Tài liệu Tài liệu toán " Phương trình lượng giác " docx

Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 1

Lượng Giác
αααααααα
A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ CÓ LIÊN QUAN :
1) Hàm số lượng giác :
 Vòng tròn lượng giác : Vòng tròn tâm ,bán kính R = 1 ,chiều dương ngược chiều
kim đồng hồ ( trong hệ trục Oxy )
 4 hàm số lượng giác : y = sinx ( Oy ) , y = cosx ( Ox ) , y = tanx , y = cotx

1 sin ,cos 1
 
  
và
tan ,cot
 
   





2) Tính tuần hoàn :
Sin (x + k.2

) = sinx
Cos (x + k.2

) = cosx
Tan (x + k.


) = tanx
Cot (x+k.

) = cotx

Hàm six ,cosx tuần hoàn với chu kì 2

, hàm tanx ,cotx tuần hoàn với chu kì


3) Hệ thức cơ bản :

2 2
sin cos 1
 
 
;
sin
tan
cos




;
cos
cot
sin







tan .cot 1
 


1
cot
tan
1
tan
cot















2
2
1
1 tan
cos


 
;
2
2
1
1 cot
sin


 

4) Dấu của các giá trị Lượng Giác :
Trong cung phần tư
thứ (1) :
sin 0
cos 0
tan 0
cot 0
x
x
x
x













Trong cung phần tư
thứ (2) :
sin 0
cos 0
tan 0
cot 0
x
x
x
x














O

(1)
(4) (3)
(2)
2

0



3
2

2


Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 2

Trong cung phần tư
thứ (3) :
sin 0
cos 0
tan 0

cot 0
x
x
x
x












Trong cung phần tư
thứ (3) :
sin 0
cos 0
tan 0
cot 0
x
x
x
x













5) Các cung liên kết :
 Hai cung đối nhau :
&
x x



cos( ) cos
sin( ) sin
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x
 
  
  
  

 Hai cung bù nhau : &

x x




sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
cot( ) cot
x x
x x
x x
x x




 
  
  
  

 Hai cung phụ nhau :
&
2
x x



sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
x x
x x
x x
x x




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 Hai cung hơn
2

:
&
2
x x



sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2
x x
x x
x x
x x




 

 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
Chú ý : Đối với sin và cos : chẵn

bỏ ; lẻ

bỏ ,thêm dấu

ở
trước
Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 3

Đối với tan và cot : chẵn hay lẻ

ta bỏ vô tư ko cần thêm gì nữa

B. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC :
 CÔNG THỨC CỘNG :

sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b a b a b
a b a b a b
a b
a b
a b
  
 

 



HỆ QUẢ :
sin cos 2 sin
4
cos sin 2 cos
4
a a a
a a a




 
  
 

  

 

 
 

 



 CÔNG THỨC NHÂN :
 Nhân đôi :

2 2 2 2
2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
2tan
tan 2
1 tan
x x x
x x x x x
x
x
x


     



 Nhân ba :
3
sin3 3sin 4sin
x x x
 
;
3
cos3 4cos 3cos
x x x
 

 Tổng thành Tích :
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b

a b
a b a b
a b
 
 
 
  
 
 
 
 


nhận xét :
2
a b

đứng trước,
2
a b


đứng sau
 Tích Thành Tổng :
1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2

1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
1
cos .sin [sin( ) sin( )]
2
     
     
     
     
   
    
   
   


 CÔNG THỨC HẠ BẬC :

2
1 cos2
sin
2
x
x

 ;
2
1 cos2
cos
2

x
x


C. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC :

 Phương trình Lượng Giác cơ bản :
2
sin sin ( )
2
u v k
u v k Z
u v k

 
 

  

  

cos cos 2 ,( )
u v u v k k Z

    

Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 4

tan tan

;( )
cot cot
u v
u v k k Z
u v



   




Chú ý : khi giải ta cần qui về cơ bản nếu ko gặp dạng này
khi gặp phương trình dạng :
cos cos
u v
 
đưa về
cos cos( )
u v

 
;
sin sin
u v
 
đưa về
sin sin( )
u v

 

tan tan
u v
 
đưa về
tan tan( )
u v
 
;
cot cot
u v
 
đưa về
cot cot( )
u v
 

 Phương trình bậc 2 ( hoặc cao hơn ) đối với hàm số LG :
Dạng :
2
2
2
2
.sin .sin 0
.cos .cos 0
.tan .tan 0
.cot .cot 0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
a x b x c

  

  


  


  

, Cách giải : đặt
sin ,( 1 1)

cos ,( 1 1)
tan ,( )
cot ,( )
t x t
t x t
t x t R
t x t R
   


   


 


 


Pt cho sẽ trở thành :
2
. . 0
a t bt c
  

t x
 

 Phương trình đối xứng với sinx và cosx :

