Chuyên đề phân số

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ
DẠNG 1: Tìm n để phân số tối giản:
Bài 1: Tìm n
n+7
A=
n−2
a,
HD:

∈

A=

N để các phân số tối giản:
n + 13
B=
n−2
b,

C=
c,

2n + 3
4n + 1

A=
d,

3n + 2
7n + 1

n−2+9
9
= 1+
n−2
n−2

a,
9
n−2

n − 2 ≠ 3k => n ≠ 3k + 2(k ∈ N )
Để A tối giản thì
tối giản hay
n − 2 + 15
15
A=
= 1+
n−2
n−2
b,
15
n − 2 ≠ 3k => n ≠ 3k + 2(k ∈ N )
n−2
Để A tối giản thì
tối giản hay
và
n − 2 ≠ 5h => n ≠ 5h + 2(h ∈ N )
M
M
c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) d=> 5 d,

Để C tối giản thì d # 5 hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – 4 (k

∈

N)

M
M
d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11 d,

Để A tối giản thì d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k

∈

∈

N)

Bài 2: Tìm n N để các phân số tối giản:
2n + 7
8n + 193
18n + 3
21n + 3
A=
C=
A=
A=
5n + 2
21n + 7

6n + 4
4n + 3
a,
b,
c,
d,
HD:
d = UCLN ( 3n + 2; 2n + 7 ) => 5 ( 2n + 7 ) − 2 ( 5n + 2 ) Md => 31Md
a, Gọi
/ 31 =>
/ 31 => 2n + 7 + 31 M
/ 31 => 2 ( n + 19 ) M
d ≠ 31 => 2n + 7 M
Để A tối giản thì
n # 31k – 19 (k

∈

N)

d = UCLN ( 8n + 193;4n + 3) => ( 8n + 193 ) − 2 ( 4n + 3 ) Md => 187 Md

b, Gọi
d ≠ 11, d ≠ 17
187 = 11.17
Mà
, Nên để C tối giản thì:
/ 11 => 4n + 3 − 11 M
/ 11 => 4n − 8 M
/ 11 => n − 2 M

/ 11k => n ≠ 11k + 2 ( k ∈ N )
d ≠ 11 => 4n + 3 M
TH1:
/ 17 => 4n + 3 + 17 M
/ 17 => 4 ( n + 5 ) M
/ 17 => n ≠ 17h − 5 h ∈ N *
d ≠ 17 => 4n + 3 M
TH2:

(

)


d = UCLN ( 18n + 3;21n + 7 ) => 7 ( 18n + 3) − 6 ( 21n + 7 ) Md => 21Md

c, Gọi
d ≠ 3,7
21 = 3.7
Mà
, Nên để A tối giản thì
/ 3)
d ≠ 3, ( 21n + 7 M
Thấy hiển nhiên
/ 7 => 18n + 3 = 3 ( 6n + 1) M
/ 7 => 6n + 1 − 7 M
/ 7 => n ≠ 7k + 1
d ≠ 7 => 18n + 3 M
Với
d = UCLN ( 21n + 3;6n + 4 ) => 2 ( 21n + 3) − 7 ( 6n + 4 ) Md => 22Md

d, Gọi
d ≠ 2, d ≠ 11
Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì:
d ≠ 2 => 21n + 3 ≠ 2k => n
TH1:
là số chẵn
/ 11 => 6n + 4 − 22 M
/ 11 => n − 3 M
/ 11 => n ≠ 11k + 3
d ≠ 11 => 6n + 4 M
TH2:
n+3
B=
n − 12
∈
Bài 3: Tìm n N để các phân số tối giản:
21n + 3
A=
6n + 4
Bài 4: Tìm n để
rút gọn được
HD:
M
Giả sử tử và mẫu cùng chia hết cho số nguyên tố d => 22 d=> d=2 hoặc d=11
M
M
TH1: d=1=> 6n+4 2 với mọi n và 21n +3 2 khi n lẻ
M
M
M

