Tài liệu ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU pdf

ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
NĂM HỌC 2008 – 2009
MÔN TOÁN CHUYÊN
Bài 1:1) Cho phương trình:
a) Chứng minh rằng phương trình không thể có hai nghiệm đều âm.
b) Gọi
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng:
(
)( )
22
11 22
22
12
22 22xx xx
xx
−+ −+
+

không phụ thuộc vào m.
2) Giải hệ phương trình:

Bài 2:
Cho tam giác ABC không phải tam giác cân. Đường tròn (I nội tiếp tam giác và tiếp
xúc với các cạnh BD, AC và AB lần lượt tại D, E, F. EF cắt BC và ID lần lượt tại K và J.
a) Chứng minh tam giác DIJ và AID đồng dạng.

b) Chứng minh IK vuông góc với AD.
Bài 3:
Cho góc xAy vuông tại A. B thuộc Ax và C thuộc Ay. Hình vuông MNPQ với M thuộc
AB, N thuộc AC, P và Q thuộc BC.
a) Tính cạnh hình vuông MNPQ theo BC = a và AH = h với AH là đường cao hạ từ A của tam
giác ABC.
b) Cho
không đổi. Tình giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ
Bài 4:
Gọi số bạch kim là số nguyên dương có tổng các bình phương các chữ số bằng chính số
đó.
a) Chứng minh rằng không có số bạch kim có 3 chữ số.
ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

b) Tìm tất cả các số nguyên dương bạch kim n.
Bài 5:
Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn một lượt. Đội thắng được 3
điểm, hòa được 1 điểm và thua thì 0 điểm. Sau khi kết thúc số điểm của các đội lần lượt là
()
123456123456
,,,,,DDDDDD D D D D D D≥≥≥≥≥ . Biết D
1

thua đúng một trận và
123456
DDDDDD=+=++. Tính
16
,DD
Hướng dẫn giải

Bài 1:

1) Phương trình:
(
)
2
2201xmxm−+−=
a) Giả sử phương trình có hai nghiệm
12
,
x
x đều âm. Khi đó ta có:
()
2
2
12
12
42 2 0
880
0
00
1
220
0
mm
mm
m
Sxx m
m

m
Pxx
⎧
Δ= − − ≥
⎧
−+≥
<
⎪
⎧
⎪
=+< ⇔ < ⇒
⎨⎨⎨
>
⎩
⎪⎪
−>
=>
⎩
⎩
(Mâu thuẫn)
Vậy phương trình không có hai nghiệp đều âm.
b) Gọi
12
,
x
x là hai nghiệm của phương trình. Khi đó theo định lý Viet ta có:
12
12
22
Sxx m

Pxx m
=+=
⎧
⎨
==−
⎩

Ta có:
() ()
2
22 2 2
12 12 12
222244xx xx xxm m m m+= + − = − −= − +
Và

()()
() ( )
()
()
()()
()
()
22 222222
11 22 1212121 2
1212
2
22
12 12 1 2 1 2 1 2 12
2
2

222
2
22 22 2 2 2 2
444 4
22444
22222 2 4444224
4 8 44 4 2 8 84 8 84
288
xx xx xxxxxxxx
xxxx
xx xx x x x x x x xx
mmmmmmm
mm mmmm mm
mm
−+ −+= − − + +
−− + +
= − ++ +− ++ +
=−− −+ −+−+ −+
=−+−++−+−+−+
=−+

Suy ra:
()()
22
2
11 22
22 2
12
22 22
288

2
44
xx xx
mm
xx m m
−+ −+
−+
=
=
+−+
không phụ thuộc vào giá trị của m.
2)
ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

()
()
()
22
22
22
1
2
3
xy z
yx z
zx y
⎧
=+
⎪

⎪
=+
⎨
⎪
=+
⎪
⎩

Ta có
22 22 2 2
0, 0, 0xy z yx z zx y=+≥ =+≥ =+≥
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có:
()
(
)
(
)
(
)
()
22
10
0
10
xyy x yxyx xy xy
xy
xy l
−= − = − + ⇔ − ++ =
−=
⎡

⇔
⎢
++=
⎣

Lấy (2) trừ (3) vế theo vế ta có:

(
)
(
)
()( )
()
22
10
1
y
zz y yz zyzy
yz yz
yz
yz l
−= − ⇔−= − +
⇔− ++=
=
⎡
⇔
⎢
+=−
⎣

Từ đó ta có
x
yz==. Từ (1) suy ra
()
22 2 2
0
220120
1
2
x
xy z x x x x x
x
=
⎡
⎢
=+= ⇔− =⇔ − =⇔
⎢
=
⎣

Với x = 0 thì y = z = 0.
Với
11
22
xyz=⇒==

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x, y, z) là
(
)
0,0,0 và

111
,,
222
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Bài 2:













