

i giao d¯iˆe
˙’
m I cu
˙’
a d¯oa
.
n
thˇa
˙’
ng AB v`a d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng y = y
min
−
1
2
. Do d¯´o, ta chı
˙’
cˆa
`
n t`ım I v`a l`am tr`on lˆen ho`anh d¯ˆo
.
;
pixel d¯ˆa
`
u tiˆen D ch´ınh l`a (x

I
, y
min
).
Cuˆo
´
i c`ung, thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a c˜ung thu
.
.
c hiˆe
.
n tˆo
´
t trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p c´ac d¯iˆe
˙’
m d¯ˆa
`

u
cuˆo
´
i c´o to
.
a d¯ˆo
.
thu
.
.
c; kh´ac biˆe
.
t duy nhˆa
´
t l`a bu
.
´o
.
c tˇang v`a c´ac ph´ep to´an thao t´ac trˆen sˆo
´
thu
.
.
c.
Thay d¯ˆo
˙’
i cu
.
`o
.

ng d¯ˆo
.
s´ang cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng theo hˆe
.
sˆo
´
g´oc. X´et hai d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng trong
H`ınh 1.5. D
-
oa
.
n thˇa
˙’
ng l
2
c´o hˆe
.
sˆo
´
g´oc 1 v`a do d¯´o c´o d¯ˆo

.
d`ai bˇa
`
ng
√
2 lˆa
`
n d¯ˆo
.
d`ai cu
˙’
a l
1
. Ch´ung
ta d¯ˇa
.
t c`ung sˆo
´
(10) pixel trˆen mˆo
˜
i d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng. Nˆe
´
u cu
.
`o
.

ng d¯ˆo
.
cu
˙’
a mˆo
˜
i pixel l`a I th`ı cu
.
`o
.
ng
d¯ˆo
.
trˆen mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
d¯ˆo
.
d`ai cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng l
1
l`a I, trong khi cu

˙’
a l
2
l`a I/
√
2; su
.
.
khˆong nhˆa
´
t
qu´an n`ay dˆe
˜
d`ang ph´at hiˆe
.
n bo
.
˙’
i ngu
.
`o
.
i quan s´at. Trˆen m`an h`ınh d¯o
.
n sˇa
´
c, khˆong c´o c´ach gia
˙’
i
quyˆe

´
t, nhu
.
ng trˆen hˆe
.
thˆo
´
ng n-bit trˆen pixel ch´ung ta c´o thˆe
˙’
ca
˙’
i thiˆe
.
n d¯u
.
o
.
.
c t`ınh tra
.
ng n`ay
bˇa
`
ng c´ach d¯ˇa
.
t cu
.
`o
.
ng d¯ˆo

.
l`a mˆo
.
t h`am cu
˙’
a hˆe
.
sˆo
´
g´oc. K˜y thuˆa
.
t antialiasing cho kˆe
´
t qua
˙’
tˆo
´
t
ho
.
n bˇa
`
ng c´ach xem d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng nhu
.
mˆo
.

t h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t c´o d¯ˆo
.
rˆo
.
ng he
.
p v`a t´ınh to´an th´ıch
ho
.
.
p c´ac cu
.
`o
.
ng d¯ˆo
.
v´o
.
i nhiˆe
`
u pixel trˆen mˆo
˜
i cˆo
.
t nˇa
`

m trong hoˇa
.
c gˆa
`
n h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t (xem [9],
[11]). Ngo`ai ra coi d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng nhu
.
h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t c˜ung cho ph´ep ta
.
o c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v´o
.
i d¯ˆo
.
rˆo

.
ng tu`y ´y.
Ph´ac tha
˙’
o c´ac nguyˆen so
.
x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng. V´o
.
i c´ach v˜e c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng,
ch´ung ta cˆa
`
n v˜e c´ac nguyˆen so
.
d¯u
.
o
.

