(Luận văn thạc sĩ) Về phương trình Diophante Pillai và một số mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

THĂNG DUY LẬP

VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTE PILLAI
VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

THĂNG DUY LẬP

VỀ PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTE PILLAI
VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nơng Quốc Chinh

THÁI NGUYÊN - 2021

1

Mục lục

Danh sách kí hiệu

2

Lời cảm ơn

3

Mở đầu

4

1

Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Đồng dư thức và một số kết quả liên quan . . . . . . . . . .

9

2

Về phương trình Diophante Pillai và một số mở rộng

14

2.1

Phương trình Diophante Pillai . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2

Một số kết quả nghiên cứu về phương trình Diophante Pillai

26

2.3

Phương trình Diophante Pillai tổng quát . . . . . . . . . . .

32

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

47


2

Danh sách kí hiệu
N

Tập hợp các số tự nhiên

R

Tập hợp các số thực

R+

Tập hợp các số thực dương

a|b

a là ước của b

gcd(a, b)

Ước chung lớn nhất của a và b

a ≡ b (mod m) m|(a − b)
ordn a

Bậc của a theo modulo n

[a]

Phần nguyên của số a

log

Logarit thập phân


3

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
PGS. TS. Nơng Quốc Chinh, tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn chân thành và
sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên
cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của
tơi trong suốt q trình làm luận văn.
Tơi cũng xin trân trọng cảm ơn thầy, cô Trường Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên, đặc biệt là thầy cơ của Khoa Tốn – Tin cùng các giảng
viên đã tham gia giảng dạy đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và
nghiên cứu. Nhân dịp này, tôi cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và
Đào tạo Bắc Kạn, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp ở Trường THCS và
THPT Nà Phặc đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt nhiệm vụ học tập và

cơng tác của mình.
Cuối cùng, tơi muốn dành những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến đại gia đình
vì những động viên và chia sẻ khó khăn để tơi hoàn thành tốt luận văn này.
Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021
Học viên

Thăng Duy Lập


4

Mở đầu
Các kết quả nghiên cứu của Pillai phần lớn liên quan tới phương trình
Diophante, Pillai đề cập tới phương trình Diophante sớm nhất là vào năm
1930 [7]. Trong khn khổ luận văn, chúng tôi chủ yếu thảo luận về các câu
hỏi liên quan đến các kết quả về phương trình Diophante Pillai và một số mở
rộng. Nội dung của luận văn trình bày trong hai chương:
(i). Chương 1. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại
một số khái niệm cơ bản của lý thuyết số: phần dư của phép chia số
nguyên, ước chung lớn nhất của các số nguyên, số nguyên tố và hợp số,
khái niệm đồng dư, tính chất và một số kết quả liên quan.
(ii). Chương 2. Giới thiệu về phương trình Diophante Pillai và một số mở
rộng.
Trong mục 2.1, chúng tôi giới thiệu về phương trình Diophante Pillai và
trình bày một số kết quả nghiên cứu từ những năm 1930, 1940 của Pillai
về phương trình Diophante dạng
a x − by = c

(1)

với a, b, x và y là các số nguyên dương, trong đó c là số ngun khác
khơng cho trước. Pillai đã đưa ra giả thuyết là phương trình (1) có nhiều
nhất là hữu hạn nghiệm. Đến nay thì đây vẫn là bài toán mở, trừ trường
hợp c = 1 (Giả thuyết Catalan) đã được R. Tijdeman giải quyết năm
1976 trong bài báo “On the equation of Catalan” (xem [12]).


5

Trong mục 2.2, chúng tơi tập trung trình bày một số kết quả nghiên cứu
trong bài báo “Pillai’s conjecture revisited” của Bennett cơng bố năm
2003 về phương trình Diophante dạng
|(N + 1) x − N y | = c.
Trong mục 2.3, chúng tơi trình bày kết quả của R. Scott và R. Styer năm
2006 về phương trình Diophante Pillai tổng quát dạng.
± a x ± by = c

(2)

Để tổng quát, ta xét phương trình (2) dưới dạng
(−1)u a x + (−1)v by = c

(3)

với a, b, x, y là các số nguyên dương, và u, v ∈ {0, 1}. Phương trình (3) là
dạng tổng quát của phương trình Diophante Pillai dạng a x − by = c.
Phương trình này đã được nhiều tác giả nghiên cứu về nghiệm (x, y) khi
cho trước (a, b, c). Trong phần này chúng tôi sẽ chứng minh phương trình
(3) có nhiều nhất hai nghiệm.

6

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản của lý thuyết số: phần dư
của phép chia số nguyên, ước chung lớn nhất của các số nguyên, số nguyên
tố và hợp số, khái niệm đồng dư và tính chất.