J
K
F
E
D
I
A
B C
ĐỀ THI VÀO LỚP 10

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com


a) Ta có AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
và IE = IF (bán kính đường tròn (I))
Suy ra AI là đường trung trực của EF, suy ra
A
IEF
⊥
tại J.
Tam giác AFI vuông tại có FJ là đường cao nên ta có : IJ. IA = IF
2

Mà IF = ID, suy ra IJ. IA = ID
2

I
JID
I
DIA
⇒=
Xét tam giác IDJ và tam giác IDA có :
+ Góc AID chung
+
I
JID
I
DIA
= (cmt)
Suy

()
~
I
DJ IAD c g cΔΔ
b) Tam giác
~
I
DJ IADΔΔ suy ra
n
n
I
JD IDA= .
Tứ giác IJKD có
n
n
90 90 180
oo o
IJK IDK+=+= nên là tứ giác nội tiếp, suy ra
n
n
I
JD IKD=
Từ đó ta có
n
n
I
DA IKD=
Gọi P là giao điểm của AD và IK.
Ta có
n

n
n
n
n
n
90 90
oo
PDK PKD PDK PDI IDK DPK AD IK+ = + = =⇒ =⇒⊥
Bài 3:













a) Đặt x là độ dài cạnh hình vuông.
Gọi E là giao điểm của AH và MN.
Ta có MEHQ là hình chữ nhật, suy ra EH = MQ = x, và AE = AH – EH = h –x.
D
A
B C
M N
PQ

ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

Ta có MN //BC nên
M
NAN
B
CAC
=
Và NE // CH nên ta có
AN AE
AC AH
=
Do đó ta có:
M
NAE
B
CAH
=
hay
x
hx ah
x
ah ah
−
=⇒=
+

Vậy độ dài cạnh hình vuông MNPQ bằng
ah

ah
+

b) Gọi M là trung điểm BC, ta có
1
2
AM BC= suy ra
11
hay
22
AH AM BC h a≤= ≤(1)
Ta có
2
2
ABC
SABACAHBCahk==⇒=
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
22
22aahk≥=
Ta có
()
()
2
2
4
2
2
22
2

MNPQ
ah
ah k
SMP
ah a h ah
ah
⎛⎞
== = =
⎜⎟
+++
⎝⎠
+

Ta có
2
22 2 2
3
44
a
ah h a+= ++
. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai số ta được
:
22
22
2.
44
aa
hhah+≥ =
Suy ra:

22 2 2 2 2
22 2 2 2
335
.2
442
59
22
22
ahah ak k k
ah ahk k k
+≥+ ≥+ ≥
⇒++ ≥ + =

Do đó
4
2
2
2
9
9
2
MNPQ
k
Sk
k
≤=
.Dấu bằng xảy ta khi và chỉ khi a = 2h 2ahMH=⇔≡⇔ tam giác
ABC vuông cân tại A khi và chỉ khi AB = AC = k.
Vậy giá trị lớn nhất của diện tích hình vuông MNPQ bằng
2

2
9
k
khi tam giác ABC vuông cân
tại A
Bài 4:

a) Xét số tự nhiên có 3 chữ số
abc
trong đó 19,0,9abc
≤
≤≤≤. Ta chứng minh
abc
không thể
là số bạch kim.
Ta có
(
)
2
100 10 100 10abc a b c a a a b c=++=+−++
Ta có
2
10bb≥
ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

Ta có 100 90a−> và 1a ≥ suy ra
(
)
2

100 90aa c
−
≥>
Do đó
222
abc a b c>++.
Vậy
abckhông thể là số bạch kim.
Do đó không có số bạch kim có 3 chữ số.
b) Ta chứng mọi số tự nhiên có nhiều hơn 3 chữ số cũng không phải là số bạch kim.
Đặt
12

k
aa a là số tự nhiên có k chữ số với 4k ≥ trong đó
1
19,092,
i
aaik≤≤ ≤≤∀=
Ta có
12
12 1 2 1
10 10 10
kk
kkk
aa a a a a a
−−
−
=+ +++
Với i = 2, 3, …, k-1 thì

2
10
ki
ii
aa
−
≥ (1)
Và
()
12 1 2 22
11 111 1
10 10 990
kk
k
aa aaa aa
−−
=+ − >+ >+ (2) ( Vì k > 3)
Từ (1) và (2) ta có
12 222
12 1 2 1 1 2
10 10 10
kk
kkkk
aa a a a a a a a a
−−
−
=+ +++>+++
Vậy không có số bạch kim có nhiều hơn 3 chữ số.
Hơn nữa từ câu a) suy ra không có số bạch kim có nhiều hơn hoặc bằng 3 chữ số. Vậy số bạch
kim nếu có chỉ có thể là số có một hoặc hai chữ số.

