Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 - 2019 sở GD&ĐT Hậu Giang - TOANMATH.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TÍNH HẬU GIANG

KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI TÍNH CẬP THPT
NAM HOC 2018 — 2019
KHOA NGAY 19/4/2019

MON TOAN

DE CHINH THUC
(Dé thi gom O01 trang)

Thoi gian lam bai: 180 phit (khong ké thoi gian phát đề)

Câu I: (5,0 điểm)
1) Giải phương trình (x—1)4x+1—xX'5—x =3x?—4x —1 trên tập số thực.

a

La

sỉ JX ty =9

2) Giải hệ phương trình

x7 +2 y? =x+4y

.

(voi x,y € R).

Cau II: (3,0 điểm)
1) Cho ham sé f : N° — N’ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
©

fQ=2;

e = f(mn)= fimf(n); Vn,n€ N;
e
Tinh

fd)

va f(6).

f(m)> f(n),Vm>n.
Tim

f(n)

theo n.

2) Tim cac s6 nguyén a va b thoa man phuong trinh a* +b° =(a+b)’.

Cau III: (4,0 diém)
1) Cho hai s6 thuc duong

x,y

_,
3

1
1
Chimg minh rang —+— >
x

yy

thỏa mãn diéu kién x + yl.

x+y

or
.
.
. Tim gia tri nho nhat cua biéu thức

2) Cho dãy số (u„) được xác định như sau u, = 4;u, =5 va u,,,, —u

1
=———
x+y

]
+ — + 4xy.
xy

—(n -+FlÙ)„.¡, VỚI n€Ñ, n >1.

Tinh u, va ,. Tìm số hạng tổng quát 1„ của dãy số trên.

Câu IV: (6,0 điểm)

1) Goi Š$ là tập hợp tất cả các số nguyên đương ø thỏa mãn 2 tính chất sau:

e

Các chữ số của ø là khác nhau.

e_

Các chữ số của ø thuộc tập hợp {0: 1: 3; 5; 7}.

a) Tính số phân tử của S.
b) Chọn ngẫu nhiên một số zø thuộc Š. Tính xác suất để mm có 4 chữ số và zn chia hết cho 6.

2) Cho tứ giác lỗi ABCD

nội tiếp trong đường trịn (Ĩ). Gọi 7 là điểm trên cạnh BD sao cho DAI = BAC.

a) Chimg minh rang AADI ~ AACB va AABI ~ AACD.
b) Chimg minh rang AB.CD+ AD.BC = AC.BD.

Cau V: (2,0 diém)
Cho hình chóp

S.ABŒỚD

có đáy ABƠD

là hình vng cạnh z; SA vng góc với mặt phăng

day va SC = a3. Goi (a) la mặt phăng đi qua A và (z) vuông góc với $C. Tính theo z diện tích thiết
diện của hình chóp ,9.41ŒD cắt bởi mặt phắng (ø).
Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu và máy tính câm tay
Giam thi coi thi khơng giải thích gì thêm


SỞ GD& ĐT HẬU GIANG

KY THI CHON HOC SINH GIOI TINH CAP THPT
NAM HOC 2018 - 2019

HUONG DAN CHAM DE CHINH THUC

Mơn: TỐN THPT

(Hướng dẫn châm gdm 05 trang)

L. Hướng dân chung
1. Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như

hướng dẫn quy định.

2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nêu có) so với thang điểm trong hướng dẫn châm phải đảm bảo không sai
lệch với hướng dẫn châm và được thống nhất thực hiện trong t6 cham thi.

3. Điểm bài thi là điểm sau khi cộng điểm tồn bài thi và khơng làm trịn.
H. Đáp án và thang điểm

Câu

Nội dung

Diem

1) Giải phương trình (x —1)x/x -+1—xA45—x =3x?—4+x —L trên tập số thực.

2,0

Điều kiện: —l< x<5.