.
c xˆay du
.
.
ng t`u
.
c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng nhu
.
thˆe
´
n`ao? C´ac d¯u
.
`o
.
ng
gˆa
´
p kh ´uc c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c v˜e bˇa
`

ng c´ach xem n´o nhu
.
c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng kˆe
`
nhau. C´ac h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t v`a d¯a gi´ac l`a nh˜u
.
ng nguyˆen so
.
v`ung v`a c´o thˆe
˙’
v˜e c´ac ca
.
nh liˆen tiˆe
´
p nhu
.
ng d¯iˆe
`
u n`ay
dˆa
˜
n d¯ˆe

´
n mˆo
.
t sˆo
´
pixel nˇa
`
m ngo`ai v`ung d¯i
.
nh ngh˜ıa bo
.
˙’
i nguyˆen so
.
-xem c´ac Phˆa
`
n 4.6 v`a 4.7
vˆe
`
nh˜u
.
ng thuˆa
.
t to´an xu
.
˙’
l´y vˆa
´
n d¯ˆe
`

n`ay. Ch´u ´y rˇa
`
ng cˆa
`
n v˜e c´ac d¯ı
˙’
nh chung cu
˙’
a d¯u
.
`o
.
ng gˆa
´
p
kh´uc mˆo
.
t lˆa
`
n do viˆe
.
c v˜e hai lˆa
`
n c´o thˆe
˙’
l`am thay d¯ˆo
˙’
i m`au hoˇa
.
c d¯ˇa

.
t m`au nˆe
`
n khi viˆe
´
t trong
chˆe
´
d¯ˆo
.
XOR trˆen m`an h`ınh, hoˇa
.
c tˇang cu
.
`o
.
ng d¯ˆo
.
gˆa
´
p d¯ˆoi ta
.
i d¯´o. Thˆa
.
t ra c´o nh˜u
.
ng pixel
kh´ac l`a chung cu
˙’
a hai d¯oa

.
n thˇa
˙’
ng nˇa
`
m gˆa
`
n nhau hoˇa
.
c cˇa
´
t nhau.
20

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
②
②
②
②
②
②
②

②
②
②
D
-
u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l
2
②②②②②②②②②②
D
-
u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng l
1
H`ınh 1.5: Thay d¯ˆo
˙’
i cu
.
`o
.

ng d¯ˆo
.
cu
˙’
a c´ac d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng theo hˆe
.
sˆo
´
g´oc.
1.1.4 C´ac thuˆo
.
c t´ınh cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng
Thuˆo
.
c t´ınh mˆa
˜
u tˆo d¯oa
.

n thˇa
˙’
ng c´o thˆe
˙’
a
˙’
nh hu
.
o
.
˙’
ng d¯ˆe
´
n nh˜u
.
ng nguyˆen so
.
kh´ac. N´oi chung
ta cˆa
`
n su
.
˙’
du
.
ng d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n logic d¯ˆe

˙’
kiˆe
˙’
m tra c´o d¯ˇa
.
t d¯iˆe
˙’
m v˜e hay khˆong, chı
˙’
d¯ˇa
.
t khi d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n
d¯´ung (gi´a tri
.
1). Ch´ung ta lu
.
u tr˜u
.
mˆa
˜
u v˜e nhu
.
mˆo
.
t chuˆo
˜

i d¯ˆo
.
d`ai Tile Size (thu
.
`o
.
ng l`a l˜uy
th`u
.
a cu
˙’
a 2: N´oi chung Tile Size = 16) l`a mˆa
˜
u c´o kiˆe
˙’
u Bool (chˇa
˙’
ng ha
.
n, 16 bit nguyˆen);
do d¯´o mˆa
˜
u tˆo d¯u
.
o
.
.
c lˇa
.
p la

.
i sau khi v˜e 16 pixel. Ch´ung ta thay d`ong lˆe
.
nh khˆong d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n
putpixel() trong thuˆa
.
t to´an v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯ˆe
˙’
xu
.
˙’
l´y tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p n`ay; chˇa
˙’
ng ha
.

n,
if bitstring[i % 16] putpixel(x, y, value);
trong d¯´o chı
˙’
sˆo
´
i l`a mˆo
.
t biˆe
´
n tˇang m´o
.
i trong v`ong lˇa
.
p bˆen trong cu
˙’
a thuˆa
.
t to´an. Tuy nhiˆen,
c´ach l`am n`ay c´o mˆo
.
t ha
.
n chˆe
´
l`a do mˆo
˜
i bit trong mˇa
.
t na