TH2: d=11=> 21n +3 11=> n – 3 11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 11
n
n
7n2 + 1
2
3
6
∈
Bài 5: CMR nếu phân số :
là số tự nhiên với n N thì các phân số
và là các phân số tối
giản ?
HD :
7n2 + 1
7n 2 + 1M6
6
Vì phân số
là số tự nhiên với mọi n nên
=> n lẻ và n không chia hết cho 3
n n
;
2 3
Vậy
là các phân số tối giản
a 3 + 2a 2 − 1
A= 3
a + 2a 2 + 2a + 1
Bài 6: Cho biểu thức
a/ Rút gọn biểu thức
b/ CMR nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là 1 phân số tối giản

n+3
n − 12
Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n để
là phân số tối giản
3n − 1
M=
n −1
Bài 8: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số
có giá trị là số nguyên
HD:


M=

3n − 1
∈ Z => 3n − 1Mn − 1 => 3 ( n − 1) + 2Mn − 2 => 2 Mn − 1
n −1


DẠNG 2: Chứng minh các phân số sau tối giản:
Bài 1: Chứng minh các phân số sau tối giản:
n +1
2n + 3
5n + 3
n3 + 2n
2n + 3
3n + 5
3n + 2
n 4 + 3n 2 − 1
a,

b,
c,
d,
HD:
 n + 1Md
d = UCLN ( n + 1;2n + 3) => 
=> 2 ( n + 1) − ( 2n + 3) Md => −1Md => d = ±1
 2n + 3Md
a, Gọi
 2n + 3Md
d = UCLN ( 2n + 3;3n + 5 ) => 
=> 3 ( 2n + 3) − 2 ( 3n + 5) Md => −1Md => d = ±1
3n + 5Md
b, Gọi
5n + 3Md
d = UCLN ( 5n + 3;3n + 2 ) => 
=> 5 ( 3n + 2 ) − 3 ( 5n + 3) Md => 1Md => d = ±1
3n + 2Md
c, Gọi
2
n + 1Md
d = UCLN n 3 + 2n; n 4 + 3n 2 − 1 => n n 3 + 2n − n 4 + 3n 2 − 1 Md =>  3
n + 2n Md
d, Gọi
2
n Md
n Md
3
2
=>  2

=> 1Md => d = ±1
=> ( n + 2n ) − n ( n + 1) Md =>  2
n
+
1
M
d
n
+
1
M
d




(

)

(

) (

)

Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản:
2n + 1
16n + 5
14n + 3

2n + 3
2n( n + 1)
6n + 2
21n + 4
4n + 8
a,
b,
c,
d,
HD:
d = UCLN ( 16n + 5;6n + 2 ) => 8 ( 6n + 2 ) − 3 ( 16n + 5 ) Md => 1Md => d = ±1
a, Gọi
14n + 3Md
d = UCLN ( 14n + 3;21n + 4 ) => 
=> 3 ( 14n + 3) − 2 ( 21n + 4 ) Md 1Md => d = ±1
 21n + 4Md
b, Gọi
2
n ( 2n + 1) Md
n Md
2n + n Md
d = UCLN 2n + 1;2n 2 + 2n =>  2
=>  2
=> 
2n + 2n Md
2n + 1Md
2n + 2n Md
c, Gọi
=> ( 2n + 1) − 2n Md => 1Md => d = ±1

(

)

d, Gọi
 2n + 3Md
d = UCLN ( 2n + 3;4n + 8 ) => 
=> ( 4n + 8 ) − 2 ( 2n + 3) Md => 2Md => d = ±1, d = ±2
 4n + 8Md
d = ±2
2n + 3Md
Vì
mà 2n+3 là số lẻ nên d lẻ, vậy
loại
Bài 3: Chứng minh các phân số sau tối giản:
3n + 2
n
12n + 1
5n + 3
n +1
30n + 2
a,
b,
c,
HD:


5n + 3Md
d = UCLN ( 5n + 3;3n + 2 ) => 
=> 5 ( 3n + 2 ) − 3 ( 5n + 3) Md => 1Md => d = ±1

3n + 2Md

a, Gọi

 n + 1Md
d = UCLN ( n; n + 1) => 
=> ( n + 1) − n Md => 1Md => d = ±1
 n Md

b, Gọi
c, Gọi

12n + 1Md
d = UCLN ( 12n + 1;30n + 2 ) => 
=> 5 ( 12n + 1) − 2 ( 30n + 2 ) Md => 1Md => d = ±1,
30n + 2Md
Bài 4: Tìm n
6
n−3
a,
HD:

∈

Z để các phân số sau là số nguyên:
n
n−4
b,

A=

6
∈ Z => n − 3 ∈ U ( 6 ) = { ±1; ±2; ±3; ±6} => n = { ...}
n−3

B=

n
n−4+4
4
=
= 1+
∈ Z => n − 4 ∈ U ( 4 ) = { ±1; ±2; ±4}
n−4
n−4
n−4

C=

2 n + 7 2n + 6 + 1
1
=
= 2+
∈ Z => n + 3 ∈ U ( 1) = { ±1} => n ∈ { ...}
n+3
n+3
n+3

D=

12
∈ Z => 3n − 1 ∈ U ( 12 ) = { ±1; ±2; ±4}
3n − 1

a, Để
b, Để
c, Để
d, Để
Bài 5: Tìm n

∈

, Vì

d,

12
3n − 1

/3
3n − 1 M

Z để các phân số sau là số nguyên:

3n + 2
n −1

a,
HD:

b,

6n − 4
2n + 3

c,

3n + 4
n −1

A=

3n + 2 3n − 3 + 5
5
=
= 3+
∈ Z => n − 1 ∈ U ( 5 ) = { ±1; ±5}
n −1
n −1
n −1

B=

6n − 4 6n + 9 − 13
13
=
= 3−
∈ Z => 2n + 3 ∈ U ( 13) = { ±1; m13}
2n + 3
2n + 3

2n + 3

C=

3n + 4 3n − 3 + 7
7
=
= 3+
∈ Z => n − 1 ∈ U ( 7 ) = { ±1; ±7}
n −1
n −1
n −1

D=

6n − 3 6n + 2 − 5
5
=
= 2−
∈ Z => 3n + 1 ∈ U ( 5 ) = { ±1; ±5}
3n + 1
3n + 1
3n + 1

a, Để
b, Để
c, Để
d, Để

c,

2n + 7
n+3

A=
Bài 6: Cho phân số

63
3n + 1

với n

∈

N, tìm n để A là số tự nhiên

d,

6n − 3
3n + 1


Bài 7: Tìm n
n + 10
2n − 8
a,
HD :

∈

Z để các phân số sau là số nguyên:
n+3
2n − 2
b,

c,

2n + 3
7

d,

n2 + 3
n+2

n + 10Mn − 4
M
M
a, Ta có : 2n – 8 =2(n-4) => n+10 2 và n+10 n – 4 hay n là số chẵn và
n + 3Mn − 1
M
M
b, Ta có : 2n – 2 =2(n – 1)=> n+3 2 và n+3 n – 1 hay n là số lẻ và
∈ N)
M
M
M
c, Ta có : 2n+3 7 => 2n+10 7= >n+5 7 => n= 7k – 5 (k
n 2 + 2n − 2n + 3Mn + 2 => n( n + 2) − 2n − 4 + 7 Mn + 2 => n(n + 2) − 2( n + 2) + 7 Mn + 2
d, Ta có :

