Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz cải tiến

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHYSCHWARZ CẢI TIẾN
IMPROVED CAUCHY - SCHWARZ INEQUALITY

ThS. Phạm Thị Ngọc Hà
Trường Đại học Hàng hải Việt Nam
Email:
Ngày tòa soạn nhận được bài báo:09/03/2021
Ngày phản biện đánh giá: 19/03/2021
Ngày bài báo được duyệt đăng: 26/03/2021
Tóm tắt:
Nghiên cứu này nhằm giới thiệu sự cải tiến của một bất đẳng thức nối tiếng Cauchy
–Schwarz. Căn cứ vào sự cải tiến đó, nghiên cứu này giới thiệu sự cải tiến của bất đẳng
thức Cauchy – Schwarz giữa trung bình bình phương và trung bình số học. Sự làm mịn
của bất đằng thức tam giác trong Rn cũng được đề cập đến trong bài này.
Từ khóa: Bât đẳng thức Cauchy – Schwarz, sự cải tiến, trung bình bình phương, trung
bình số học, bất đẳng thức tam giác.
Summary:
This study aims to present an improvement of the famous Cauchy-Schwarz inequality
in . Based on this improvement, this paper introduces the improvement of the inequality
between quadratic and arithmetic mean of n positive real numbers. A new refinement of
triangle inequality in Rn is also investigated in this paper.
Keywords: Cauchy – Schwarz inequality, improvement, quadratic and arithmetic mean,
triangle inequality.

1. Đặt vấn đề
Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz là một trong những bất đẳng thức được biết đến nhiều nhất
trong toán học. Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz được phát biểu như sau:

10 TẠP CHÍ KHOA HỌC

QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ

Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz là một trong những bất đẳng thức được biết
đến nhiều nhất trong toán học. Bất đẳng thức Cauchy –Schwarz được phát biểu
như sau:
Cho a = ( a1 , a2 ,..., an ) và b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là hai bộ n số thực khi đó
2

n
n
2
2
 n

a
b
a
bi
≤
∑
∑
∑
i
i
i


 i =1
 =i 1 =i 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a và b tỷ lệ với nhau. Bất đẳng thức này còn
được gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz –Buniakowski hay đơn giản hơn là
bất đẳng thức Buniakowski.
Nếu thêm điều kiện của tham số thì bất phương trình trên sẽ được làm mạnh
hơn. Ví dụ, vào năm 1952 A. Ostrowski [4, p.289] chứng minh rằng
Nếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) và c = ( c1 , c2 ,..., cn ) là n bộ số thực sao cho a
và b không tỷ lệ với nhau và

n

∑ ai ci = 0 và
i =1

n

∑a
i =1
n

∑
i =1

n

∑b c
i =1

i i

= 1 thì

2

i

 n

≤ ∑ ai .∑ bi −  ∑ ai bi 
2
 i =1

c =i 1 =i 1
n

n

2

2

2

i

Vào năm 1996, McLaughlin chứng minh mệnh đề sau
Nếu a = ( a1 , a2 ,..., a2 n ) và b = ( b1 , b2 ,..., b2 n ) là bộ gồm 2n số thực khi đó ta có
2

2n
2n

 n

 2n

2
2
 ∑ ( a2i b2i −1 − a2i −1b2i )  ≤ ∑ ai ∑ bi −  ∑ ai bi 
 i =1
 =i 1 =i 1
 i =1


2

Một sự làm mịn bất đẳng thức Cauchy –Schwarz khác được xây dựng bởi Alzer
vào năm 1998. Ông đã chứng minh rằng, nếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là
hai dãy số thực và
2
n
n
CHÍ KHOA
HỌC
ai ai −TẠP
an
 n
 11
a2
 2 QUẢN
1 
LÝ

CÔNG NGHỆ
và 0 < bn ≤ bn −1 ≤ ... ≤ b1 thì ∑ bi ∑  ai −
0 = a0 < a1 ≤
< ... ≤
i ≥  ∑ ai bi 
 bVÀ
4 
2
n
=i 1 =i 1 
 i =1