.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng mˆo
.
t lˆa
`
n lˇa
.
p v`a khˆong
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d¯ˆo
.
d`ai d¯o
.
n vi
.
do
.
c theo d¯oa
.

n thˇa
˙’
ng nˆen d¯ˆo
.
d`ai cu
˙’
a n´et v˜e thay d¯ˆo
˙’
i theo hˆe
.
sˆo
´
g´oc cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng; n´et v˜e cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng xiˆen s˜e d`ai ho
.
n n´et v˜e cu
˙’
a d¯oa
.

n thˇa
˙’
ng ngang
hay d¯´u
.
ng. D
-
iˆe
`
u n`ay l`a khˆong chˆa
´
p nhˆa
.
n d¯u
.
o
.
.
c v´o
.
i nh˜u
.
ng ´u
.
ng du
.
ng mang t´ınh ch´ınh x´ac
cao, chˇa
˙’
ng ha

.
n trong thiˆe
´
t kˆe
´
cˆong nghiˆe
.
p, v`a do d¯´o c´ac n´et v˜e cˆa
`
n t´ınh la
.
i sao cho phu
.
o
.
ng
ph´ap v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng khˆong phu
.
thuˆo
.
c v`ao hˆe
.
sˆo
´
g´oc cu
˙’

a n´o. D
-
ˆo
.
rˆo
.
ng cu
˙’
a d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng d¯u
.
o
.
.
c
xem nhu
.
mˆo
.
t d˜ay c´ac h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t d¯ˇa
.
c v`a trong suˆo
´

t d¯u
.
o
.
.
c d¯ˇa
.
t xen k˜e nhau m`a c´ac d¯ı
˙’
nh
cu
˙’
a n´o d¯u
.
o
.
.
c t´ınh ch´ınh x´ac theo h`am phu
.
thuˆo
.
c kiˆe
˙’
u v˜e d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng. Sau d¯´o thu
.
.

c hiˆe
.
n tˆo
m`au trˆen t`u
.
ng h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t mˆo
.
t; v´o
.
i c´ac d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng ngang hoˇa
.
c d¯´u
.
ng, ta c´o thˆe
˙’
d`ung
lˆe
.
nh sao ch´ep c´ac h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.

t.
Kiˆe
˙’
u d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng v`a kiˆe
˙’
u b´ut v˜e c´o a
˙’
nh hu
.
o
.
˙’
ng lˆa
˜
n nhau trong c´ac nguyˆen so
.
liˆen quan
d¯ˆe
´
n d¯ˆo
.
rˆo
.
ng d¯u
.
`o

.
ng biˆen. Kiˆe
˙’
u d¯oa
.
n thˇa
˙’
ng thu
.
`o
.
ng d¯u
.
o
.
.
c su
.
˙’
du
.
ng d¯ˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh c´ac h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t tu

.
o
.
ng ´u
.
ng c´ac n´et v˜e v`a mˆo
˜
i h`ınh ch˜u
.
nhˆa
.
t d¯u
.
o
.
.
c tˆo m`au v´o
.
i mˆa
˜
u b´ut d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n.
21
1.2 D

-
u
.
`o
.
ng tr`on
X´et d¯u
.
`o
.
ng tr`on f(x, y) := x
2
+ y
2
−R
2
= 0. C´o mˆo
.
t v`ai c´ach d¯o
.
n gia
˙’
n v˜e d¯u
.
`o
.
ng tr`on nhu
.
ng
khˆong hiˆe

.
u qua
˙’
.
D
-
ˆe
˙’
v˜e mˆo
.
t phˆa
`
n tu
.
d¯u
.
`o
.
ng tr`on trong g´oc phˆa
`
n tu
.
th´u
.
nhˆa
´
t
{(x, y) ∈ R
2
| x ≥ 0, y ≥ 0}

