SKKN Phương trình bậc nhất một ẩn

S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2005 - 2006
hiÕu

Ngun träng

Gióp häc sinh lớp 9
củng cố kiến thức về
giải phơng trình bậc hai một ẩn

A/ đặt vấn đề:
Khi dạy học sinh về giải phơng trình bậc hai một ẩn,
tôi nhận thấy đa số học sinh giải máy mócphơng trình
chỉ dựa vào công thức nghiệm, không linh hoạt giải ở
nhiều dạng khác nhau. Chính vì vậy, tôi cho học sinh làm
bài tập thực hành này nhằm giúp cho các em tự tìm ví dụ,
tự ra ví dụ từ đó củng cố đợc cách nhận dạng bài tập và
giải phơng trình bậc hai một ẩn tốt hơn.
B/ Hình thức tiến hành:
Sau khi dạy xong bài Đ6.Hệ thức Viét và ứng dụng tôi
cho học sinh làm bài tập thực hành. Tôi hớng dẫn các em
làm phiếu thực hành:
Họ và tên:.
Lớp: 9A

Bài tập thực hành
Môn: Đại số

Giải phơng trình bậc hai một ẩn

I. Lí thuyết:
1) Định nghĩa phơng trình bậc hai một ẩn.

2) Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai (Khi phơng trình có nghiệm)
3) Công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc
hai.
4) Nhẩm nghiệm nhờ vào hệ thức Viét.
II. Tài liệu sử dụng: Sách giáo khoa, sách bài tập, sách
tham khảo
III. Bài tập:



1


Sáng kiến kinh nghiệm 2005 - 2006
hiếu

Nguyễn trọng

1/ Dạng bài tập: Giải phơng trình bậc hai
khuyết c (ax2 + bx = 0)
Yêu cầu học sinh:
Nêu cách giải tổng quát.
x  0
ax  bx  0 � x(ax  b)  0 � �
b
�
x
a
�
2

 Cho Ýt nhÊt 5 vÝ dô (Tuỳ theo khả năng các em có thể
cho ví dụ khó hay dễ khác ví dụ của giáo viên).
Giáo viên cho ví dụ minh họa:
Giải các phơng trình:
a) 4x2 + 7x = 0;

b)

x2 

x
 3x  0 .
4

Gi¶i:
a) 4 x 2  7 x  0 � x(4 x  7)  0
�
�x  0
x0
�
�
��
7
�
�
4x  7  0
x
�
4

�

VËy ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 0; x2  
.

7
4

�x  0
11
x
� 11 �
2
b) x   3 x  0 � x  x  0 � x �x  � 0 � � 11
�
x
4
4
� 4�
� 4
2

VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 0; x2

11
.
4

2/ Dạng bài tập: Giải phơng trình bậc hai khuyết
b (ax2 + c = 0)

Yêu cầu học sinh:
Nêu cách giải tổng quát.


2


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2005 - 2006
hiÕu

ax 2  c  0 � x 2 

* NÕu x 2 
x

Nguyễn trọng

c
c
0 x2
a
a

c
c
0 thì phơng trình cã hai nghiƯm
mµ  �
a
a

c
a

* NÕu x 2  

c
c
0 thì phơng trình vô nghiệm.
mà
a
a

Cho ít nhất 5 ví dụ (Tuỳ theo khả năng các em có thĨ
cho vÝ dơ khã hay dƠ kh¸c vÝ dơ cđa giáo viên).
Giáo viên cho ví dụ minh họa:
Giải các phơng tr×nh:
a) 2 x 2  18  0 ;

b) x 2  3  5 ;

c)

5 2
x 1 0 .
7

Gi¶i:
a) 2 x 2  18  0 � x 2 

18

� x  � 9 � x  �3 .
2

VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 3; x2  3 .
b) x 2  3  5 � x 2  8 � x  � 8 � x  �2 2 .
VËy

tr×nh
x1  2 2; x2 2 2 .
c)

phơng

có

hai

nghiệm

phân

biệt:

5 2
7
5
x 1 0 x 2  1 � x 2   .
7
7
5

VËy phơng trình vô nghiệm.
3/ Dạng bài tập: Giải phơng trình bậc hai (ax2 +
bx + c = 0)
Yêu cầu học sinh:
Nêu cách giải tổng quát.
Phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a �0)
BiÖt sè (den ta)   b 2  4ac
  

3


Sáng kiến kinh nghiệm 2005 - 2006
hiếu

Nguyễn trọng

0 thì phơng trình vô nghiệm .
- Nếu

- Nếu 0 thì phơng trình có nghiệm kép:
x1 x2

b
.
2a

0 thì phơng trình có hai nghiệm phân
- Nếu

biệt:
x1

b  
;
2a

x2 

b  
.
2a

Chó ý: NÕu a vµ c trái dấu, phơng trình chắc chắn có hai
0.
nghiệm phân biệt v× �
 Cho Ýt nhÊt 5 vÝ dơ (T theo khả năng các em có thể
cho ví dụ khó hay dễ khác ví dụ của giáo viên).
Giáo viên cho ví dụ minh họa:
Giải các phơng trình:
a) x 2 6 x  21  0 ;

b) 3 x 2  12 x  63  0 ;