.sin cos
a u b u c
 
; đk có nghiệm :
2 2 2
a b c
 


Cách giải : chia 2 vế phương trình cho
2 2
a b


Phương trình cho trở thành :
2 2 2 2 2 2
.sin cos
a b c
u u
a b a b a b
 
  

Đặt
2 2 2 2
cos sin
a b
a b a b
 
  

 
, bằng tư duy ta đưa về công

thức :
sin( ) sin .cos cos .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
a b a b a b
a b a b a b
  
 

sau đó giải bình thường
tức là
2 2 2 2
sin .cos cos .sin sin( )
c c
u u u
a b a b
  
    
 

Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 5


 Phương trình đẳng cấp đối với sinx & cosx :


2 2

.sin .sin .cos .cos
a u b u u c u d
  
(1)
Cần nhớ :
2
2
sin 2 2sin .cos
1
1 tan
cos
u u u
u
u




 



Cách giải1 :
o Xét
2
cos 0 sin 1
x x
  
, nếu VT = VP thì cosx = 0 là 1 nghiệm
của pt, nếu ko thỏa thì cosx = 0 ko fải là nghiệm

o Xét
cos 0
x

, chia 2 vế phương trình (1) cho
2
cos
x
và nhớ
2
2
.(1 tan )
cos
d
d x
x
 
hay
2 2
(sin cos )
d d x x
  , sau đó đưa về
phương trình bậc 2 theo tanx và giải
Cách giải2 :

1 cos2 sin 2 1 cos2
. . .
2 2 2
x x x
a b c d

 
  

.sin 2 cos2
A x B x C
  
( đã học ,
dùng trong biện luận nghiệm nhiều hơn )


 Phương trình chứa tổng và tích :
.(sin cos ) sin .cos 0
a u u b u u c
   

Cách giải : đặt
sin cos 2sin( )
4
t u u u

    ,đk
2 2
t  
sau đó bình
phương và rút
sin .cos
u u
theo t và thế vào pt giải bình thường sẽ có nghiệm t

 Phương trình quy về dạng tích :

0
. . 0 0
0
A
A B C B
C



  






 Phương trình tổng bình phương :

2 2
0
0
0
A
A B
B


  










Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 6

 Phương pháp đối lập (chặn trên và chặn dưới) :

A M
A M
B M
B M
A B





 
 







Lưu ý dạng
sin 1
cos 1
sin .cos 1
sin 1
cos 1
u
v
u v
u
v
 






 

 



 




Trong quá trình làm bài tập sẽ có nhiều dạng khác ,đòi hỏi kĩ năng và kinh
nghiệm của các em…

Bài Tập Lượng Giác
A.Phương trình cơ bản :
1)
1
sin(2 )
3 2
x

 
2)
3
cos(2 )
3 2
x

  3)
2
sin(2 )
4 2
x

   4)
sin5 sin3
x x


5)
1
sin( 20 )
2
o
x
 
6)
1
sin( 2)
3
x
 
7)
1
tan3
3
x  
8)
tan(3 12 ) tan60
o o
x  
9)
tan(4 2) 3
x
 
10)
sin(2 1) sin( 3)
x x
  

11)
3
sin 1
5
x

12)
3
cot 2 1
x


13)
2sin7 3 0
x
 
14)
cos4 cos3 0
x x
 
15)
sin(2 ) sin
3
x x

  
16)
sin 2 cos3 0
x x
 

17)
4
cos 1
x

18)
2sin3 3 0
x
 

19)
2 2
sin sin 2 1
x x
 
20)
3 tan 2 3 0
x
 
21)
1
sin(2 )
3 2
x

 

22)
cos3 sin4 0
x x

 
23)
4sin .cos .cos2 1
x x x

24)
16sin .cos .cos2 cos4 2
x x x x 

25)
2
1
sin 2
4
x

26)
2
cos ( 30 ) 1
o
x
 
27)
2
3
cos ( )
6 4
x

 

28)
2sin( ) 3
3 4
x

 
29)
cos2 sin
x x


B.Đặt ẩn phụ :
1)
2
2cos 3cos 5 0
x x
  
2)
2
tan 2 tan 3 0
x x
  
3)
2cos2 cos 1
x x
 

4)
2
2sin 2 5sin2 3 0

x x
  
5)
2
2cos 3cos 5 0
x x
  
6)
2
4sin 4 cos
x x
 
7)
2
3
4tan
cos
x
x
 8)
2
2cos 5 3cos5 1 0
x x
  
9)
5cos 2sin 3 0
2
x
x
  

10)
2
4cos 2( 3 1)cos 3 0
x x
   
11)
2
tan (1 3)tan 3 0
x x
   
12)
2
cot 4cot 3 0
x x
  

13)
4 2
tan 4tan 3 0
x x
  
14)
cos2 9cos 5 0
x x
  
15)
2
cos sin 1 0
x x

   