(c´ac cung kh´ac d¯u
.
o
.
.
c v˜e do t´ınh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng) ta c´o thˆe
˙’
tˇang x t`u
.
0 d¯ˆe
´
n R (mˆo
˜
i bu
.
´o
.
c mˆo
.
t d¯o
.
n
vi
.
) v`a gia
˙’

i y =
√
R
2
− x
2
. Phu
.
o
.
ng ph´ap n`ay khˆong hiˆe
.
u qua
˙’
do su
.
˙’
du
.
ng ph´ep nhˆan v`a lˆa
´
y
cˇan bˆa
.
c hai. Ngo`ai ra c´o nh˜u
.
ng lˆo
˜
hˆo
˙’

ng khi gi´a tri
.
x gˆa
`
n v´o
.
i R v`ı tiˆe
´
p tuyˆe
´
n v´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng tr`on
ta
.
i nh˜u
.
ng d¯iˆe
˙’
m tu
.
o
.
ng ´u
.
ng tiˆe

´
n d¯ˆe
´
n d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng song song v´o
.
i tru
.
c tung. Phu
.
o
.
ng ph´ap
kh´ac tu
.
o
.
ng tu
.
.
, c˜ung khˆong hiˆe
.
u qua
˙’
, tr´anh nh˜u

.
ng lˆo
˜
hˆo
˙’
ng l`a v˜e c´ac d¯iˆe
˙’
m (R cos θ, R sin θ)
v´o
.
i θ thay d¯ˆo
˙’
i t`u
.
0 d¯ˆe
´
n 90
0
.
1.2.1 D
-
ˆo
´
i x´u
.
ng t´am d¯iˆe
˙’
m
Ch´ung ta c´o thˆe
˙’

gia
˙’
m b´o
.
t qu´a tr`ınh t´ınh to´an du
.
.
a trˆen t´ınh d¯ˆo
´
i x´u
.
ng cu
˙’
a d¯u
.
`o
.
ng tr`on qua
c´ac tru
.
c ch´ınh. Chı
˙’
cˆa
`
n x´et d¯u
.
`o
.
ng tr`on tˆam ta
.

i gˆo
´
c v`ı nˆe
´
u khˆong ta thu
.
.
c hiˆe
.
n ph´ep ti
.
nh
tiˆe
´
n t`u
.
tˆam vˆe
`
gˆo
´
c to
.
a d¯ˆo
.
. Nˆe
´
u d¯iˆe
˙’
m (x, y) nˇa
`

m trˆen d¯u
.
`o
.
ng tr`on th`ı ba
˙’
y d¯iˆe
˙’
m
(x, −y), (y, x), (y, −x), (−x, −y), (−y, −x), (−y, x), (−x, y)
c˜ung nˇa
`
m trˆen d¯u
.
`o
.
ng tr`on.
Do d¯´o ta chı
˙’
cˆa
`
n v˜e mˆo
.
t cung 45
0
v`a t`u
.
d¯´o sinh ra d¯u
.
`o

.
ng tr`on. V´o
.
i d¯u
.
`o
.
ng tr`on tˆam
ta
.
i gˆo
´
c, t´am d¯iˆe
˙’
m d¯ˆo
´
i x´u
.
ng c´o thˆe
˙’
d¯u
.
o
.
.
c hiˆe
˙’
n thi
.
bˇa

`
ng thu
˙’
tu
.
c sau (m`a dˆe
˜
d`ang tˆo
˙’
ng qu´at
ho´a v´o
.
i c´ac d¯u
.
`o
.
ng tr`on tˆam tu`y ´y):
void CirclePoints(int x, int y, int Value)
{
putpixel(x, y, Value);
putpixel(y, x, Value);
putpixel(y, -x, Value);
putpixel(x, -y, Value);
putpixel(-x, -y, Value);
putpixel(-y, -x, Value);
22
putpixel(-y, x, Value);
putpixel(-x, y, Value);
}
Cˆa

`
n ch´u ´y rˇa
`
ng khˆong nˆen go
.
i thu
˙’
tu
.
c CirclePoints() khi x = y do c´o bˆo
´
n pixel d¯u
.
o
.
.
c
v˜e hai lˆa
`
n; ta chı
˙’
cˆa
`
n thay d¯ˆo
˙’
i d¯oa
.
n m˜a xu
.
˙’

l´y d¯iˆe
`
u kiˆe
.
n biˆen.
1.2.2 Thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a v˜e d¯u
.
`o
.
ng tr`on
Bresenham [3] d¯˜a tr`ınh b`ay mˆo
.
t phu
.
o
.
ng ph´ap v˜e d¯u
.
`o
.
ng tr`on hiˆe
.
u qua
˙’

ho
.
n c´ach d¯u
.
a ra o
.
˙’
trˆen. Ch´ung ta nˆeu thuˆa
.
t to´an tu
.
o
.
ng tu
.
.
, su
.
˙’
du
.
ng tiˆeu chuˆa
˙’
n d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a, m`a trong tru
.
`o