=>7

M
n+2

∈

A=

8n + 193
4n + 3

Bài 8: Tìm n N để
sao cho:
a, Có giá trị là số tự nhiên
b, Là phân số tối giản
c, Với n từ 150-170 thì A rút gọn
được
HD :
187
A = 2+
{ ±1; ±11; ±17; ±187}
4n + 3
∈
a,
để A là số tự nhiên thì 4n+3 U(187) =
187
4n + 3
b, Để A tối giản thì
tối giản hay 187 khơng chia hết cho 4n+3 hay 4n+3 # 11k và 4n+3

# 17
100 ≤ 11k + 2 ≤ 170
100 ≤ 17 h − 5 ≤ 170

c, Để A rút gọn được thì n = 11k + 2 hoặc n = 17h – 5=>
3a + 5b + 2
A=
5a + 8b + 3
Bài 9: CMR nếu (a – 1; b+1) thì
là phân số tối giản
HD:
M
M
Gọi d=UCLN(3a+5b+2; 5a+8b+3) => 5(3a+5b+2) – 3(5a+8b+3) d=> b+1 d
∈
M
M
Và 8(3a+5b+2) – 5(5a+8b+3) d=> a – 1 d => d UC( a – 1; b+1)
Mà UCLN( a – 1; b+1) =1 => d =1; - 1
2
n+4
A=
B=
n −1
n +1
∈
Bài 10: Tìm n Z sao cho cả
và
là các số nguyên
n+9

A=
n−6 ∈
Bài 11: Cho phân số
(n Z, n > 6), Tìm n để phân số có giá trị nguyên dương
75
A=
5n − 2 ∈
Bài 12: Cho phân số
(n N*). Tìm n để
a, Phân số A là số tự nhiên
b, A rút gọn được


∈

2n + 7
n +1

Bài 13: Tìm n N để
là số nguyên
Bài 14: Tìm số tự nhiên n
1
2
3
2001
2002
;
;
;...;
;

n+3 n+4 n+5
n + 2003 n + 2004

nhỏ

nhất

để

các

phân

số

sau

tối

giản:

HD:
a
n+2+a

Các phân số đã cho có dạng:
với a=1; 2; 3; ...; 2001; 2002
a
n+2+a
Để

tối giản thì UCLN(n+2+a;a) =1, => UCLN(n+2; a)=1=> n+2 và a là nguyên tố
cùng nhau
Với mỗi số 1,2,3,..., 2002 và n+2 nhỏ nhất thì n+2=2003( Vì 2003 là số nguyên tố)
19
n
n −1
9
Bài 15: Tìm n để tích hai phân số
và có giá trị ngn
3x2 − 2
P= 2
3x + 1
Bài 16: Tìm x để giá trị của biểu thức:
là số nguyên
2017 − x
T=
10 − x
Bài 17: Cho
, tìm các giá trị nguyên của x để: T có giá trị nguyên, T có giá trị lớn nhất
x+2
M=
x −1
Bài 19: Cho
, biết x là số hữu tỉ âm, và M là số nguyên, Tìm x


DẠNG 3: Tìm n để phân số có GTLN hoặc GTNN
Bài 1: Tìm n
6n − 4
A=

2n + 3
a,
HD:

∈

Z để các phân số sau có GTNN:
6n − 1
B=
3n + 2
b,

c,

x − 13
x+3

B=
d,

13
2n + 3

2x + 4
x +1

13
2n + 3

∈Z

nên 2n+3
nhỏ nhất thì
số dương lớn nhất
, Để
khi 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất=> 2n+3 =1=> n = -1
5
5
B = 2−
3n + 2
3n + 2
∈Z
∈Z
b, Do n
nên 3n+2
nhỏ nhất thì
là số dương lớn nhất
, Để
hay 3n+2 là số nguyên dương bé nhất => 3n+2 =1 =>n = -1/3( loại) nên 3m+2 =2=> n=0
16
16
A = 1−
x+3
x+3
∈Z
∈Z
c, Do x
nên x+3
Để
nhỏ nhất thì
là số dương lớn nhất

hay x+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay x+3 =1=> x = - 2
2
2
B = 2+
x +1
x +1
∈Z
∈Z
d, Do x
nên x+1
để
nhỏ nhất thì
là số âm nhỏ nhất
hay x+1 là số nguyên âm lớn nhất hay x+1 = - 1 => x = - 2
a, Do n