16)
sin3 cos2 1 2sin cos2
x x x x
  
17)
2 2
1
sin 2 sin
2
x x
  18)
3 2 2
cos cos 2sin 2 0
x x x
   

C.Phương trình đối xứng :
1)
sin 3cos 1
x x
 
2)
3sin3 cos3 2
x x  3)
cos 3sin 2
x x 
Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 7

4)
2sin 2cos 2 0
x x
  
5)
3sin 2 3 cos2 1
x x
 
6)
2
1
sin 2 sin
2
x x
 

7)
sin( 2 ) 3sin( 2 ) 1
2
x x


   
8)
2
2sin 3sin 2 3
x x
 
9)

sin 4 cos4 1
x x
 

10)
sin3 3cos3 2sin 2
x x x
  ( KA Cao Đẳng – 2008 ) 11)
2
2 1
sin cos cos
2
x x x

 
D.Phương trình đẳng cấp :
1)
2 2
2sin sin cos 3cos 0
x x x x
  
2)
2 2
3sin 2sin2 5cos 2
x x x
  

3)
2 2
2sin 2 5sin2 cos2 cos 2 2

x x x x
   
4)
2 2
1
sin sin 2 2cos
2
x x x
  

5)
2 2
2cos 3 3sin 2 4sin 4
x x x
   
6)
2 2
3sin 4sin2 (8 3 9)cos 0
x x x
   

7)
2 2
2sin (3 3)sin cos ( 3 1)cos 1
x x x x
     

E.Phương trình chứa tổng (hiệu) và tích :
1)
3(sin cos ) 2sin 2 3 0
x x x
   
2)
sin cos 4sin cos 1 0
x x x x
   

3)
6(sin cos ) sin cos 6
x x x x
  
4)
(2 2)(sin 2 cos2 ) 2sin 2 cos2 2 2 1
x x x x
    

5)
2sin2 3 3(sin cos ) 8 0
x x x
   
6)
(1 2)(1 sin cos ) sin 2
x x x
   
F.Bài tập tổng hợp :
Bài 1 : giải các phương trình LG sau
1)

2cos2
0
1 sin 2
x
x


2)
cos2 .tan 0
x x

3)
sin3 cos5 0
x x
 
4)
2
1 sin 2
1 tan 2
cos 2
x
x
x

 
5)
3 2
tan tan 3tan 3
x x x
  

6)
2 2
sin 2cos2 3 7cos 0
x x x
   
7)
cos9 2cos6 2
x x
 

8)
2
4cos cos 3
x x
 9)
3 2 2
cos cos 4cos 0
2
x
x x
  
10)
3
cos 2 sin( ).cos
2
x x x


 
  

 
 

11)
4 4
5
sin cos
8
x x
 
12)
3
2sin cos2 sin 0
x x x
  
13)
4 4
4(sin cos ) 3sin 4 2
x x x
  

14)
sin 2
1
1 cos2
x
x




; 15)
cos sin 2 0
x x
 
; 16)
2 2 2
cos cos 2 cos 3 3.cos
2 2 2 6
x x x
   
     
     
     
     

17)
cos cos2 cos3 cos4 0
x x x x
   
; 18)
6sin 2cos
x x
 ;19)
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4
x x x x
  

Bài 2 : Tổng hợp các đề thi ĐH gần đây :
1)

cos3 2cos 2
x x
 
( ĐH Cảnh Sát Nhân Dân )
2)
1 cos cos2 cos3 0
x x x
   
( ĐH Nông Lâm – 2001 ) ĐS :
cos 0
cos 1
1
cos
2
x
x
x




 





3)
5
sin5 cos sin 2

2 2
x x x
 
   
   
   
   
( ĐH An Giang – 2001 )
4)
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
  
 
 
( KD – 2006 )
Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 8

5)
1
2cos2 8cos 7
cos
x x
x
   ( ĐH Nông Nghiệp – 2000 )
6)

sin 2 2tan 3
x x
 
( ĐH Bách Khoa Hà Nội – 2001 )
7)
2 2 2
sin sin 3 3cos 2
x x x
  ( ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội – 2001 )
8) tìm nghiệm
[0;14]
x

của pt :
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
   
( KD – 2002 )
ĐS:
3 5 7
, , ,
2 2 2 2
   
 
 
 

9)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

x x x x
   ( KB – 2002 ) ĐS :
8 9
x k x k
 
  
10) tìm nghiệm
[ ;3 ]
2
x


 của phương trình :
5 7
sin 2 3cos 1 2sin
2 2
x x x
 
   
    
   
   