.
ng
ho
.
.
p b´an k´ınh v`a c´ac to
.
a d¯ˆo
.
cu
˙’
a tˆam l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
nguyˆen s˜e cho c`ung mˆo
.
t kˆe
´
t qua
˙’
c´ac pixel
tˆo
´
t nhˆa
´
t.
Ta chı
˙’
cˆa

`
n x´et cung mˆo
.
t phˆa
`
n t´am d¯u
.
`o
.
ng tr`on:
(C
1
) := {(x, y) ∈ R
2
| x
2
+ y
2
= R
2
, 0 ≤ y < x}
v`a su
.
˙’
du
.
ng thu
˙’
tu
.

c CirclePoints() d¯ˆe
˙’
hiˆe
˙’
n thi
.
c´ac pixel trˆen to`an d¯u
.
`o
.
ng tr`on. Vi phˆan
phu
.
o
.
ng tr`ınh f (x, y) := x
2
+ y
2
− r
2
= 0 ta d¯u
.
o
.
.
c 2xdx + 2ydy = 0. Nˆen
dx
dy
= −

y
x
. Suy ra
−1 <
dx
dy
≤ 0 v´o
.
i mo
.
i (x, y) ∈ (C
1
). Do d¯´o, khi y tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
th`ı x gia
˙’
m khˆong qu´a
mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
. V`ı vˆa
.
y, gia

˙’
su
.
˙’
o
.
˙’
bu
.
´o
.
c th´u
.
i ch´ung ta cho
.
n d¯u
.
o
.
.
c d¯iˆe
˙’
m v˜e tˆo
´
t nhˆa
´
t C := (x
i
, y
i

),
th`ı bu
.
´o
.
c kˆe
´
tiˆe
´
p cˆa
`
n cho
.
n mˆo
.
t trong hai pixel T := (x
i
, y
i
+ 1) hoˇa
.
c D := (x
i
− 1, y
i
+ 1)
(xem H`ınh 1.6). Tu
.
o
.

ng tu
.
.
thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a v˜e d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng, d¯ˆe
˙’
cho
.
n mˆo
.
t trong hai
pixel gˆa
`
n v´o
.
i d¯u
.
`o
.

ng tr`on ho
.
n ta x´et h`am lˆa
´
y gi´a tri
.
ta
.
i d¯iˆe
˙’
m gi ˜u
.
a M = (x
i
−
1
2
, y
i
+ 1) cu
˙’
a
hai d¯iˆe
˙’
m v˜e n`ay. Dˆe
˜
d`ang ch´u
.
ng minh rˇa
`

ng, nˆe
´
u d¯iˆe
˙’
m M nˇa
`
m trong d¯u
.
`o
.
ng tr`on (tu
.
o
.
ng
d¯u
.
o
.
ng f (M) < 0) th`ı T gˆa
`
n d¯u
.
`o
.
ng tr`on ho
.
n; v`a M nˇa
`
m ngo`ai d¯u

.
`o
.
ng tr`on (tu
.
o
.
ng d¯u
.
o
.
ng
f(M) > 0) th`ı D gˆa
`
n d¯u
.
`o
.
ng tr`on ho
.
n. Tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p M nˇa
`
m trˆen d¯u

.
`o
.
ng tr`on (t´u
.
c f(M) = 0)
ta c´o thˆe
˙’
cho
.
n mˆo
.
t trong hai, do d¯´o cho
.
n pixel D.
D
-
ˇa
.
t
d
i
:= f(M) = f(x
i
−
1
2
, y
i
+ 1) = (x

i
−
1
2
)
2
+ (y
i
+ 1)
2
− R
2
.
Nˆe
´
u d
i
< 0 th`ı cho
.
n T v`a d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a kˆe
´
tiˆe
´
p c´o tung d¯ˆo
.
tˇang mˆo