1
5

c)  x 2  5 x  25 ;

x2 4x 1

  0.
e)
3
5 12

d) x  4 x  4  0 ;
2

Gi¶i
a) x 2  6 x  21  0
0.
  (6) 2  4.21  36  84  48

Vậy phơng trình vô nghiệm.
b) 3 x 2 12 x  63  0 � x 2  4 x  21  0
0
  42  4.( 21)  16  84  100 �
  100  10 .

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1
1
5

4  10 6
  3;
2
2

x2 

4  10 14

 7 .
2
2

1
5

c)  x 2  5 x  25 � x 2  5 x  25  0 � x 2  25 x  125  0
  

4


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2005 - 2006
hiÕu

Ngun träng

0 �   125  5 5
  252  4.125  625 500 125

Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 

25  5 5

;
2

x2 

25  5 5
.
2

d) x 2  4 x  4  0
  (4) 2  4.4  16  16  0

Vậy phơng trình có nghiệm kép: x1 x2 

b
4

 2.
2a
2

x2 4x 1

  0 � 20 x 2  48 x  5  0
e)
3
5 12
  482  4.20.(5)  2304  400  2704 �  2704 52 .

Vậy phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt:

x1 

48  52 4
1

 ;
2.20
40 10

x2 

48  52 100
5


2.20
40
2

4/ Dạng bài tập: Giải phơng trình bậc hai (ax2 +
bx + c = 0) Víi b lµ béi của 2
Yêu cầu học sinh:
Nêu cách giải tổng quát.
Phơng tr×nh ax2 + bx + c = 0 (a �0)
b
2

BiƯt sè  '  b'2  ac ( víi b' )
0 thì phơng trình vô nghiệm .
- Nếu '

- Nếu ' 0 thì phơng trình có nghiệm kép:
b'
x1 x2 .
a
0 thì phơng trình có hai nghiệm phân
- Nếu '

biệt:
b'  '
;
x1 
a

b '   '
.
x2 
a
  

5


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2005 - 2006
hiÕu

Ngun träng

 Cho Ýt nhất 5 ví dụ (Tuỳ theo khả năng các em cã thĨ
cho vÝ dơ khã hay dƠ kh¸c vÝ dơ của giáo viên).

Giáo viên cho ví dụ minh họa:
Giải các phơng trình:
a) x 2 14 x 33 0 ;

b) 9 x 2  30 x  25  0 ;

c) x 2  2 2 x  6  0 ;

2
d) x  2 1  3 x  2 3  0 .





Gi¶i
a) x 2  14 x  33  0
2
0
 '  b'2  ac  (7)  33  49  33  16

' 16 4

Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
b'   '  7  4  11
;
x1 
1
a

b'   '  7  4  3
.
x2 
1
a

b) 9 x 2  30 x  25  0
2
 '  b'2  ac = (15)  9.25  225  225  0

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x1  x2  

15 5
b'

= 
9
3
a

c) x 2  2 2 x  6  0
 '  b'2  ac =

 
2

2

 6  2 6 4
0

Vậy phơng trình vô nghiệm.





2
d) x  2 1  3 x  2 3  0 .





2

 1  3 � 2 3 = 4  2 3  2 3  4 �
 '  b'2  ac = �
�
�
'  4  2 .

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 1  3  2  3  3 ;
1

x2  1  3  2  3  1 .
1

5/ NhÈm nghiƯm nhê vµo hƯ thøc ViÐt.

  

6


Sáng kiến kinh nghiệm 2005 - 2006
hiếu

Nguyễn trọng

Yêu cầu học sinh:
* Nêu cách nhẩm nghiệm khi phơng trình bậc hai
đủ có a + b + c = 0.
(Nếu phơng trình ax 2  bx  c  0 cã a + b + c = 0 th× nã cã
hai nghiƯm là:
x1 1 ;

x2

c
.)
a

* Nêu cách nhẩm nghiệm khi phơng trình bậc hai
đủ có a - b + c = 0.
(Nếu phơng trình ax 2 bx c  0 cã a - b + c = 0 thì nó có
hai nghiệm là:
x1 1;

c

x2 .)
a

Cách nhẩm nh vậy là nhờ vào hệ thức Viet:
Nếu phơng tr×nh ax 2  bx  c  0 ( a �0 ) cã hai nghiƯm
x1 & x2 th× hai nghiƯm ®ã:
b
a

- Cã tỉng S b»ng: S  x1  x2   ;
c
a

- Cã tÝch P b»ng: P  x1 x2  .
 Cho Ýt nhÊt 5 vÝ dô (Tuỳ theo khả năng các em có thể
cho ví dụ khó hay dễ khác ví dụ của giáo viên).
Giáo viên cho ví dụ minh họa:
Giải các phơng trình:
a) 3 x 2  10 x  7  0 ;

b) 0,7 x 2  2,3 x  3  0 ;

2
c) x  1  2 x  2  0 ;

d) mx 2  2  m  1 x  m  2  0 .





