Tài liệu CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT docx

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

A.PHƢƠNG TRÌNH MŨ
VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ.
I.Công thức lũy thừa và căn thức.

.
.
.

m n m n
m n m n
m
n
m
n
n n n
n
m n m
m
n m n
a a a
a a a
aa
a b a b
aa
aa










II. Các phƣơng pháp giải phƣơng trình mũ.
1) Đƣa về dạng cơ bản.
()
0
(0 1)
( ) log
fx
a
b
a b a
f x b


   




2)Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số.
Biến đổi phƣơng trình về dạng :
 
()
( ) ( )
01

gx
f x a
f x g x
a









Nếu cơ số a không phụ thuộc x ( a=a(x))
 
( ) ( )
0
( ) ( )
( ( ) 1)( ( ) ( )) 0
g x f x
ax
a x a x
a x f x g x





  




3)Phƣơng pháp dùng ẩn số phụ.
Đặt t=
()fx
a
chọn cơ số a thích hợp
Điều kiện t >0
Biến đổi phƣơng trình mũ về phƣơng trình bậc 2 , bậc3 theo t
Giải phƣơng trình này và chọn nghiệm t >0
Giải tiếp suy ra x
4)Phƣơng phƣơng pháp đƣa về phƣơng trình tích.
-Nhóm các số hạng rồi đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích
5)Phƣơng pháp lấy logarit thích hợp 2 về.
Dạng
( ) ( )
01
01
f x g x
a
ab
b
   








Lấy logarit cơ số a 2 vế
( ).log ( )log
( ) ( ).log
aa
a
f x a g x b
f x g x b




PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

6)Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu.
Biến đổi phƣơng trình về dạng f(x)=g(x)
Trong đó f(x) và g(x) là 2 hàm số đơn điệu
Đoán nhận 1 nghiệm x=
0
x

Suy ra phƣơng thình có nghiệm duy nhất x=
0
x

III.Một số ví dụ.
VD1:Giải phƣơng trình
0,5
1
(0,2)

5.(0,04)
5
x
x





Giải:
1
1
1
2
1
2
11
2( 1)
22
23
51
(1) 5.
25
5
5 5.5
55
23
3
x
x

x
x
xx
xx
x


  

  






    


VD2: Giải phƣơng trình:

 
2
2
24
4
2 5. 2 6 0
xx
xx
  


  

Giải:
Điều kiện
2
4 0 2xx    
hoặc
2x 

   
2
2
24
4
(1) 2 5. 2 2 6 0
xx
xx
  

   

Đặt t=
2
4
( 2)
xx
. Điều kiện t>0

2

4
5
6
3
2
2
t
tt
t



  






2
4
22
22
3
( ai)
2
t=4 ( 2) 4
4 4 4 4
04
4 16 8

4
5
2
xx
t lo
x x x x
x
x x x
x
x




       




   










PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

ĐS:
5
2
x 

VD3.Giải phƣơng trình

8.3 3.2 24 6
x x x
  
(1)
Giải:
(1) 8.(3 3) 2 (3 3) (3 3)(2 8) 0
3 3 1
2 8 3
x x x x x
x
x
x
x
       

  


  


ĐS: x=1;x=3
VD4.Giải phƣơng trình

2
42
35
xx

(1)
Giải:
Lấy logarit cơ số 3 hai vế

22
3 3 3
2
3
( 4)log 3 2 .log 5 4 2 log 5
2 log 5 4 0
x x x x
xx
    
   


2
33
2
33
log 5 log 5 4

log 5 log 5 4
x
x

  



  



VD5.Giải phƣơng trình

37
2
55
x
x





Giải:
Ta thấy x=1 là một nghiệmcủa phƣơng trình
Đặt
37
()
55

x
fx




là hàm số giảm trên R
( ) 2
x
gx
là hàm số tăng trên R
Mà f(1)=g(1)
Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất x=1
VD6. Giải phƣơng trình:

1 1 1
2 3 5 2 3 5
x x x x x x   
    

Giải:
Đặt
1
( ) 2 3 5
x x x
fx

  
là hàm số tăng trên R

11
( ) 2 3 5
x x x
gx
  
  
là hàm số giảm trên R
Mà
11
22
fg
   

   
   
nên phƣơng trình có nghiệm x=
1
2


PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

VD7 Giải phƣơng trình:

22
3.25 (3 10).5 3 0(1)
xx
xx

    

Giải :
Đặt t=
2
5
x
(t>0)
(1)
2
3 (3 10) 3 0(2)t x t x     
1
3
3
t
tx








Với
2
5
5
1 1 1
5 2 log
3 3 3

2 log 3
x
tx
x

     
  