11)
sin sin 2 sin3 0
x x x
  
( ĐH Kiến Trúc – 2000 )
12) sin 3 sin 2 .sin
4 4

x x x
 
   
  
   
   
( Bưu Chính Viễn Thông – 1999 ) HD : biến VP thành tổng
ĐS :
4 2
x k
 
 

13)
sin5 cos5
sin cos
x x
x x
 HD : pt
sin 4 0
cos2 0
sin 2 0
x
x
x


  





14)
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
x
x x x
x
   

( KA – 2003 )
15)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
   ( KB – 2003 )
16)
2 2 2
sin .tan cos 0
2 4 2
x x
x

 
  
 

 
( KD – 2003 )
17)
2
5sin 2 3(1 sin ).tan
x x x
   ( KB – 2004 )
18)
(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin
x x x x x
   
( KD – 2004 )
19)
2 2
cos 3 .cos2 cos 0
x x x
 
( KA – 2005 )
20)
1 sin cos sin2 cos2 0
x x x x
    
( KB – 2005 )
21)
4 4
3
cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x
 

   
     
   
   
( KD – 2005 )
22)
6 6
2(cos sin ) sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
 


( KA – 2006 )
23)
cos3 cos2 cos 1 0
x x x
   
( KD – 2006 )
24)
2 2
(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2
x x x x x
     ( KA – 2007 )
25)
2
2sin 2 sin7 1 sin
x x x

   ( KB – 2007 )
26)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x


 
  
 
 
 

 
 
( KA – 2008 )
27)
3 3 2 2
sin 3cos sin cos 3sin cos
x x x x x x
   ( KB – 2008 )
28)
2sin (1 cos2 ) sin2 1 2cos
x x x x

   
( KD – 2008 )
29)
3 3
cos sin sin cos
x x x x
   ( ĐH Đà Nẵng – Khối A + D – 99 )
Nguyễn Vũ Minh Lượng Giác
0914449230 9

30)
2
2tan cot 3
sin 2
x x
x
   ( ĐH Ngoại Thương TPHCM – KD – 97)
31)
tan cot 4
x x
 
( ĐH An Ninh + ĐH Cảnh Sát – KA – 97)
32)
2
5 3sin 4cos 1 2cos
x x x
    ( ĐH Hàng Hải – Cơ Sở 2 – 96)
33)
3 2
cos sin 3sin .cos 0

x x x x
  
( ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM – KB,D – 98)
34)
sin3 2cos2 2 0
x x
  
( ĐH Đà Nẵng – KA – 97)
35)
1
3sin cos
cos
x x
x
  ( ĐH An Ninh – 98)
36)
2 2 2 2
sin sin 3 cos 2 cos 4
x x x x
   ( ĐH Kinh Tế Quốc Dân – 99)
37)
sin3 sin 2 5sin
x x x
 
(ĐH Y Hải Phòng – 2000)
38)
2 sin 2 cos2 2
x x 
(ĐH Huế - KD – 99)
39)

2 2
cos 3sin 2 1 sin
x x x
   ( ĐH Dân Lập Kỹ Thuật Công Nghệ - 2000)
40)
cos7 .cos5 3sin2 1 sin 7 .sin5
x x x x x
   ( ĐH Mỹ Thuật Hà Nội – 96)
41)
3
3sin3 3cos9 1 4sin 3
x x x
   ( ĐH Mỏ - Địa Chất – 95)
42)
3
cos 3sin 3
cos 3sin 1
x x
x x
  
 
( ĐH Dân Lập Phương Đông – 97)
Bài 3 : định tham số m để pt sau đây có nghiệm :
1)
2 2
( 3)sin ( 3)sin cos cos 0
m x m x x x
    

2)

2
(5 2)cos ( 1)sin 2 1
m x m x
    

3)
2 2 2
( 2)sin 4sin cos 3
m x x x m
   

( HD : đưa về bậc nhất đối với sin, cos và dùng đk có nghiệm)
Bài 4 :
1) Tìm các nghiệm của pt :
2 2
7
sin cos4 sin 2 4sin
4 2 2
x x x
 
 
   
 
 
thỏa điều kiện
1 3
x
 

2)Cho hai phương trình :

2
2
1 sin
1 (1)
cos
(1 sin ) sin 2 (2)
x
tgx
x
m x x m

 
  

Tìm m để mọi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2)
Bài 5 : bài tập chỉ thuần về các công thức tổng thành tích, tích thành tổng, hạ bậc :
1)
cos .cos5 cos 2 .cos4
x x x x

2)
cos5 .sin 4 cos3 .sin 2
x x x x


3)
sin 2 sin 4 sin 6
x x x
 
3)

sin sin 2 cos cos 2
x x x x
  

4)
2 2 2 2
sin 4 sin 3 sin 2 sin
x x x x
   5)
2 2 2 2
cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x x x
   