TH1: Nếu số bạch kim có một chữ số.
Ta có
()
2
0
1
al
aa
a
=
⎡
=⇔
⎢
=
⎣
. Vậy số bạch kim có một chữ số là 1.
TH2: Số bạch kim có hai chữ số
ab .
Ta có
22 2 2
10 10ab a b a b b b a a=+=+⇔−=− (3)
Mà
()
2
1bbbb−= − là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2. Suy ra
2
10aa
−
chia
hết cho 2, suy ra a phải là số chẵn. Mà

0 9 2,4, 6,8aa
<
≤⇒=
Thế a trực tiếp vào ta không tìm được số tự nhiên b nào.
Do đó không có số bạch kim có hai chữ số.
Vậy chỉ có một số bạch kim duy nhất là 1.
Câu 5:

Gọi a là số trận có kết quả thắng thua và b là số trận có kết quả hòa.
Khi đó ta có:
6.5
15
2
ab+= =
và
123456
32ADDDDDD ab
=
+++++=+ là tổng số điểm của các
đội đạt được.
Ta có
() ()
2 3 2 3 30 3 2 45ab a b ab a b+≤+≤ +⇒ ≤+≤

Vì
1 23 456 1 1
323 10DDDDDD Aab D D=+=++⇒=+= ⇒≥
Hơn nữa do D
1
thua một trận nên

1
12D
≤
. Suy ra
1
10 12D
≤
≤ .
Gọi m là số trận thắng của D
1
, n là số trận hòa của D
1
. Khi đó ta có m + n = 4 và 3m + n = D
1

ĐỀ THI VÀO LỚP 10
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

+ Nếu D
1
= 10 => 3a+ 2b = 30 => a = 0, b = 15 vô lí vì D
1
thua một trận nên có ít nhất một
trận thắng thua.
+ Nếu D
1
= 11 ta có 3m + n = 11, m + n = 4.
17
,
22

nm⇒= = ( vô lý vì m, n là số tự nhiên)
Vậy D
1
= 12. Khi đó ta có 3a + 2b = 3 . 12 = 36 => a = 6 và b = 9.
Ta có D
1
thắng 4 trận thua một trận nên số trận có D
1
với 5 đội còn lại là 5 trận có kết quả
thắng thua. Do đó trong 5 đội còn lại đấu với nhau có đúng một trận thắng thua, còn lại là kết
quả hòa. (*)
Ta có D
2
+ D
3
= 12 và
23 3
6DD D≥⇒≤
Ta có D
4
+ D
5
+ D
6
= 12 và
654 6 6
312 4DDD D D
≤
≤⇒ ≤⇒≤
Ta có D

6
đấu với 4 đội D
2
, D
3
, D
4
, D
5
có nhiều lắm là một trận thua. Nên ta có
6
3D ≥ .
Nếu D
6
= 3, suy ra D
4
+ D
5
= 9
4
5D⇒≥. Suy ra D
4
phải có ít nhất một trận thắng (vì không
thể hòa với D
1
) và D
4
khi đấu với nhóm (D
2,
…D

6
) có ít nhất 3 trận hòa nên suy ra
43 4
666DD D≤≤≤⇒= => D
5
= 3. Suy ra D
5
có một trận thua nữa (vô lí với (*))
Vậy D
6
= 4.

Một vài nhận xét:

+ Bài 1 thì chắc ai cũng làm được vì đây là dạng bài tập cơ bản. Vì thế nếu làm được các bài
khác mà không làm được bài này thì cũng nguy hiểm.
+ Bài 2, 3 thuộc môn hình học. Hai bài này chỉ có câu b của bài 3 thì nhiều học sinh dễ bị
nhầm lúc áp dụng Cauchy ngay mà không để ý tới dấu bằng xảy ra. Còn lại những câu khác hi
vọng là làm đúng hết vì cũng thuộc dạng cơ bản.
+ Bài 4: Bài này cũng là một bài hay, không khó nhưng đủ để đánh gục được nhi
ều học sinh
vì thấy không quen. Nhưng nếu để ý, một phương trình nghiệm nguyên có nhiều ẩn thì phương
pháp cơ bản có thể nghĩ tới là bất đẳng thức. Khi giải ra cũng hồ nghi vì sao chỉ có số 1 là số
bạch kim (định nghĩa số bạch kim làm gì chỉ có một số).
+Bài 5: Năm nay Euro + thầy Trần Nam Dũng rất khoái bong đá nên chắc chắn sẽ là một câu
về bóng đá rồi. Bài này rối r
ắm, trong lúc thi khó nghĩ ra vì tâm lí. Có lẽ nhiều bạn chuẩn bị
nhiều về dạng bài tập này nhưng vẫn gặp khó khăn. Bỏ bài này mà làm hết mấy bài khác thì
vẫn còn hi vọng.
NGUYỄN TĂNG VŨ