Với
2
3 5 3 (3)
x
t x x

    

(3) có 1 nghiệm x=2
Đặt
2
( ) 5
x
fx


là hàm số tăng trên R

( ) 3g x x
là hàm số giảm trên R
Vậy (3) có nghiệm duy nhất x=2
Vậy (1) có nghiệm : x=2 ;

5
2 log 3x 

IV.Một số bài tập:
Bài 1: Giải phƣơng trình:
1 4 2
4 2 2 16
x x x  
  

Bài 2: Giải phƣơng trình:
 
1
2
log 9 5.3 4
xx


Bài 3: Giải phƣơng trình:




2 3 2 3 4
xx
   

Bài 4: Giải phƣơng trình:
2 1 2
4 .3 3 2 .3 2 6

x x x
x x x x

    

Bài 5: Giải phƣơng trình:
111
9 6 4 0
xxx
  



VẤN ĐỀ 2: Tìm m để phƣơng trình mũ có nghiệm, có nghiệm duy nhất.
I. Tìm m để phƣơng trình mũ:
F(x,m)=0 (1) có nghiệm x

D.
Cách giải:
-Đặt ẩn phụ: t:=q(t), tìm điều kiện cho ẩn phụ t.
-Chuyển điều kiện x

D thành điều kiện t

T.
-Biến đổi phƣơng trình (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t f(t,m)=0 (2).
*Cách 1.
-Biến đổi (2) tƣơng đƣơng với f(t)=m (2’) với t

T.

-Tính f’(t), lập bảng biến thiên.
-Để (1) có nghiệm x

D khi và chỉ khi (2’) có nghiệm t

T điều này cũng tƣơng đƣơng
với đƣờng thẳng y=m có điểm chung với đồ thị y=f(t)
-Dựa vào bảng biến thiên để tìm điều kiện của m.

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

*Cách 2.
-Ta có (1)

f(t,m)=0 (2) (bậc 2 theo t)
-Để (1) có nghiệm x

D khi và chỉ khi (2) có nghiệm t

T
Tức là (2) có 1 trong 2 nghiệm thuộc T hoặc cả hai nghiệm đều thuộc T.
II. Tìm m để phƣơng trình có nghiệm duy nhất
*Cách 1.
Điều kiện cần.
-Giả sử phƣơng trình có nghiệm x
0
. Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn, giá trị
tuyệt đối … phƣơng trình có nghiệm x
1
.

-Từ đó phƣơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi x
0
=x
1
.
-Thay vào phƣơng trình để tìm giá trị m.
Điều kiện đủ.
-Thay giá trị m vừa tìm đƣợc vào phƣơng trình.
-Giải phƣơng trình và chọn m sao cho thỏa mãn điều kiện phƣơng trình có nghiệm
duy nhất.
Từ đó đƣa ra kết luận các giá trị m thỏa mãn.
*Cách 2.
-Bằng cách đặt ẩn phụ t=q(x) để đƣa phƣơng trình đã cho về dạng f(t)=m.
-Đặt y=f(t) với t

T
-Tính f’(t), lập bảng biến thiên trên T.
-Từ đó phƣơng trình (2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đƣờng thẳng y=m chỉ
có duy nhất một điểm chung với đồ thị y=f(t).
-Dựa vào bảng biến thiên để có đƣợc giá trị m cần tìm.
III.Một số ví dụ :
VD1: Định m để phƣơng trình:
     
1 4 2 3 2 3 0 1
xx
m m m     
có nghiệm
Giải:
Đặt: t=2
x

(t>0)
     
 
  
2
22
22
2
2
1 1 2 3 3 0
2 6 3
2 1 6 3
63
20
21
m t m t m
mt m m t t
m t t t t
tt
mt
tt
      
     
     

  


Đặt
   

2
2
63
0
21
tt
f t t
tt




 
 
 
2
2
2
2
4 8 12
21
1
0 4 8 12 0
3
tt
ft
tt
t
f t t t
t

  






      








PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Bảng biến thiên:


Để (1) có nghiệm
 
2xR
có nghiệm t>0

Đƣờng thẳng y=m cớ điểm
chung với đồ thị
 
y f x

.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
3
3
2
m  

ĐS:
3
3
2
m  

Ví dụ 2: Cho phƣơng trình:
     
3 16 2 1 4 1 0 1
xx
x m m     

Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu.
Giải:
Đặt:
 
40
x
tt
phƣơng trình (1) trở thành
       
2
3 2 1 1 0 2f t m t m t m      

Phƣơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
12
0
1 2 1 2
0 4 4 4 1
xx
x x t t       