Gi¶i
a) 3 x 2  10 x  7  0
Cã a + b + c = 3  10  7  0, nên phơng trình có hai
nghiệm là:


7


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2005 - 2006
hiÕu

x1  1 ;

Ngun träng

x2 

c
7 7
 .
=
a
3 3

b) 0,7 x 2  2,3 x  3  0
Cã a - b + c = 0,7  (2,3)  ( 3)  0, nªn phơng trình có
hai nghiệm là:
x1 1;

x2

3 30
c
.
= 
0,7 7
a



2
c) x  1  2 x  2  0





 1  2 � 2  0 , nên phơng trình có
Có a + b + c = 1  �
�
�
hai nghiƯm lµ:
x1  1 ;

x2 

c
2
=
 2.
a
1

d) mx 2  2  m  1 x  m  2  0
Cã a - b + c = m  2  m  1  m 2 0 , nên phơng trình có
hai nghiƯm lµ:
x1  1;

x2  

c
m2
2
 1  .
= 
a
m
m

6/ Ci cïng lµ viƯc tù ra mét bµi tËp mµ có khả
năng vận dụng đợc nhiều cách giải.
Giáo viên cho ví dụ minh họa:
Giải phơng trình:
3 x 2 10 x 7 0

Cách 1: (Đa về phơng trình tÝch)

2
3 x 2  10 x  7  0 �  3x  3x    7 x  7   0

� 3 x  x  1  7  x  1  0
� 7
x
�  3x  7   x  1  0 � � 3
�
�x  1
  

8


Sáng kiến kinh nghiệm 2005 - 2006
hiếu

Nguyễn trọng

7
3

Vậy phơng trình cã hai nghiƯm lµ: x1  1 ; x2  .
Cách 2: Nhẩm nghiệm khi phơng trình bậc hai đủ cã
a + b + c = 0.
Cã a + b + c = 3 + (-10) + 7 = 0
7
3

Nªn phơng trình có hai nghiệm: x1 1 ; x2 .

Cách 3: Giải theo công thức nghiệm tổng quát
3 x 2  10 x  7  0
  (10) 2  4.3.7  100  84  16 16 4 .

Vậy phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:
x1 

(10)  4 6
  1;
2.3
6

x2

(10) 4 14 7

2.3
6 3

Cách 4: Giải theo c«ng thøc nghiƯm thu gän
3 x 2  10 x  7  0
 '  (5) 2  3.7  25  21  4 �  '  4 2 .

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biÖt:
x1 

( 5)  2 3
  1;
3
3

x2 

(5)  2 7

3
3

Yêu cầu học sinh: Cho ít nhất 5 ví dụ (Tuỳ theo khả
năng các em có thể cho ví dụ khó hay dễ khác ví dụ của
giáo viên).
C/ Trao đổi chấm và tự rút ra kinh nghiệm cho
mình:
Sau khi các em nộp bài thực hành. Tôi cho đổi bài
chấm với nhau giữa các em có lựa chọn học sinh yếu trung
bình và khá giỏi. Các em chấm bằng bút chì, cần thiết ghi
chú vào bài của bạn cũng đợc.
Tôi nhận lại và chấm lần cuối cùng nhận xét cho điểm.
d/ Kết quả:


9


S¸ng kiÕn kinh nghiƯm 2005 - 2006
hiÕu

Ngun träng

Qua híng dÉn của tôi các em rất phấn khởi bắt tay vào

làm bài tập thực hành.
Phần lớn các em khá giỏi có đầu t tốt cho bài làm của
mình. Còn số học sinh trung bình và học sinh yếu các em
thờng lấy vÝ dơ bµi tËp tõ SGK vµ SBT.
Qua bµi tËp thực hành tôi thấy đợc việc làm này đối
với giáo viên là rất vất vả, nhng nó đà phần nào giúp các em
tự tìm bài tập để giải, đặc biệt là tìm đợc dạng bài tập
để có cách giải tốt nhất và giúp các em tự tin hơn trong
học toán.
Qua kinh nghiệm này tôi rất mong đợc sự góp ý của
đồng nghiệp để tôi hoàn thiện hơn nữa trong giảng dạy.
Xin chân thành cảm ơn./.
Ngời viết

Nguyễn Trọng Hiếu




10