0,25

Tacó

0.95

(x—l)Nx-+l—xx5—x=3x°—4x—Il
©(x—-INx+I-(x—l)+2x—-xx5—-x=3x—3x
©(x—1([jx+1—1)+x(2—N5—x)—3x?+3x=0

a

cau

20

diém)

>

=

x(x -1)

x(x —1)

Vx+1l+1

24V5—x

f(2)=x@—-1)=0
1
g(x) = Vx+14+1
+

Ta có ƒ(x)=0<>

x=0
x=

'

1

2+45-x

:

0,25

0,25
nén

Jx+l+l

Vụ JX ty =9

phương trình
3

2

x“ +2y"

2

+

l

0,25

Taco {>.>

>2

l

Do d6 g(x) <0, Vx e[—I;5]. Do đó, phương trình g(x) =0 vụ nghim.

3,

im)

-3=0

0,25

ơ h

(3,0

0,25

<2.

2) Gii



1) =0

(nhn).

Do Ơx+1+1>1
va 24+V5x

Cõu
L2

3x(x

0,25

24+5-x

.

(vi x, y € R).

=x+4y

3.3

Oot

x? +2y* =x+4y (2)

[3x7 +6y? —3x-12y =0

|

Lây phương trình thứ nhật trừ cho phương trình thứ hai theo vê, ta được:

3...2
x#—3x⁄+3x-l+y

3...2
`-6y“+l2y-S8=0

©(x-D°+(y-2)=0

’

0,25
0,25

0,5

©x-I=2-y

0,25

&y=3-x

Thay y=3—x

3.0

0,25

vao (2), tacé x7 -3x+2=0

0,5

<> x=1 hoac x= 2 (nhận).
Vậy nghiệm của hệ phương trình là

x=l

y=2

hoặc

x=2

y=l

0,5
.

0,5


1) Cho hàm số ƒ : ĐÍ — Đ” thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

e

f(2)=2;

© f(mn)= f(m)f(n); Vn.neN:
e

20

f(m)> f(n),Vm>n.

Tinh f(1) va f(6). Tim f(x) theo n.

Taco f(2)= f(2.1)= f(2).f() =2.f0)=2 nén f()=1.

025

Tacó ƒ(4)= ƒ(@.2)= ƒQ@).ƒ@) =4.

025

Câu | Mà 2= ƒ(Œ2)< ƒ@G)< ƒ(® =4 nên ta suy ra ƒ) =3.

0,25

H.1 | Suyra f(6)= f(2.3)= f(2).fQ) =2.3=6.

(2,0
điểm)

Dự đoán ƒ(n)==n:n; Vnc

.*

0,25

0,25
›

-

Ta chứng minh f(n)=n; VneEN .

Tacé f()=1 f(2)=2.

Giả sử với „=k >2, ta có ƒ(&) =k. Ta cần chứng minh

Nếu & là số lẻ thì k +1 1as6 chan nén ta co

fk+l)= /z*Ƒ) = /@/|*#) =o KAT
2

2

2

ƒ(k+l)= k+1.

025

gy.

Nếu & là số chẵn thì & +2 là số chăn nên ta có
ƒ(k+2)=ƒ
Do

2k†+2
2

= f(2).f

Kk†2\|_2K†2_ r2
2

0,25

2

k= ftk)< ƒ(k+])< ƒ(k+2)=k+2

nên ƒ(k+lI)=k+].

x
Vậy f(n)=n; VneN .

0,25

2) Tìm các số nguyên a va b thỏa mãn phương trinh a +b° =(a+b)’.