1.1

Ước chung lớn nhất

Ước số và phần dư
Xét tập số nguyên Z = {0, ±1, ±2, ...}. Với mọi a, b ∈ Z, b

0, tồn tại duy

nhất q, r ∈ Z, 0 ≤ r < |b|, sao cho a = bq + r. (Chia a cho b được q là thương
số, r là phần dư).
Định nghĩa 1.1. Với a, b ∈ Z, ta nói a là ước của b nếu tồn tại số nguyên x
sao cho ax = b. Trong trường hợp này ta nói rằng b chia hết cho a hay b là
bội của a và viết a|b (đọc là a là ước của b). Ngược lại, ta nói a khơng là ước
của b và viết a b.
Với bất kỳ a ∈ Z, các điều sau đây luôn đúng: 1|a, −1|a, a|a, −a|a. Ta nói
1, −1, a và −a là các ước tầm thường của a; 1 và −1 gọi là đơn vị, mọi ước bất
kỳ khác của a gọi là ước thực sự.


7

Số nguyên tố và hợp số
Định nghĩa 1.2. Số nguyên dương a > 1 được gọi là một số nguyên tố nếu
a khơng có ước thực sự. Số ngun dương a gọi là một hợp số nếu a có ước
thực sự. Nếu a là số nguyên dương và các số nguyên tố p1 , p2 , p3 ..., pk thỏa
mãn p1 × p2 × p3 × ... × pk = a thì tích p1 × p2 × p3 × ... × pk gọi là phân tích
thừa số nguyên tố của a.
Định lý 1.3 (Định lý cơ bản của số học). Mọi số a, a > 1, có phân tích thừa
số nguyên tố duy nhất (không kể sự sai khác về thứ tự các thừa số).
Định nghĩa 1.4. Cho a, b ∈ Z. Ta định nghĩa ước chung lớn nhất của a và b là
số nguyên lớn nhất d mà cả a và b đều chia hết cho d : d|a và d|b. Ước chung
lớn nhất được ký hiệu là (a, b) = d hoặc gcd(a, b) = d. Trong luận văn này ta
sẽ sử dụng gcd(a, b) để chỉ ước chung lớn nhất của a và b.
Định nghĩa 1.5. Nếu ước chung lớn nhất gcd(a, b) = 1 thì ta nói hai số nguyên
a và b là nguyên tố cùng nhau.
Định lý 1.6. Nếu a, b và gcd(a, b) = d thì gcd(a/d, b/d) = 1.
Định lý 1.7. Cho a, b, c. Khi đó gcd(a + cb, b) = gcd(a, b).
Chứng minh. Giả sử gcd(a, b) = d, gcd(a + cb, b) = k. Ta cần chứng minh
rằng d = k. Do gcd(a, b) = d nên a = pd và b = qd với p, q nguyên tố cùng
nhau (Định lý 1.3). Trong gcd(a + cb, b) = k thay a = pd, b = qdvcb = cqd,
ta được
k = gcd(a + cb, b) = gcd(pd + cqd, qd) = gcd((p + cq)d, qd).
Đẳng thức này cho thấy ước chung lớn nhất của (p + cq)d và qd bằng d, bởi
vì (p + cq) có trong (p + cq)d đúng d lần và q có trong qd cũng d lần. Vì thế,
gcd(a + cb, b) = d, nghĩa là d = k.


8

Định lý 1.8. Nếu a, b, m, n ∈ Z và c là ước số chung của a và b thì c cũng là

ước số của ma + nb, nghĩa là (c|a và c|b) ⇒ c|(ma + nb).
Định lý 1.9. Cho hai số a, b ∈ Z. Khi đó d = gcd(a, b) là số nguyên dương
nhỏ nhất biểu diễn được dưới dạng d = ax + by với x, y ∈ Z.
Chứng minh. Giả sử k là số nguyên dương nhỏ nhất có dạng k = ax + by với
x, y ∈ Z. Ta chứng minh d = k. Thật vậy, do d là ước chung của a và b nên
theo Định lý 1.8, d cũng là ước của ax + by, tức là d|(ax + by) = k, do đó
k phải chia hết cho k, vì nếu trái lại thì a = ku + v với 0 < v < k, trong đó

d

u, v ∈ Z. Từ đó:
v = a − ku = a − u(ax + by) = a(1ux) + b(−uy).
Như vậy, v cũng là một tổ hợp tuyến tính của a và b. Nhưng v < k, điều này
trái với giả thiết k là số nguyên dương nhỏ nhất có dạng ax + by. Chứng minh
tương tự cho thấy b cũng chia hết cho k. Vậy phải có k
ra d

gcd(a, b) = d. Suy

k hay k = d.