2


vào năm 1998. Ông đã chứng minh rằng, nếu a = ( a1 , a2 ,..., an ) , b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là
hai dãy số thực và
n
n
aa 
a
 n

a

0 = a0 < a1 ≤ 2 < ... ≤ n và 0 < bn ≤ bn −1 ≤ ... ≤ b1 thì ∑ bi ∑  ai 2 − i i −1  bi ≥  ∑ ai bi 
4 
2
n

=i 1 =i 1 
 i =1


2

2 1, 2,..., n và b= b = ...= b
=
ai ka
=
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
)
1
2
n
1 (k

Sự cải tiến đáng kể của bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trong khơng gian tích
trong được đưa ra bởi Dragomir. Ơng chứng minh rằng: Cho ( H , ⋅, ⋅ ) là khơng
gian tích trong trên trường số thực hoặc trên trường số phức. Cho x, y, e ∈ H với
| e ||= 1 và p ≥ 2 , khi đó ta có sự làm mịn của bất đẳng thức Schwarz sau

|| x || p || y || p − x, y




|| x ||
≥  det 


|| y ||




p

Và || x || p || y || p − Re x, y

p

(
(|| y ||




|| x ||
≥  det 

|| y ||




|| x || p − x, e
p

− y, e

(|| x ||
(|| y ||

)
)




1/ p 
 


p 1/ p

p

p

− Re x, e

p

− Re y, e

p

)
)




1/ p 
 


p 1/ p

p

Kết quả tương tự được phát biểu như sau
Cho x, y, e ∈ H với | e ||= 1 , khi đó ta có sự làm mịn của bất đẳng thức Schwarz sau

|| x || p || y || p − x, y

p




 x, e
≥  det 

 y, e




(

(|| y || −

|| x ||2 − x, e
2

y, e

)
)




1/2 
 


2 1/2

2

2

Walker đưa ra sự làm mịn của bất đẳng thức này trong lĩnh vực xác suất.
Dựa vào ý tưởng được giới thiệu trong bổ đề 2.1, một sự cải tiến mới của bất
đẳng thức Cauchy –Schwarz được đưa ra ở định lý 2.1. Ở đây, chúng ta có thể
nhìn thấy sự làm mạnh chính của kết quả trong việc đưa ra một biên mới mà
không cần thêm điều kiện của các tham số ai và bi . Kết quả là chúng ta có đươc
hai sự cải tiến mới là: bất đẳng thức giữa trung bình bình phương và và trung
bình số học ở định lý 3.1 và sự làm mịn của bất đẳng thức tam giác trong R n ở

12 TẠP CHÍ KHOA HỌC

QUẢN
VÀ CÔNG NGHỆ
định
lý LÝ
4.1.

2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đã cải tiến


không cần thêm điều kiện của các tham số ai và bi . Kết quả là chúng ta có đươc
hai sự cải tiến mới là: bất đẳng thức giữa trung bình bình phương và và trung
bình số học ở định lý 3.1 và sự làm mịn của bất đẳng thức tam giác trong R n ở
định lý 4.1.
2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đã cải tiến

2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz đã cải tiến
Chúng ta đã biết với bất kỳ hai số thực dương x và y ta có
3

x
+
y

y
≥ 2 . Sự cải tiến
x

của bất đẳng thức này được phát biểu ở bổ đề 2.1 dưới đây.
Bổ đề 2.1.
Nếu a và b là hai số thực dương thì

(a − b)
a
b
+
≥ 2+
b
a
2 ( a 2 + b2 )
2

Chứng minh. Bất đẳng thức trên tương đương với
2

a
a
− 2 +1


a
b
b
b
+
≥ 2+   2
b
a

 a 

2    + 1
 b 




(a − b) ⇔
a
b
+
≥ 2+
b
a
2 ( a 2 + b2 )
2

Đặt=
t2

a
, ( t > 0 ) bất đẳng thức trên tương đương với
b

1
t 4 − 2t 2 + 1
t + ≥ 2+
⇔ 2t 6 − 5t 5 + 2t 4 + 2t 3 + 2t 2 − 5t + 2 ≥ 0
4

t
2 ( t + 1)

