2 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 8 năm 2020 - 2021 có đáp án chi tiết | Toán học, Lớp 8 - Ôn Luyện

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Đề chính thức

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mơn: Tốn 8
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Khóa thi: Ngày 2/05/2019

Bài 1. (6,0 điểm)
a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:
c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

Bài 2. (4,0 điểm)
a. Chứng minh

với mọi số thực a, b, c.

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.
Bài 3 (3.0 điểm):
Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.

Bài 4. (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A
. Vẽ đường cao AH
. Trên tia đối
của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt
đường thẳng AC tại P.
a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC.

b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.
Bài 5 (2.0 điểm):
Cho tam giác ABC có
. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho
. Đường
phân giác của góc
cắt BH ở E. Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại
F. Chứng minh rằng: CF // AE.
________________Hết________________
\


ĐÁP ÁN

Câu 1: a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn:

và
c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n =
59.5n 59 vaø 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59
vaäy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59

5n(59 – 8) + 8.64n

= 59.5n + 8(64n – 5n)

Câu 2:
a. Chứng minh

với mọi số thực a, b, c.

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có:
;
Do đó, suy ra:
b. Chứng minh rằng với mọi số ngun x thì biểu thức P một số chính phương.
Ta có:

Vơi x là số ngun thì P là một số CP.
Bài 4 (3.0 điểm):
Cho biểu thức:
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.

a) Tìm điều kiện đúng:
b) Rút gọn đúng:


=

Câu 4

Chứng minh:

ABC

KPC ( G.G)

b. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK.

Ta có:
Lại có:

5
(2đ)

(Trung tuyến ứng với nửa cạnh huyền trong tam giác vng).
(Giả thiết). Do đó: QH là đường trung trực của AK.

0,5đ

Ta có:
cân ở C
CA = CE (1)
Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K. Ta có:

0,5đ
AE là phân giác của
CAH và
(4)

0,25
đ

ABH

CBA đồng dạng

Từ (2), (3), (4)

(theo (1))

hay

(đpcm)

0,25
đ
0,5đ


PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Mơn: Tốn 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4,0 điểm).
Cho biểu thức:
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để P = 6
Bài 2 (4,0 điểm).
a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn:
. Chứng minh A = abcd là số chính phương.
b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.
Bài 3 (3,0 điểm).
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017

b. Giải phương trình:

Bài 4 (3,0 điểm).
a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a 3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam
giác đều.
b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng :
Bài 5 (5,0 điểm).
Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax,
By cùng vng góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC
cắt tia By tại D.
a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD
b. Kẻ OM vng góc CD tại M. Chứng minh AC = CM
c. Từ M kẻ MH vng góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH
d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

------HẾT-----Họ và tên học sinh:……………………………Số báo danh: …………..……

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2016-2017


Bài

Biểu
điểm

Nội dung

Cho biểu thức:
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để P = 6
0.25

a)

1
=
1
=

0.25

V ậy P =
1

b) ĐK:

0.25

P=6

0.25

(1) hoặc

(2)

0.25

Ta có (1)
0,25
(tmđk)
(2)

0.25

vơ nghiệm
0.25

2

Vậ y
a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và tho ả mãn:
.
Chứng minh A = abcd là số chính phương.
b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3.
a)

0,25
0,25


0,25
0,25
0,25
0,25

(vì b ≠ d)
Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương

0,25
0,25

+) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả :
a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1)
+) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3
(vì

nên

)

0,5

0,5
0,5

+) Tìm a, thử lại và kết luận a
3

0,5

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017

b. Giải phương trình:
a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017
= (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017
= (2x2 – 3x )2- 1 + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016

0.5
0.5
0.75

Dấu "=" xảy ra

0.25

Vậy A min = 2016

0,25
b)

.

Điều kiện x

(*)
0, 25
Đặt

= a và

= b suy ra ab =


Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0
0,25
(a – 3b)(a + 4b) = 0
+ Nếu a = 3b thì

=
(x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2

Giải phương trình trên và kết luận phương trình vơ nghiệm
+ Nếu a = -4b thì

0,5

=
(x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2
0,5

Giải phương trình trên ta được

(tmđk)
0,25

+ Kết luận nghiệm của phương trình S = { 3; }
a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn:
a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều.
b. Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1.
Chứng minh rằng :
a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)

0,5

+) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0
⇒ a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 ( vì a + b + c > 0 )
+) Biến đổi được kết quả: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0
4

0,25
0,5

0,25

⇒

⇒ a = b = c ⇒ Tam giác đó là đ ều (đpcm)

b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy
⇒ a, b, c > 0 và a + b + c = (x + y + z)2 = 1

0,5
0,5

+) C/m:
0,5
⇒

5

hay

(đpcm)

Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là
cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vng góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác
A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By tại D.
a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD


b. Kẻ OM vng góc CD tại M. Chứng minh AC = CM
c. Từ M kẻ MH vng góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung

điểm MH
d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
Vẽ hình và ghi GT, KL

0,5

0,5

a) Chứng minh:

0,25
0,25

(đpcm)

0,25
b) Theo câu a ta có:

0,25

Mà

0,25

+) Chứng minh:
+) Chứng minh:
c) Ta có
⇒OC ⊥ AM,

(đpcm)

OC là trung trực của AM

0,25
0,25

Mặc khác OA = OM = OB ⇒∆AMB vuông tại M
⇒OC // BM (vì cùng vng góc AM) hay OC // BI

0,25

+) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi
qua trung điểm AI ⇒ IC = AC

0,25

+) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:
Mà IC = AC ⇒ MK = HK ⇒BC đi qua trung điểm MH (đpcm)

0,5
0,25

d) Tứ giác ABDC là hình thang vng
0,25
Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cơ-si ta có
0,25
0,25


0,25

Dấu “=” xảy ra ⇔
Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

+) Với a, b, c, d dương, ta có

0,5
6
(theo bất đẳng thức

)
0,25

+) Mặc khác:
Suy ra
và đẳng thức xảy ra ⇔ a = c; b = d
+) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có:
0,25
Đẳng thức xảy ra ⇔ y = 2016; x = 2015

Lưu ý :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng
thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh khơng vẽ hình thì khơng cho điểm.
- Tổng điểm tồn bài bằng tổng điểm của các câu khơng làm trịn.