1,0

Taco a +b =(a+by =(a+b\(a —ab+b’)—(a+by =0
(a+b\a

—ab+b’

a+b=0

—a—b)=08

a

3

—(b+la+b

3

Tir phuong trinh thir nhat, suy ra a = —b; voi b EZ.
Xét phương trình a” —(b-+l)a-+b”—b=0

0,25
—b=0

0.25

(*)

Câu | Tacó A„ =-3b“ +6b+].
IL2

(1,0

điểm

0,25

Phuong trinh (*) co nghiém khi

;

|A —-3g?+6p+1>0<> —M * Với b=0, ta có a” ca=0el

(nhận)

* Với b== 1,Ì, tata cócó đ ሗ2a—=0
© |“
a=
" ° (nhận)
rt

Z

2

* Với b= 2,ta
có aˆ —3a-+2=0<©
Vậy, các sơ ngun z và b cân tìm la

a

—

a=

1

025
^

2 (nhận)

a=—b

a=]

hoặc

beZ

a=]

hoặc

b=0

a =2

hoặc

=]

qa = 2

hoặc

=2

hoặc

a=0

=

.

1) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y <1.
Ching minh rang—Ị +— | >
4
x
oy
oxty

2,0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=———— + J 4b any.
xX +y

1

Ta có tit >—Z— và
x
y =

^
Cau

HI.I

ae2,0

im)

a
| Khi đó

1

x+y >2fxy.

5 1

> +

x+y

4

1

2y

—...
=
Taco

1

-|&+»)>4><

x y

Taco 4 p=

4

(xt yy

> +

xy

+

0,5

1
+—>

4

yoxty

1

—

4y

1

1

4xy

0,5

+ 4xy

0,25

al?x+y iL
2

+227

(x+ >

0,25

P=Texsyos

0,25

Vay P.. =7 1a gid tri nhé nhat cia biéu thức.

0,25

2) Cho dãy số („) được xác định như sau 4 =4;u; =5 và u,,, =u, —(n+1u,,,,

20

với CĐ,

Tacé

ø >1. Tính vu, va u,. Tim số hạng tổng quát u, cla day số trên.

u,=u,—-—2u,=4-25=6

va

u,=u; —3u,=5 —3.6=7.

1,0

Câu | Từ m = 4m =Siu, =6va u, =7,ta dy doan u, =n+3; Vne Ñ.

0,25

HI.2

025

điểm)
iém

| Ta chứng minh bằng quy nạp u, =n+3; Vn€ Ñ.

That vay, taco uv, =4=143;u, =5 =2+3;u, =6 =3+3 (ding).
Gia su vol n=k=3. Tacé u, =kK+3. Khi do „„_¡ =k +2.

Ta c6 upy, =ug

— ky =(k+ 2)“ =k(+3)=k+4=(k+1)+3.

Vậy, mệnh dé đúng với n=k +1.

Do do, tacéd u, =n+3;WneN.

0,25
0,25

1U) Gọi Š là tập hợp tất cä các số nguyên dương ø thỏa mãn 2 tính chất sau:

e - Các chữ số của ø là khác nhau.
e
Cau

Các chữ số của đ0 thuộc tập hợp {0;1;3;5;7}.

9

a) Tính số phần tử của S.

IV.1

b) Chọn ngẫu nhiên một số m thuộc Š. Tính xác suất để m có 4 chữ số và

(3,0 | m chia hết cho 6.

diem)

3.0

a) Tính số phần tử của S.

Trường
Trường
Trường
Trường

hop
hợp
hợp
hợp

1:
2:
3:
4:

ø
n
ø
ø

có
có
có
có

1
2
3
4

chữ
chữ
chữ
chữ

1,5
số.
số.
số.
số.

Có
Có
Có
Có

4 số thỏa mãn.
4.4 = 16 số thỏa mãn.
4.4.3 = 48 số thỏa mãn.
4.4.3.2 = 96 số thỏa mãn.

0,25
0,25
0,25
0,25

Trường hợp 5: ø có 5 chữ sơ. Có 4.4.3.2.1 = 96 số thỏa mãn.

0,25

Số phân tử của $ là 4+ 16 +48 + 96 + 96 = 260.

0,25

b) Chon ngau nhién mOt sO m thuge S. Tinh xac suất để z
hêt cho 6.

có 4 chữ số va m chia

15
’

Goi B 1a bién cé can tinh xac suat.
Giả sử m= abcd

là số thuộc tập hợp 8.