⇔ ( t − 1) ( 2t 2 + 3t + 2 ) ≥ 0 (ln đúng ∀t > 0 ).
4

Ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.1. Cho a = ( a1 , a2 ,..., an ) ; b = ( b1 , b2 ,..., bn ) là hai dãy số thực dương sao
ai 2 + bi 2 ≠ 0, ∀i =1, n . Đặt
A=

a12 + a2 2 + ... + an 2 ; B=

b12 + b2 2 + ... + bn 2 và đặt A, B ≠ 0 . Khi đó, bất đẳng thức

sau luôn đúng
n

∑a
i =1

i

2

.

n

∑b

i =1

i

2

n

≥ ∑ ai bi +
i =1

1 n ( ai B − bi A )
ai bi
∑
4 i =1 ai 4 B 4 + bi 4 A4
2

2

2

2

TẠP CHÍ KHOA HỌC 13
QUẢN LÝ VÀ CƠNG NGHỆ

(2.1)


A=

a12 + a2 2 + ... + an 2 ; B=

b12 + b2 2 + ... + bn 2 và đặt A, B ≠ 0 . Khi đó, bất đẳng thức

sau luôn đúng
2 2
2 2
1 n ( ai B − bi A )
ai . ∑ bi ≥ ∑ ai bi + ∑ 4 4
ai bi
∑
4 i =1 ai B + bi 4 A4
i =1
i =1
i =1
n

2

n

2

n

(2.1)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a và b tỷ lệ.
a2

A

i
Chứng minh. Đặt
=
;b
a =
2

bi 2
. Theo bổ đề 2.1 ta có
B2

2
4

ai 2 B 2 − bi 2 A2 )  ai bi
(
ai 2 bi 2 
+ 22 ≥  2 + 2 4 2 4 2 2 4 2 
(2.2)
22

 aAB
a(i aB
bi bA
−+
A
2
B

A
(
)
ai
bBi
b
)
i
i
i
i

+
≥  2 +
(2.2)
A2 B 2 
2 ( ai 4 B 4 + bi A4 )  AB


Cố định i=1, 2, 3,…,
n trong bất đẳng
thức (2.2), ta cộng của n bất đẳng thức

Cố
thu định
được i=1,
ta có2, 3,…, n trong bất đẳng thức (2.2), ta cộng của n bất đẳng thức
thu được ta có
2 2
2 2 2



 ai 2 bi 2  1  n
1 n ( ai B − bi A )

2
+
≥
+
a
b
∑
∑
 22
i i
24 24
24 24 2 ai bi 
 ∑
22 
n
n
n

a
B
b
A
−
2
A

B
AB
a
B
+
b
A
(
)

a
b
1
1
1
1
i =1 
i
i
=
=
i
i
 i
i
i 
 2∑ a b + ∑ i
ai bi 
∑
 2 + 2 ≥

i i
4 4
4 4

2 i =1 ai B + bi A
B  AB  i =1
i =1  A


2
2
2
2
n
n
n
n
 ai 2 bi 2 
1 n ( ai B − bi A )
2
2
2 ta có ∑ ai . ∑ bi ≥ ∑ ai bi + ∑ 42 42
Vì ∑
ab
 22 + 22  =
n
n
n
n
− bi 24 A24 ) i i

bBi 
i =1 
i =1
i =1
i =1
14 i =n1 ( ai B +
 aAi
2
2
2 ta có ∑ ai . ∑ bi ≥ ∑ ai bi + ∑ 4 4
Vì ∑  2 + 2  =
ai bi
B 
4 i =1 ai B + bi 4 A4
i =1  A
i =1
i =1
i =1
a
A
Nếu a, b tỷ lệ, thì i =
⇔ ai 2 B 2 − bi 2 A2 = 0, ∀i = 1, n
ab B
A
Nếu a, b tỷ lệ, thì ii =
⇔ ai 2 B 2 − bi 2 A2 = 0, ∀i = 1, n
bi B
n
n
n