Định lý 1.10. Nếu a, b, c ∈ Z, a|bc và a, b nguyên tố cùng nhau thì a|c.
Định lý 1.11. Nếu a, b là các số nguyên dương thì tập hợp các tổ hợp tuyến
tính của a và b là tập các bội nguyên của gcd(a, b).
Chứng minh. Giả sử gcd(a, b) = c. Trước hết, ta chứng minh mỗi tổ hợp tuyến
tính của a và b, chẳng hạn ma + nb, là một bội nguyên của c. Thật vậy, với
gcd(a, b) = c thì c|a và c|b. Theo Định lý 1.8, c|(ma + nb), do đó ma + nb = ck,
nghĩa là ma + nb là một bội nguyên của gcd(a, b).
Ngược lại, theo Định lý 1.9, c = gcd(a, b) biểu diễn được dưới dạng một
tổ hợp tuyến tính của a và b, chẳng hạn c = ax + by với x, y ∈ Z. Nhân cả hai

vế với s ∈ Z , ta có sc = s(ax + by) = a(sx) + b(sy). Như vậy, mỗi bội nguyên
của c là một tổ hợp tuyến tính của a và b.


9

Thuật tốn Euclide tìm ước chung lớn nhất
Để tìm ước chung lớn nhất của hai số, chúng ta thường phân tích số đó
thành nhân tử. Ví dụ (55, 85) = (5 · 11, 5 · 17) = 5; (225, 180) = (32 · 52 , 32 · 5 ·
22 ) = 32 · 5 = 45. Tuy nhiên việc tìm ước chung lớn nhất theo cách này thực
sự khó nếu hai số đã cho khá lớn.
Người ta đã chỉ ra một thuật tốn cho phép tìm ước chung lớn nhất của hai
số một cách nhanh chóng, đó là thuật tốn Euclide.
Định lý 1.12 (Thuật toán Euclide). Cho a, b ∈ Z, b > 0. Thực hiện liên tiếp
các phép chia có dư, ta có
a = q0 b + r1 với 0 < r1 < b,
b = q1 r1 + r2 với 0 < r2 < r1
r1 = q2 r2 + r3 với 0 < r3 < r2
...
rn−2 = qn−1 rn−1 + rn với 0 < rn < rn−1
rn−1 = qn rn , qn > 1.
Khi đó (a, b) = rn .

1.2

Đồng dư thức và một số kết quả liên quan

Định nghĩa 1.13. Cho a, b ∈ Z. Ta nói rằng a đồng dư với b theo modulo m
(viết tắt là mod m) nếu m|(a − b), hay hiểu đơn giản là khi chia a và b cho m
ta được phần dư như nhau. Ký hiệu là a ≡ b (mod m).

Nhận xét 1.14. Lưu ý rằng ta có thể diễn đạt m|a bởi cách viết a ≡ 0 (mod m).
Tính chất 1.15.
a. Với mọi số nguyên a ta có a ≡ a (mod m).


10

b. Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m).
c. Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m).
Tính chất 1.16. Nếu a ≡ b (mod m) và c là một số ngun tùy ý thì
a±c≡b±c

(mod m).

Tính chất 1.17.
a. Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) thì
(a1 ± b1 ) ≡ (a2 ± b2 )

(mod m).

b. Nếu a1 ≡ a2 (mod m); b1 ≡ b2 (mod m) thì
(a1 × b1 ) ≡ (a2 × b2 )

(mod m).

Tính chất 1.18. a. Nếu a + c ≡ b (mod m) thì a ≡ b − c (mod m).
b. Nếu a ≡ b (mod m) thì a + km ≡ a (mod m).
c. Nếu a ≡ b (mod m) thì ak ≡ bk (mod m).
d. Giả sử f (x) = an xn−1 + · · · + a1 x + a0 là một đa thức với hệ số ngun. Nếu
ta có α ≡ β (mod m) thì ta cũng có f (α) ≡ f (β) (mod m).

Đặc biệt nếu ta có f (α) ≡ 0 (mod m) thì ta cũng có f (α + km) ≡ 0
(mod m) k ∈ Z.
Tính chất 1.19. Nếu ac ≡ bc (mod m) (c, m) = 1 thì a ≡ b (mod m).
Tính chất 1.20. Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod m).
Tính chất 1.21. Nếu a ≡ b (mod m) và d | (a, b, m) (d > 0) thì ta có
a b
≡
d d

(mod

m
).
d

Tính chất 1.22. Nếu a ≡ b (mod mi ), i = 1, 2, 3, . . . k thì
a ≡ b (mod m); m = m1 m2 . . . mk .