∈Z

A = 3−

A=

∈

Bài 2: Tìm n Z để các phân số sau có GTNN:
10 x + 25
3x + 7
E=
A=
2x + 4

x −1
a,
b,
−3
D=
2x − 5

B=
c,

20a + 13
4a + 3

d,

HD:
E = 5+

5
2x + 4

5
2x + 4

∈Z
∈Z
a, Do x
nên 2x+4
Để
nhỏ nhất thì

là số âm nhỏ nhất
hay 2x+4 là số nguyên âm lớn nhất hay 2x+4 = - 1 => x= - 5/2 (loại) khi đó 2x+4 = - 2 => x= 3
A = 3+

10
x −1

10
x −1

∈Z
∈Z
b, Do x
nên x-1
Để
nhỏ nhất thì
là số âm nhỏ nhất
hay x -1 là số nguyên âm lớn nhất hay x - 1 = - 1=> x=0
2
2
B = 5−
4a + 3
4a + 3
∈Z
∈Z
c, Do a
nên 4a+3
Để
nhỏ nhất thì
là số dương lớn nhất

hay 4a+3 là số nguyên dương nhỏ nhất hay 4a+3 =1=> a =-1/2(loại)
hay 4a+3 =2 => a = -1/4(loại) hay 4a+3=3=> a=0
−3
D=
2x − 5
∈Z
∈Z
d, Do x
nên 2x-5
, Đề
nhỏ nhất thì 2x – 5 là số nguyên dương bé nhất
hay 2x – 5 =1=> x =3
Bài 3: Tìm n

∈

Z để các phân số sau có GTNN:


A=
a,
HD:

4n + 1
2n + 3

B=
b,

2n − 3

n+2

2−

C=
c,

8− x
x −3

5
2n + 3

E=
d,

−3
2n − 5

5
2n + 3

∈Z
∈Z
a, Do n
nên 2n+3
, Để A =
nhỏ nhất thì
là số dương lớn nhất
=> 2n+3 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n+3=1=> n= - 1

7
7
B = 2−
n+2
n+2
∈Z
∈Z
b, Do n
nên n+2
, Để
nhỏ nhất thì
là số dương lớn nhất
=> n+2 là số nguyên dương nhỏ nhất=> n+2 =1=> n= - 1
5
5
C = −1 +
x −5
x−5
∈Z
∈Z
c, Do x
nên x-3
, Để
nhỏ nhất thì
là số âm nhỏ nhất
=> x – 5 là số nguyên âm lớn nhất => x – 5 = - 1 => x= 4
−3
3
E=
2n − 5

2n − 5
∈Z
∈Z
d, Do n
nên 2n-5
, Để
nhỏ nhất thì
là số dương lớn nhất
=> 2n-5 là số nguyên dương nhỏ nhất => 2n-5 =1=>n=3
x
A=
5x − 2
∈
Bài 4: Tìm x Z để các phân số sau có GTNN:
HD :
1  5x  1 
2 
2
A= 
÷ = 1 +
÷
5  5x − 2  5  5x − 2 
5x − 2
∈Z
∈Z
Do x
nên 5x-2
, Để
nhỏ nhất thì
là số âm nhỏ

nhất
1
=> x =
5
=> 5x - 2 là số nguyên âm lớn nhất => 5x - 2= -1
(loại) khi đó 5x - 2= - 2 => x = 0
Bài 5: Tìm n, x
n +1
C=
n−2
a,
HD:

∈

Z để các phân số sau có GTLN
14 − n
D=
4−n
b,
C = 1+

3
n−2

E=
c,

7−x
x −5

3
n−2

C=
d,

∈Z
∈Z
a, Do n
nên n-2
, Để
lớn nhất thì
là số dương lớn nhất
khi đó n – 2 là số nguyên dương nhỏ nhất => n - 2 = 1=> n = 3
10
10
D = 1+
4−n
4−n
∈Z
∈Z
b, Do n
nên 4 – n
, Để
lớn nhất thì
là số dương lớn nhất
hay 4 – n là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 – n = 1 => n = 3
2
2

E = −1 +
x −5
x −5
∈Z
∈Z
c, Do x
nên x-5
, Để
lớn nhất thì
là số dương lớn nhất
hay x – 5 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 5 = 1=> x = 6
1
1
C=
4+ x
4+ x
∈Z
∈Z
d, Do x
nên 4+x
, Để
lớn nhất thì
là số dương lớn nhất

1
4+ x


hay 4+x là số nguyên dương nhỏ nhất => 4 + x = 1 => x = 3
Bài 6: Tìm n, x

5 x − 19
D=
x−9
a,
HD:

∈

Z để các phân số sau có GTLN
−3
D=
2x − 5
b,
D = 5+

C=
c,

26
x−9

3n − 1
−2 n + 3

26
x −9

∈Z
∈Z
a, Do x

nên x-9
, Để
lớn nhất thì
là số dương lớn nhất
hay x – 9 là số nguyên dương nhỏ nhất => x – 9 =1=> x = 10
−3
3
D=
2x − 5
2x − 5
∈Z
∈Z
b, Do x
nên 2x-5
,Để
lớn nhất thì
là số ấm nhỏ nhất
hay 2x -5 là số nguyên âm lớn nhất => 2 x – 5= - 1=> x = 2
1  6n − 2  1 
7 
C= 
÷ =  −3 +
÷
2  −2n + 3  2 
−2n + 3 
∈Z
∈Z
c, Do n
nên -2n + 3
, Để

lớn nhất
7
−2n + 3
hay
là số dương lớn nhất, hay -2n + 3 là số nguyên dương bé nhất => -2n+3 =1 => n
=1

Bài 7: Tìm n
7n − 8
A=
2n − 3
a,
Bài 8: Tìm n
x−3
B=
x+2
a,
Bài 9: Tìm n
1
C=
x+5
a,
2n − 3
E=
n−2

∈

∈

∈

Bài 10: Tìm n
n +1
A=
n−5
a,
Bài 11: Tìm n
7n − 8
F=
2n − 3
a,

Z để các phân số sau có GTNN:
2n − 3
1
B=
D=
n+3
n−2
b,
c,

A=
d,

8− x
x−3

Z để các phân số sau có GTNN:

14 − x
1
C=
D=
4− x
x+5
b,
c,
Z để các phân số sau có GTLN
n +1
E=
n −5
b,

∈

∈

Z để các phân số sau có GTLN
4n + 1
B=
2n + 3
b,
Z để các phân số sau có GTLN
2n − 3
G=
n−2
b,

D=

c,

C=
c,
I=
c,

6n − 3
3n + 1

d,

2n − 3
n+2

3n − 1
−2n + 3

E=
d,
K=
d,

6n − 3
3n + 1

6n − 3
3n + 1

B=

10n − 3
4n − 10

Bài 12: Tìm số tự nhiên n để
HD :
5 ( 2n − 5 ) + 22 5
11
B=
= +
2 ( 2n − 5 )
2 2n − 5