Trong trường hợp này, dấu bằng xảy ra khi ∑ ai 2 . ∑ bi 2 = ∑ ai bi
n

Trong trường hợp này, dấu bằng xảy ra khi

n
i =1

∑ ai 2 .
i =1

n
i =1

n
i =1

i =1

i =1

∑ bi 2 = ∑ aibi

3. Bất đẳng thức cải tiến giữa trung bình bình phương và trung bình số
3. học
Bất đẳng thức cải tiến giữa trung bình bình phương và trung bình số
học
Cho n số thực dương a1 , a2 ,..., an ta có
Cho n số thực dương a1 , a2 ,..., an ta có
a12 + ... + an 2 a1 + a2 + ... + an

≥
n + an 2 a1 + a2 n+ ... + an
a12 + ...
≥
n
n

Khi đó bất đẳng thức QM-AM tương đương với bất đẳng thức sau
Khi đó bất đẳng thức QM-AM tương2đương với bất đẳng thức sau
n ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) ≥ ( a1 + ... + an )

(3.1)
n ( a + a2 + ... + an ) ≥ ( a1 + ... + an )
(3.1)
Dễ
dàng
chứng
minh
được
bất
đẳng
thức
(3.1)
bằng
cách
áp
dụng
bất
đẳng thức
14 TẠP CHÍ KHOA HỌC

VÀ CƠNG
NGHỆ
DễQUẢN
dàngLÝ
minh
bấtsố.
đẳng
áp) dụng bất đẳng thức
a =thức
,..., a bằng
1,1,...,1
Cauchy
–chứng
Schwarz
chođược
hai bộ
( a , a(3.1)
) ; b = (cách
2
1

2

2

2

1

2

n

Cauchy – Schwarz cho hai bộ số. a = ( a1 , a2 ,..., an ) ; b = (1,1,...,1)
Từ Định lý 2.1 ta có bổ đề 3.1


≥

n

n

Khi đó bất đẳng thức QM-AM tương đương với bất đẳng thức sau
n ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) ≥ ( a1 + ... + an )

2

(3.1)

Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức (3.1) bằng cách áp dụng bất đẳng thức
Cauchy – Schwarz cho hai bộ số. a = ( a1 , a2 ,..., an ) ; b = (1,1,...,1)
Từ Định lý 2.1 ta có bổ đề 3.1
Bổ đề 3.1. Cho a1 ,...an là các số thực dương sao cho a12 + a2 2 + ... + an 2 ≠ 0 . Khi đó
ta có bất đẳng thức
n a12 + ...an 2

(

)

2
2
2
1 n nai − ( a1 + ... + an )
≥ a1 + ... + an + ∑
ai
4 i = ` n52 a 4 + ( a 2 + ... + a 2 )2
i
i
n
2

(3.2)

Chứng minh. Dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức (3.2) bằng cách áp dụng
công thức (2.1) với b1= ...= bn= 1; B=

n

Chia cả hai vế của (3.2) cho n ta có định lý 3.1 sau
Định lý 3.1. Nếu a1 ,..., an là các số thực dương thỏa mãn a12 + ... + an 2 ≠ 0 thì

(

)

2
2
2

a12 + ...an 2 a1 + ... + an 1 n nai − ( a1 + ... + an )
≥
+ ∑
ai
4n i = ` n 2 a 4 + ( a 2 + ... + a 2 )2
n
n
i
i
n
2

4. Sự làm mịn mới của bất đẳng thức tam giác
Ta đã biết, với hai vecto u, v bất kỳ trong không gian ( X ,|| . ||) trên trường số
thực hoặc trên trường số phức ta có || u + v ||≤|| u || + || v || . Có rất nhiều sự làm mịn
của bất đẳng thức tam giác này. Ví dụ, Maligranda chứng minh rằng với hai vec
tơ bất kỳ khác không x và y trong không gian ( X ,|| . ||) bất đẳng thức sau luôn
đúng


x
y 
x
y 
+
+

2−
 min{|| x ||,|| y || } ≤|| x || + || y || − || x − y ||≤ 2  2 −
|| x || || y || 

|| x || || y || 



Minculete and Păltanea chứng minh rằng: Cho ( X , ⋅, ⋅ ) là khơng gian tích trong