(2) có nghiệm t
1
, t
2
thõa 0 < t
1
< 1 < t
2

 
 
  
  
. 1 0
. 0 0
3 4 3 0
3 1 0
3
3
4

3
1
3
4
1
af
af
mm
mm
m
m
m
m








  




  




   


     










Vậy phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu khi: .
3
1
4
m   

Ví dụ 3: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm duy nhất:
 
1
1
3 2 1
2
x
m



Giải:
Phƣơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi:

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

 
 
 
1
2
2
2
2
3 2 0
3
11
1 2 1 log
3 2 3 2
1 log 3 2
1 log 3 2
x
mm
x
mm
xm
xm

   
    


  



  



Phƣơng trình có nghiệm duy nhất
   
 
22
2
1 log 3 2 1 log 3 2
log 3 2 0 3 2 1 1
mm
m m m
     
       

IV.Một số bài tập:
Bài 1: Tìm m để phƣơng trình
   
4 9 2 2 3 1 0
xx
m m m     
có nghiệm.
Bài 2: Tìm m để phƣơng trình
.2 2 5 0

xx
m

  
có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 3: Định m để phƣơng trình:
   
3 2 2 3 2 2
tgx tgx
m   

Có đúng 2 nghiệm trong
,
22






Bài 4:Tìm k để phƣơng trình
   
1
1 4 3 2 .2 3 1 0
xx
k k k

     

có 2 nghiệm trái dấu.

Bài 5:Giải và biện luận phƣơng trình
.3 .3 8
xx
mm




B.PHƢƠNG TRÌNH LOGARIT
VẤN ĐỀ 1: Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit.
I.Dạng cơ bản:
 
log
log 0, 1
log , ; ; 0
a
N
a
x
x
a
x N x a a a
a x x a x x
    
    

Công thức đổi cơ số:
log
log log log log
log

a
a a b b
a
x
x b x x
b
  

1
log
log
x
a
a
x

;
log log
bb
ca
ac

3
1
log log
3
log log
a
a
a

a
xx
xx







II.Các phƣơng pháp giải phƣơng trình logarit.
1.Phƣơng pháp đƣa về cùng cơ số
-Biến đồi phƣơng trình về dạng:

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

    
 
 
   
log log 0 1
0
0
aa
f x g x a
fx
gx
f x g x
  















2.Phƣơng pháp đặt ẩn phụ:
-Chọn ẩn số phụ thích hợp, biến đối phƣơng trình đã cho thành một phƣơng trình đại số.
3.Phƣơng pháp đƣa về dạng phƣơng trình tích:
-Nhóm các số hạng, đặt thừa số chung suy ra phƣơng trình tích.
4.Phƣơng pháp dùng tính đơn điệu.
-Suy đoán 1 nghiệm đặc biệt và chứng minh nghiệm đó duy nhất.
5.Dạng:
   
01
log log
01
m
ab
a
f x a g x
b








-Suy đoán nghiệm x
0
và chứng minh nghiệm duy nhất.
-Nghiệm duy nhất x
0
thõa:
 
 
0
0
m
n
f x a
g x a








6.Dùng phƣơng pháp đối lập.

AB
Am
Am
Bm
Bm













7.Dạng:
 
 
 
 
log log
a x a x
f x g x

 
 
 

   
0
1
0
ax
ax
fx
f x g x













III.Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phƣơng trình:
    
4
2
11
log 3 log 4 1
24
xx

Giải:
ĐK:
0
1
x
x






     
   
    
2 2 2
2
11
1 log 3 . .8log 1 log 4
42
log 3 1 log 4
3 1 4 2
x x x
x x x
x x x
    
   
  

PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

 Nếu 0< x <1 :

 Nếu x>1


ĐS:
3; 3 2 3xx   

Ví dụ 2: Giải phƣơng trình:
 
12
11
4 lg 2 lgxx



Giải:
ĐK:
4
0
0
lg 4 10
lg 2 1
100
x
x
xx

x
x







  








Đặt:
 
lg 4 2t x t t    

 
    
2
2
12
11
42
2 2 4 4 2

10 8 4 2
3 2 0
1
2
tt
t t t t
t t t t
tt
t
t
  

      
     
   








1 lg 1 10t x x    


2
2 lg 2 10 100t x x     

ĐS: x=10; x=100
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình:
 
 
32
log log 1 1xx


PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

Giải: Điều kiện:
0x 

Đặt:
2
log 3
t
t x x  

 


 
 