.
t d¯o
.
n vi
.
. Nˆen
d
i+1
= f(x
i
−
1
2
, y
i
+ 2) = (x
i
−
1
2
)
2
+ (y
i
+ 2)
2
− R
2
;
v`a do d¯´o d

i+1
= d
i
+ (2y
i
+ 3); suy ra bu
.
´o
.
c tˇang ∆
T
:= 2y
i
+ 3.
23
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
M
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
D
✇
C
✇
T
✇
H`ınh 1.6: Lu
.
´o
.
i pixel trong thuˆa
.
t to´an d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a v˜e d¯u
.
`o
.
ng tr`on.
Nˆe
´
u d

i
≥ 0 th`ı cho
.
n D v`a d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a kˆe
´
tiˆe
´
p c´o ho`anh d¯ˆo
.
gia
˙’
m mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
v`a tung d¯ˆo
.
tˇang mˆo
.
t d¯o
.
n vi
.
. Nˆen

d
i+1
= f(x
i
−
3
2
, y
i
+ 2) = (x
i
−
3
2
)
2
+ (y
i
+ 2)
2
− R
2
.
Suy ra d
i+1
= d
i
+ 2y
i
− 2x

i
+ 5. Do d¯´o bu
.
´o
.
c tˇang ∆
D
:= 2(y
i
− x
i
) + 5.
Nhˇa
´
c la
.
i l`a, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯u
.
`o
.
ng thˇa
˙’
ng, c´ac bu

.
´o
.
c tˇang ∆
R
v`a ∆
D
l`a c´ac hˇa
`
ng sˆo
´
;
tuy nhiˆen, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p d¯u
.
`o
.
ng cong bˆa
.
c hai, ∆
T
v`a ∆
D
l`a c´ac h`am phu

.
thuˆo
.
c v`ao c´ac
to
.
a d¯ˆo
.
cu
˙’
a d¯iˆe
˙’
m v˜e hiˆe
.
n h`anh (x
i
, y
i
). C´ac h`am n`ay c´o thˆe
˙’
t´ınh to´an tru
.
.
c tiˆe
´
p ta
.
i mˆo
˜
i bu

.
´o
.
c
lˇa
.
p du
.
.
a v`ao c´ac gi´a tri
.
x v`a y cu
˙’
a pixel d¯u
.
o
.
.
c cho
.
n trong bu
.
´o
.
c lˇa
.
p tru
.
´o
.

c. T´ınh to´an nhu
.
vˆa
.
y khˆong hiˆe
.
u qua
˙’
do c´ac h`am n`ay l`a tuyˆe
´
n t´ınh (xem Nhˆa
.
n x´et 1.2.1).
Cuˆo
´
i c`ung cˆa
`
n t´ınh d
0
. V´o
.
i gia
˙’
thiˆe
´
t b´an k´ınh nguyˆen, ta biˆe
´
t rˇa
`
ng pixel kho

.
˙’
i ta
.
o
ban d¯ˆa
`
u c´o to
.
a d¯ˆo
.
(R, 0) nˆen d¯iˆe
˙’
m gi˜u
.
a c´o to
.
a d¯ˆo
.
(R −
1
2
, 1) v`a do d¯´o d
0
= f(R −
1
2
, 1) =
(R −
1

2
)
2
+ 1 −R
2
=
5
4
−R. Tˆo
˙’
ng kˆe
´
t ta c´o thuˆa
.
t to´an v˜e d¯u
.
`o
.
ng tr`on tˆam ta
.
i gˆo
´
c to
.
a d¯ˆo
.
v`a
b´an k´ınh R nhu
.
sau:

1. [Kho
.
˙’
i ta
.
o] D
-
ˇa
.
t x
0
= R , y
0
= 0, d
0
= 5/4 − R.
2. Gia
˙’
su
.
˙’
o
.
˙’
bu
.
´o
.
c th´u
.

i ta c´o d¯iˆe
˙’
m v˜e tˆo
´
t nhˆa
´
t (x
i
, y
i
) v`a biˆe
´
n quyˆe
´
t d¯i
.
nh d
i
.
3. [V˜e pixel hiˆe
.
n h`anh] D
-
ˇa
.
t t´am d¯iˆe
˙’
m v˜e du
.
.

a trˆen (x
i
, y
i
).
24

Tài liệu Đồ họa máy tính docx

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về