025

:

m:3
.
Vì m= abcd:6 nên | a

m:2

Do đó, suy ra đ=0.
1
os
Chọn

0,25

đ có ] cách chọn.

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: z,b,ce{1;3;5}. Ta có 3!=6 cách chọn.

0,25

Truong hop 2: a,b,c € {3;5;7}. Ta c6 3!=6 cach chon.

0,25

Vay số phần tử của B 1a 1.(6+ 6) =12.

0,25

Xác suất cẳn tinh a P(B) = 22 ==.

0,25

260

65
nội tiêp trong đường trịn (Ĩ). Gọi 7 là điêm trên cạnh

2) Cho tứ giác lôi ABCD
BD sao cho DAI = BAC.

a) Chirng minh rang AADI ~ AACB va AABI ~ AACD.

3,0

b) Ching minh rang AB.CD+ AD.BC = AC.BD.
Hinh vé chinh xac, thé hién duoc gia thiét.
A

2

0,25
D
Cau
IV.2

C

(3,0

diém) | a) Ching minh AAD/ ~ AACB
Tacó

ADI = ACB

va AABI ~ AACD.

(g6c noi tiép cing chan cung AB )

2,0
0,5

Ta lai co DAI = BAC (giả thiết)

0,25

Do DAI = BAC nén BAI = DAC.

0,25

Mặt khác AB! = ABD = ACD (góc nội tiếp cùng chăn cung AD)
Suyra AABI ~ AAC]' (góc - góc).
b) Chirng minh AB.CD+ AD.BC = AC.BD.

0,5
0,25
0,75

Do

AADI ~ AACB

nén AD _ 1D
AC
BC

(1)

0,25

Do

AABI ~ AACD

nén AB
AC

(2)

0,25

Suy ra AADI ~ AACB

(géc — sóc).

18
CD

0,25

Từ (1) và (2), suy ra AD.BC + AB.CD = AC.UID + IB) = AC.BD.

0,25

Cho hình chóp S.ABCD

c6 day 1 DƠD) là hình vng cạnh z; S4 vng

góc với mặt phăng đáy và SC= a3. Gọi (z) là mặt phang di qua A va (a)
vuông goc voi SC. Tinh theo a dign tich thiết diện cia hinh chép S.ABCD cat
boi mat phang (a).

2,0

Hinh vé chinh xac, thé hién duoc gia thiét.

0,25

Taco

AC =av2

Goi O=

ACC

và $%C =a3
BD.

nên $A = 4.

Goi M:N

1an luot la trung điểm của cạnh S7

va SB.

Do $4 L(ABC?D) nên suy ra SA L BC.

Câu V

(2,0

điêm)

Ta

BO LSA
aco có )BO
LAB

Do SA=AB=a

BC L

va NS=NB

(SAB) (SAB =

0,25
BC LAN

()(1

nén tam giac SAB can tai S$. Dodd

AN LSB

Tu (1) va (2), suy ra AN 1 (SBC). Do do AN L SC (*)

(2)

0,25

Chứng minh tương tự AM L SC (**)
Tu (*) va (**), tasuy ra SC L (AMN).

0,25

Do do, mat phang (~) 1a mat phắng (AMN).

0,25

Gọi E=SØ@MN

và P=AEc¬SC.

Ta có P= SC¬(ø).

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phăng (øz) là từ giác AMPN.

0,25

Do SA _L(ABCD) nén suy ra SA L BD.

Ta có
Ma MN

BD 1 AC
BD

SA

— BD 1 (SAC) => BD L AP.

song song voi BD (do M,N

0,25

la duong trung binh cua tam giac SDB).

Suy ra MN | AP.

Tacé MN =+BD= A2
2

2

Do (a) L SC nén AP 1 SC. Suy ra AP = SAAC _avo
SC

1

Diện tích thiết diện can tim 1a Syypy = 2:AP.MN =—

- - Hết- -

3

a’ J3

0,25