TẠP CHÍ KHOA HỌC 15
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ

với chuẩn là ⋅ , với mọi phần tử khác không x, y ∈ X ta có
1



x
y
+
2−
|| x || || y ||




x
y 
+
 min{|| x ||,|| y || } ≤|| x || + || y || − || x − y ||≤ 2  2 −

|| x || || y || 




Minculete and Păltanea chứng minh rằng: Cho ( X , ⋅, ⋅ ) là không gian tích trong
với chuẩn là ⋅ , với mọi phần tử khác khơng x, y ∈ X ta có
 1

|| x || + || y || − || x − y ||≤ 1 − || v ( x, y ) ||  (|| x || + || y ||)
 2


trong đó || v ( x, y ) ||=


x, y 
x
y
+
= 2 1 +
t
|| x || || y ||
 || x || . || y || 

Trong bài này đưa ra sự làm mịn mới của bất đẳng thức tam giác trong khơng
gian Euclidean R n tích trong chuẩn tắc.
Định lý 4.1. Cho u = ( u1 ,..., un ) ; v = ( v1 ,..., vn ) là hai vecto trong R n sao cho u, v ≠ 0 và
6

ui 2 + vi 2 ≠ 0, ∀i =1, n , khi đó

2

2
2
2
1 n ( ui || v || −vi || u || )
2
ui vi ≤ (|| u || + || v ||)
|| u + v || + ∑ 4
4
4
4
2 i =1 ui || v || +vi || u ||
2

2

Chứng minh. Vì u + v = ( u1 + v1 ,..., un + vn ) ;|| u ||=

u12 + ... + un 2 ;|| v ||=

v12 + ... + vn 2

2
2
2
2
1 n ( ui || v || −vi || u || )
2
ta có || u + v || + ∑ 4
ui vi
2 i =1 ui || v ||4 +vi 4 || u ||4

2

2
2
2
2 2
 n
u
||
v
||
−
v
||
u
||
(
) u v  ≤ || u || + || v || 2
1
i
i
= ∑ ui 2 + ∑ vi 2 + 2  ∑ ui vi + ∑ 4
(
)
i i
 i =1

4
ui || v ||4 +vi 4 || u ||4
=i 1 =i 1



n

n

Nhận xét: Nếu || u ||=|| v || ui 2 + vi 2 ≠ 0, ∀i =1, n thì bất đẳng thức tam giác cải tiến trở
thành
2
2
1 n ( ui − vi )
2
|| u + v || + ∑ 4
ui vi ≤ 4 || x ||2
2 i =1 ui + vi 4
2

TÀI LIỆU THAM KHẢO
16 TẠP CHÍ KHOA HỌC

[1]QUẢN
H. LÝ
Alzer
(1998),
VÀ CƠNG
NGHỆ A refinement of the Cauchy –Schwarz inequality, J.

Math.Anal. Appl.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] H. Alzer (1998), A refinement of the Cauchy –Schwarz inequality, J. Math.Anal. Appl.
[2] K. Bhattacharyya (2019), Improving the Cauchy –Schwarz inequality, ArXiv.
[3] S.S. Dragomir (2019), Improving Schwarz inequality in inner product spaces, Linear and
Multilinear Algebra.
[4] S. Filipovski (2019), Improved Cauchy-Schwarz inequality and its applications, Turkish Journal
ò Inequality.
[5] L. Maligranda (2008), Some remarks on the triangle inequality for norm, Banach J. Math. Anal.
[6] N. Minculete and R. Păltanea (2017), Improved estimates for the triangle inequality, Journal o
Inequalityies and Applications.
[7] A. Ostrowski (2017), A sefl-improvement to the Cauchy – Schwarz inequality, Statistics and
Probability Letters.

TẠP CHÍ KHOA HỌC 17
QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