2
1 log 1 3
2 1 3
13
12
22

t
t
t
t
t
t  
  


  






Nhận xét: t=2 là nghiệm của (2)
Vế trái là hàm số giảm.
Vế phải là hàm số hằng.
Nên phƣơng trình có 1 nghiệm duy nhất là
2
3
2 log 2 3 9t x x     

ĐS: x=9
IV.Một số bài tập:
Bài 1: Giải phƣơng trình
       
2 2 4 2 4 2
2 2 2 2

log 1 log 1 log 1 log 1x x x x x x x x          

Bài 2: Giải phƣơng trình:
4
21
2
log 1
21
x
x
x





Bài 3: Giải phƣơng trình:
   
22
3 2 3
log 2 9 9 log 4 12 9 4 0
xx
x x x x

      

Bài 4: Giải phƣơng trình:
 
9
log 1 lg 0

2
x
x   

Bài 5: Giải phƣơng trình:
   
22
3
1
log 3 1 2 log 1
log 2
x
xx

    

VẤN ĐỀ 2: Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất:
I.Tìm m để phƣơng trình:
   
, 0 1F x m 
có nghiệm
xD

-Đặt ẩn số phụ:
log
a
tx
thích hợp.
-Chuyển điều kiện
x D t T  

-Biến đổi (1) thành phƣơng trình bậc 2 theo t. Biến đổi phƣơng trình này về dạng:
   
2f t m

-Tính
 
,f t t T


. Lập bảng biến thiên
-Để (1) có nghiệm trên D

(2) có nghiệm trên T.
-Dựa vào bảng biến thiên

điều kiên của m
II. Định m để phƣơng trình logarit có nghiệm duy nhất:
Cho phƣơng trình ( chứa logarit )
   
, 0 1F x m 

-Đặt:
 
t p x

-Tìm điều kiện của
tT

-Biến đổi phƣơng trình (1) về dạng:

   
2f t m


PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

-Tính
 
ft

với
tT

-Lập bảng biến thiên trên T
-Phƣơng trình (1) có nghiệm duy nhất

(2) có nghiệm duy nhất trên T.
-Dựa vào bảng biến thiên

Đk của m.
 Cách khác:
Phƣơng trình (1)

(2) là phƣơng trình bậc hai với
x



Để (1) có nghiệm duy nhất
 

2
có 1 nghiệm kép
12
2
b
xx
a

   
hoặc có 2 nghiệm
12
xx



0
2
b
a










hoặc

 
af 0



III.Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình:
 
   
2
lg 2 lg 1 0 1x mx x   
có nghiệm.
Giải:
Ta có:
 
 
 
2
1 lg 2 lg 1x mx x   

 
2
2
10
21
1
1
2
2
x

x mx x
x
xx
m
x




  






  




Đặt:
   
2
1
1
2
xx
f x x
x

  


 
2
2
22
0
4
x
fx
x



vì x>1
Bảng biến thiên:


PHƢƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

(1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm x>1
1
2
m  

Ví dụ 2: Tìm m để phƣơng trình:
         
2
11

22
1 log 4 2 1 log 4 2 0 1m x m x m       

Có 2 nghiệm x
1,
x
2
thõa mãn: 4 < x
1
< x
2
< 6
Giải:
Đặt:
 
1
2
log 4tx

Điều kiện:
 
11
22
4 6 0 4 2
log 4 log 2 1
xx
tx
     
     

         
2
1 1 . 2 1 . 2 0 2f t m t m t m       

(1) có 2 nghiệm thõa mãn :
12
46xx  

 
2
có 2 nghiệm
12
,tt
thõa
12
1 tt  

    
0 9 0
af 1 0 1 4 2 0
41
1 0 0
2 2 2
1
1
1
2
1
1
2

1
4
mm
Sm
m
mm
mm
mm




    


      




  



   


     



  



Vậy:
1
1
2
mm   

IV.Một số bài tập
Bài 1: Tìm m để phƣơng trình
 
2
21
2
4 log log 0x x m  

có nghiệm thuộc khoảng
 
0,1

Bài 2: Giải và biện luận phƣơng trình theo m
 
3 3 3
2log log 1 log 0x x m   

Bài 3: Tìm m để phƣơng trình
 
 

2
22
lg lg 3 0x mx x   
có nghiệm.
Bài 4: Cho phƣơng trình:
   
 
32
22
log 5 6 log 3 1 1
m
mx mx x x

     

Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phƣơng trình (1) với mọi
0m 

Bài 5: Với giá trị nào của a thì phƣơng trình:
 
2
log
log
a
x
a a x
a
  

Có nghiệm duy nhất.