A=

Đạt giá trị lớn nhất, Tìm GTLN đó

1 − 6n
3x − 2

Bài 13: Tìm số nguyên n sao cho
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 14: Tìm các giá trị nguyên của x để:
2
8− x
A=
B=
6− x
x−3

a,
có giá trị lớn nhất
b,
có GTNN
ab
A=
a +b
Bài 15: Tìm GTNN của phân số :
5 x − 19
A=
2
2
x−4 C = x + y
Bài 16: Tìm GTNN của mỗi biểu thức:
,
nếu x+y=1
7
8
a =b
Bài 17: Tìm các số tự nhiên a, b nhỏ nhất sao cho
(1)
HD:
7

Từ

a 7 = b8

=>

a
b= ÷
b

vì b

a
> 1 => k ≥ 2
b

∈

∈
M
N nên a b => a=b.k (k N)
b7 .k 7 = b8 => k 7 = b

Và vì a > b =>
, thay a = b.k vào (1) ta được
7
7
7
k ≥ 2 => b ≥ 2
b = 27
a = 27.2 = 28
≥
Mà k 2 =>
mà b nhỏ nhất nên
, khi đó k = 2 =>
n

M=
x+ y
Bài 18: Cho số tự nhiên n có hai chữ số, chữ số hàng chục là x, hàng đơn vị là y, Gọi
a, Tìm n để M=2
b, Tìm n để M nhỏ nhất
HD:
10 x + y
= 2 => y = 8 x
x+ y
a, Ta có:
, Mà x,y là các chữ số nên x=1 và y=8
x + y + 9x
9x
9
M=
= 1+
= 1+
y
y
x+ y
x+ y
1+
1+
x
x
b,
để M nhỏ nhất thì
lớn nhất hay y lớn nhất và x
nhỏ nhât

DẠNG 4: Các bài toán liên qua đến phân số

30
=
43 a +

Bài 1: Tìm a, b, c, d

∈

N* , biết :

Bài 2: Cộng cả tử và mẫu của phân số
Hãy tìm số ngun đó ?

17
21

1
1
b+

1
c+

1
d

với cùng 1 số ngun rồi rút gọn ta được phân số

11
13

3
7

.

Bài 3: Khi cộng cả tử và mẫu của phân số
với cùng 1 số nguyên x thì được 1 phân số có giá trị bằng
1
3
. Tìm số nguyên x?
Bài 4: Tìm 1 phân số tối giản, Biết rằng khi cộng cả tử và mẫu của phân số ấy với mẫu của số đó thì
được 1 số mới lớn giấp hai lần phân số ban đầu ?
HD:
a
b
Gọi phân số tối giản lúc đầu là , nếu chỉ cộng mẫu số vào mẫu số ta được phân số :
a
a
a
=
b
b + b 2b
phân số này nhỏ hơn phân số là 2 lần,
a+b
2b
Để

gấp hai lần phân số ban đầu thì a+b giấp 4 lần a
1
3
=> Mẫu số b phải giấp 3 lần tử số a, phân số tối giản thỏa mãn điều kiện trên là
a
a
9
21
b
b
14
35
Bài 5: Tìm phân số tối giản
nhỏ nhât khác 0 sao cho khi chia
cho mỗi phân số
và
ta được
kết quả là 1 số tự nhiên
Bài 6: Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
1
2
3
2001
2002
;
;
;...;
;
n+3 n+4 n+5
n + 2003 n + 2004

HD :
Các phân số trên có dạng

a
, ∀a = 1, 2,3,..., 2002
n+2+a

UCLN (a; n + a + 2) = 1 => UCLN (n + 2; a ) = 1 =>

, để

a
n+2+a

tối giản thì :

n+2 và a là hai số nguyên tố cùng nhau

Với mỗi số : 1,2,3,...,2002 và n+2 nhỏ nhất =>n+2=2003 là số nguyên tố=> n=2001


a1 , a2 , a3 ,..., a50

Bài 7: Cho 50 số tự nhiên:
50 số đó có ít nhất hai số bằng nhau

, t/ m :

1 1 1
1

51
+ + + ... +
=
a1 a2 a3
a50 2

, Chứng minh rằng trong